专题21 阅读理解创新综合题-5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（河南专用）

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1. （2024·河南·统考中考真题）综合与实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究
定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．

（1）操作判断
用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）．
（2）性质探究
根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．
如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线．
①写出图中相等的角，并说明理由；
②若，，，求的长（用含m，n，的式子表示）．
（3）拓展应用
如图3，在中，，，，分别在边，上取点M，N，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长．
【答案】（1）②④ （2）①．理由见解析；②
（3）或
【小问1详解】
解：观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图2和图4中存在对角互补且邻边相等，
故图②和图④中四边形是邻等对补四边形，
故答案为：②④；
【小问2详解】
解：①，理由：
延长至点E，使，连接，
∵四边形是邻等对补四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
②过A作于F，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴；
【小问3详解】
解：∵，，，
∴，
∵四边形是邻等对补四边形，
∴，
∴，
当时，如图，连接，过N作于H，
∴，
在中，
在中，
∴，
解得，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴；
当时，如图，连接，
∵，
∴，
∴，故不符合题意，舍去；
当时，连接，过N作于H，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴；
当时，如图，连接，
∵，
∴，
∴，故不符合题意，舍去；
综上，的长为或．
2. （2023·河南·统考中考真题）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．

（1）观察发现：如图1，在平面直角坐标系中，过点的直线轴，作关于轴对称的图形，再分别作关于轴和直线对称的图形和，则可以看作是绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______；可以看作是向右平移得到的，平移距离为______个单位长度．
（2）探究迁移：如图，中，，为直线下方一点，作点关于直线的对称点，再分别作点关于直线和直线的对称点和，连接，，请仅就图的情形解决以下问题：
①若，请判断与的数量关系，并说明理由；
②若，求，两点间的距离．
（3）拓展应用：在（2）的条件下，若，，，连接．当与的边平行时，请直接写出的长．
【答案】（1），．
（2）①，理由见解析；②
（3）或
【小问1详解】
（1）∵关于轴对称的图形，与关于轴对称，
∴与关于点中心对称，
则可以看作是绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为
∵，
∴，
∵,关于直线对称，
∴，
即，
可以看作是向右平移得到的，平移距离为个单位长度．
故答案为：，．

【小问2详解】
①，理由如下，
连接，

由对称性可得，，
∴，
②连接分别交于两点，过点作，交于点，

由对称性可知：且，
∵四边形为平行四边形，
∴
∴三点共线，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，
∵，
∴,
∴
【小问3详解】
解：设，则，
依题意，，
当时，如图所示，过点作于点，

∴
∵，，
∴，
∴，则，
在中，，
∴，则，
∴
在中，，则，，
在中，，
，
∴
由（2）②可得，
∵
∴
∴，
解得：；
如图所示，若，则，

∵，则，
则，
∵，，
∵，
∴，
解得：，
综上所述，的长为或．
3. （2022·河南·统考中考真题）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

（1）操作判断
操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．
根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．
（2）迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．
①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；
②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．
（3）拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．
【答案】（1）或或或
（2）①15，15；②，理由见解析
（3）cm或
【小问1详解】
解：
，sin∠BME=
【小问2详解】
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°
由折叠性质得：AB=BM，∠PMB=∠BMQ=∠A=90°
∴BM=BC
①
∴
②
小问3详解】
当点Q在点F的下方时，如图，
，DQ=DF+FQ=4+1=5(cm)
由（2）可知，
设
，
即
解得：
∴；
当点Q在点F的上方时，如图，
cm，DQ =3cm，
由（2）可知，
设
，
即
解得：
∴．
4. （2021·河南·统考中考真题）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．
任务：

(1)小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是______ (填序号)．
①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL
(2)小军作图得到的射线0P是∠AOB的平分线吗？请判断并说明理由．
(3)如图3，已知∠AOB=60°，点E，F分别在射线OA，OB上，且OE=OF=3+1.点C，D分别为射线OA，OB上的动点，且OC=OD，连接DE，CF，交点为P，当∠CPE=30°时，直接写出线段OC的长．
【答案】⑤
【解析】解：(1)如图1，由作图得，OC=OD，OE=OF，PG垂直平分CE，PH垂直平分DF，
∴∠PGO=∠PHO=90°，
∵OE-OC=OF-OD，
∴CE=DF，
∵CG=12CE，DH=12DF，
∴CG=DH，
∴OC+DG=OD+DH，
∴OG=OH，
∵OP=OP，
∴Rt△PGO≌Rt△PHO(HL)，
故答案为：⑤．
(2)射线OP是∠AOB的平分线，理由如下：
如图2，∵OC=OD，∠DOE=∠COF，OE=OF，
∴△DOE≌△COF(SAS)，
∴∠PEC=∠PFD，
∵∠CPE=∠CPF，CE=DF，
∴△CPE≌△DPF(AAS)，
∴PE=PF，
∵OE=OF，∠PEO=∠PFO，PE=PF，
∴△OPE≌△OPF(SAS)，
∴∠POE=∠POF，即∠POA=∠POB，
∴OP是∠AOB的平分线．
(3)如图3，OCOE，连接OP，作PM⊥OA，则∠PMO=∠PMC=90°，
同理可得，∠POE=∠POF=12∠AOB=30°，∠OEP=∠OPE=75°，∠OPM=60°，∠MPC=∠MCP=45°，
∴OE=OP=3+1，
∵MC=MP=12OP=12OE=3+12，
∴OM=MP⋅tan60°=3+12×3=3+32，
∴OC=OM+MC=3+32+3+12=2+3．
综上所述，OC的长为2或2+3．
5. （2020·河南·统考中考真题）将正方形的边绕点逆时针旋转至 ，记旋转角为．连接，过点作垂直于直线，垂足为点，连接，
如图1，当时，的形状为 ，连接，可求出的值为 ；

