2025年辽宁省沈阳市中考一模数学模拟试卷（一） （原卷版+解析版）

这是一份2025年辽宁省沈阳市中考一模数学模拟试卷（一） （原卷版+解析版），共34页。试卷主要包含了 的倒数是， 下列计算正确的是， 函数的自变量x的取值范围是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
2. 志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 函数的自变量x的取值范围是（ ）
A. x≠0B. x≥且x≠0C. x＞D. x≥
6. 在学校举办的学习强国演讲比赛中，李华根据九位评委所给的分数制作了如下表格：
如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ）
A 平均数B. 众数C. 方差D. 中位数
7. 为加快红塔区城市更新改造，全面推进全区基础设施建设，提升城市档次和品位，2023年4月起，聂耳路（南北大街一棋阳路）开始封闭施工工程．其中某条地下管线如果由甲工程队单独铺设需要20天，由乙工程队单独铺设需要30天，现计划由乙工程队先从一端铺设5天，然后增加甲工程队从另一端和乙工程队同时铺设．设甲乙工程队共同铺设天后，恰好完成这条地下管线的铺设，则下列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝45°，⊙O的半径为2，则BC的长为( )
A. 2B. C. 2D. 4
9. 在盒子里放有分别写有整式2，，x，的四张卡片，从中随机抽取两张把卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是
A. B. C. D.
10. 已知二次函数 (a为常数)的图像上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第二部分 非选择题（90分）
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 未来三年，国家将投入8450亿元用于缓解群众“看病难、看病贵”的问题．将8450亿元用科学记数法表示为________________元.
12. 多项式分解因式的结果为________．
13. 如图，原点是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是，则的面积是 _______．
14. 如图，直尺经过一副三角板的直角顶点，若，，的大小为__________．
15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，为等边三角形，M是x轴负半轴上的一个动点（不与原点O重合），线段绕M点顺时针旋转得到，连接，则下列结论正确的是_____．
①点B的坐标是；
②始终是等边三角形；
③在点M运动过程中，的大小可能是；
④连接，当时，的长是．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16 （1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中
17. 北京冬奥会开幕式惊艳了世界，在这背后离不开志愿者们的默默奉献，这些志愿者很多来自高校，在志愿者招募之时，甲、乙两所大学就积极组织了志愿者选拔活动，对报名的志愿者进行现场测试，现从两所大学参加测试的志愿者中分别随机抽取了20名志愿者的测试成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，满分100分，共分成五组：A．，B．，C．；D．，E．），下面给出了部分信息：
a．甲校20名志愿者的成绩在D组的数据是：90，91，91，92；
b．乙校20名志愿者的成绩是：82，89，80，85，88，89，87，96，96，99，96，92，91，93，96，97，98，92，94，100．
c．甲校抽取志愿者成绩的扇形统计图如图所示：
d．甲、乙两校抽取的志愿者成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）由上表填空：________，_______，________．
（2）若甲校有200名志愿者，乙校有300名志愿者参加了此次测试，估计甲乙两校此次参加测试的志愿者中，成绩在90分以上的志愿者共有多少人？
18. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，一次函数的图象与轴交于点．

（1）求反比例函数的关系式与的值；
（2）根据图象直接写出不等式时的取值范围；
（3）若动点在轴上，求的最小值．
19. 如图（1）所示的健身器械为倒蹬机，使用方法为上身不动，腿部向前发力，双腿伸直之后再慢慢收回．图（2）为其抽象示意图，已知在初始位置，，点在同一直线上，，．
（1）当在初始位置时，求点到的距离；
（2）当双腿伸直后，点分别从初始位置运动到点，假设，三点共线，求此时点上升竖直高度．（结果保留整数，参考数据：，，，，，）
20. 剪纸是一种非常普及的中国民间艺术，春节期间，人们都喜欢在窗户上贴上窗花作为装饰，不仅烘托了喜庆的节日气氛，还为人们带来了美的享受，集装饰性、欣赏性和实用性于一体．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸进行销售，已知每套甲种剪纸的进价是每套乙种剪纸进价的1.25倍，用400元购进甲种剪纸的套数比用400元购进乙种剪纸的套数少2套．
（1）求这两种剪纸每套进价分别为多少元？
（2）根据商家的销售经验，甲种剪纸的销售量（套）与销售单价x（元）之间的关系为，乙种剪纸的销售量（套）与销售单价x（元）之间的关系为．若每套甲种剪纸的售价同样是每套乙种剪纸售价的1.25倍，则甲、乙两款剪纸的销售单价定为多少元时，商家可获得最大利润？最大利润是多少元？
21. 如图，是的直径，点C在上，点E是的中点，延长交的延长线于点D，点F在的延长线上，，垂足为G．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
22. 【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在四边形中，，，，，垂足是点．求证：．
①如图，小明同学给出如下解法：作，垂足是点．
②如图，小亮同学给出另一种解题方法：作，交延长线于点．
请你选择一名同学解题方法，写出完整的证明过程．
【类比分析】

