河南省新乡市辉县市2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版）

这是一份河南省新乡市辉县市2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版），共28页。试卷主要包含了本试卷分试题卷和答题卡两部分等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．试题卷共4页，三个大题，满分120分．
2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效．
3．答题前，考生务必将本人所在学校、姓名、考场、座号、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 若是无理数，则的值可以是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，则的值是（ ）
A B. C. D.
3. 实数有平方根，则可以取的值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
4. 已知(x+a)(x+b)=+mx+12，m、a、b都是整数，那么m的可能值的个数为( )
A. 4B. 5C. 6D. 8
5. 下列命题：①实数与数轴上的点是一一对应的；②平方根和立方根相等的数有和；③带根号的数是无理数；④无限小数都是无理数；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑥内错角相等．其中真命题的个数是（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
6. 某平板电脑支架如图所示，，．为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（ ）
A 增大B. 减小C. 增大D. 减小
7. 某中学开展以“杭州亚运会”为主题的学科活动，要求设计几何图形作品来表达对亚运会的祝福．小冬以长方形的四条为边分别向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若长方形的相邻两边之差为6，且四个正方形的面积和为100，则长方形的面积是（ ）
A 7B. 8C. 9D. 10
8. 小明在学完《全等三角形》这章后，自己进行小结．如图，他画图过程说明（ ）
A. 两个三角形的两条边和其中一边的对角对应相等，这两个三角形不一定全等
B. 两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等
C. 两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等
D. 两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等
9. 如图，是边长为4的等边三角形，点在上，过点作，垂足为，延长到点，使，连接交于点，则的长为（ ）
A. 1B. 1.8C. 2D. 2.5
10. 如图，在中，，，，的平分线交于点，且．将沿折叠使点与点恰好重合，①；②点到的距离为；③；④，以上结论正确的个数是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 请举反例说明命题“对于任意实数，一定大于”是假命题．你举的反例是______．（写出一个值即可）
12. 已知，，，则，，的大小关系是________．
13. 在一次七年级学生身高抽查中，个数据分别落在个小组内，第一、二、四组数据所占的百分比分别是、、，则第三组数据的频数是________．
14. 如图，正方形的四个顶点分别在四条互相平的直线，，，上，这四条直线中，相邻两条之间的距离依次为，，．若，，则正方形的面积等于__________．
15. 如图，在锐角中，＝＝，，的平分线交于点，点，分别是和上的动点，则的最小值是______．
三、解答题（本大题有8道小题，共75分）
16 （1）分解因式：；
（2）计算：．
17. 化简求值
，其中，．
18. 某校对七、八、九年级的学生进行体育水平测试，成绩评定为优秀、良好、合格、不合格四个等第．为了解这次测试情况，学校从三个年级随机抽取200名学生的体育成绩进行统计分析．相关数据的统计图、表如下：
根据以上信息解决下列问题：
（1）在统计表中，a的值为 ，b的值为 ；
（2）在扇形统计图中，八年级所对应的扇形圆心角为 度；
（3）若该校三个年级共有2000名学生参加考试，试估计该校学生体育成绩不合格的人数．
19. 如图，ABC中，∠ACB＞∠ABC．
（1）尺规作图：在∠ACB的内部作∠ACD，使∠ACD＝∠ABC，射线CD交AB于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若∠A＝60°，∠B＝40°，求∠BDC的度数．
20. 如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于，交于，且．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，，求的周长．
21. 在我国古代数学著作《九章算术》的第九章《勾股》中记载了这样的一个问题：“今天有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何．”意思是：如图所示，推开两扇门和，门边缘、两点到门槛的距离是尺（即、到线段的距离为尺），两扇门的间隙为寸，则门宽是多少寸（1尺寸）．
22. 教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．

请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
（1）如图②，在中，、的垂直平分线分别交于点、，垂足分别为，，已知的周长为20，则的长为__________．
（2）如图③，在中，，，、分别是、上任意一点，若，，，则的最小值是__________．
23. （1）方法呈现：
如图①：在中，若，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
（2）探究应用：
如图②，在中，点D是的中点，于点D，交于点E，交于F，连接，判断与的大小关系并证明；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形中， ，与的延长线交于点F、点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段之间的数量关系，并加以证明．
八年级上期期末数学试卷
注意事项：
1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．试题卷共4页，三个大题，满分120分．