当且时，
①中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
②当以点为顶点四边形是平行四边形时，请直接写出的值．

【答案】（1）等腰直角三角形，；（2）①结论不变，理由见解析；②3或1．
【详解】（1）由题知°，°，
∴°，且为等边三角形
∴°，
∴
∵
∴°
∴°
∴为等腰直角三角形
连接BD，如图所示
∵°
∴即
∵
∴
∴
故答案为：等腰直角三角形，
（2）①两个结论仍然成立
连接BD，如图所示：
∵，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∵四边形为正方形
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴结论不变，依然成立
②若以点为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况讨论
第一种：以CD为边时，则，此时点在线段BA的延长线上，
如图所示：
此时点E与点A重合，
∴，得；
②当以CD为对角线时，如图所示：
此时点F为CD中点，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
综上：的值为3或1．
一、解答题
1．（2024·河南周口·二模）在和中，，，，D是的中点，连接，点E在线段上移动（不与点D重合），连接，始终在的右侧．
(1)发现问题
如图1，当点E与点A重合时，________，________．
(2)探究问题
如图2，当E是上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
(3)解决问题
当时，请直接写出的值．
【答案】(1)；
(2)当为上任意一点，（1）中的结论仍然成立，理由见解析
(3)或2
【详解】（1）解：根据题意，，，
且，
可知，均为等腰直角三角形，
当在点时，，，
∴，
∴，
∵D是中点，，
，即，，
∴，
∵，
∴
∴，
即为等腰直角三角形，
可得，，
，
故答案为：，．
（2）解：当为上任意一点，但不包括点，点，
则有，
在中，，
，
在中，，，
在，中，存在，
∵，
∴
，
，，
，
，成立，
当点为点时，同（1），有，，成立．
综上，当E是上任意一点时，（1）中的结论仍然成立．
（3）解：当在上时，如图，
由（2）知，
，
，
∵当时，
∴，
，
当在上时，如图，
同理可得，，
，
综上，当时，或2．
2．（2024·河南濮阳·三模）发现问题
（1）已知，如图①，在四边形中，E在上，，，若，，则 ．
探究问题
（2）如图②，已知长方形的周长为36，，点E为边上一点，分别交于点G，交于点F，且，求四边形的面积．
解决问题
（3）如图③，中，，，，，以为边在其左上方作正方形，垂直于延长线于点D，连接，M、N分别为上两动点，连接，，，当的值最小时，求多边形的面积．（注：四边相等，四个角是直角的四边形是正方形，正方形是轴对称图形，对角线是其一条对称轴）
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】解：（1）∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：7；
（2）∵长方形的周长为36，，
∴，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
即四边形的面积为48；
（3）连接FN，如图，
由题意知B、F关于对称，
∴，
∴，
当F、M、N在同一直线上等号成立，且当时，FN最小，此时四边形是矩形，，，
∵，，
由（2）可知，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
则，，
即当最小时，多边形的面积为：，
∴多边形的面积为144．
3．（2024·河南开封·二模）在等腰中，，，是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接．

(1)如图1，当点落在边的延长线上时，连接，，求；
(2)如图2，取的中点，连接，，求证：；
(3)如图3，当时，点是直线上一动点，连接，将沿着翻折得到，连接、，若，请直接写出的最小值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）解：延长交于，如图1所示：
，，
，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：延长到，使，连接，，如图2所示：
点是的中点，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
；
（3）解：，，
，
，，
，
，
，
，
，，
在上取一点，使，连接，如图3所示：
将沿着翻折得到，
，
，
，
又，
，
，
，
，
当点，点，点三点共线时，有最小值为的长，
，
，
，
的最小值为．
4．（2024·河南鹤壁·三模）如图，将正方形放在平面直角坐标系中，顶点为原点，顶点，分别在轴和轴上，点坐标为，动点在边上（不与端点重合），将沿翻折，点的对称点为点．

