专题19 规律探索与逻辑推理-5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（河南专用）

这是一份专题19 规律探索与逻辑推理-5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（河南专用），文件包含专题19规律探索与逻辑推理原卷版docx、专题19规律探索与逻辑推理解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共41页， 欢迎下载使用。
1. （2022·河南·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】解：正六边形ABCDEF边长为2，中心与原点O重合，轴，
∴AP＝1， AO＝2，∠OPA＝90°，
∴OP＝＝，
∴A（1，），
第1次旋转结束时，点A的坐标为（，-1）；
第2次旋转结束时，点A的坐标为（-1，）；
第3次旋转结束时，点A的坐标为（，1）；
第4次旋转结束时，点A的坐标为（1，）；
∵将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
∴4次一个循环，
∵2022÷4＝505……2，
∴经过第2022次旋转后，点A的坐标为（-1，），
故选：B
2. （2020·河南·统考中考真题）7. 定义运算：．例如．则方程的根的情况为（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根D. 只有一个实数根
【答案】A
【详解】解：根据定义得：

＞
原方程有两个不相等的实数根，
故选
一、单选题
1．（2024·河南信阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，．把一条长为2024个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按的规律绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：∵，
∴，
∴绕四边形一周的细线长度为，
∵，
∴细线另一端在绕四边形第202圈的第4个单位长度的位置，
即从点B 向下沿移动2个单位所在的点的坐标即为所求，也就是点．
故选：D．
2．（2024·河南驻马店·二模）观察下列算式：，，，，，，，，用你所发现的规律得出的末位数字是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】A
【详解】解：∵，，，，，，，，
∴的末位数字是按2，4，8，6的顺序循环出现的．
∴，
故的末位数字是2，
故选：A．
3．（2024·河南新乡·二模）如图，在平面直角坐标系中，一动点自处向上运动个单位长度至点，然后向左运动个单位长度至点处，再向下运动个单位长度至点处，再向右运动个单位长度至点处，…，按如此规律继续运动下去，当这点运动至处时，点的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】解：，则在第四象限，
由题意，第四象限的点为，，，，，
．
故选：C．
4．（2024·河南周口·二模）按一定规律排列的单项式：x，，，，，，第n个单项式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：单项式的系数分别是，
次数的规律是从1开始的连续的奇数，即，
第个单项式是：，
故选：B．
5．（2024·河南南阳·二模）“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”在如图的三角形中，一条中线将一个三角形分为面积相等的两部分，在此基础上再作一条中线，可得到原三角形一半面积的一半，即，已知，根据这个几何图形的规律求得…的值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【详解】结合图形可知：
，
，
，
……
，
则：
故选：B．
6．（2024·河南驻马店·一模）如图，，直线a，b被直线c所截，、分别平分、交于点，得；、分别平分，交于点，得；、分别平分、交于点，得，…，依次规律，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：由题意，，，
∴，
∴；
故选C．
7．（2024·河南濮阳·二模）将正整数的算术平方根按如图所示的规律排列下去．若用有序实数对表示第排，从左到右第个数，如表示实数，则表示的实数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：第一排最后一个数为，
第二排最后一个数为，
第三排最后一个数为，
第四排最后一个数为，
……，
以此类推，可知第n排的最后的数为
∴第7排最后的数为：，
∴第8排第5个数为，
∴表示的实数是．
故选：C