2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效．
3．答题前，考生务必将本人所在学校、姓名、考场、座号、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 若是无理数，则的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是算术平方根的含义，无理数的识别，由是无理数，可得开不尽方且有意义，从而可得的值．
【详解】解：∵是无理数，
A．当时，，是有理数，不符合题意；
B．当时，，是无理数，符合题意；
C．当时，，是有理数，不符合题意；
D．当时，，无意义，不符合题意．
故选：B．
2. 已知，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了积的乘方和幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
利用积的乘方运算和幂的乘方法则计算，然后得到，，进而求解即可．
【详解】解：，
，，
解得：，．
故选：C．
3. 实数有平方根，则可以取值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据平方根的性质求出a的范围，从而得出答案．
【详解】解：∵实数1-3a有平方根，
∴1-3a≥0，
解得a≤，
而四个选项中只有A符合题意，
故选：A．
【点睛】本题主要考查平方根，平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
4. 已知(x+a)(x+b)=+mx+12，m、a、b都是整数，那么m的可能值的个数为( )
A. 4B. 5C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据多项式乘多项式的乘法法则，求得a+b=m，ab=12，再进行分类讨论，从而解决此题．
【详解】解：(x+a)(x+b)=+bx+ax+ab=+(a+b)x+ab．
∵(x+a)(x+b)=+mx+12，
∴a+b=m，ab=12．
∵m、a、b都是整数，
∴当a=1时，则b=12，此时m=a+b=1+12=13；
当a=-1时，则b=-12，此时m=a+b=-1-12=-13；
当a=2时，则b=6，此时m=a+b=2+6=8；
当a=-2时，则b=-6，此时m=a+b=-2-6=-8；
当a=3时，则b=4，此时m=a+b=3+4=7；
当a=-3时，则b=-4，此时m=a+b=-3-4=-7；
当a=12时，则b=1，此时m=a+b=12+1=13；
当a=-12时，则b=-1，此时m=a+b=-12-1=-13；
当a=6时，则b=2，此时m=a+b=6+2=8；
当a=-6时，则b=-2，此时m=a+b=-6-2=-8；
当a=4时，则b=3，此时m=a+b=4+3=7；
当a=-4时，则b=-3，此时m=a+b=-4-3=-7．
综上：m=±13或±8或±7，共6个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则、分类讨论的思想是解决本题的关键．
5. 下列命题：①实数与数轴上的点是一一对应的；②平方根和立方根相等的数有和；③带根号的数是无理数；④无限小数都是无理数；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑥内错角相等．其中真命题的个数是（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了命题真假判断，涉及实数的相关知识，垂线唯一性与平行公理等知识；根据实数与数轴上的点一一对应可判断①，根据平方根与立方根的定义可判断②，根据无理数定义可判断③④，根据垂线的性质可判断⑤，根据平行线的性质可判断⑥，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：①实数与数轴上的点是一一对应的，说法正确，是真命题；
②平方根和立方根相等的数只有，说法错误，是假命题；
③带根号的数也可能是有理数，如是有理数，说法错误，是假命题；
④无限不循环小数都是无理数，说法错误，是假命题；
⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法错误，是假命题；
⑥两直线平行，内错角相等，说法错误，是假命题．
∴真命题的个数是1个，
故选：A．
6. 某平板电脑支架如图所示，，．为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（ ）
A. 增大B. 减小C. 增大D. 减小
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，根据，求出此时，然后类似求出变化后，然后两角作差即可得出结论.
【详解】解：∵，则
∵，
∴，
∴，
增大后，，
∴，
∴，
∴，
∴的变化情况是减小，
故选：D.
7. 某中学开展以“杭州亚运会”为主题的学科活动，要求设计几何图形作品来表达对亚运会的祝福．小冬以长方形的四条为边分别向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若长方形的相邻两边之差为6，且四个正方形的面积和为100，则长方形的面积是（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景．设，，由相邻两边之差为6，且四个正方形的面积和为100，根据完全平方公式得出，进一步计算即可求解．
【详解】解：解：设，，
由相邻两边之差为6，且四个正方形的面积和为100，
可得，，，
即①，②，
由①得，③，
③②得 ，
所以，
即长方形的面积为7，
故选：A．
8. 小明在学完《全等三角形》这章后，自己进行小结．如图，他的画图过程说明（ ）
A. 两个三角形两条边和其中一边的对角对应相等，这两个三角形不一定全等
B. 两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等
C. 两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等
D. 两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟知三角形全等的判定是解题的关键．根据全等三角形的判定进行判断即可．
【详解】解：根据作图可知：两个三角形有两条边和其中一边对角相等，但这两个三角形不全等，
所以两个三角形的两条边和其中一边对角相等，这两个三角形不一定全等，
故选：A．
9. 如图，是边长为4的等边三角形，点在上，过点作，垂足为，延长到点，使，连接交于点，则的长为（ ）
A. 1B. 1.8C. 2D. 2.5
【答案】C
【解析】
【分析】过作的平行线交于，通过证明≌，得，再由是等边三角形，即可得出．