(1)如图①，当平分时，的度数为______；
(2)如图②，过点作轴交于点，交于点．当为等腰直角三角形时，求点的坐标；
(3)如图③，延长交于点，当点在边上移动时，的周长是否发生变化？如果是，请求出变化范围，如果不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不变，见解析
【详解】（1）解：由折叠的性质可知，，，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵轴，为等腰直角三角形，
∴，
∴，
如图②，连接，

∵正方形，点坐标为，
∴，，
∴三点共线，
∴是等腰直角三角形，
设，则，，
由勾股定理得，，即，解得，
∴；
（3）解：不变，理由如下：
如图③，连接，

由折叠、正方形的性质可知，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的周长不变．
5．（2024·河南开封·一模）如图，在矩形中，，点是对角线上一点，，延长交于点，过点作，交于点，交于点，点是的中点，连接．
(1)问题提出：
①如图1，若，则______，______；
②如图2，若，求和的长度．
(2)推广应用：若，请直接写出和的长．（用已知数或含的式子表示）
【答案】(1)①，；②，
(2)，
【详解】（1）解：①，点是的中点，，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵AB∥CD，
，
，
，
，
，即；
②同理①，
同理①得：，
，
，
，
，
，
，
，
矩形中，，
；
（2）解：同理（1）得，，
，
，
，
，
，
，
，
矩形中，，
．
6．（2024·河南商丘·三模）如图1，点O是的对角线，的交点，过点O作，，垂足分别为H，M，若，我们称是的中心距比．
(1)如图2，当，求证：是菱形；
(2)如图3，当，且，求的值；
(3)如图4，在中，，，动点P从点B出发．沿线段向终点运动，动点Q自C出发，沿线段向终点A运动，P、Q两点同时出发，运动速度均为每秒1个单位，连结，以、为邻边作，若的中心距比．求点P的运动时间．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)秒
【详解】（1）证明：，
．
，，垂足分别为，，
，
四边形是平行四边形，
．
．
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形；
（2）解：由题意得：四边形是矩形，
∴，
，，垂足分别为，，
，
四边形是矩形，
，
，交于点，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，垂足分别为，
，
设，则由勾股定理得，
；
（3）解：设的对角线交点为，过作交于，过作交于，
设运动时间为秒，由题意得：，，，，
在中，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
化简得：，
，舍，
点运动时间为秒，
故答案为：．
7．（2024·河南南阳·三模）综合与实践：折纸中的数学
折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都是广为流传的，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从矩形纸片开始，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关矩形纸片的折叠问题，看看折叠矩形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识．
(1)折纸1：如图1，在一张矩形纸片上任意画一条线段AB，将纸片沿线段AB折叠（如图2）
问题1：重叠部分的的形状______（是、不是）等腰三角形．
问题2：若，，则重叠部分的面积为______
(2)折纸2：如图3，矩形纸片，点为边CD上一点，将沿着直线折叠，使点的对应点落在边AD上，请仅用无刻度的尺子和圆规在图中找出点的位置（保留作图痕迹，不写作法）．
(3)折纸3：如图4，矩形纸片，，，若点为射线上一点，将沿着直线折叠，折叠后点的对应点为，当点恰好落在的垂直平分线上时，求BM的长．
【答案】(1)是；
(2)见解析
(3)或15
【详解】（1）问题1：如图②，设点M是纸片下边上的点，
∵纸片为矩形，则，
∴，
由折叠的性质知，，
∴，
∴的形状为等腰三角形，
故答案为：是；
问题2：过点作于点，
则，
则，
则的面积
故答案为：；
（2）以点为圆心，以长度为半径作圆交AD于点，作的角平分线，交CD于点，作图过程如下：
（3）当点落在矩形内部时，如图，过点作于点，交AD
由题意得：，