8．（2024·河南许昌·一模）如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3米到达点，再向正北方向走6米到达点，再向正西方向走9米到达点，再向正南方向走12米到达点，再向正东方向走15米到达点，按如此规律走下去，当机器人走到点时，则的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】解：由题知，
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
，
由此可见，点的坐标为，为正整数）．
当时，
则的坐标为．
故选：B．
9．（2024·河南新郑·三模）如图，在平面直角坐标系中，一巡查机器人接到指令，从原点出发，沿着路线移动，每次移动个单位长度，依次得到根据这个规律，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：根据图形发现，点的运动呈规律排列，个点为一个周期，一周期横坐标增加，
∴，
∴所以点的横坐标为，
则点的纵坐标与的纵坐标是相同的，
由图易知，点的纵坐标为，即点的纵坐标为，
点的坐标为，
故选：．
10．（2024·河南鹤壁·一模）如图1，，，，以这个直角三角形两直角边为边作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，…，按此规律，则图6中所有正方形的面积和为（ ）
A．200B．175C．150D．125
【答案】B
【详解】解：∵，，，
∴，
图1中所有正方形面积和为：，
图2中所有正方形面积和，，
图3中所有正方形面积和，
⋯
∴第n个图形中所有正方形的面积和为，
∴图6中所有正方形的面积和为：，故B正确．
故选：B．
11．（2024·河南安阳·二模）将一些相同“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个图中“○”的个数，则第8个图中“○”的个数是（ ）
A．45B．60C．65D．80
【答案】B
【详解】解：由所给图形可知，
第1个图中“O”的个数为：；
第2个图中“O”的个数为：；
第3个图中“O”的个数为：；
第4个图中“O”的个数为：；
…，
所以第n个图中“O”的个数为个，
当时，
（个），
即第8个图中“O”的个数为60个．
故选：B．
12．（2024·河南漯河·二模）如图，动点A在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点A的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：根据题意得：第1次从原点运动到点，
第2次接着运动到点，
第3次接着运动到点，
，
由此发现，第n次运动到点的横坐标为n，纵坐标2，0，3，0四个数一循环，
为奇数，，
∴经过第2025次运动后，动点的坐标是．
故选：C．
13．（2024·河南南阳·三模）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ）
A．20B．22C．24D．26
【答案】B
【详解】解：由图可得，
第1种如图①有4个氢原子，即
第2种如图②有6个氢原子，即
第3种如图③有8个氢原子，即
，
第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：；
故选：B．
14．（2024·河南平顶山·三模）一组图形按下列规律排序，其中第①个图形有3个星星，第②个图形有8个星星，第③个图形有个星星，，按此规律排列下去，则第⑧个图形的星星的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：第①个图形有个星星，
第②个图形有个星星，
第③个图形有个星星，
第④个图形有个星星，
∴第⑧个图形的星星的个数是，
故选：C．
15．（2024·河南周口·二模）数据，□，，，，…是按照一定规律有序排列的，则“□”里应填的数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】原数据为：，□，，，，…
∵原数据的分子部分都是质数，故所求的分子为，分母都是合数，分别为，，，，，则所求分母为，
∴□为
故选：A．
16．（2024·河南太康·二模）下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，第④个图中有9张黑色正方形纸片……，按此规律排列下去，则第2024个图中黑色正方形纸片的张数为（ ）
A．4027B．4047C．4048D．4049
【答案】D
【详解】解：由图可得：
第1个图中黑色正方形纸片的张数为，
第2个图中黑色正方形纸片的张数为，
第3个图中黑色正方形纸片的张数为，
第4个图中黑色正方形纸片的张数为，
…，
第个图中黑色正方形纸片的张数为，
第2024个图中黑色正方形纸片的张数为，
故答案为：D．
17．（2024·河南鹿邑·二模）如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形，边，分别在x轴、y轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，照此规律作下去，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：正方形的边长为1，