【详解】解：过作的平行线交于，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，
在中和中，
，
≌，
，
于，是等边三角形，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
10. 如图，在中，，，，的平分线交于点，且．将沿折叠使点与点恰好重合，①；②点到的距离为；③；④，以上结论正确的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质可判断①；根据角平分线的性质可判断②；由折叠的性质及和角关系、三角形内角和可判断③；根据勾股定理即可判断④．
【详解】解：∵，，，
∴；故①正确；
如图，过点E作，，垂足分别为F，H，
∵平分，
∴；
∵，，
∴平分，
∴，
即点E到的距离为8，故②正确；
由折叠知，；
∵，
同理，，
∴，故③正确；
∵，
∴
由折叠得，
∴
∵，
∴
∴
∴，故④正确；
综上，正确的有4个．
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，角平分线的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形内角和等知识，掌握以上知识是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 请举反例说明命题“对于任意实数，一定大于”是假命题．你举的反例是______．（写出一个值即可）
【答案】0（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查的是命题和定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
【详解】解：当时，，
∴“对于任意实数，一定大于”是假命题．
故答案为：0（答案不唯一）．
12. 已知，，，则，，的大小关系是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算．解题的关键是利用幂的乘方运算对各式变形，变成底数相同的形式．
根据幂的乘方的逆运算变形得到，，进而比较求解即可．
【详解】解：∵，，，
∵
∴
∴．
故答案为：．
13. 在一次七年级学生身高抽查中，个数据分别落在个小组内，第一、二、四组数据所占的百分比分别是、、，则第三组数据的频数是________．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了求频数与频率，根据频率之和为1，得出第三小组数据的频率，用总数乘以第三组数据的频率即可求解．
【详解】解：∵40个数据分别落在4个小组内，第一、二、四组数据所占的百分比分别是、、，
∴第三组数据的频率为，
∴第三小组数据的频数为．
故答案为：8．
14. 如图，正方形四个顶点分别在四条互相平的直线，，，上，这四条直线中，相邻两条之间的距离依次为，，．若，，则正方形的面积等于__________．
【答案】52
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质，过点作分别交、于点、，过点作分别交、于点、，根据正方形的性质和平行线的性质，证即可；易证，且两直角边长分别为、，四边形是边长为的正方形，所以，将，代入，即可解决问题，本题的关键在于作好辅助线，根据已知找到全等三角形即可．
【详解】解：如图，过点作分别交、于点、，过点作分别交、于点、，
四边形是正方形，，
，，
，
，
，
同理可得，，
，
，
在和中，
，
，
，
即，
四边形是正方形，
，
，，
，且两直角边长分别为、，
四边形是边长为的正方形，
正方形的面积，
，，
．
故答案为：52．
15. 如图，在锐角中，＝＝，，的平分线交于点，点，分别是和上的动点，则的最小值是______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识点，先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可得．
【详解】如图，在上取一点，使，连接，
是平分线，
，
在和中，，
，
，
，
由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为，
又由垂线段最短得：当时，取得最小值，
，
，
解得，
即的最小值为，
故答案为：．
三、解答题（本大题有8道小题，共75分）
16. （1）分解因式：；
（2）计算：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】此题考查了平方差公式，因式分解，有理数的乘方，立方根，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）首先根据平方差公式化解，然后利用平方差公式因式分解即可；
（2）首先计算有理数的乘方，立方根，然后计算乘法，然后计算加减即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
17. 化简求值
，其中，．
【答案】，-12
【解析】
【分析】原式中含有括号，则化简时先去括号，然后合并同类项得到最简式，将x，y的值代入最简式即可得到原式的值．
【详解】解：
当，时
原式
【点睛】本题考查了去括号法则，合并同类项的法则，去括号时要注意符号的变化，也是容易出错的地方．
18. 某校对七、八、九年级的学生进行体育水平测试，成绩评定为优秀、良好、合格、不合格四个等第．为了解这次测试情况，学校从三个年级随机抽取200名学生的体育成绩进行统计分析．相关数据的统计图、表如下：
根据以上信息解决下列问题：
（1）在统计表中，a值为 ，b的值为 ；
（2）在扇形统计图中，八年级所对应的扇形圆心角为 度；
（3）若该校三个年级共有2000名学生参加考试，试估计该校学生体育成绩不合格的人数．
【答案】（1）28，15；（2）108；（3）200．
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据学校从三个年级随机抽取200名学生的体育成绩进行统计分析和扇形统计图可以求得七年级抽取的学生数，从而可以求得a的值，也可以求得九年级抽取的学生数，进而得到b的值；
（2）根据扇形统计图可以求得八年级所对应的扇形圆心角的度数；
（3）根据表格中的数据可以估计该校学生体育成绩不合格的人数．
试题解析：（1）由题意和扇形统计图可得，a=200×40%﹣20﹣24﹣8=80﹣20﹣24﹣8=28，b=200×30%﹣24﹣14﹣7=60﹣24﹣14﹣7=15，故答案为28，15；
（2）由扇形统计图可得，八年级所对应的扇形圆心角为：360°×（1﹣40%﹣30%）=360°×30%=108°，故答案为108；
（3）由题意可得，2000×=200人，即该校三个年级共有2000名学生参加考试，该校学生体育成绩不合格的有200人．
考点：扇形统计图；用样本估计总体；统计与概率．
19. 如图，ABC中，∠ACB＞∠ABC．
