河南省新乡市辉县市2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版）

这是一份河南省新乡市辉县市2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版），共31页。试卷主要包含了本试卷分试题卷和答题卡两部分等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．试题卷共6页，三个大题，满分120分．
2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效．
3．答题前，考生务必将本人所在学校、姓名、考场、座号、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上．
一、单选题（每小题3分，共30分）
1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
3. 新乡南太行旅游度假区坐落于豫北地区，南太行区域不仅自然景观丰富，而且人文历史也颇为悠久．这里有着许多历史遗迹和文化名胜，吸引了大量游客前来观光旅游．小明和小红相约寒假去宝泉水库、八里沟、万仙山打卡游玩，两人从三个旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，小明、小红选择同一个景点的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在中，，则下列关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，是的直径，，分别切于点、，若，则的度数是（ ）
A. B.
C. D.
6. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）.
A ；B. ；
C. ；D. .
7. 如图，在平行四边形中，在上，、交于，若，且．则的长为（ ）

A. 3B. 6C. 9D. 12
8. 抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
9. 《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺.如图，已知弦尺，弓形高寸，（注：1尺=10寸）问这块圆柱形木材的直径是（ ）
A. 13寸B. 6.5寸C. 20寸D. 26寸
10. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：
① ②（m为任意实数） ③
④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 要使代数式有意义，则x取值范围是_____．
12. 已知，是方程的两个实数根，则的值为__________．
13. 不透明的袋子中装有2个白球，3个黑球和个红球，它们除颜色外都相同，若随机从中摸出一个球是黑球的概率为，则为______．
14. 如图，在中，矩形的一边在上，点、分别在边、边上，是边上的高，与相交于点，已知，，，求矩形的面积是______．
15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝，E为CD边上一点，将△BCE沿BE折叠，使得C落到矩形内点F的位置，连接AF，若tan∠BAF＝，则CE＝_____．
三、解答题（本大题有8道小题，共75分）
16. （1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出与关于y轴对称；
（2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为，并写出点的坐标．
（3）求出的面积．
18. 历下区历史文化悠久，历下一名，取意于大舜帝耕作于历山之下．这位远古圣人为济南留下了影响深远的大舜文化，至今已绵延两千年．某校就同学们对“舜文化”的了解程度进行随机抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅统计图：
根据统计图的信息，解答下列问题：
(1)本次共调查 名学生，条形统计图中 ；
(2)若该校共有学生1200名，请估算该校约有多少名学生不了解“舜文化”；
(3)谓查结果中，该校九年级(2)班有四名同学相当优秀，了解程度为“很了解”，他们是三名男生、—名女生，现准备从这四名同学中随机抽取两人去市里参加“舜文化”知识竞赛，用树状图或列表法，求恰好抽中一男生一女生的概率．
19. 某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为．
（1）求点离水平地面的高度．
（2）求电线塔的高度（结果保留根号）．
20. 2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为70元的“吉祥龙”公仔，并以每个80元售出．由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个125元，此时每天可售出75个．
（1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率；
（2）市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．那么销售单价应降低多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？
21. 数学兴趣小组对以下尺规作图问题进行了研究．
已知：如图，及外一点P．求作：直线，使与相切于点B．
李华同学经过探索，想出了两种作法，具体如下（已知点B是直线上方一点）：
请仔细阅读，并完成相应的任务．
（1）“作法一”中的“依据”是指___________．
（2）请写出“作法二”的证明过程．
22. 掷实心球是某市中考体育考试的选考项目．小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点的坐标为，落在轴上的点处．
（1）求抛物线的解析式；
（2）某市男子实心球的得分标准如表：
请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分；
（3）小强在练习实心球时，他正前方距离投掷点9米处有一个身高1.2米的小朋友在玩耍，问该小朋友是否有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为平安，否则视为危险），请说明理由．
