安徽省滁州市凤阳县2024-2025学年上学期八年级期末检测数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份安徽省滁州市凤阳县2024-2025学年上学期八年级期末检测数学试卷（原卷版+解析版），共27页。
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 下列四个交通标志图中为轴对称图形的是（ ）
A. B.
C D.
2. 把直线向下平移1个单位长度后，其直线的函数解析式为（ ）
A. B. C. D.
3. 对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A. a＝3，b＝﹣2B. a＝﹣2，b＝3C. a＝2，b＝﹣3D. a＝﹣3，b＝2
4. 在平面直角坐标系中，点在x轴上，则点M的坐标是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知都在直线上，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
7 如图，已知△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，添加下列哪一个条件可以得到△ABC≌△DEF（ ）
A. ∠A＝∠DB. ∠ACB＝∠FC. AC∥DFD. AB∥DE
8. 已知一次函数与（，为常数，且），则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
9. 若一个三角形的底角比顶角大，则顶角为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在中，，的平分线与边的垂直平分线相交于D，交的延长线于E，于，现有以下结论：①；②；③平分；④；⑤．其中正确的有（ ）
A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11. 在函数中，自变量x的取值范围是___．
12. 已知三角形的两边长分别为3和5，第三条边为偶数，则三角形的周长为______．
13. 如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是______．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，点P是y轴上一点．若的值最小，则点P的坐标为__________；若，则点P的坐标为__________．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
15. 已知关于x的一次函数．
（1）若函数图象经过点，求a的值；
（2）若函数图象经过第一、三、四象限，求a的取值范围．
16. 求证：三角形的内角和等于.
(要求，画图，据图写出已知，求证，证明)
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
（1）将平移，平移后点的对应点为，画出平移后的；
（2）画出，关于轴对称；
（3）求的面积．
18. 作图题：
（1）尺规作图，保留作图痕迹．如图1，有两条高速公路和，两个城镇，准备建立一个燃气中心站，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇距离相等，请你画出然气中心站的位置；
（2）如图2，河的一旁有两个村子，，要在河边建一水泵站引水到村里．一村民画了一张图，以直线表示一条河，求作一点，使点到，的距离之和最短，作出点，并用几何语言叙述你的理由
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19. 如图，，交于点，，．
（1）说明的理由；
（2）若，，求的度数．
20. 为了提高学生的中考体育跳绳成绩，某校计划购买A，B两种跳绳．经市场调查，A种跳绳每根12元，B种跳绳每根8元．若学校准备购买A，B两种跳绳共120根，且购买A种跳绳的数量不少于B种跳绳数量的2倍．
（1）设购买A种跳绳为x根，实际付款总金额为y元，请求出y与x之间的函数关系式；（不需要写x的取值范围）
（2）在（1）的条件下，请设计出一种购买跳绳的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．
六、解答题（本题12分）
21. 如图，在中，，，的平分线交边于点，为的中点，连接．
（1）求证：为等腰三角形．
（2）求的度数．
七、解答题（本题12分）
22. 共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费y（元）与骑行时间之间的对应关系，其中A品牌的收费方式对应，B品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）写出图中函数，的图象交点P表示的实际意义；
（2）求，关于x的函数表达式；
（3）①如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择__________品牌共享电动车更省钱；（填“A”或“B”）
②当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差4元？
八、解答题（本题14分）
23. 证明三角形全等时，遇到有角平分线，常利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等．利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题方法．
（1）如图1，射线平分，射线，上分别截取线段，，使，在射线上任取一点D，连接，．求证：；
（2）如图2，在中，，，平分，求证：；
（3）如图3，在四边形中，，，，C为边的中点，若平分，平分，，求的值．
2024—2025学年第一学期八年级期末监测数学试卷
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 下列四个交通标志图中为轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形，故符合题意；
C、不是轴对称图形，故不符合题意；