点恰好落在的垂直平分线上，故，
在中，，
，，则，则，
则，
，，
，
在中，，
解得：，．
当点落在矩形外部时，如图，
，，则，则，
则，
，，
，
在中，，
解得：，则．
故BM的长为或．
8．（2024·河南安阳·一模）随着教育教学改革的不断深入，数学教学如何改革和发展，如何从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展，是一个值得思考的问题．从数学的产生和发展历程来看分析，不外乎就是三个环节：【观察猜想】-【探究证明】-【拓展延伸】．下面同学们从这三个方面试看解决下列问题：
已知：如图1所示将一块等腰三角板放置与正方形的重含，连接、，E是的中点，连接．
【观察猜想】
（1）与的数量关系是________，与的位置关系是___________；
【探究证明】
（2）如图2所示，把三角板绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段与的关系是否仍然成立，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）若旋转角，且，求的值．
【答案】（1）CM=2BE，CM⊥BE；（2）成立，理由见解析；（3）
【详解】解：（1）设交于点，
为等腰直角三角形，
，
，，
，
，，
点是的中点，则，即，
，
，
即，
故答案为：，CM⊥BE；
（2），，仍然成立．
如图所示，延长至使，连接，
，，
，
，，
，，
，
而，
，
，，
，
，，
，
，
；
（3）由得，
，则，
由（2）知，，
，
过点作于点，设，则，，
，
．
9．（2024·河南信阳·二模）（1）如图①，四边形是矩形，点E是左侧一点，作点E关于 的对称点F，作点 F 关于 的对称点 G，连接、、，且 请你判断点 A、点E、点 G是否共线？回答： ；（填：“共线”或“不共线”）
（2）如图②，四边形是矩形， 点E 是左侧一点，作点 E关于 对称的点 F，作点 F 关于的对称点G，连接、、、、、，交于点H，且
①当的度数为多少时， ？请说明理由；
②当的度数为多少时， 是直角三角形？请说明理由；
（3）如图③，矩形是 的对角线， 直线经过点B，且点E 是直线上一动点，作点 E关于 的对称点 F，作点 F 关于的对称点G，连接、．当为等腰三角形时，请直接写出∠EAC的度数．
【答案】（1）共线
（2）①当时，，理由见解析
②当时，是直角三角形，理由见解析
（3）或
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴；
根据折叠的性质，得，
∵，
∴，
∴，
∴点 A、点E、点 G三点共线，
故答案为：共线．
（2）解：① 根据折叠的性质，得，
∴，
根据（1）得，点 A、点E、点 G三点共线，
∴，
∴即∠EFG=90°，
∵，
∴，
设与的交点为M，根据折叠，得到，
∴．
②根据折叠的性质，得，，
∴都是锐角，
∴，
∵
∴，
∴，，
根据（1）得到，
∴．
（3）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵
∴
∴，
∴，
∴∠ACB=30°，
∵
∴，
∴，
根据对称的性质，得，
∵，
∴，
∴，
∴点 B、点E、点 G三点共线，
∴，
当点E在射线上时，
∵为等腰三角形，
∴为等边三角形，
∴，
根据折叠的性质，得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
当点E在射线上时，
根据折叠的性质，得，
∵为等腰三角形，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
综上所述，或．
10．（2024·河南信阳·二模）类比和转化思想常常可以为我们的数学解题提供助力．下面题目是一次综合复习课上老师给出的问题，请你注意数学思想的使用，完成下列问题．
如图，边长为6的等边内有一点，．
(1)如图①，若，求的长；
(2)如图②，若，过作的平行线交的两边为，，求的长；
(3)如图③，若，过作的平行线交的两边为，，求的长．
【答案】(1)BM=23
(2)
(3)
【详解】（1）连接并延长，交于点，
与均为等腰三角形，
，．
为的垂直平分线．
即，．
如图，，
，
在中，．
为等边三角形，，
．
，．
（2）如图，，，
在中，，
．
在中，
，，
，
．
在与中，
，
，
．
（3）如图，，
，，
与均为等边三角形，
，
，
为的垂直平分线，
为等腰三角形，，
在中，，，
．
在中，，
，
．
又三角形为等边三角形，
．
11．（2024·河南周口·一模）综合与实践
下面是某数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务．
题目背景：在中，，，点在上．