23. （1）已知正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如图①，将△BOC绕点O逆时针方向旋转得到△B′OC′，OC′与CD交于点M，OB′与BC交于点N，请猜想线段CM与BN的数量关系，并证明你的猜想．
（2）如图②‚，将（1）中的△BOC绕点B逆时针旋转得到△BO′C′，连接AO′、DC′，请猜想线段AO′与DC′的数量关系，并证明你的猜想．
（3）如图③ƒ，已知矩形ABCD和Rt△AEF有公共点A，且∠AEF=90°，∠EAF=∠DAC=α，连接DE、CF，请求出的值（用α的三角函数表示）．
九年级上期期末数学试卷
注意事项：
1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．试题卷共6页，三个大题，满分120分．
2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效．
3．答题前，考生务必将本人所在学校、姓名、考场、座号、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上．
一、单选题（每小题3分，共30分）
1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】要选择属于最简二次根式的答案，就是要求知道什么是最简二次根式的两个条件：1、被开方数是整数或整式；2、被开方数不能再开方．由被选答案可以用排除法可以得出正确答案．
【详解】A、被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、是有理数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了满足是最简二次根式的两个条件：1、被开方数是整数或整式；2、被开方数不能再开方．
2. 关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查根的判别式．分和，两种情况进行讨论求解，即可．掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键．
【详解】解：当时，方程化为，得到，满足题意；
当时，方程为一元二次方程，则：，解得：；
综上：；
故选A．
3. 新乡南太行旅游度假区坐落于豫北地区，南太行区域不仅自然景观丰富，而且人文历史也颇为悠久．这里有着许多历史遗迹和文化名胜，吸引了大量游客前来观光旅游．小明和小红相约寒假去宝泉水库、八里沟、万仙山打卡游玩，两人从三个旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，小明、小红选择同一个景点的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了画树状图法求概率；首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人抽到同一个景点的概率的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：用A，B，C表示：“宝泉水库、八里沟、万仙山”，
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，则他俩选择同一个景点有3种情况，
∴则他俩选择同一个景点的概率是：，
故选：B．
4. 如图，在中，，则下列关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数的定义直接逐个判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
∵在中，，，
∴，故A错误，不符合题意，
，故B错误，不符合题意，
，故C错误，不符合题意，
，故D正确，符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查三角函数的定义，解题的关键是判断不同直角三角形中的直角边与斜边．
5. 如图，是的直径，，分别切于点、，若，则的度数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能求出的度数是解此题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．连，根据切线的性质得到，根据和求出，可得，再根据四边形的内角和为即可计算出的度数．
【详解】解：连，如图，
、分别切于点、，
，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
6. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）.
A. ；B. ；
C. ；D. .
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线图像的平移规律“左加右减，上加下减”即可确定平移后的抛物线解析式.
【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的平移规律，熟练掌握其平移规律是解题的关键.
7. 如图，在平行四边形中，在上，、交于，若，且．则的长为（ ）

A. 3B. 6C. 9D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质；由平行四边形的性质可得，，可证，由三角形相似的性质，结合，可得，进而求解即可．
【详解】四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
8. 抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解．
【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线，
该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，
∵，，，
而，，，
∴点离对称轴最近，点离对称轴最远，
∴；
故选：D．
9. 《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺.如图，已知弦尺，弓形高寸，（注：1尺=10寸）问这块圆柱形木材的直径是（ ）
A. 13寸B. 6.5寸C. 20寸D. 26寸
【答案】D
【解析】
【分析】设这块圆柱形木材的半径为r．在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r−1，OA＝r，则有r2＝52＋（r−1）2，解方程即可.
