2025年辽宁省大连市中考一模数学模拟试卷（二） （原卷版+解析版）

这是一份2025年辽宁省大连市中考一模数学模拟试卷（二） （原卷版+解析版），共33页。试卷主要包含了 若，则中最大的一个数是， 下列各式中正确的是， 下列命题中，是真命题的是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的帐：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，将一个正六棱柱按如图所示的方式截去一个角，则所形成的几何体的俯视图为（ ）
A. B. C. D.
3. 若，则中最大的一个数是（ ）
A. B. C. aD. ab
4. 下列图案中，不能看成是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，已知直线，分别交直线于点，直线相交于点，下列结论中错误的是（ ）
A. B. C. D.
6. 下列各式中正确的是（ ）
A. B.
C D.
7. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B. 过一点有无数条直线与已知直线平行
C. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
D. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离
8. 在平面直角坐标系中，点绕原点顺时针旋转得到点，左平移8个单位长度得到点，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
9. 现有五张质地均匀，大小完全相同的卡片，在其正面分别标有数字，，0，2，3，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽出一张后，不放回，再从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字之和为正数的概率为（ ）
A. B. C. D.
10. 我们知道，通过列表，描点，连线可以画出一个函数的图象．在画完函数的图象后，何老师给同学们提出一个问题：“不通过画图，你能解释为什么函数的图象经过第一、三象限吗？”．聪明的小亮经过思考，给出了这样的解答：“当时，，此时描出的点都在第一象限；当时，，此时描出的点都在第三象限．所以函数的图象一定经过第一、三象限”．大家不禁为善于思考的小亮鼓掌．最后何老师又给大家留了一道思考题：下面四个图象中哪个是函数的图象（ ）
A. B.
C. D.
非选择题（共90分）
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 化简分式 的结果是_______.
12. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围____．
13. 如图，直尺经过一副三角板的直角顶点，若，，的大小为__________．
14. 如图，平行于地面的圆桌正上方有一个灯泡(看作一个点)，它发出的光线照射桌面后，在地面上形成圆形阴影，经测量得，地面上圆形阴影的半径比桌面半径大0.5米，桌面的直径为2米，桌面距离地面的高度为1.5米，则灯泡到桌面的距离为米_____．
15. 如图，抛物线过点，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，连接AC，BC，点D是第四象限内抛物线上的一点，连接AD，CD，AD交BC于点P．当的值最小时，点D的坐标为________．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16. （1）计算：；
（2）解方程：．
17. 为了丰富学生的阅读资源，某校图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，20本文学名著比20本人物传记多100元．（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样．）
（1）求每本文学名著和人物传记各多少元？
（2）若学校要求购买文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，请求出人物传记至多买多少本？
18. 北京冬奥会的开幕式惊艳了世界，在这背后离不开志愿者们的默默奉献，这些志愿者很多来自高校，在志愿者招募之时，甲、乙两所大学就积极组织了志愿者选拔活动，对报名的志愿者进行现场测试，现从两所大学参加测试的志愿者中分别随机抽取了20名志愿者的测试成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，满分100分，共分成五组：A．，B．，C．；D．，E．），下面给出了部分信息：
a．甲校20名志愿者的成绩在D组的数据是：90，91，91，92；
