安徽省六安市第九中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份安徽省六安市第九中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，（本大题2小题，满分2分，等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共1日小题，每小题4分，满分40分）
1. 2025相反数是（ ）
A B. 2025C. D.
2. 下列计算正确的是（ ）
A B. C. D.
3. 六安是革命老区，拥有丰富的自然资源和人文景观，如天堂寨、万佛湖、皖西大裂谷、红军广场等著名景点．2024年8月至10月，六安市旅游收入约150亿元．其中150亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图所示为某机械零件的示意图，其左视图是（ ）
A. B. C. D.
5. 自2016年我国正式实施全面两孩政策以来，六安市学龄儿童人数逐年增长，某校2022年新生入学数是600人，2024年新生入学人数达到726人，若设入学人数的年平均增长率为x，则以下方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，直线，直角三角形如图放置，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知a，b，c为实数，且，，则a，b，c之间的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图，关于各月空气质量为优的天数，下列结论错误的是（ ）
A. 五月份空气质量为优的天数是16天B. 这组数据的众数是15天
C. 这组数据的中位数是15天D. 这组数据的平均数是15天
9. 已知反比例函数与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）
A B. C. D.
10. 如图，P是矩形内的任意一点，连接，，，，得到，，，，设它们的面积分别是，，，，矩形的面积为S，，．则下列结论中正确的有（ ）
①若，则周长的最小值为16；
②若，则的最小值为；
③若，则的最小值为；
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
二、填空题（本大题4小题，每小题5分，满分20分）
11. 分解因式：________．
12. 如图，是的直径，C，D是上的两点，若，则__________．
13. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，与轴交于点，与轴交于点，若，，则的值为__________．
14. 如图，在中，，，，M是的中点，N是上任意一点，以为对称轴折叠，得到，点A的对应点为点D（点B，N，D在的同一侧）．
（1）当时，__________；
（2）当时，的长为__________．
三、（本大题2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
16. 2024年春节联欢晚会的吉祥物“龙辰辰”具有龙年吉祥，幸福安康的寓意，深受大家喜欢．某商场第一次用2400元购进一批“龙辰辰”玩具，很快售完；该商场第二次购进该“龙辰辰”玩具时，进价提高了，同样用2400元购进的数量比第一次少10件，求第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是多少钱？
四、（本大题2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）画出关于y轴对称的；
（2）画出绕点A逆时针旋转后得到的，并直接写出点B旋转到点的过程中所经过的路径长__________．（结果保留）
18. 观察下列等式的规律：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：；…….；按照以上规律，解决下列问题：
(1)直接写出第6个等式：
(2)请写出你猜想的第n个等式(用含n的代数式表示)，并证明．
五、（本大题2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
20. 如图，它是位于安徽省金寨县红色广场的革命烈士纪念塔．它不仅是金寨的地标，更是中国革命精神的象征．某兴趣小组想测量纪念塔的高度，先在A处仰望塔顶C，测得仰角为，再往塔的方向前进14米到达B处，测得塔顶C的仰角为．求纪念塔的高度．（结果精确到1米；参考数据：，，）
六、（本大题2小题，满分2分，
21. 为深化素质教育，促进学生全面发展，六安九中开展了丰富多彩的社团活动．为了了解七年级新生对选择社团的意向，对我校2000名七年级新生进行了抽样调查．
秦奋同学根据有效问卷绘制了如图所示的两幅统计图（不完整），请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求扇形统计图中m的值，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，“B．足球、篮球社团”部分所占圆心角度数为__________；
（3）在社团招新生时，七（2）班的甲同学从他喜欢的A．机器人社团、B．足球、篮球社团、C．庐剧社团中随机选择了一个社团，乙同学也从他喜欢的A．机器人社团、C．庐剧社团、D．民乐社团中随机选择了一个社团，求他们进入了同一社团的概率．
七、（本大题2小题，满分12分）
22. 在平行四边形中，分别为边上的点，且，连接．
（1）如图，若，在上截取，连接，求证：；
（2）如图，若，，求的值．
八、（本大题2小题，满分14分）
23. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点向下平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．