【详解】解：如图：设这块圆柱形木材的半径为r．
由题意得：OC⊥AB，尺＝10寸，则AD＝5寸，
在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r−1，OA＝r，
则有r2＝52＋（r−1）2，
解得r＝13，
∴这块圆柱形木材的直径为26寸，
故选：D．
【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
10. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：
① ②（m为任意实数） ③
④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，根据抛物线的开口方向，对称轴可得，即可判断①，时，函数值最大，即可判断②，根据时，，即可判断③，根据对称性可得即可判段④，即可求解．
【详解】解：∵二次函数图象开口向下
∴
∵对称轴为直线，
∴
∴
∵抛物线与轴交于正半轴，则
∴，故①错误，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线,
∴当时，取得最大值，最大值为
∴（m为任意实数）
即，故②正确；
∵时，
即
∵
∴
即
∴，故③正确；
∵、是抛物线上不同两个点，
∴关于对称，
∴即故④不正确
正确的有②③
故选：B
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 要使代数式有意义，则x的取值范围是_____．
【答案】﹣2≤x＜3且x＞3
【解析】
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【详解】解：由代数式有意义，得
．
解得﹣2≤x＜3且x＞3，
故答案为﹣2≤x＜3且x＞3．
【点睛】本题考查了代数式有意义时字母的取值范围，代数式有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当代数式是整式时，字母可取全体实数；②当代数式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．
12. 已知，是方程的两个实数根，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先把代入方程，整理得，再用根与系数的关系求得，最后代入求值即可．
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的有关系，熟练运用这些知识是解题的关键．
13. 不透明的袋子中装有2个白球，3个黑球和个红球，它们除颜色外都相同，若随机从中摸出一个球是黑球的概率为，则为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了概率公式，利用概率公式得到，然后利用比例性质求出m即可．
【详解】解：根据题意得，
解得．
经检验，是原方程的解，
故答案为：4．
14. 如图，在中，矩形的一边在上，点、分别在边、边上，是边上的高，与相交于点，已知，，，求矩形的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例列方程是解题的关键；设，，由矩形可知，，得，由相似三角形对应边成比例得，再建立关于x的方程，解得x，再利用矩形的面积公式求解即可；
【详解】设，则，
四边形是矩形，
，
是边上的高，
，
，
，
，
，，
，
解得，
，，
矩形的面积为，
故答案为：18．
15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝，E为CD边上一点，将△BCE沿BE折叠，使得C落到矩形内点F的位置，连接AF，若tan∠BAF＝，则CE＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】已知tan∠BAF=，可作辅助线构造直角三角形，设未知数，利用勾股定理可求出FM、BM，进而求出FN，再利用三角形相似和折叠的性质求出EC．
【详解】过点F作MN∥AD，交AB、CD分别于点M、N，则MN⊥AB，MN⊥CD，
由折叠得：EC＝EF，BC＝BF＝，∠C＝∠BFE＝90°，
∵tan∠BAF＝＝，设FM＝x，则AM＝2x，BM＝4﹣2x，
在Rt△BFM中，由勾股定理得：
x2+（4﹣2x）2＝（）2，
解得：x1＝1，x2＝＞2舍去，
∴FM＝1，AM＝BM＝2，
∴FN＝﹣1，
易证△BMF∽△FNE，
∴，即：，
解得：EF＝＝EC．
故答案．
【点睛】考查矩形的性质、直角三角形的边角关系、轴对称的性质以及相似三角形的性质等知识，作合适的辅助线，恰当的利用题目中的已知条件，是解决问题的关键．
三、解答题（本大题有8道小题，共75分）
16. （1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】本题考查零指数幂，负整数指数幂，根式运算，三角函数以及分式的化简求值，解题的关键是掌握相关运算法则和运算顺序．
（1）分别根据零指数幂，负整数指数算法则计算各项，再进行根式化简和绝对值运算，最后合并同类项得出结果．
（2）先对分式括号内进行化简，再将除法转化为乘法进行约分化简，最后代入的值计算．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
当时，原式．
17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出与关于y轴对称的；
（2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为，并写出点的坐标．
（3）求出的面积．
【答案】（1）画图见解析
（2）画图见解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到的坐标，然后描点连线得到即可；
（2）把A、B、C的坐标都乘以得到的坐标，然后描点连线即可；
（3）用所在的长方形面积减去周围三个三角形面积即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图所示，为所作；
【小问2详解】
解：如图所示，为所作，点的坐标为；
【小问3详解】
解：．
【点睛】本题主要考查了位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴．
18. 历下区历史文化悠久，历下一名，取意于大舜帝耕作于历山之下．这位远古圣人为济南留下了影响深远的大舜文化，至今已绵延两千年．某校就同学们对“舜文化”的了解程度进行随机抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅统计图：
根据统计图的信息，解答下列问题：
(1)本次共调查 名学生，条形统计图中 ；
(2)若该校共有学生1200名，请估算该校约有多少名学生不了解“舜文化”；
(3)谓查结果中，该校九年级(2)班有四名同学相当优秀，了解程度为“很了解”，他们是三名男生、—名女生，现准备从这四名同学中随机抽取两人去市里参加“舜文化”知识竞赛，用树状图或列表法，求恰好抽中一男生一女生的概率．
【答案】（1）60，18；（2）答：该校约有240名学生不了解“舜文化”；（3）.