（2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明与的数量关系转化为与另一条线段的数量关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图进行变换，并提出了下面问题，请你解答．
如图，在四边形中，，，，，交延长线于点．求证：．
【学以致用】
（3）如图5，四边形中，，，和都是钝角，且，，点在上，请直接写出的最小值．

23. ［综合探究］运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
【探究一】确定心形叶片的形状
（1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知图像过原点，求抛物线的解析式及顶点的坐标；
【探究二】研究心形叶片的宽度：
（2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于，两点，抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处的宽度；
【探究三】探究幼苗叶片的长度
（3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究一中的二次函数．已知直线（点为叶尖）与水平线的夹角为，求幼苗叶片的长度．
2025年辽宁省沈阳市中考一模数学模拟试卷（一）
第一部分 选择题（共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查考查倒数，先把原数化为假分数，再求倒数即可．
【详解】解：，
∵，
∴的倒数是，
即的倒数是，
故选：C．
2. 志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形，根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
3. 如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】找到从正面看所得到图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层有1个正方形并位于中间位置．
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，完全平方公式的应用，掌握同底数幂的除法法则，合并同类项法则，幂的乘方的法则，完全平方公式是解决问题的关键．利用同底数幂的除法法则，完全平方公式，幂的乘方的法则，合并同类项法则，对每个选项进行分析，即可得出答案．
【详解】解：，则A不符合题意；
，则B不符合题意；
，则C符合题意；
，不是同类项，无法合并，则D不符合题意；
故选：C．
5. 函数的自变量x的取值范围是（ ）
A. x≠0B. x≥且x≠0C. x＞D. x≥
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于，分母不等于，列不等式求解．
【详解】解∶根据分式有意义可得：，
根据二次根式有意义可得：，解得： ，
综合可得：且．
故选B．
【点睛】本题主要考查求函数自变量的取值范围，解决本题的关键是要熟练掌握分式有意义和二次根式有意义的条件．
6. 在学校举办的学习强国演讲比赛中，李华根据九位评委所给的分数制作了如下表格：
如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ）
A. 平均数B. 众数C. 方差D. 中位数
【答案】D
【解析】
【详解】去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，
故选D．
7. 为加快红塔区城市更新改造，全面推进全区基础设施建设，提升城市档次和品位，2023年4月起，聂耳路（南北大街一棋阳路）开始封闭施工工程．其中某条地下管线如果由甲工程队单独铺设需要20天，由乙工程队单独铺设需要30天，现计划由乙工程队先从一端铺设5天，然后增加甲工程队从另一端和乙工程队同时铺设．设甲乙工程队共同铺设天后，恰好完成这条地下管线的铺设，则下列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据乙独做5天的工作量加上甲乙合作x天的工作量=1，进而得出答案．
【详解】解：设甲乙工程队共同铺设天后，恰好完成这条地下管线的铺设，则：
，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
8. 如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝45°，⊙O的半径为2，则BC的长为( )
A. 2B. C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】连接，利用圆周角定理证得为等腰直角三角形，从而计算出结果．
【详解】如图。连接，则，根据圆周角定理，得，
是等腰直角三角形，，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理及等腰直角三角形得性质，熟练掌握并利用圆周角定理是解决问题的关键．
9. 在盒子里放有分别写有整式2，，x，的四张卡片，从中随机抽取两张把卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】列举出不放回的2次实验的所有情况，看抽取的两张卡片结果能组成分式的情况占总情况的多少即可．
【详解】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能结果，其中组成的是分式的有6种结果，
所以能组成分式的概率是，
故选A．
【点睛】此题考查概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率用到的知识点为：分母中含有字母的式子是分式．
10. 已知二次函数 (a为常数)的图像上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，
先将二次函数的关系式配成顶点式，然后得出顶点坐标，再根据顶点到x轴的距离可得取值范围，求出解集即可．
【详解】解：∵二次函数，
∴抛物线开口向下，对称轴是，顶点坐标是．
∵二次函数的图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度，