(1)【作图探讨】如图1，以为圆心，为半径画弧，为圆心，为半径画弧；两弧交于点，连接，；则．
选择填空：得出的依据是______（填序号）．
① ② ③ ④
(2)【测量发现】如图2，在（1）中的条件下，连接．兴趣小组用几何画板测量发现和的面积相等．为了证明结论，尝试延长线段至点，使，连接，从而得以证明．请完成证明过程．
(3)【迁移应用】如图3，，，点在上，，，在射线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①
(2)见解析
(3)存在，的长为3+3或
【详解】（1）由作图可得：，
又∵，
∴（），
故答案为：①；
（2）证明：延长线段至点，使，连接，则，

则是的中线，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，即．
在和中，，
∴．
∴，
∴．
（3）存在，的长为3+3或．
过点作交于点，于点，连接并延长交于点，

由（2）可知．
∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
由对称性，当时，，
∴，此时．
12．（2024·河南驻马店·三模）在数学活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究与角的度数、线段长度有关的问题．对直角三角形纸片进行如下操作：

【初步探究】如图1，折叠三角形纸片，使点C与点A重合，得到折痕，然后展开铺平，则与位置关系为_______，与的数量关系为_______；
【再次探究】如图2，将绕点C顺时针旋转得到，连接，若，求的值；
【拓展提升】在（2）的条件下，在顺时针旋转一周的过程中，当时，求的长．
【答案】（1）；（2）；（3）或
【详解】解：（1）∵折叠三角形纸片，使点C与点A重合，得到折痕，
∴点A与点C关于对称，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）在中，由勾股定理得，
由（1）可得，
∴，
由旋转的性质可得，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）如图3-1所示，当时，延长交于T，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，
在中，由勾股定理得：；

如图3-2所示，当时，过点M作于H，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，

综上所述，的长为或．
13．（2024·河南安阳·一模）如图，为等腰直角三角形，其中．，在射线AB取点D，使得，以AD为斜边在右边构造等腰直角三角形．将绕点A逆时针旋转．
(1)求证：；
(2)在旋转的过程中，与边交于F，G两点，请问的值是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，说明理由；
(3)以为直角边在右上方构造直角三角形，其中，过点M作的垂线交的延长线于点N，发现在旋转的过程中，当点D落在上时，点E恰好落在上，此时停止旋转．求此时的长．
【答案】(1)见解析
(2)是，定值是8
(3)2
【详解】（1）证明：∵．

∵，
∴，
∴；
（2）解：在（1）中，，
∴在图2中，，
∴，

又
即为定值；
（3）如图．连接．
∵，
∴，则，
∴．
∵．

又

又，
∴．
∴，
．
14．（2024·河南南阳·一模）如图，
(1)如图①，等腰，，D为的中点，，将绕点D旋转，旋转过程中，的两边分别与线段、线段交于点E、F（点F与点B、C不重合），写出线段之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图②，等腰，∠ACB=120°，D为的中点，，将绕点D旋转，旋转过程中，的两边分别与线段、线段交于点E、F（点F与点B、C不重合），直接写出线段之间的数量关系为 ；
(3)如图③，在四边形中，平分，，，过点A作，交的延长线于点E，若，，则的长为 ．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
(3)10
【详解】（1）解：．证明如下：
∵等腰中，，D为的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：．证明如下：
取中点G，连接，
∵等腰中，∠ACB=120°，D为的中点，
∴，即，，
∵在中，点G是中点，∴，
∴是等边三角形，
∴，，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：延长交于点F，取G为的中点，如图，
∵，∴，
在中，点G是中点，
∴，
∵平分，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：10．
15．（2024·河南商丘·一模）综合实践课上，刘老师介绍了四点共圆的判定定理：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆．在实际应用中，如果运用这个定理，往往可以让复杂的问题简单化，以下是小明同学对一道四边形问题的分析，请帮助他补充完整．

特殊情况分析
(1)如图1，正方形中，点为对角线上一个动点，连接，将射线绕点顺时针旋转的度数，交直线于点．
小明的思考如下：
填空：①依据1应为___________，
②依据2应为___________，
③依据3应为___________；
一般结论探究
(2)将图1中的正方形改为菱形，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，若成立，请仅以图2的形式证明，若不成立，请说明理由；
结论拓展延伸
(3)如图2，若，，当为直角三角形时，请直接写出线段的长．
【答案】(1)两直线平行，内错角相等；同弧所对的圆周角相等；等角对等边
(2)成立，理由见解析
(3)或3
【详解】（1）解：由题意可知：
①两直线平行，内错角相等，
②同弧所对的圆周角相等，
③等角对等边，
故答案为：两直线平行，内错角相等；同弧所对的圆周角相等；等角对等边；
（2）解：（1）中结论仍然成立，
理由如下：连接DQ，如图1所示：

∵在菱形中，
∴，，
∵，
∴点共圆，
∴，，
∵为菱形的对角线，
∴，
∴，
∴；
（3）解：或3．
由于点为对角线上一个动点，分两类情况讨论如下：
①当时，如图2所示：

∵在菱形中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（2）中知点共圆，知，
，
∴，
∴，即，
∴在中，，则，
∴由（2）知；
②当时，如图3所示：