2025年春学期九年级第五次综合素质评价数学试题
满分：150分时间：120分钟
一、选择题（本大题共1日小题，每小题4分，满分40分）
1. 2025的相反数是（ ）
A. B. 2025C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，据此可得答案．
【详解】解：2025的相反数是，
故选：C．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查合并同类项，同底数幂相除，积乘方，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
根据合并同类项法则计算判定A，根据同底数幂相除的法则计算并判定B，根据积的乘方的法则计算并判定C，根据幂的乘方的法则计算并判定D．
【详解】解：A、，故此选项计算错误，不符合题意；
B、，故此选项计算错误，不符合题意；
C、，故此选项计算正确，符合题意；
D、，故此选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
3. 六安是革命老区，拥有丰富的自然资源和人文景观，如天堂寨、万佛湖、皖西大裂谷、红军广场等著名景点．2024年8月至10月，六安市旅游收入约150亿元．其中150亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：150亿，
故选：B．
4. 如图所示为某机械零件的示意图，其左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：观察图形可知，某零件的立体图如图所示，其左视图是
故选：C．
5. 自2016年我国正式实施全面两孩政策以来，六安市学龄儿童人数逐年增长，某校2022年新生入学数是600人，2024年新生入学人数达到726人，若设入学人数的年平均增长率为x，则以下方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据2022年到2024年新生入学人数，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：．
故选：B．
6. 如图，直线，直角三角形如图放置，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
由平行线的性质可求得，从而可求的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
7. 已知a，b，c为实数，且，，则a，b，c之间的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据得，根据得，则，即可得，综上，即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
故选：A
【点睛】本题考查了实数比较大小，解题的关键是掌握完全平方公式，配方法．
8. 如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图，关于各月空气质量为优的天数，下列结论错误的是（ ）
A. 五月份空气质量为优的天数是16天B. 这组数据的众数是15天
C. 这组数据的中位数是15天D. 这组数据的平均数是15天
【答案】D
【解析】
【分析】根据折线统计图及中位数、众数、平均数的意义逐项判断即可．
【详解】解：观察折线统计图知，五月份空气质量为优的天数是16天，故选项A正确，不符合题意；
15出现了3次，次数最多，即众数是15天，故选项B正确，不符合题意；
把数据按从低到高排列，位于中间的是15，15，即中位数为15天，故选项C正确，不符合题意；
这组数据的平均数为：，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了折线统计图、一组数据的中位数、众数、平均数等知识，掌握以上基础知识是解本题的关键.
9. 已知反比例函数与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质，由一次函数与反比例函数图象得出，，从而得出抛物线对称轴为直线，由反比例函数与一次函数的图象的交点的横坐标为得出，再求出对称轴为直线，结合抛物线对称轴的位置即可得出答案．
【详解】解：反比例函数图象在第二、四象限，
，
一次函数交于轴于正半轴，
，
反比例函数与一次函数的图象的交点的横坐标为，
，
，
，
解得：，
，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
对称轴为直线，
对称轴在到之间，
函数的图象可能为
故选：A．
10. 如图，P是矩形内任意一点，连接，，，，得到，，，，设它们的面积分别是，，，，矩形的面积为S，，．则下列结论中正确的有（ ）
①若，则周长的最小值为16；
②若，则的最小值为；
③若，则的最小值为；
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，线段最短，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．过点P作于点M，交于点N，证明，根据条件，利用两点之间线段最短，矩形的性质，三角形相似的判定和性质，面积的性质解答即可．
【详解】解：过点P作于点M，交于点N，
∵矩形，
∴四边形，都是矩形，，
∴
，
同理可证，，
∴，
①若，则
∴，
∴
∴，
∴直线是矩形的对称轴，
∴，
∴，
当三点共线时，最小，
∵，，
∴，
∴周长最小值为，正确；
②连接，设的中点为点O，
若，且
∴，
∴点P在，
根据垂线段最短，
∴时，最小，
∵，，
∴，
∴，故最小值为，正确；
③若，则，
过点D作，交延长线于点F，过点B作于点E，
则，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得(舍去)，