b．乙校20名志愿者的成绩是：82，89，80，85，88，89，87，96，96，99，96，92，91，93，96，97，98，92，94，100．
c．甲校抽取志愿者成绩的扇形统计图如图所示：
d．甲、乙两校抽取志愿者成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）由上表填空：________，_______，________．
（2）若甲校有200名志愿者，乙校有300名志愿者参加了此次测试，估计甲乙两校此次参加测试的志愿者中，成绩在90分以上的志愿者共有多少人？
19. 项目化学习
项目主题：确定不同运动效果的心率范围，
项目背景：最大心率指人体在进行运动时心脏每分钟跳动的最大次数．某校综合与实践小组的同学以“探究不同运动效果的心率范围”为主题展开项目学习．
驱动任务：探究最大心率与年龄的关系．
收集数据：综合与实践小组同学通过某医学杂志收集到不同年龄最大心率数据如下：
问题解决：
（1）根据表中的信息，可以推断最大心率y（次/分）是年龄x（周岁）的______函数关系（填“一次”“二次”或“反比例”）；求y关于x的函数表达式．
（2）已知不同运动效果时的心率如下：
20周岁的小李想要达到提升耐力的效果，他的运动心率应该控制在______次/分至______次分；30周岁的小美想要达到燃烧脂肪的效果，她的运动心率应该控制在______次/分至______次/分．
20. 舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅花桩垂直于地面，且在一直线上（如图②所示）．如果在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和，且桩与桩的高度差为米，两桩的距离为米．
（1）舞狮人从跳跃到，随后再跳跃至，所成的角 ；
（2）求桩与桩的距离的长．（结果精确到米）
21. 如图，已知在中，，以A为圆心，的长为半径作圆，是的切线与的延长线交于点E．

（1）请用无刻度的直尺和圆规过点A作的垂线交的延长线于点D．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，连接．
①试判断直线与的位置关系，并说明理由；
②若，的半径为3，求的长．
22. △ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点，连接AD，在线段AD上有一点M，连接CM，以AM为直角边，点A为直角顶点，向右作等腰直角三角形AMN．
（1）如图1，若sin∠MCD＝，CD＝4，求线段MN的长；
（2）如图2，将等腰直角三角形AMN绕点A顺时针旋转α°（0°＜α°＜45°），连接CM、DM、CN，若DM∥CN，求证：4DM2+CN2＝CM2；
（3）如图3，线段MN交线段AC于点E，点P、点Q分别为线段BC、线段AC上的点，连接PM、QN，将△DPM沿PM翻折得到ΔD'PM，将△EQN沿QN翻折得到ΔE'QN，若AM＝3DM，BC＝8，在线段BC上找一点F，连接FD'、FE'，请直接写出FD'+FE'的最小值．
23. 定义：在平面直角坐标系中有两个函数的图象，如果在这两个图象上分别取点，（为自变量取值范围内的任意数），都有点和点关于点成中心对称（这三个点可以重合），那么称这两个函数互为“中心对称函数”．例如：和互为“中心对称函数”．
（1）如果点和点关于点成中心对称，那么三个数，，满足的等量关系是 ；
（2）已知函数：① 和；②和；③和，其中互为“中心对称函数”的是_____ （填序号）；
（3）已知函数的“中心对称函数”的图象与反比例函数
的图象在第一象限有两个交点，，且的面积为4．
①求的值；
②反比例函数的“中心对称函数”的图象在第一象限内是否存在最低点，若存在，直接写出反比例函数的“中心对称函数“的函数表达式和该函数图象在第一象限内最低点坐标；若不存在，请简要说明理由；
（4）已知三个不同的点，，都在二次函数（，，为常数，且）的“中心对称函数”的图象上，且满足．如果恒成立，求的取值范围．
2025年辽宁省大连市中考一模数学模拟试卷（二）
选择题（共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的帐：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：3240万，
故选：C．
2. 如图，将一个正六棱柱按如图所示的方式截去一个角，则所形成的几何体的俯视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可．
【详解】解：从上面看，看到的图形上部分是一个五边形，下部分是一个三角形，即看到的图形如下：
故选：B．
3. 若，则中最大的一个数是（ ）
A. B. C. aD. ab
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了运用有理数的概念、有理数加减运算、有理数的大小比较等知识点，掌握有理数的加减运算法则成为解题的关键．