【解析】
【分析】（1）根据了解很少的有24人，占40%，即可求得总人数；利用调查的总人数减去其它各项的人数即可求得m的值；
（2）利用1200乘以不了解“舜文化”的人所占的比例即可求解；
（3）列出表格即可求出恰好抽中一男生一女生的概率．
【详解】本次调查的学生=24÷40％=60，
条形统计图中的m=60-12-24-6=18；
（2）（人，
答：该校约有240名学生不了解“舜文化”；
（3）列表如下：
由上表可知，共12种可能，其中一男一女的可能性有6种，分别是（男，女）三种，（女，男）三种，
．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及求随机事件的概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19. 某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为．
（1）求点离水平地面的高度．
（2）求电线塔的高度（结果保留根号）．
【答案】（1）；
（2）电线塔的高度．
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．
（1）由斜坡的坡度，求得，利用正切函数的定义得到，据此求解即可；
（2）作于点，设，先解得到，解得到米，进而得到方程，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵斜坡的坡度，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：作于点，则四边形是矩形，，，
设，
在中，，
∴，
在中，，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
答：电线塔的高度．
20. 2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为70元的“吉祥龙”公仔，并以每个80元售出．由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个125元，此时每天可售出75个．
（1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率；
（2）市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．那么销售单价应降低多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）销售单价降低元，所获销售利润最大，最大为元
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，解题时要能找准等量关系，正确列出一元二次方程及二次函数关系式是解题的关键．
（1）依据题意，设每次上涨的百分率为x，再由题意列出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）依据题意，设每个降价为a元，可列出关于a的二次函数，再由二次函数的性质进行判断计算可以得解．
【小问1详解】
解：设每次上涨的百分率为，列方程为：
，
解得：，（舍去），
答：每次上涨的百分率为；
【小问2详解】
解：设销售单价降低元，销售利润为元，
，
∴当销售单价降低元，所获销售利润最大，最大为元．
21. 数学兴趣小组对以下尺规作图问题进行了研究．
已知：如图，及外一点P．求作：直线，使与相切于点B．
李华同学经过探索，想出了两种作法，具体如下（已知点B是直线上方一点）：
请仔细阅读，并完成相应任务．
（1）“作法一”中的“依据”是指___________．
（2）请写出“作法二”证明过程．
【答案】（1）直径所对的圆周角是直角
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图－作垂线，作垂直平分线，圆周角定理，切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）根据圆周角定理可得答案；
（2）由作法可得，，证明，得，根据切线的判定方法即可求证．
【小问1详解】
解：由题意得：“作法一”中的“依据”是指直径所对的圆周角是直角，
故答案为：直径所对的圆周角是直角；
【小问2详解】
证明：由作法可得，，
．
，
．
．
．
是的半径，
直线是的切线．
22. 掷实心球是某市中考体育考试的选考项目．小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点的坐标为，落在轴上的点处．
（1）求抛物线的解析式；
（2）某市男子实心球的得分标准如表：
请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分；
（3）小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点9米处有一个身高1.2米的小朋友在玩耍，问该小朋友是否有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为平安，否则视为危险），请说明理由．
【答案】（1）
（2）小强在这次训练中的成绩为分
（3）小朋友有危险，理由见详解
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的运用，
（1）根据题意，设二次函数解析式为顶点式，即为，把点代入，运用待定系数法即可求解；
（2）令时，求出点的坐标，进行比较即可求解；