∴，
根据垂线段最短，
∴最小值为，错误；
故选：C．
二、填空题（本大题4小题，每小题5分，满分20分）
11. 分解因式：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解中的提取公因式法和公式法的综合运用．先提取公因式，然后利用平方差公式继续分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
12. 如图，是的直径，C，D是上的两点，若，则__________．
【答案】##60度
【解析】
【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握直径所对的圆周角是直角、同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角得到，求出，根据圆周角定理解答即可．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，与轴交于点，与轴交于点，若，，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，三角形相似的判定和性质，反比例函数系数的几何意义，求得利用三角形面积公式结合求得，根据 ，求得，作轴于， 则即可证得，利用三角形相似的性质求得即可得到，利用反比例函数系数的几何意义求得，求得的面积是解题的关键．
【详解】解：∵直线 与y轴交于点，与轴交于点，
，
，，
，
，
，
作轴于，则，如图：
又∵，
，
，
，
，
，且，
，
故答案为：．
14. 如图，在中，，，，M是的中点，N是上任意一点，以为对称轴折叠，得到，点A的对应点为点D（点B，N，D在的同一侧）．
（1）当时，__________；
（2）当时，的长为__________．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质：
（1）当时，由直角三角三角形的性质，求出，再根据折叠的性质可得，最后利用三角形内角和定理即可求解；
（2）过点M作 于点E，根据折叠的性质可知，证明，利用直角三角形的性质求出，，利用勾股定理求出，进而求出，同理求出，由即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
故答案为：；
（2）过点M作 于点E，
∵，
∴，
根据折叠的性质可知，
∴，
∴，
.∴，
∵ M是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、（本大题2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握零次幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值是解题的关键．根据零次幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行计算即可求解．
【详解】解：原式
．
16. 2024年春节联欢晚会的吉祥物“龙辰辰”具有龙年吉祥，幸福安康的寓意，深受大家喜欢．某商场第一次用2400元购进一批“龙辰辰”玩具，很快售完；该商场第二次购进该“龙辰辰”玩具时，进价提高了，同样用2400元购进的数量比第一次少10件，求第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是多少钱？
【答案】40元
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是元钱，则第二次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是元，根据该商场第二次同样用2400元购进的数量比第一次少10件，列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：设第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是元钱，则第二次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是40元．
四、（本大题2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）画出关于y轴对称的；
（2）画出绕点A逆时针旋转后得到的，并直接写出点B旋转到点的过程中所经过的路径长__________．（结果保留）
【答案】（1）作图见解析
（2）作图见解析，
【解析】
【分析】本题考查了利用旋转变换作图，轴对称和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
（1）根据题意画出即可；关于y轴对称点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标不变；
（2）根据网格结构找出点、以点为旋转中心逆时针旋转后的对应点，然后顺次连接即可；先求出，再由旋转角等于，利用弧长公式即可求出．
【小问1详解】
解：如图，为所求；
【小问2详解】
解：如图，为所求；
，
点B旋转到点的过程中所经过的路径长．
18. 观察下列等式的规律：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：；…….；按照以上规律，解决下列问题：
(1)直接写出第6个等式：
(2)请写出你猜想的第n个等式(用含n的代数式表示)，并证明．
【答案】（1）；（2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）通过观察即可得到第6个等式；
（2）根据已知等式得到第n个等式，并进行证明.
【详解】（1）根据前5个等式，得到第6个等式为：，
（2）根据前5个等式，得到第n个等式为：，
证明：等式左边====右边，
∴.
【点睛】此题考查数字的规律探究，通过观察和类比得到一般规律是解题的关键.