∴，
解得．
故选：B．
第二部分 非选择题（90分）
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 未来三年，国家将投入8450亿元用于缓解群众“看病难、看病贵”的问题．将8450亿元用科学记数法表示为________________元.
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】将8450亿元用科学记数法表示为：8450亿元=元，
故答案为：元.
【点睛】本题考查了科学记数法—表示较大的数，科学记数法的表示形式是解决此题的关键.
12. 多项式分解因式的结果为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，然后根据平方差公式进行因式分解即可．
详解】解：原式
，
故答案为：．
13. 如图，原点是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是，则的面积是 _______．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了位数图形的性质，掌握面积比等于位似比的平方是解题的关键．根据题意，可得位数比为，再根据位数图形的面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：原点是和的位似中心，点与点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为： 12．
14. 如图，直尺经过一副三角板直角顶点，若，，的大小为__________．
【答案】##50度
【解析】
【分析】此题主要考查了三角形的外角定理，平行线的性质，准确识图，熟练掌握三角形的外角定理，平行线的性质是解决问题的关键．
先根据三角形外角定理得，再根据平行线的性质可得的度数．
【详解】解：∵是的一个外角，
，
，
，
，
，
故答案为：．
15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，为等边三角形，M是x轴负半轴上的一个动点（不与原点O重合），线段绕M点顺时针旋转得到，连接，则下列结论正确的是_____．
①点B的坐标是；
②始终是等边三角形；
③在点M运动过程中，的大小可能是；
④连接，当时，的长是．
【答案】①②④
【解析】
【分析】如图，作于，则，，由勾股定理得，，则B的坐标是，进而可判断①的正误；由旋转的性质可知，，可证是等边三角形，进而可判断②的正误；证明，则，进而可判断③的正误；如图，连接，作轴于，作轴于，则，，，，则，，由勾股定理得，，，，由勾股定理得，，则，由勾股定理得，，，进而可判断④的正误．
【详解】解：如图，作于，
∵为等边三角形，，
∴，，
由勾股定理得，，
∴B的坐标是，①正确，故符合要求；
由旋转的性质可知，，
∴是等边三角形，②正确，故符合要求；
∵、是等边三角形，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，③错误，故不符合要求；
如图，连接，作轴于，作轴于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴，，
由勾股定理得，，
∴，
由勾股定理得，，
∴，④正确，故符合要求；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，含的直角三角形，勾股定理等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，含的直角三角形，勾股定理是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16. （1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值及实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）先根据负整数指数幂、零次幂、绝对值化简法则化简，再按照实数的加减运算计算即可；
（2）先将原式括号内的部分通分、除法变成乘法同时进行因式分解，再约分化简，然后将代入计算即可得出答案．
【详解】（1）
．
（2）
，
当时，原式．
17. 北京冬奥会的开幕式惊艳了世界，在这背后离不开志愿者们的默默奉献，这些志愿者很多来自高校，在志愿者招募之时，甲、乙两所大学就积极组织了志愿者选拔活动，对报名的志愿者进行现场测试，现从两所大学参加测试的志愿者中分别随机抽取了20名志愿者的测试成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，满分100分，共分成五组：A．，B．，C．；D．，E．），下面给出了部分信息：
a．甲校20名志愿者的成绩在D组的数据是：90，91，91，92；
b．乙校20名志愿者的成绩是：82，89，80，85，88，89，87，96，96，99，96，92，91，93，96，97，98，92，94，100．
c．甲校抽取志愿者成绩的扇形统计图如图所示：
d．甲、乙两校抽取的志愿者成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）由上表填空：________，_______，________．
（2）若甲校有200名志愿者，乙校有300名志愿者参加了此次测试，估计甲乙两校此次参加测试的志愿者中，成绩在90分以上的志愿者共有多少人？
【答案】（1）；96；90
（2）325人
【解析】
【分析】本题主要考查了求中位数，求众数，求扇形圆心角度数，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键．
（1）根据中位数和众数的定义求出中位数和众数即可；再用360度乘以甲校C等级的占比即可得到答案；
（2）用甲乙两校的人数分别乘以其样本中得分在90分以上的人数占比，然后求和即可得到答案．
【小问1详解】
解：E的人数：（人）,
把甲校的成绩从低到高排列，处在第10名和第11名的成绩分别为91分，92分，
∴甲校的中位数；
∵乙校得分中，得96分的人数最多，
∴乙校的众数；
，
故答案为：；96；90；
【小问2详解】
解：人，
∴估计甲乙两校此次参加测试的志愿者中，成绩在90分以上的志愿者共有325人．
18. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，一次函数的图象与轴交于点．