D、不是轴对称图形，故不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义．
2. 把直线向下平移1个单位长度后，其直线的函数解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一次函数平移问题，熟记“左加右减，上加下减”即可得出本题答案．
【详解】解：∵直线向下平移1个单位长度后，
∴，
故选：D．
3. 对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A. a＝3，b＝﹣2B. a＝﹣2，b＝3C. a＝2，b＝﹣3D. a＝﹣3，b＝2
【答案】D
【解析】
【分析】说明命题为假命题，即a、b的值满足a2＞b2，但a＞b不成立，把四个选项中的a、b的值分别代入验证即可．
【详解】解：在A中，a2＝9，b2＝4，且3＞﹣2，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故A选项中a、b的值不能说明命题为假命题；
在B中，a2＝4，b2＝9，且﹣2＜3，此时不但不满足a2＞b2，也不满足a＞b不成立，故B选项中a、b的值不能说明命题为假命题；
在C中，a2＝4，b2＝9，且2＞﹣3，此时不但不满足a2＞b2，也不满足a＞b不成立，故C选项中a、b的值不能说明命题为假命题；
在D中，a2＝9，b2＝4，且﹣3＜2，此时满足a2＞b2，但不能满足a＞b，即意味着命题“若a2＞b2，则a＞b”不能成立，故D选项中a、b的值能说明命题为假命题；
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理，解题的关键是理解用反例说明命题是假命题．
4. 在平面直角坐标系中，点在x轴上，则点M的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴上的点的纵坐标为，得出的值进而得出的坐标．
【详解】解：点在x轴上，则，
解得，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴上的点的坐标特征，掌握轴上的点的纵坐标为0是解题的关键．
5. 如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长计算，正确理解线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】∵是的垂直平分线，，
∴，
∵的周长为
∴，
∴，
∴，
∴的周长为，
故选：D．
6. 已知都在直线上，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一次函数增减性．根据一次函数可知随增大而减小，即可得到本题答案．
【详解】解：∵中，
∴随增大而减小，
又∵，
∴，
故选：C．
7. 如图，已知△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，添加下列哪一个条件可以得到△ABC≌△DEF（ ）
A. ∠A＝∠DB. ∠ACB＝∠FC. AC∥DFD. AB∥DE
【答案】D
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定定理依次判断．
【详解】解：∵△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，
∴当∠A＝∠D时，无法判定△ABC≌△DEF，故选项A不符合题意；
当∠ACB＝∠F时，无法判定△ABC≌△DEF，故选项B不符合题意；
当时，∠ACB＝∠F，无法判定△ABC≌△DEF，故选项C不符合题意；
当时，∠B＝∠DEF时，可根据SAS判定△ABC≌△DEF，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了添加条件证明两个三角形全等，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
8. 已知一次函数与（，为常数，且），则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象性质，根据经过第几象限，从而判断的取值情况，据此即可作答．
【详解】解：A、一次函数经过第一、三象限，得，一次函数经过第一、三、四象限，得，自相矛盾，故舍去；
B、一次函数经过第一、三象限，得，一次函数经过第一、二、四象限，得，自相矛盾，故舍去；
C、一次函数经过第二、四象限，得，一次函数经过第一、二、三象限，得，自相矛盾，故舍去；
D、、一次函数经过第二、四象限，得，一次函数经过第一、二、四象限，得，符合，该选项是正确的；
故选：D
9. 若一个三角形的底角比顶角大，则顶角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质．
设底角为，则顶角为，根据三角形内角和定理得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：设底角为，则顶角为，
则，
解得，
，
即顶角为，
故选：C
10. 如图，在中，，的平分线与边的垂直平分线相交于D，交的延长线于E，于，现有以下结论：①；②；③平分；④；⑤．其中正确的有（ ）
A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个
【答案】B
【解析】
【分析】由角平分线的定义和直角的性质证出即可判定①，连接，，由垂直平分线的性质，可证出，即可判定②，由平分即可判定③，由和，再进行线段的和差运算即可判定④，由角所对的直角边等于斜边的一半即可判定⑤．
【详解】解：为的平分线，
，
，，
，
又，
，
，故①正确，符合题意；
如图，连接，，
为的垂直平分线，
，
，
，故②正确，符合题意；
，
，即平分，
与不重合，
不平分，故③错误，不符合题意；
，
，
，，
，故④正确，符合题意；
，平分，
，
，故⑤正确，符合题意；
综上可知正确的有4个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，垂直平分线的性质，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11. 在函数中，自变量x的取值范围是___．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须．