五、（本大题2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；
（2）由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得，再根据相似三角形的性质可求出答案．
【小问1详解】
证明：连接，如图所示：

是的直径，
，
，
又，
，
又．
，即，
是的切线；
【小问2详解】
解：，，
，
在中，，，
，则，
，
，，
，
，
设，则，，
，即，解得或（舍去），
．
【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形及相似三角形的判定与性质，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．
20. 如图，它是位于安徽省金寨县红色广场的革命烈士纪念塔．它不仅是金寨的地标，更是中国革命精神的象征．某兴趣小组想测量纪念塔的高度，先在A处仰望塔顶C，测得仰角为，再往塔的方向前进14米到达B处，测得塔顶C的仰角为．求纪念塔的高度．（结果精确到1米；参考数据：，，）
【答案】纪念塔的高度为24米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．解题的关键在于熟练掌握三角函数的定义．在中，解直角三角形求出；在中，先求出，再求出；，即可求解．
【详解】解：∵在中，，
∴；
∵在中，，
∴，
∴；
∵米，
∴，即，
∴（米），
答：纪念塔的高度为24米．
六、（本大题2小题，满分2分，
21. 为深化素质教育，促进学生全面发展，六安九中开展了丰富多彩社团活动．为了了解七年级新生对选择社团的意向，对我校2000名七年级新生进行了抽样调查．
秦奋同学根据有效问卷绘制了如图所示的两幅统计图（不完整），请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求扇形统计图中m的值，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，“B．足球、篮球社团”部分所占圆心角的度数为__________；
（3）在社团招新生时，七（2）班的甲同学从他喜欢的A．机器人社团、B．足球、篮球社团、C．庐剧社团中随机选择了一个社团，乙同学也从他喜欢的A．机器人社团、C．庐剧社团、D．民乐社团中随机选择了一个社团，求他们进入了同一社团的概率．
【答案】（1），补全条形统计图见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，求解扇形的圆心角，利用画树状图求解随机事件的概率，掌握以上基础知识是解本题的关键；
（1）由C类人数除以其占比可得总人数，再求解A类人数，补全图形即可；
（2）由B类的占比乘以即可得到圆心角；
（3）先画树状图得到所有等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可．
小问1详解】
解：总人数（人）．
A类人数（人）．
∵，
∴；
条形统计图如图：
【小问2详解】
解：∵，
∴“B．足球、篮球社团”部分所占圆心角的度数为；
【小问3详解】
解：画树状图如下：
共有9种等可能结果，其中甲乙进入同一社团的有2种结果．
所以（甲乙进入同一社团）．
七、（本大题2小题，满分12分）
22. 在平行四边形中，分别为边上的点，且，连接．
（1）如图，若，在上截取，连接，求证：；
（2）如图，若，，求的值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（）利用菱形的性质证明为等边三角形，得到，，进而证明，得到，即可求证；
（）如图，在上截取，连接，证明得到，可设，，再证明，得，可设，，可得，，即得，得到，据此即可求解；
本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握菱形的性质、等边三角形的判定和性质是解题的关键．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，，
四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
，为等边三角形，
，，
∴，
∴，
∵，
∴，
，，
，
，
，
，
∴；
【小问2详解】
解：如图，在上截取，连接，
由（）得，
，
．
，
，
设，则，
由（）知是等边三角形，
，，
，
设，则，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
．
八、（本大题2小题，满分14分）
23. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点向下平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，
（1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式；
（2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可；
（3）分，时，时，建立方程解题即可．
【小问1详解】
解：设二次函数的解析式为，
把代入得，
解得，
∴；
【小问2详解】
解：点B平移后的点的坐标为，
则，
解得或（舍），
∴m的值为；
【小问3详解】
解：当时，
∴最大值与最小值的差为，
解得：不符合题意，舍去；
当时，
∴最大值与最小值的差为，符合题意；
当时，
最大值与最小值的差为，
解得或（舍去）；
综上所述，n的取值范围为．
调查问卷
1．你最喜欢的社团_________（单选）
A．机器人社团 B．足球、篮球社团 C．庐剧社团 D．民乐社团
调查问卷
1．你最喜欢的社团_________（单选）
A．机器人社团 B．足球、篮球社团 C．庐剧社团 D．民乐社团