2024-2025学年江苏省南京市高一上册9月考数学学情检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年江苏省南京市高一上册9月考数学学情检测试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则=
A {1}B. {3，5}C. {1，2，4，6}D. {1，2，3，4，5}
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 已知集合，若，则实数a的取值所组成的集合是（ ）
A. B. C. 0，D. 0，
4. 已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A. B. 2C. D. 4
5. 命题p：，，则“”是“p为真命题”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（ ）
A. 或B.
C. D. 或
7. 已知关于的不等式的解集是，则下列说法错误的是（ ）
A.
B.
C.
D. 不等式的解集是
8. 数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个三角形三边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的周长为12，，则此三角形面积的最大值为（ ）
A. 4B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分．
9. 若，则下列不等式中正确的是（ ）
A. B.
C D.
10. “集合只有3个真子集”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A. B.
C. D.
11. 下列说法错误的是（ ）
A. 的零点为，；
B. “，都是偶数”是“是4的倍数”的既不充分也不必要条件；
C. 已知正实数，满足，则的最小值为；
D. 的最小值为．
三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分．
12. 计算得________．
13. 若命题“，”为假命题，则的取值范围为______.
14. 已知正实数满足，则的最小值是__________．
四、解答题：本题共3小题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若，求实数的取值范围．
16. 已知关于不等式的解集为或．
（1）求，的值；
（2）当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围；
（3）关于的不等式的解集中恰有5个正整数，求实数的取值范围．
17. 已知某污水处理厂月处理成本y（万元）与月处理量x（万吨）之间的函数关系可近似地表示为．当月处理量为120万吨时，月处理成本为49万元．该厂处理1万吨污水所收费用为0.9万元．
（1）该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低？
（2）请写出该厂每月获利（万元）与月处理量x（万吨）之间的函数关系式，并求出每月获利的最大值，
2024-2025学年江苏省南京市高一上学期9月考数学学情检测试题
一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则=
A. {1}B. {3，5}C. {1，2，4，6}D. {1，2，3，4，5}
【正确答案】C
【详解】试题分析：根据补集的运算得．故选C.
【考点】补集的运算.
【易错点睛】解本题时要看清楚是求“”还是求“”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误．
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C ，D. ，
【正确答案】B
【分析】根据全称量词命题的否定直接得出结果.
【详解】命题“，”的否定为“，”，故B正确.
故选：B
3. 已知集合，若，则实数a的取值所组成的集合是（ ）
A. B. C. 0，D. 0，
【正确答案】D
【分析】等价于，分、两种情况讨论，从而可得答案.
【详解】.
当时，为空集，满足条件.
当时，或，解得或.
综上可得，实数a的取值所组成的集合是2，.
故选：D.
本题主要考查集合的表示方法，空集的定义，以及并集与子集的定义，属于基础题.
4. 已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A. B. 2C. D. 4
【正确答案】B
【分析】由基本不等式可得，即可求得的最小值.
【详解】因为，都是正数，且满足，
则，则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
5. 命题p：，，则“”是“p为真命题”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】B
【分析】先由，求出的取值范围，再根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可.
【详解】因，，
所以，得，
因为当时，不一定成立，而当时，一定成立，
所以“”是“p为真命题”的必要不充分条件.
故选：B
6. 已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（ ）
A. 或B.
C. D. 或
【正确答案】B
【分析】根据方程的两根都大于2，分析函数的图象特征列出不等式组求解即可.
【详解】根据题意，二次函数的图象与轴的两个交点都在2的右侧，
根据图象可得，即，
解得.
故选：B.
7. 已知关于的不等式的解集是，则下列说法错误的是（ ）
A.
B.
C.
D. 不等式的解集是
【正确答案】C
【分析】根据给定的解集可得且，再代入各个选项即可判断正误.
【详解】因为关于的不等式的解集是，
则，且1，3是方程的两个根，
于是得，解得，
对于A，由，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，不等式化为，
即，解得或，故D正确.
故选：C.
8. 数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个三角形的三边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的周长为12，，则此三角形面积的最大值为（ ）
A. 4B. C. D.
【正确答案】C
【分析】由题意得，，代入化简后利用基本不等式可求得答案
【详解】由题意得，，
则，
当且仅当时，等号成立，此时三角形的面积有最大值，且最大值为．
故选：C
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分．
9. 若，则下列不等式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】AC
【分析】对于A，利用不等式的性质判断，对于BD，举例判断，对于C，由函数的单调性判断
【详解】解：对于A，因为，，所以，所以A正确，
对于B，由A可知，若，则，所以B错误，
对于C，由A可知，因为在上为增函数，所以，所以C正确，
对于D，由A可知，若，则，所以D错误，
故选：AC
10. “集合只有3个真子集”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】ABD
【分析】由集合A中只有2个元素，求的取值范围，再通过包含关系验证结论成立的充分不必要条件.