，
正方形的边是正方形的对角线，
，
的坐标为，
同理可知，
的坐标为，
同理可知，的坐标为，
的坐标为，的坐标为，
，，，，
由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，
，
的横坐标符号与相同，横纵坐标相同，且都在第一象限，
的坐标为．
故选：B．
18．（2024·河南新密·三模）下列图形都是由同样大小的“”按照一定规律所组成的，其中第①图形有1个“”，第②个图形有5个“”，第③个图形有11个“”，第④个图形有19个“” 按此规律排列下去，则第⑧个图形中“”的个数为（ ）
A．71B．72C．55D．56
【答案】A
【详解】解：由题可得：第①个图形中的基本图形的个数：
第②个图形中的基本图形的个数：
第③个图形中的基本图形的个数：
第④个图形中的基本图形的个数：
第个图形中的基本图形的个数：
第⑧个图形中的基本图形的个数：
故选：A．
19．（2024·河南平顶山·三模）如图，观察图形变化的规律，则第个图形中黑色正方形的数量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：∵当为偶数时，第个图形中黑色正方形的数量为个；
当为奇数时，第个图形中黑色正方形的数量为个；
∴当时，黑色正方形的个数为个，
故选：．
20．（2024·河南许昌·一模）在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点称为整数点，如图，一列有规律的整数点，其坐标依次为，，，，，，…，根据规律，第2024个整数点坐标为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：观察图中点的坐标可知，图中各点组成了正方形点阵，每个正方形点阵的整点数量依次为最右下角点横坐标的平方，且横坐标为奇数时，最后一个点在x轴上，
如：第个点的坐标为，
第个点的坐标为，
第个点的坐标为，
……
当为奇数时，第个点的坐标为，
当正方形最右下角点横坐标为偶数时，这个点可以看作按照运动方向离开x轴，
∵，为奇数，
∴第个点的坐标为，
∴退1个点，得到第个点是．
故选：B．
二、填空题
21．（2024·河南濮阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，过作轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为…按此规律，则线段的长度为 ．（，且为正整数）
【答案】
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，
设直线交轴于点，交轴于点，
当时，得：；当时，，解得：，
∴，，
∴，；
∴，
∴，
由解得，
∴
∵轴，
∴，
∵过作的平行线交于，
设直线的表达式为，过点，
∴，
解得：，
∴，
由解得，
∴，
∵轴，
∴，
设直线的表达式为，过点，
∴，
解得：，
∴，
由解得，
∴，
∵轴，
∴，
设直线的表达式为，过点，
∴，
解得：，
∴，
由解得，
∴，
∵轴，
∴，
……
∵，，，
∴轴，轴，轴，
∴，
，，，
∴，，，
按此规律，线段的长度为．
故答案为：．
22．（2024·河南洛阳·三模）如图，动点P在平面直角坐标系中，沿曲线的方向从左往右运动，第1秒从原点运动到点，第2秒运动到点，第3秒运动到点，第4秒运动到点…按这样的规律，第2024秒运动到点 ．
【答案】
【详解】解：分析图象可以发现，点的运动每4次位置循环一次．每循环一次向右移动四个单位．
，
当第2024秒点位置在，
故答案为：．
23．（2024·河南濮阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰，，直角边在轴上，且．将绕原点顺时针旋转得到等腰，且；再将绕原点顺时针旋转得到等腰，且；……依此规律，得到等腰，则点的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：∵是等腰直角三角形，，
，
，
将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，
再将绕原点顺时针旋转得到等腰三角形，且，依此规律，
∴每4次循环一周，．
，
∴点与同在一个象限内，
故答案为：．
24．（2024·河南项城·二模）用黑、白两种颜色的正六边形地砖按图所示规律铺地面，则第5个图形有 块白色地砖，第个图形有 块白色地砖．
【答案】 22
【详解】解：第1个图形有白色地砖6块，
第2个图形有白色地砖（块，
第3个图形有白色地砖（块，
第5个图形白色地砖的块数：（块，
第个图形白色地砖的块数：块，
答：第5个图形有22块白色地砖，第个图形有块白色地砖．
故答案为：22；．
25．（2024·河南淮阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，点在直线图象上，过点作y轴平行线，交直线于点，以线段为边在右侧作正方形，所在的直线交的图象于点，交的图象于点，再以线段为边在右侧作正方形依此类推．按照图中反映的规律，则点的坐标是 ．