根据有理数的概念与运算法则进行比较即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴中最大的一个数是．
故选：A．
4. 下列图案中，不能看成是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键；因此此题可根据“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形是轴对称图形”进行求解即可．
【详解】解：A、轴对称图形，故不符合题意；
B、不是轴对称图形，故符合题意；
C、是轴对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，故不符合题意；
故选B．
5. 如图，已知直线，分别交直线于点，直线相交于点，下列结论中错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【详解】解：∵，
，，，
选项A、B、C正确，不符合题意；D错误，符合题意；
故选：D．
6. 下列各式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
分析】A. ，不成立；
B. ，成立；
C. ，不成立；
D. ，不成立．
【详解】A. ，∵，故不能选；
B. ，正确，故能选；
C. ，∵，故不能选；
D. ，∵，故不能选．
故答案为B
【点睛】本题考查了整式的运算，解决问题的关键是熟练掌握乘方运算，平方差公式，完全平方公式，同底数幂除法的法则．
7. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B. 过一点有无数条直线与已知直线平行
C. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
D. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了命题与定理、平行线的判定、点到直线的距离等知识点，掌握相关的性质定理是判断命题的真假关键．
根据平行线的性质、平行公理的推论、平行线的判定、点到直线的距离的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意；
B、过一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项命题是假命题，不符合题意；
C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题，符合题意；
D、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故本选项命题是假命题，不符合题意．
故选：C．
8. 在平面直角坐标系中，点绕原点顺时针旋转得到点，左平移8个单位长度得到点，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，平移等知识， 利用旋转变换、平移变换的性质作出图形，可得结论．解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型．
【详解】解：如图，．
故选：A．
9. 现有五张质地均匀，大小完全相同的卡片，在其正面分别标有数字，，0，2，3，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽出一张后，不放回，再从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字之和为正数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】画树状图法或列表法，根据题意利用概率计算公式，进行计算即可．
【详解】解：画树状图如下：

由树状图可知，共有20种等可能结果，其中和为正数的有12种结果，
所以和为正数的概率为，
故选：C．
【点睛】本题考查了等可能情形下的概率计算，掌握概率计算的方法是解题的关键．
10. 我们知道，通过列表，描点，连线可以画出一个函数的图象．在画完函数的图象后，何老师给同学们提出一个问题：“不通过画图，你能解释为什么函数的图象经过第一、三象限吗？”．聪明的小亮经过思考，给出了这样的解答：“当时，，此时描出的点都在第一象限；当时，，此时描出的点都在第三象限．所以函数的图象一定经过第一、三象限”．大家不禁为善于思考的小亮鼓掌．最后何老师又给大家留了一道思考题：下面四个图象中哪个是函数的图象（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查函数的图形，根据的非负性，得到，进行判断即可．
【详解】解：∵为二次根式，
∴，，
∴函数图象中自变量的取值范围为：函数值的范围为，
观察图象可知，只有选项C符合题意；
故选：C．
非选择题（共90分）
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 化简分式 的结果是_______.