（1）尺规作图：在∠ACB的内部作∠ACD，使∠ACD＝∠ABC，射线CD交AB于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若∠A＝60°，∠B＝40°，求∠BDC的度数．
【答案】（1）见解析；（2）∠BDC＝100°．
【解析】
【分析】（1）利用基本作图，作∠ACD＝∠B即可；
（2）先利用三角形内角和计算出∠ACB的度数，再根据角度之间的关系得到∠ACD的度数，然后根据三角形外角性质计算∠BDC的度数．
【详解】解：（1）如图，∠ACD即为所求；
（2）∵∠A＝60°，∠ACD=∠ABC=40°，
∴∠BDC＝∠A＋∠ACD＝60°＋40°＝100°．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：作已知角的角平分线；也考查了三角形外角性质．
20. 如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于，交于，且．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，，求的周长．
【答案】（1）见解析；
（2）32．
【解析】
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质和判定定理是解题的关键．
（1）首先依据平行线的性质证明，然后结合角平分线的定义可证明，故此可证明为等腰三角形；
（2）首先证明，从而得到的长，然后可求得的长，于是可求得的周长．
【小问1详解】
证明：，
，，
平分，
，
，
．
是等腰三角形．
【小问2详解】
解：是的中点，
．
，
．
由对顶角相等可知：．
在和中
≌．
．
，
．
．
的周长．
21. 在我国古代数学著作《九章算术》的第九章《勾股》中记载了这样的一个问题：“今天有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何．”意思是：如图所示，推开两扇门和，门边缘、两点到门槛的距离是尺（即、到线段的距离为尺），两扇门的间隙为寸，则门宽是多少寸（1尺寸）．
【答案】101寸
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，作于点E，设寸，根据题意得出寸，寸，再结合勾股定理算出，即可解题．
【详解】解：如图，过点D作于点E．
设寸，
则寸，寸，寸．
在中，，即，
解得寸，
寸．
答：门宽是101寸．
22. 教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．

请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
（1）如图②，在中，、的垂直平分线分别交于点、，垂足分别为，，已知的周长为20，则的长为__________．
（2）如图③，在中，，，、分别是、上任意一点，若，，，则的最小值是__________．
【答案】教材呈现：见解析；定理应用：（1）20；（2）
【解析】
【分析】教材呈现：根据“”证明即可；
定理应用：（1）根据线段垂直平分线的性质定理证明，那么 的周长就转化为的长，
（2）根据等腰三角形的三线合一性质，可知是的垂直平分线，所以想到过点C作，垂足为点E，交于点P，此时的值最小．
【详解】教材呈现：证明：∵，
∴，
∵
∴，
∴；
定理应用：解：（1）∵的垂直平分线分别交于点，
∴，
∵△ADE的周长为20，
∴，
∴，
即，
故答案为：20；
（2）过点C作，垂足为点E，交于点P，

∵，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
此时的值最小，
∵，
∴的面积，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
23. （1）方法呈现：
如图①：在中，若，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
（2）探究应用：
如图②，在中，点D是的中点，于点D，交于点E，交于F，连接，判断与的大小关系并证明；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形中， ，与的延长线交于点F、点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）由已知得出，即，为的一半，即可得出答案；
（2）延长至点，使，连接，，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论；
（3）延长，交于点，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论．
本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键．
【详解】解：（1）如图①，延长到点，使，连接，
是的中点，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：；
（2），理由如下：
延长至点，使，连接、，如图②所示．
同（1）得：，
，
，，
，
在中，由三角形的三边关系得：
，
；
（3），理由如下：
如图③，延长，交于点，
，
，
在和中，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
．
2．线段垂直平分线
我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图13.5．1，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连结、．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有：
线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
已知：如图13.5．1，，垂足为点，，点是直线上的任意一点．求证：．
分析 图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得．
2．线段垂直平分线
我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图13.5．1，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连结、．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有：
线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
已知：如图13.5．1，，垂足为点，，点是直线上的任意一点．求证：．
分析 图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得．