在菱形中，，则，
，
点与点重合，
由（2）可知，，
，
综上所述：或3．
16．（2024·河南郑州·一模）综合与实践
【问题情境】
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．
如图1，将：矩形纸片沿对角线剪开，得到和．并且量得，．
【操作发现】
（1）将图1中的以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转∠α，使，得到如图2所示的，过点C作的平行线，与的延长线交于点E，则四边形的形状是 ．
（2）创新小组将图1中的以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B、A、D三点在同一条直线上，得到如图3所示的，连接，取的中点F，连接并延长至点G，使，连接、，得到四边形，请你判断四边形的形状，并证明你的结论．
【实践探究】
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将沿着方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至点，与相交于点H，如图4所示，连接，试求的值．
【答案】（1）菱形；（2）四边形是正方形，证明见解析；（3）
【详解】解：（1）在图1中，
∵是矩形的对角线，
∴，，
∴，
在图2中，由旋转知，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴是菱形，
故答案为：菱形；
（2）四边形是正方形，证明如下：
在图1中，∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
∴，
在图3中，由旋转知，，
∴，
∴，
∵点D，A，B在同一条直线上，
∴，
由旋转知，，
∵点F是的中点，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是菱形，
又∵，
∴菱形是正方形；
（3）在中，，，
∴，
∴，，
∴∠ACB=30°，
由（2）结合平移知，，
在中，∠ACB=30°，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，．
17．（2024·河南焦作·一模）在综合实践课上，老师设计下面问题，请你解答．
(1)观察发现
如图1，在平面直角坐标系中，过点作轴的对称点，再分别作点关于直线和轴的对称点，则点可以看作是点绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为___________；点可以看作是点关于点___________的对称点．
(2)探究迁移
如图2，正方形中，为直线下方一点，作点关于直线的对称点，再分别作关于直线和直线的对称点和P3，连接，，请仅就图2的情况解决以下问题：
①请判断的度数，并说明理由；
②若，求两点间的距离．
(3)拓展应用
在（2）的条件下，若，请直接写出的长．
【答案】(1)
(2)①90°，见解析；②
(3)或3+1
【详解】（1）解：连接，
∵，
∴，
∴，
∴点可以看作是点绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为，
∵，共线，
∴点可以看作是点关于点的对称点，
故答案为：；
（2）①解：连接
由对称性可得：，
∴；
②由（1）可知：共线，
∴
∵，
∴；
（3）解：①当点P在正方形外部时，连接，过点作，则，，
∴，
∴，
∴；
②当点P在正方形内部时，连接，过点作，则
，，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述：或
18．（2024·河南焦作·二模）综合与实践
【问题发现】
在学习了“特殊的四边形”后，数学兴趣小组的同学发现了这样一个问题：
如图1，已知正方形为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．
通过观察图形，数学兴趣小组的同学进行了如下猜想：
猜想①：；
猜想②：；
猜想③：点在上运动的过程中，四边形的面积不变．
根据上述猜想，兴趣小组的同学进行了证明，过程如下：
四边形是正方形，
，
，
，即．
．
．
又，
．
（依据：________）．
……
（1）上述证明过程中的依据是________，上述猜想中正确的有________（填序号）．
【类比探究】
（2）兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究．
如图，已知矩形，，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．
①请判断线段与CF的数量关系，并说明理由．
②点在上运动时，四边形的面积是否改变？________．（填“不变”或“改变”）
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，若，点在上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长．
【答案】（1）（或“两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等）；①②③；（2）①，理由见解析；②改变；（3）2或
【详解】解： （1）四边形是正方形，
，，，
，
，
即，
，
，
，
又，
，
，
上述证明过程中的依据是
，，
猜想①、猜想②正确．
，
．
．
点在上运动的过程中，四边形的面积不变．
猜想③正确．
故答案为：ASA；①②③；
（2）①．
理由如下：四边形是矩形，
．
，
．
，
，即．
．
，
．
又，
．
．
．
．
②改变．
由（2），可知，且相似比为，
．
．
点在上运动时，四边形的面积改变．
（3）2或．
分两种情况讨论．①当四边形关于所在直线对称时，如图，此时交于点，
，
，
，
，
，
∵AB=6，，
，
，
，
∴
．
②当四边形为矩形时，
如解图2所示，此时．
综上所述，线段的长为2或．
19．（2024·河南信阳·一模）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．
(1)问题背景
如图1，正方形中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点A落在点处，当时， ；
如图2，连接，当点恰好落在上时，其他条件不变，则 ；
(2)探究迁移