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了分式加减运算，根据异分母分式加减运算法则，先通分，然后再进行加减运算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
12. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围____．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的性质是解本题的关键．不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据已知解集得到为负数，即可确定出的范围．
【详解】解：不等式的解集为，
，
解得．
故答案为：．
13. 如图，直尺经过一副三角板的直角顶点，若，，的大小为__________．
【答案】##50度
【解析】
【分析】此题主要考查了三角形的外角定理，平行线的性质，准确识图，熟练掌握三角形的外角定理，平行线的性质是解决问题的关键．
先根据三角形外角定理得，再根据平行线的性质可得的度数．
【详解】解：∵是的一个外角，
，
，
，
，
，
故答案为：．
14. 如图，平行于地面的圆桌正上方有一个灯泡(看作一个点)，它发出的光线照射桌面后，在地面上形成圆形阴影，经测量得，地面上圆形阴影的半径比桌面半径大0.5米，桌面的直径为2米，桌面距离地面的高度为1.5米，则灯泡到桌面的距离为米_____．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，先根据题意画出几何模型如图，米、（米）、米、，可得，即，然后将相关数据代入即可解答．
【详解】解：构造几何模型如图：
依题意知：米，（米），米，
∵,
∴
∴ ，即，解得：，
故：灯泡距离桌面3米．
故答案为：3．
15. 如图，抛物线过点，与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C，连接AC，BC，点D是第四象限内抛物线上的一点，连接AD，CD，AD交BC于点P．当的值最小时，点D的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数的解析式，熟练运用数形结合的思想是解题的关键．
利用待定系数法求得抛物线的表达式为，过点A作x轴的平行线交的延长线于点E，过点D作交的延长线于点F，则，推导出、为定值；求得的函数表达式为，推导出，当时，的长最大，的值最小，进而求得点D的坐标即可．
【详解】解：∵抛物线过点，代入抛物线得：
∴，解得：．
∴抛物线的函数表达式为；
当时，；当时，解得或6，
∴；
设直线解析式为，代入得：
，解得：，
∴直线的函数表达式为；
如图：过点A作x轴的平行线交的延长线于点E，过点D作交的延长线于点F，即，
∵和等高，
∴，
∵轴，
∴，代入直线的函数表达式得：
，解得：，
∴，
∴为定值．
∴要使的值最小，则的长最大．
设直线的函数表达式为，，则，
∴直线的函数表达式为，
令，则，
∴，
∴当时，的长最大，的值最小，此时点D的坐标为．
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16. （1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查实数混合运算，解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法是解题的关键．
（1）先算零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，化简二次根式，再算加减即可；
（2）整理后，利用配方法求解即可．
【详解】解：（1）
（2）
解得：．
17. 为了丰富学生的阅读资源，某校图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，20本文学名著比20本人物传记多100元．（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样．）
（1）求每本文学名著和人物传记各多少元？
（2）若学校要求购买文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，请求出人物传记至多买多少本？
【答案】（1）每本文学名著25元，每本人物传记20元；
（2）人物传记至多买33本．
【解析】
【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，属于基础题型．解决这个问题的关键就是找出等量关系和不等式关系．