（1）求反比例函数的关系式与的值；
（2）根据图象直接写出不等式时的取值范围；
（3）若动点在轴上，求的最小值．
【答案】（1）反比例函数解析式为；；
（2）或；
（3）10
【解析】
【分析】（1）本题将代入反比例函数中，即可解出，得到反比例函数的关系式，再将代入反比例函数解析式，即可解题．
（2）本题根据不等式的解集为一次函数的图象在反比例函数图象的上方的部分，再结合，即可解题．
（3）本题利用将军饮马模型求线段和的最小值，作关于轴的对称点，连接，则的最小值．过作于，再利用勾股定理即可解题．
【小问1详解】
解：点在反比例函数的图象上，
，解得．
所以反比例函数解析式为；
点在反比例函数的图象上，
，解得；
【小问2详解】
解：，
其解集为一次函数的图象在反比例函数图象的上方的部分，
即轴左侧和，之间的图象，
，，
或；
【小问3详解】
解：作关于轴的对称点，，
连接交轴于，则的最小值．
过作于．
因为，，
所以．
【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的关系式、反比例函数与一次函数的交点问题、利用图象求不等式的解集、轴对称性质、勾股定理，解题关键是熟练利用待定系数法求函数解析式，利用图象求不等式的解集，以及利用轴对称求最短路径．
19. 如图（1）所示的健身器械为倒蹬机，使用方法为上身不动，腿部向前发力，双腿伸直之后再慢慢收回．图（2）为其抽象示意图，已知在初始位置，，点在同一直线上，，．
（1）当在初始位置时，求点到的距离；
（2）当双腿伸直后，点分别从初始位置运动到点，假设，三点共线，求此时点上升的竖直高度．（结果保留整数，参考数据：，，，，，）
【答案】（1）点到的距离约为
（2）点上升的竖直高度约为
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键．
（1）过点作于点，求出，再由计算即可得出答案；
（2）过点作于点，过点作于点，由等腰三角形的性质结合解直角三角形得出，求出从而得出，再求出的长，即可得解．
【小问1详解】
解：过点作于点，
，
，
，
，
，
，
点到的距离约为；
【小问2详解】
解：过点作于点，过点作于点，
，
，，
，
，
由题意得：，
，
∴点上升的竖直高度约为．
20. 剪纸是一种非常普及的中国民间艺术，春节期间，人们都喜欢在窗户上贴上窗花作为装饰，不仅烘托了喜庆的节日气氛，还为人们带来了美的享受，集装饰性、欣赏性和实用性于一体．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸进行销售，已知每套甲种剪纸的进价是每套乙种剪纸进价的1.25倍，用400元购进甲种剪纸的套数比用400元购进乙种剪纸的套数少2套．
（1）求这两种剪纸每套进价分别为多少元？
（2）根据商家的销售经验，甲种剪纸的销售量（套）与销售单价x（元）之间的关系为，乙种剪纸的销售量（套）与销售单价x（元）之间的关系为．若每套甲种剪纸的售价同样是每套乙种剪纸售价的1.25倍，则甲、乙两款剪纸的销售单价定为多少元时，商家可获得最大利润？最大利润是多少元？
【答案】（1）乙种剪纸每套进价是40元，甲种剪纸每套进价50元；
（2）甲种剪纸每套售价为元，乙种剪纸每套售价为54元时，商家可获得最大利润，最大利润是120050元．
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，二次函数的应用，正确的理解题意是解题的关键．
（1）设乙种剪纸每套进价为a元，则甲种剪纸每套进价为元，根据用400元购进甲种剪纸的套数比用400元购进乙种剪纸的套数少2套，列出方程，解方程即可；
（2）设乙种剪纸的销售单价为x元，商家获得的利润为w元，根据利润=售价-进价，列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：设乙种剪纸每套进价是a元，则甲种剪纸每套进价元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的根，
此时，
∴乙种剪纸每套进价是40元，甲种剪纸每套进价50元；
【小问2详解】
解：设乙种剪纸每套售价为x元，则甲种剪纸每套售价为元，商家获得利润为w元，
根据题意得：
，
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为120050，
此时，
答：甲种剪纸每套售价为元，乙种剪纸每套售价为54元时，商家可获得最大利润，最大利润是120050元．
21. 如图，是的直径，点C在上，点E是的中点，延长交的延长线于点D，点F在的延长线上，，垂足为G．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接 OE ，由圆周角定理及等腰三角形的性质证得，得出，则可得出结论；
（2）证明△∽△AFE，由相似三角形的性质得出，求出 AF 的长，则可得出答案．
【小问1详解】
（1）证明：连接，如图所示，
∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的切线；
【小问2详解】
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
∴△∽△AFE，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的半径为．
【点睛】本题考查了切线的判定判定，圆周角定理定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定是解本题的关键．
22. 【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在四边形中，，，，，垂足是点．求证：．
①如图，小明同学给出如下解法：作，垂足是点．
②如图，小亮同学给出另一种解题方法：作，交延长线于点．
请你选择一名同学的解题方法，写出完整的证明过程．
【类比分析】