12. 已知三角形的两边长分别为3和5，第三条边为偶数，则三角形的周长为______．
【答案】12或14
【解析】
【分析】设三角形第三边长为，由三角形三边关系定理得到，因此，由三角形第三边为偶数，得到，或即可求出该三角形周长．
【详解】解：设三角形第三边长为，
，
，
第三边为偶数，
，或
该三角形周长为，或
故答案：12或14．
【点睛】本题考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．
13. 如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是______．
【答案】30
【解析】
【分析】如图，根据角平分线的性质得出DE＝DC＝4，再根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，则∠E＝∠C＝90°，
∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，
∴DE＝DC=4，
∴四边形ABCD的面积S＝S△BCD＋S△BAD＝×BC×CD＋×AB×DE＝×9×4＋×6×4＝30，
故答案为：30．
【点睛】本题考查了三角形的面积，角平分线的性质等知识点，能求出DE＝DC是解此题的关键．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，点P是y轴上一点．若的值最小，则点P的坐标为__________；若，则点P的坐标为__________．
【答案】 ①. （0，2） ②. （0，6）或（0，-2）
【解析】
【分析】连接AB，与y轴交于点P，得到此时PA+PB的值最小，求出直线AB的表达式，可得点P坐标；连接AB，交y轴于点C，计算出△AOB的面积，得到△PAB的面积，从而得到PC的长，即可得到点P的坐标．
【详解】解：连接AB，与y轴交于点P，
∴此时PA+PB的值最小，
∵A（-3，3），B（3，1），
设直线AB的表达式为：y=kx+b，
则，解得：，
∴直线AB的表达式为：，
令x=0，则y=2，
∴点P的坐标为（0，2），
如图，连接AB，交y轴于点C，
可知点C（0，2），
则S△AOB===6，
∵S△APB==2S△AOB=12，
∴PC=4，
∴点P的坐标为（0，6）或（0，-2），
故答案为：（0，2），（0，6）或（0，-2）．
【点睛】本题考查了两点之间线段最短，一次函数表达式，三角形面积，解题的关键是根据坐标求出表达式，根据表达式以及面积得到相应线段的长度．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
15. 已知关于x的一次函数．
（1）若函数图象经过点，求a的值；
（2）若函数图象经过第一、三、四象限，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将代入得，，计算求解即可；
（2）由函数图象经过第一、三、四象限，可得，计算求解即可．
【小问1详解】
解：将代入得，，
解得，，
∴a的值为7；
【小问2详解】
解：∵函数图象经过第一、三、四象限，
∴，
解得，，
∴a的取值范围为．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，解一元一次不等式组．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
16. 求证：三角形的内角和等于.
(要求，画图，据图写出已知，求证，证明)
【答案】见解析
【解析】
【分析】首先根据题意，写出本题的已知条件与求证内容，然后过点A作EF∥BC；已知EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等，可得∠FAC=∠C，∠EAB=∠∠B；再根据E、A、F三点共线，可得∠EAB+∠BAC+∠FAC=180°，结合以上所得结论，即可求证本题.
【详解】已知△ABC，求证：∠CBA+∠BAC+∠ACB=180°.
证明：根据题意画出简单示意图，过点A作EF∥BC.
∵EF∥BC，
∴∠CAF=∠ACB，∠EAB=∠CBA.
∵∠CAF=∠ACB，∠EAB=∠CBA，∠EAB+∠BAC+∠CAF=180°，
∴∠CBA+∠BAC+∠ACB=180°，即三角形的内角和等于180°
【点睛】此题考查三角形内角和定理，解题关键在于掌握其性质定义.
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
（1）将平移，平移后点对应点为，画出平移后的；
（2）画出，关于轴对称的；
（3）求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查的是画平移图形，轴对称图形，坐标与图形面积；
（1）先确定平移方式，再分别确定的对应点，再顺次连接即可；
（2）分别确定关于轴对称的对称点，再顺次连接即可；
（3）利用割补法由长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴平移方式为：向左平移3个单位，向上平移3个单位；
如图，即为所求．
【小问2详解】
解：如图，即为所求．
【小问3详解】
解：的面积．
18. 作图题：
（1）尺规作图，保留作图痕迹．如图1，有两条高速公路和，两个城镇，准备建立一个燃气中心站，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇距离相等，请你画出然气中心站的位置；
（2）如图2，河的一旁有两个村子，，要在河边建一水泵站引水到村里．一村民画了一张图，以直线表示一条河，求作一点，使点到，的距离之和最短，作出点，并用几何语言叙述你的理由
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）到两条公路的距离相等，则要画两条公路的夹角的角平分线，到，两点的距离相等又要画线段的垂直平分线，两线的交点就是点的位置；
（2）作点关于直线的对称点，连接交直线于点，点即为所求，在直线上任取一点，连接，，，根据轴对称的性质，三角形三边关系定理判定线段的大小．
【小问1详解】
解：如图，点即为所求作的点．
【小问2详解】
如图，点即为所求作的点．
作点关于直线的对称点，连接交直线于点，点即为所求，
理由：
在直线上任取一点，连接，，．
，两点关于直线轴对称，