【答案】
【详解】解：∵点，轴，
∴点的横坐标为1，
当时，，
∴点的坐标为，
∴，
∴正方形的边长为2，
∴，
∴点、的横坐标均为3，
∴，
∴，
∴正方形的边长为6，
同理：，
∴，
∴正方形的边长为18，
∴，
……，
由此发现，，
∴．
故答案为：
26．（2024·河南许昌·三模）如图， ，点在边上，且，过点作交于点，以为边在的右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交，于点，，以为边在的右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交，于点，，以为边在的右侧作等边三角形……按此规律进行下去，则线段的长为 ．
【答案】
【详解】解：∵，，，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
同上得，
∵，
∴，
同理可得，，
……
∴，
故答案为．
27．（2024·河南洛阳·三模）如图，正方形的边长为1，以为圆心，为半径作扇形，弧与相交于点，设，，围成阴影部分的面积为；然后以为对角线作正方形，又以为圆心，为半径作扇形，弧与相交于点，设，与围成阴影部分面积为；按此规律继续作下去，设，，围成阴影部分面积为，则 ．
【答案】
【详解】解：正方形的边长为1，
∴，，
以为圆心，为半径作扇形，
得到；
以为对角线作正方形，又以为圆心，为半径作扇形，
则，
得到；
依此类推得到，
得到，
故，
故．
故答案为：．
28．（2024·河南开封·三模）如图，观察给出的四个点阵，表示每个点阵中的点的个数，按照图形中点的个数的变化规律，猜想第个点阵中的点的个数为 ．

【答案】/
【详解】∵第1个点阵中的点的个数，
第2个点阵中的点的个数，
第3个点阵中的点的个数，
第4个点阵中的点的个数，
…
∴第个点阵中的点的个数．
故选答案为：．
29．（2024·河南太康·三模）如图，动点P按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的规律运动，则第2024次运动到点的坐标是 ．
【答案】
【详解】解：由图可知：动点的横坐标为，纵坐标以2，0，4，0四个为一周期循环，
，
第2024次运动到点，即：．
故答案为：．
三、解答题
30．（2024·河南濮阳·一模）观察下列等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3 个等式： ；
第4个等式： ；
解答下列问题：
(1)按规律填空： ．
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并加以证明．
【答案】(1)6
(2)第个等式为，证明见解析
【详解】（1）第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：，
可得，第5个等式：；
第6个等式：，
故答案为：6；
（2）由题意可猜想得，
第个等式为，
证明：
，
第个等式为．
31．（2024·河南洛阳·一模）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数相等．
(1)根据上面的规律不难发现，的展开式共有_______项，请你写出它的展开式_____________________________；
(2)的展开式共有_______项，系数和为_______；
(3)利用上面的规律计算：．
(4)运用：若今天是星期二，经过天后是星期_______．
【答案】(1)6，
(2)，
(3)1
(4)三
【详解】（1）解：根据上面规律，的展开式共有6项，
则；
（2）解：的展开式共有项，
系数和为，
系数和为，
系数和为，
故系数和为；
（3）解：根据规律可知：
；
（4）解：的最后一项是1，
的余数是1，
若今天是星期二，经过天后是星期三．
32．（2024·河南郑州·二模）将连续的奇数1，3，5，7，，排成如下的数表：十字框框出5个数和（如图所示），问：
(1)十字框框出5个数的和与框子正中间的数17有什么关系？
(2)若将十字框上下左右平移，可框住另外5个数，这5个数还有这种规律吗？
(3)若设中间的数为，用代数式表示十字框框住的5个数字之和；
(4)十字框框住的5个数之和能等于2000吗？能等于2055吗？若能，请分别写出十字框框住的5个数．
【答案】(1)十字框框住的5个数的和是17的5倍
(2)有，见解析
(3)
(4)不能等于2000，能等于2055；399、409、411、413、423
【详解】（1）解：，
十字框框住的5个数的和是17的5倍；
（2）解：如图所示：
，
若将十字框上下左右平移，可框住另外5个数，这5个数的和仍然是中间的数的5倍；
（3）解：若设中间的数为，则上面的为，下面的为，左面的为，右面的为，
；
（4）解：5个数之和不能等于2000，
当时，得，
不是奇数，
个数之和不能等于2000；
5个数之和能等于2055，
当时，得，
是奇数，
个数之和能等于2055，这5个数分别为399、409、411、413、423．