详解】集合只有3个真子集，即集合A中只有2个元素，
因为，则有：
当时，；
当时，；
当时，；
则的取值范围为，故其充分不必要条件为小范围，
可知选项ABD中的范围符合充分不必要条件；C不符合充分不必要条件.
故选：ABD.
11. 下列说法错误的是（ ）
A. 的零点为，；
B. “，都是偶数”是“是4的倍数”的既不充分也不必要条件；
C. 已知正实数，满足，则的最小值为；
D. 的最小值为．
【正确答案】ACD
【分析】A 选项通过零点的概念判断，不正确；B充分性和必要性的定义判断；C选项运用基本不等式“1”的代换求最小值，不正确； D选项没有注意不满足取到最小值的条件，不正确.
【详解】A选项，函数的零点指使函数值为0的自变量的取值，而不是点，A不正确；
B选项，若，则不是4的倍数，若，是4的倍数，则不都是偶数，
即“，都是偶数”是“是4的倍数”的既不充分也不必要条件，B正确；
C选项，因为所以，可得即得，
，
当且仅当，即时，等号成立，
则的最小值为，C不正确；
D选项，，
而无解，即等号不成立，
因此，的最小值不为，故D错误
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分．
12. 计算得________．
【正确答案】
【分析】利用指数的运算性质即可求解.
【详解】.
故
本题考查了指数的运算性质，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
13. 若命题“，”为假命题，则的取值范围为______.
【正确答案】
【分析】根据已知条件知命题“，”为真命题，再分类讨论，即可求解.
【详解】由题意可知，命题“，”为真命题.
当时，可得.
若，则有，符合题意；
若，则有，解得，不符合题意；
当时，则，解得.
综上，的取值范围是.
故答案为.
14. 已知正实数满足，则的最小值是__________．
【正确答案】9
【分析】设，可得，结合得到，利用基本不等式可得结果.
【详解】，
，，
设，可得，
则
，
当时，当“=”成立，即的最小值是9，故答案为9.
本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
四、解答题：本题共3小题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15 已知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若，求实数的取值范围．
【正确答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）求出集合，利用并集的定义可求得集合；
（2）利用可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；
（3）分和两种情况讨论，结合可得出关于实数的不等式组，可求得实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，则；
（2）由知1−m>2m2m≤11−m≥3，解得，即的取值范围是；
（3）由得
①若，即时，符合题意；
②若，即时，需或．
得或，即．
综上知，即实数的取值范围为．
易错点睛：在求解本题第（3）问时，容易忽略的情况，从而导致求解错误.
16. 已知关于的不等式的解集为或．
（1）求，的值；
（2）当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围；
（3）关于的不等式的解集中恰有5个正整数，求实数的取值范围．
【正确答案】（1），
（2）
（3）
【分析】（1）根据不等式的解集和对应方程的关系，即可求解；
（2）利用基本不等式求的最小值，不等式转化为，即可求解；
（3）首先求解不等式的解集，再根据集合中恰有5个正整数，即可求解得到取值范围.
【小问1详解】
由题意可知，，且方程有两个实数根，分别为和，
则，得，则，得，
所以，；
【小问2详解】
，，所以，，
，
当，即时，等号成立，
所以的最小值为8，
不等式恒成立，即，
即，解得：；
【小问3详解】
，，
不等式的解集中恰有5个正整数，
即的解集中恰有5个正整数，
即集合中恰有5个正整数，
所以，解得.
17. 已知某污水处理厂的月处理成本y（万元）与月处理量x（万吨）之间的函数关系可近似地表示为．当月处理量为120万吨时，月处理成本为49万元．该厂处理1万吨污水所收费用为0.9万元．
（1）该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低？
（2）请写出该厂每月获利（万元）与月处理量x（万吨）之间的函数关系式，并求出每月获利的最大值，
【正确答案】（1）当每月污水处理量为万吨时，每万吨的处理成本最低
（2），最大值为万元
【分析】（1）先求得，利用基本不等式求得正确答案.
（2）先求得的解析式，然后根据二次函数的性质求得正确答案.
【小问1详解】
依题意，，解得，
所以，
，
当且仅当时等号成立，
所以当每月污水处理量为万吨时，每万吨的处理成本最低.
【小问2详解】
依题意，，
当万吨时，取得最大值为万元.