如图3，在（1）的条件下，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，请写出与之间的数量关系式（用含的式子表示），并说明理由；
(3)拓展应用
如图4，在（1）的条件下，若把正方形改成菱形，且，，其他条件不变，当时，请直接写出的长．
【答案】(1)，2
(2)，理由见详解
(3)
【详解】（1）解：（1），
，
，，
由翻折的性质可知，，
，
，
又，
，
又，
，
，
由翻折的性质可知，，，
，
，
四边形为正方形，
，
，
，，
，
，
，
，即，
故答案为：，2；
（2），理由如下：
由（1）可知，，，
，
；
（3）过作，交延长线于，作的平分线，交于，如图，
，
，，，
，
又，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
设，
四边形为菱形，
，
，
，
，，
，，
由勾股定理可得：，
，
解得：，即的长为．
20．（2024·河南郑州·二模）综合与实践
【问题情境】
如图，小颖将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点落在射线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，．
【活动猜想】
（1）如图，当点与点重合时，请直接写出四边形BEDF是哪种特殊的四边形？
答：______．
【问题解决】
（2）在矩形纸片中，若边，．
请判断与对角线的位置关系并仅就图给出证明；
当时，请直接写出此时的长度．
【答案】（1）菱形；（2），证明见解析；或
【详解】解：（1）如图2，由折叠得点与点关于直线对称，
直线垂直平分，
点与点重合，
直线垂直平分，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
四边形BEDF是菱形，
故答案为：菱形．
（2）①，
证明：，，，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
．
②的长度为或，
理由：如图3，点在线段上，设交于点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图4，点在线段的延长线上，延长、交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，的长度为或．
21．（2024·河南新郑·一模）【操作与发现】
如图①，在正方形中，点N，M分别在边上．连接、．，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到．易证：，从而可得：．
(1)【实践探究】在图①条件下，若，则正方形的边长是 ．
(2)如图②，在正方形中，点M、N分别在边上，连接、．，，若，求证：M是的中点．
(3)【拓展】如图③，在矩形中，点M、N分别在边上，连接，已知，，则的长是 ．
【答案】(1)12
(2)见解析
(3)8
【详解】（1）解：四边形是正方形，
，
由旋转的性质得：，
，
，
即，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
则，
设正方形的边长为x，则，
，
解得：，
即正方形的边长是12；
故答案为：12；
（2）证明：设，
由（1）可知，，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
整理得：，
，
，
即M是的中点；
（3）解：延长至P，使，过P作的平行线交的延长线于Q，延长交于E，连接，如图③所示：
则四边形是正方形，
，
设，则，
，
，
，
，
，
由（1）得：，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即的长是8；
故答案为：8.
22．（2024·河南新乡·一模）（1）创设情境
如图1，在正方形中，，E为线段上一动点，将沿翻折，得到，若的延长线恰好经过点C，则___________．
（2）发现问题
如图2，在矩形中，E为线段上一动点，设，将沿翻折，得到，延长交CD于点F，若，试说明点E是的中点．
（3）问题解决
如图3，在中，，，，E为直线上一动点，设，将沿翻折，得到，在的延长线上找一点F，使得，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出点F到直线的距离．
【答案】（1）2（2）见解析（3）点F到直线的距离为或或16
【详解】解：（1）四边形是正方形，，
，，
沿翻折，得到，的延长线恰好经过点C，
，
，
，
设，则，
，
，
解得：，
，
故答案为：2；
（2）如图1，连接，
由折叠的性质，知，
又，
，
，
，
，
由折叠的性质，知，
，
，
，
，
，即点E是的中点；
（3）①如图2，当点E在线段上时，过点，点F分别作，的平行线，交于点H，HF的延长线交于点G，连接，
由（2）中推论得到点E是的中点；
，，，
设，则，
，
在中，，
，
解得：，
，则，，
，
，
由（2）知∠AEF=90°，
，
，
，
，
由折叠的性质得：，
，
，
在中，，
点F到直线的距离为；
②如图3，当点E在延长线上时，过点F作垂足为G，
，
，
，
由（2）知∠AEF=90°，
，
，
，
，
，
又，
，
，
是的角平分线，
，
，
，即，
，
点F到直线的距离为；
③如图4，当点E在延长线上时，过点F作垂足为G，
同理得：是的角平分线，
，
，
，，
，
，即，
，
点F到直线的距离为；
综上，点F到直线的距离为或或16．
23．（2024·河南商丘·一模）张老师在讲“图形的对称”时，进行了如下教学设计．
【观察发现】
（1）如图1，在平面直角坐标系中，的顶点与坐标原点重合，点在轴的正半轴上，点均在第一象限，，分别作点关于轴，轴的对称点，连接，则可看作是由绕点顺时针旋转______得到的；______．
【迁移探究】
（2）在中，边上的高，求的长．
①小明利用（1）中的方法解决此问题，过程如下：
根据要求作出，如图2所示，再分别作关于的对称线段，连接并延长交于点，请补全图形并求出的长．
②小明发现根据要求还可以作出钝角三角形，如图3所示，请直接写出此时的长．
【拓展应用】
（3）在中，边上的高，请直接写出的长．
【答案】（1）180，4；（2）①补全图形见解析，；②的长为；（3）的长为或
【详解】解：（1）如图1所示；
可看作是由绕点O顺时针旋转得到的；，
故答案为：180，4；
（2）①补全图形如图2所示，
∵关于，的对称线段，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∵，