（1），首先设每本文学名著元，每本人物传记元，然后根据题意列出二元一次方程组，从而得出答案；
（2），设购买人物传记本，文学名著（）本，根据题意列出不等式，从而求出不等式的解，最后根据m为整数得出答案．
【小问1详解】
解：设每本文学名著元，每本人物传记元，
，
解得，
答：每本文学名著25元，每本人物传记20元．
【小问2详解】
解：设购买人物传记本，文学名著本，
，
解得：，
为整数，
，
∴人物传记至多买33本．
18. 北京冬奥会的开幕式惊艳了世界，在这背后离不开志愿者们的默默奉献，这些志愿者很多来自高校，在志愿者招募之时，甲、乙两所大学就积极组织了志愿者选拔活动，对报名的志愿者进行现场测试，现从两所大学参加测试的志愿者中分别随机抽取了20名志愿者的测试成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，满分100分，共分成五组：A．，B．，C．；D．，E．），下面给出了部分信息：
a．甲校20名志愿者的成绩在D组的数据是：90，91，91，92；
b．乙校20名志愿者的成绩是：82，89，80，85，88，89，87，96，96，99，96，92，91，93，96，97，98，92，94，100．
c．甲校抽取志愿者成绩的扇形统计图如图所示：
d．甲、乙两校抽取的志愿者成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）由上表填空：________，_______，________．
（2）若甲校有200名志愿者，乙校有300名志愿者参加了此次测试，估计甲乙两校此次参加测试的志愿者中，成绩在90分以上的志愿者共有多少人？
【答案】（1）；96；90
（2）325人
【解析】
【分析】本题主要考查了求中位数，求众数，求扇形圆心角度数，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键．
（1）根据中位数和众数的定义求出中位数和众数即可；再用360度乘以甲校C等级的占比即可得到答案；
（2）用甲乙两校的人数分别乘以其样本中得分在90分以上的人数占比，然后求和即可得到答案．
【小问1详解】
解：E的人数：（人）,
把甲校的成绩从低到高排列，处在第10名和第11名的成绩分别为91分，92分，
∴甲校的中位数；
∵乙校得分中，得96分的人数最多，
∴乙校的众数；
，
故答案为：；96；90；
【小问2详解】
解：人，
∴估计甲乙两校此次参加测试的志愿者中，成绩在90分以上的志愿者共有325人．
19. 项目化学习
项目主题：确定不同运动效果的心率范围，
项目背景：最大心率指人体在进行运动时心脏每分钟跳动的最大次数．某校综合与实践小组的同学以“探究不同运动效果的心率范围”为主题展开项目学习．
驱动任务：探究最大心率与年龄的关系．
收集数据：综合与实践小组的同学通过某医学杂志收集到不同年龄最大心率数据如下：
问题解决：
（1）根据表中的信息，可以推断最大心率y（次/分）是年龄x（周岁）的______函数关系（填“一次”“二次”或“反比例”）；求y关于x的函数表达式．
（2）已知不同运动效果时的心率如下：
20周岁的小李想要达到提升耐力的效果，他的运动心率应该控制在______次/分至______次分；30周岁的小美想要达到燃烧脂肪的效果，她的运动心率应该控制在______次/分至______次/分．
【答案】（1）一次，y关于x的函数表达式为；
（2）140，160，114，133
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握一次函数的判断及待定系数法求函数关系式是解题的关键．
（1）根据“年龄增加5周岁，最大心率减少5次/分”即可判定函数类型，然后根据待定系数法即可求得函数解析式；
（2）分别将和代入（1）中求得的函数关系式，再根据运动效果对应的运动心率占最大心率的百分比计算即可．
小问1详解】
解：根据表中的信息可知，年龄增加5周岁，最大心率减少5次/分，
∴可以推断最大心率y（次/分）是年龄x（周岁）的一次函数关系．
故答案为：一次．
设y关于x的函数关系式为（k、b为常数，且）．
将和分别代入,
得，解得：，
∴y关于x的函数关系式为．
【小问2详解】
解：当时，，（次/分），（次/分），
∴小李的运动心率应该控制在140次/分至160次/分；
当时，，（次/分），（次/分），
∴小美的运动心率应该控制在114次/分至133次/分．
故答案为：140，160；114，133．