（3）当时，代入计算即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意，设二次函数解析式为，把点代入得，
，
解得，，
∴抛物线的解析式；
【小问2详解】
解：由（1）可知抛物线的解析式，
令，则，整理得，
解得，，
∵点在轴的正半轴上，
∴小强掷的距离为米，
∵，
∴小强在这次训练中的成绩为分；
【小问3详解】
解：小朋友有危险，理由如下，
当时，，
∵，
∴小朋友有危险．
23. （1）已知正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如图①，将△BOC绕点O逆时针方向旋转得到△B′OC′，OC′与CD交于点M，OB′与BC交于点N，请猜想线段CM与BN的数量关系，并证明你的猜想．
（2）如图②‚，将（1）中的△BOC绕点B逆时针旋转得到△BO′C′，连接AO′、DC′，请猜想线段AO′与DC′的数量关系，并证明你的猜想．
（3）如图③ƒ，已知矩形ABCD和Rt△AEF有公共点A，且∠AEF=90°，∠EAF=∠DAC=α，连接DE、CF，请求出的值（用α的三角函数表示）．
【答案】（1）CM=BN，理由见解析；（2）DC′=AO′，理由见解析；（3）csα
【解析】
【分析】（1）如图1①，根据正方形的性质得OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，∠BOC=90°，再根据旋转的性质得∠B′OC′=∠BOC=90°，然后利用等角的余角相等得∠B′OB′=∠COC′，则可根据“ASA”判断△BON≌△COM，于是得到CM=BN；
（2）如图②，连接DC′，根据正方形的性质得AB=BC，AC=BD，OB=OC，∠OBC=∠ABO=45°，∠BOC=90°，于是可判断△ABC和△OBC都是等腰直角三角形，
则AC=AB，BC=BO，所以BD=AB；再根据旋转的性质得∠O′BC′=∠OBC=45°，OB=O′B，BC′=BC，则BC′=BO′，所以==，，再证明∠1=∠2，则可根据相似的判定定理得到△BDC′∽△BAO′，利用相似比即可得到DC′=AO′；
（3）如图③，根据余弦的定义，在Rt△AEF中得到cs∠EAF=；在Rt△DAC中得到cs∠DAC=，由于∠EAF=∠DAC=α，所以==csα，∠EAD=∠FAC，则可根据相似的判定定理得到△AED∽△AFC，利用相似比即可得到=csα．
【详解】解：（1）CM=BN．理由如下：如图①，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，∠BOC=90°，
∵△BOC绕点O逆时针方向旋转得到△B′OC′，
∴∠B′OC′=∠BOC=90°，
∴∠B′OC+∠COC′=90°，
而∠BOB′+∠B′OC=90°，
∴∠B′OB′=∠COC′，
在△BON和△COM中
，
∴△BON≌△COM（ASA），
∴CM=BN；
（2）如图②，连接DC′，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，AC=BD，OB=OC，∠OBC=∠ABO=45°，∠BOC=90°，
∴△ABC和△OBC都是等腰直角三角形，
∴AC=AB，BC=BO，
∴BD=AB，
∵△BOC绕点B逆时针方向旋转得到△B′OC′，
∴∠O′BC′=∠OBC=45°，OB=O′B，BC′=BC，
∴BC′=BO′，
∴==，
∵∠1+∠3=45°，∠2+∠3=45°，
∴∠1=∠2，
∴△BDC′∽△BAO′，
∴==，
∴DC′=AO′；
（3）如图③，在Rt△AEF中，cs∠EAF=；
在Rt△DAC中，cs∠DAC=，
∵∠EAF=∠DAC=α，
∴==csα，∠EAF+∠FAD=∠FAD+∠DAC，即∠EAD=∠FAC，
∴△AED∽△AFC，
∴==csα．
【点睛】本题是考查四边形性质的综合题,解题关键是熟练掌握矩形和正方形的性质；同时会运用等腰直角三角形的性质和旋转的性质；能灵活利用三角形全等或相似的判定与性质解决线段之间的关系．
作法一（如图1）：
作法二（如图2）：
①连接，作线段的垂直平分线，交于点A；
②以点A为圆心，以的长为半径作，
交于点B；③作直线，则直线是切线．
①连接，交于点M，过点M作的垂线；②以点O为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点Q；③连接，交于点B；④作直线，则直线是的切线．
证明：如图1，为直径，
．（&&）
．
是的半径，
∴直线是的切线．
证明：
得分
100
95
90
85
80
76
70
66
60
50
40
30
20
10
掷远（米）
12.4
11.2
9.6
9.1
8.4
7.8
7.0
6.5
5.3
5.0
4.6
4.2
3.6
3.0
男
男
男
女
男
（男，男）
（男，男）
（男，女）
男
（男，男）
（男，男）
（男，女）
男
（男，男）
（男，男）
（男，女）
女
（女，男）
（女，男）
（女，男）
作法一（如图1）：
作法二（如图2）：
①连接，作线段的垂直平分线，交于点A；
②以点A为圆心，以的长为半径作，
交于点B；③作直线，则直线是的切线．
①连接，交于点M，过点M作的垂线；②以点O为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点Q；③连接，交于点B；④作直线，则直线是的切线．
证明：如图1，为直径，
．（&&）
．
是的半径，
∴直线是的切线．
证明：
得分
100
95
90
85
80
76
70
66
60
50
40
30
20
10
掷远（米）
12.4
11.2
9.6
9.1
8.4
7.8
7.0
6.5
5.3
5.0
4.6
4.2
3.6
3.0