∴2，
由轴对称的性质得，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②如图3，分别作关于，的对称线段，连接并延长交于点D，
由①知四边形是正方形，，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长为；
（3）①当是锐角三角形时，如图4，
分别作关于，的对称线段，连接并延长交于点D，
∴，
连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
过B作于H，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴AC=1，
∴3，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，3，
∴
∴；
②当是钝角三角形时，同①作辅助线，如图5，
连接，过B作交的延长线于H，
同理可得，，
设，则，x，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
综上所述，的长为或．
24．（2024·河南新密·一模）综合与实践——探究平行四边形折叠中的数学问题
问题情境：
已知中，为锐角，，点分别是边的中点，点分别是边上的点，分别沿和折叠，点的对应点分别为点，．
操作分析：
（1）如图1，点与点重合，点与点重合．
①四边形 平行四边形（填“是”或“不是”）．
②当满足某个条件时，四边形能成为矩形．这个条件可以是 ．
（2）点，均落在内部（含边界），连接，，若，则四边形是平行四边形吗?若是，请就图（2）进行证明；若不是，请说明理由．
拓展探究：
（3）在（2）的条件下，若，，且与的一边平行，则此时四边形的面积为 ．
【答案】（1）①是；②（答案不唯一，正确即可）；（2）是，证明见解析；（3）或
【详解】解析：（1）四边形是平行四边形，
，，，
如图(1)，由折叠可知，，，
，
，即，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
②四边形是矩形，
，
，
又由折叠可知，，
．
（2）四边形是平行四边形，
证明：如图(2)，连接，
四边形是平行四边形，
，，，
点分别是的中点，
，，
，
，
，
，
由折叠可知，，，，，
，．
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
（3）当时，如图(3)，点落在上，，则，
．
当时，如图(4)，则，
，
从而易得，，，均是等边三角形，，，
．
综上可知，四边形的面积为或．
25．（2024·河南漯河·一模）【问题提出】如图1，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．
【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．
（1）如图2，连接，由于，所以可将绕点D顺时针方向旋转，得到，则的形状是________；
（2）在（1）的基础上，求四边形的面积；
（3）如图3，等边的边长为2，是顶角为的等腰三角形，以D为顶点作一个的角，角的两边分别交于点M，交于点N，连接，求的周长．
【答案】（1）等边三角形；（2）；（3）的周长为4
【详解】解：（1）绕点D顺时针方向旋转，得到，
故，
则的形状是等边三角形；
故答案为：等边三角形；
（2）过作于E，
由（1）知，，
∴，
∴，
由（1）知为等边三角形，
∴，
∵四边形的面积=等边三角形的面积，
∴，
∴；
（3）解：将绕点D顺时针方向旋转，得到，
∴，
∴，，，，
∵是等腰三角形，且，
∴，，
又∵等边三角形，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
∴N，C，P三点共线，
∵，
∴，
即，
在和中，
∴，
∴，
∴的周长．
故的周长为4．
26．（2024·河南驻马店·一模）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“等边三角形”为主题开展数学活动．
(1)问题发现
如图1，点P，Q分别是等边边，上的中点，连接，交于点M．
请直接写出的度数为______；
(2)类比探究
如图2，小琦将点P，Q移动到，其他位置时，继续探究：
点P，Q分别是边，上的任意一点，且保持，那么的大小变化吗？
若变化，请说明理由，若不变，请求出它的度数；
(3)拓展应用
如图3，点P，Q分别是在射线，上运动，且保持，直线，交于点M，连接．已知等边三角形的边长为a，请直接写出长的最小值和最大值．
【答案】(1)
(2)不变， 理由见详解
(3)长的最小值为，最大值为
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∵是的中点，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）解：不变， 理由如下：
∵在等边中，，
又由条件得．
，
，
；
（3）解：根据第（1）和（2）问的探究可知， 当点继续在射线上运动时，的大小始终不变，
即的大小始终不变，
因此点的运动轨迹是过点三点的圆，
连接，连接并延长交于 ，交于，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
故当圆心和点在一条直线上时， 且当点在圆心和点之间时， 即M1时，有最小值，
此时；
当圆心点和点之间时， 即M2时，有最大值，
此时．
小明：如图1，(1)分别在射线OA，OB上截取OC=OD，OE=OF(点C，E不重合)；(2)分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H；(3)作射线OP，射线即为∠AOB的平分线．
简述理由如下：
由作图知，∠PGO=∠PHO=90°，OG=OH，OP=OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，则∠POG=∠POH，即射线OP是∠AOB的平分线．
小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，(1)分别在射线OA，OB上截取OC=OD，OE=OF(点C，E不重合)；(2)连接DE，CF，交点为P；(3)作射线OP.射线OP即为∠AOB的平分线．
……
连接，
∵，，
∴，（依据1）
∵，
∴，
∴点共圆，
∴，，（依据2）
∴，
∴．（依据3）