20. 舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅花桩垂直于地面，且在一直线上（如图②所示）．如果在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和，且桩与桩的高度差为米，两桩的距离为米．
（1）舞狮人从跳跃到，随后再跳跃至，所成的角 ；
（2）求桩与桩的距离的长．（结果精确到米）
【答案】（1）
（2）米
【解析】
【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形的运用，理解并掌握解直角三角形的计算是解题的关键．
（1）根据仰俯角，平角为即可求解；
（2）过点作，分别交于点，则四边形、、都是矩形，设米，则米，在中，由函数函数的计算，得到，在中，，得到，由，即可求解．
【小问1详解】
解：在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：过点作，分别交于点，
∵，，，
∴，
∴四边形、、都是矩形，
∴，
设米，则米，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴ ，
解得， （米），
答：桩与桩的距离的长约为米．
21. 如图，已知在中，，以A为圆心，的长为半径作圆，是的切线与的延长线交于点E．

（1）请用无刻度的直尺和圆规过点A作的垂线交的延长线于点D．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，连接．
①试判断直线与的位置关系，并说明理由；
②若，的半径为3，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）①与相切，理由见解析；②6
【解析】
【分析】（1）使用尺规作图作线段垂线，分别以点、点为圆心，作半径相同的圆弧，交于一点，连接点A与该点并延长交的延长线于点．
（2）①根据垂直平分线性质求得，则与相切；
②在中，由勾股定理可得即可得，在中，由即可求解．
【小问1详解】
如图，为所作垂线；
【小问2详解】
①与相切，理由如下∶
在中，是的垂线，
，且是的垂直平分线，
，
，
与相切于点，
，即，
与相切；
②在中，
根据勾股定理，得：
在中，
【点睛】本题考查圆的切线的判定定理、垂直平分线性质和勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
22. △ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点，连接AD，在线段AD上有一点M，连接CM，以AM为直角边，点A为直角顶点，向右作等腰直角三角形AMN．
（1）如图1，若sin∠MCD＝，CD＝4，求线段MN的长；
（2）如图2，将等腰直角三角形AMN绕点A顺时针旋转α°（0°＜α°＜45°），连接CM、DM、CN，若DM∥CN，求证：4DM2+CN2＝CM2；
（3）如图3，线段MN交线段AC于点E，点P、点Q分别为线段BC、线段AC上的点，连接PM、QN，将△DPM沿PM翻折得到ΔD'PM，将△EQN沿QN翻折得到ΔE'QN，若AM＝3DM，BC＝8，在线段BC上找一点F，连接FD'、FE'，请直接写出FD'+FE'的最小值．
【答案】（1）4﹣2
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）首先利用解直角三角形求出DM＝，得到AM=4﹣，然后利用解直角三角形得到MN的值；
（2）连接BM并延长交CN于E，首先利用△BAM≌△CAM得到∠MBA＝∠ACN，BM＝AN，再利用△BDM∽△BCE得出结果；
（3）利用勾股定理得到GN＝，在利用△GFD∽△GNA求出MF＝GF＝，得出结果．
【小问1详解】
解：∵∠BAC＝90°，点D是BC的中点，AB＝AC，
∴AD＝CD＝＝4，AD⊥BC，
∵sin∠MCD＝，
∴tan∠MCD＝＝，
∴DM＝CD•tan∠MCD＝4×＝，
∴AM＝AD﹣DM＝4﹣，
在Rt△AMN中，
MN＝＝＝4﹣2；
【小问2详解】
证明：如图1，
连接BM并延长交CN于E，
∵∠BAC＝∠MAN＝90°，
∴∠BAC﹣∠MAC＝∠MAN﹣∠MAC，
即：∠BAM＝∠CAN，
在△BAM和△CAN中，
，
∴△BAM≌△CAM（SAS），
∴∠MBA＝∠ACN，BM＝CN，
∴点A、B、C、E共圆，
∴∠BEC＝∠BAC＝90°，
∴EM2+CE2＝CM2，
∵DM∥CN，
∴△BDM∽△BCE，
∴，
∴CE＝2DM，EM＝BM，
∴EM＝CN，
∴4DM2+CN2＝CM2；
【小问3详解】
如图2，