，，
，
又在中，由三角形三边关系定理，得，
即，
．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形的性质，角平分线的性质，垂直平分线的性质和线段最短问题的作法，熟练应用这些性质是解题的关键．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19. 如图，，交于点，，．
（1）说明的理由；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）29°
【解析】
【分析】（1）根据对顶角相等，直接利用即可证明；
（2）利用三角形外角的性质得到，再根据得到，即可求得．
【详解】解：（1）在和中，
，
（）；
（2），，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形性质，解题的关键是掌握三角形全等的证明方法并灵活用．
20. 为了提高学生的中考体育跳绳成绩，某校计划购买A，B两种跳绳．经市场调查，A种跳绳每根12元，B种跳绳每根8元．若学校准备购买A，B两种跳绳共120根，且购买A种跳绳的数量不少于B种跳绳数量的2倍．
（1）设购买A种跳绳为x根，实际付款总金额为y元，请求出y与x之间的函数关系式；（不需要写x的取值范围）
（2）在（1）的条件下，请设计出一种购买跳绳的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．
【答案】（1）
（2）当购买种跳绳80根，种跳绳40根时，实际所花费用最省，最省费用为1280元
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用；
（1）设购买A种跳绳为x根，实际付款总金额为y元，根据总金额等于两种跳绳的费用之和列函数关系式即可；
（2）根据购买A种跳绳的数量不少于B种跳绳数量的2倍，求解，再利用一次函数的性质解题即可．
【小问1详解】
解：设购买A种跳绳为x根，则购买B种跳绳为根．
，
与之间的函数关系式为．
小问2详解】
解：购买A种跳绳的数量不少于B种跳绳数量的2倍，
，
解得．
，
∵，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，，
此时，
当购买种跳绳80根，种跳绳40根时，实际所花费用最省，最省的费用为1280元．
六、解答题（本题12分）
21. 如图，在中，，，的平分线交边于点，为的中点，连接．
（1）求证：为等腰三角形．
（2）求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）先利用三角形的内角和求出，再利用角平分线的定义求出，得到，最后根据等角对等边即可求证；
（2）由（1）可得，根据等腰三角形三线合一即可求得的度数；
【小问1详解】
证明：，，
，
平分，
，
，
，
为等腰三角形；
【小问2详解】
解：，
，
，为的中点，
∴平分，
；
七、解答题（本题12分）
22. 共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费y（元）与骑行时间之间的对应关系，其中A品牌的收费方式对应，B品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）写出图中函数，的图象交点P表示的实际意义；
（2）求，关于x的函数表达式；
（3）①如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择__________品牌共享电动车更省钱；（填“A”或“B”）
②当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差4元？
【答案】（1）当骑行时间为时，两种品牌的共享电动车收费一样，都是8元
（2），
（3）①A；②或时，两种品牌共享电动车收费相差4元
【解析】
【分析】本题考查待定系数法确定一次函数解析式及图象及应用，理解函数与方程的联系是解题的关键．
（1）由图象可得当骑行时间为时，两种品牌的收费一样．
（2）利用待定系数法确定；即可．
（3）①由骑行时间，结合图形判断品牌更省钱；②根据题意，当时，构建方程，当时，构建方程，再进一步解答即可．
【小问1详解】
解：当骑行时间为时，两种品牌的共享电动车收费一样，都是8元．
【小问2详解】
设，经过，
，
得，
．
当时，；
当时，
设，函数经过，，
则
解得
，
∴y2=6010；
【小问3详解】
解：①∵骑行时间，
∴当骑行时间小于，A品牌更省钱．
②当时，，
得．
当时，，
变形得，
解得（舍去）或，
或时，两种品牌共享电动车收费相差4元．
八、解答题（本题14分）
23. 证明三角形全等时，遇到有角平分线，常利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等．利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题方法．
（1）如图1，射线平分，在射线，上分别截取线段，，使，在射线上任取一点D，连接，．求证：；
（2）如图2，在中，，，平分，求证：；
（3）如图3，在四边形中，，，，C为边的中点，若平分，平分，，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）13
【解析】
【分析】（1）由题意易得，然后易证，进而问题可求证；
（2）在上截取，连接，由题意易得，，则有，然后可得，则根据三角形外角的性质可得，然后可得，进而问题可求证；
（3）在上分别截取，，连接、，同理（1）（2）可证，，则有，，然后可得，进而可得是等边三角形，最后问题可求解．
【小问1详解】
证明：射线平分，
，
，，
，
．
【小问2详解】
证明：在上截取，连接，如图所示．
，，平分，
，．
，
，
，．
，
，
，
．
，
．
【小问3详解】
解：在上分别截取，，
连接，，如图所示．
同理（1）（2）可得，，
，，，．
为边的中点，，
．
，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
【点睛】本题主要考查三角形全等的性质与判定、角平分线的定义、等腰三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定，解题的关键是构造辅助线证明三角形全等．