（2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明与的数量关系转化为与另一条线段的数量关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图进行变换，并提出了下面问题，请你解答．
如图，在四边形中，，，，，交延长线于点．求证：．
【学以致用】
（3）如图5，四边形中，，，和都是钝角，且，，点在上，请直接写出的最小值．

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）
【解析】
【分析】（1）①小明同学的解法：根据题意证明四边形 是矩形；，即可得证；②小亮同学的解法：证明四边形 是矩形，，即可得证；
（2）作 交 延长线于点 则，证明四边形是矩形，，则，根据，等量代换进而，即可求解；
（3）过点作的垂线交的延长线于点，由（2）可得四边形是矩形，，是等腰直角三角形，作关于的对称点，连接交于点，则，此时最小，在中，，勾股定理求得，进而根据，结合三角形的三角函数关系求得，最后在中，勾股定理，即可求解．
【详解】解：①小明同学的解法：
如图所示，

，
，
，
四边形 是矩形
，
，
，
，
又，
，
，
②小亮同学的解法：
如图所示，

，
，
，
四边形 是矩形
，
，
，
又，
，
，
（2）解：如图所示，作 交 延长线于点 则

，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
又
，
，，
，
，
，
（3）解：如图所示，过点作的垂线交的延长线于点，作 交 延长线于点 则

由（2）可得四边形是矩形，，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴
∴是等腰直角三角形，
作关于的对称点，连接交于点，则
∴，此时最小，

∵，
∴点在的延长线上，且，
∴，
∵，
∴
又，
在中，
∴
解得：（负值舍去）
∴
∴
∵
∴，
∴
∴在中，
【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，轴对称的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
23. ［综合探究］运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
【探究一】确定心形叶片的形状
（1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知图像过原点，求抛物线的解析式及顶点的坐标；
【探究二】研究心形叶片的宽度：
（2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于，两点，抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处的宽度；
【探究三】探究幼苗叶片的长度
（3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究一中的二次函数．已知直线（点为叶尖）与水平线的夹角为，求幼苗叶片的长度．
【答案】（1），顶点的坐标为；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）把原点代入解析式，求得值，将抛物线化成顶点式即可确定顶点坐标；
（2）先求出点的坐标为，再求出的解析式为：．然后求出点的坐标为，最后求出结果即可；
（3）作抛物线的对称轴于点，则，设点的横坐标为，得出，根据点在抛物线上，列出方程，得出点的坐标为，最后求出即可．
【详解】解：（1）抛物线经过原点，
．
解得：．
抛物线的解析式为：．
顶点的坐标为；
（2）取，，
解得：，，
点的坐标为，
心形叶片的对称轴是直线，点，是叶片上的一对对称点，
设的解析式为：．
经过点，
．
解得：．
的解析式为：．
，
解得：
点的坐标为．
．
．
（3）作抛物线的对称轴于点，则，
直线与水平线的夹角为，
．
设点的横坐标为，
抛物线的对称轴为直线，
．
顶点的坐标为，
点的纵坐标为．
点在抛物线上，
．
解得：．
点的坐标为．
．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，抛物线与坐标轴的交点，对称思想，两点间的距离公式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
平均数
中位数
众数
方差
8.5
8.3
8.1
0.15
学校
平均数
中位数
众数
方差
甲
92
a
95
乙
92
b
平均数
中位数
众数
方差
85
8.3
8.1
0.15
学校
平均数
中位数
众数
方差
甲
92
a
95
乙
92
b