∵AD＝CD＝BC＝4，AM＝3DM，
∴DM＝1，AM＝3，MN＝＝3，NE＝MN＝，
∵MD′＝DM＝1，NE′＝NE＝，
∴点D′在以M为圆心，1为半径的圆上，点E′在以N为圆心，为半径的圆上，
作点M关于BC的对称点G，连接GN交BC于F，交⊙N于E′，
则FD'+FE'的最小，
在Rt△AGN中，AG＝DG+AD＝1+4＝5，AN＝3，
∴GN＝＝＝，
∵DF∥AN，
∴△GFD∽△GNA，
∴，
∴，
∴GF＝，
∴MF＝GF＝，
∴FD'+FE'＝MF﹣MD′+FN﹣NE′＝GF+FN﹣NE′﹣MD′＝GN﹣NE′﹣MD′，
即：．
【点睛】本题是几何综合题，利用轴对称确定最小值时点F的位置是解决问题的关键．
23. 定义：在平面直角坐标系中有两个函数的图象，如果在这两个图象上分别取点，（为自变量取值范围内的任意数），都有点和点关于点成中心对称（这三个点可以重合），那么称这两个函数互为“中心对称函数”．例如：和互为“中心对称函数”．
（1）如果点和点关于点成中心对称，那么三个数，，满足的等量关系是 ；
（2）已知函数：① 和；②和；③和，其中互为“中心对称函数”的是_____ （填序号）；
（3）已知函数的“中心对称函数”的图象与反比例函数
的图象在第一象限有两个交点，，且的面积为4．
①求的值；
②反比例函数的“中心对称函数”的图象在第一象限内是否存在最低点，若存在，直接写出反比例函数的“中心对称函数“的函数表达式和该函数图象在第一象限内最低点坐标；若不存在，请简要说明理由；
（4）已知三个不同的点，，都在二次函数（，，为常数，且）的“中心对称函数”的图象上，且满足．如果恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）②③ （3）①；②
（4）
【解析】
【分析】（1）根据中心对称的性质，得点为点和点连线的中点，即可得到；
（2）由（1）得当时，函数和互为“中心对称函数”，分别将①，②，③组内的两函数相加，若结果为，则互为“中心对称函数”，由此即可得出答案；
（3）先求出函数的“中心对称函数”是，由，为函数与反比例函数的图象在第一象限的两个交点，可设，，再利用割补法求三角形面积得，进而得，再将的代数式代入点坐标，根据反比例函数的值相等，得，求解即可得点的坐标，进而得的值，然后求出的“中心对称函数”为，根据不等式公式可得当时，，当时，在第一象限内的值最小，求解即可得该函数在第一象限内最低点坐标；
（4）由“中心对称函数”的定义得的“中心对称函数”为，根据，都在的图象上，可得，，再根据，将，的代数式代入不等式，得，结合，将不等式化简变形得，再根据点，的纵坐标相等，得抛物线的对称轴为，即，即可得到的取值范围为，然后令，化为顶点式为，根据二次函数的增减性即可得的取值范围．
【小问1详解】
解：点和点关于点成中心对称，
，
故答案为：．
【小问2详解】
解：①令，，
，
和不互为“中心对称函数”，
②令，
，
和互为“中心对称函数”，
③令和，
，
和互为“中心对称函数”，
故答案为：②③．
【小问3详解】
解：函数的“中心对称函数”是，
如图，令函数与轴，轴的交点分别为，，
令，则，故，
令，则，得，故，
点，为函数与反比例函数的图象在第一象限的两个交点，
设，，
，的面积为4，
，
，
，
，
解得，，
，
，
，
的“中心对称函数”为，
当时，，
，即时，的值最小，
的函数图象在第一象限内最低点坐标为．
【小问4详解】
解：的“中心对称函数”为，
，都在的图象上，
，，
，
，
，
，
，
，
，
点，的纵坐标相等，
抛物线的对称轴为，即，
，
，
，
令，
当时，随的增大而减小，
时，，即，
恒成立，
．
【点睛】本题综合考查了中心对称的性质，二次函数的图象与性质，反比例函数与一次函数交点问题，不等式的求解，解题关键是读懂题意，理解“中心对称函数”的定义，利用中心对称的性质找到的等量关系，利用割补法求三角形面积，确定反比例函数图象与直线的交点坐标，及待定系数法求函数解析式，掌握不等式的性质，利用二次函数的对称性求对称轴及利用二次函数的增减性求最值．
学校
平均数
中位数
众数
方差
甲
92
a
95
乙
92
b
年龄x/周岁
12
17
22
27
32
37
42
47
最大心率y/（次/分）
208
203
198
193
188
183
178
173
运动效果
运动心率占最大心率的百分比
燃烧脂肪
提升耐力
学校
平均数
中位数
众数
方差
甲
92
a
95
乙
92
b
年龄x/周岁
12
17
22
27
32
37
42
47
最大心率y/（次/分）
208
203
198
193
188
183
178
173
运动效果
运动心率占最大心率的百分比
燃烧脂肪
提升耐力