2024-2025学年湖南省邵东市高一上册10月月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年湖南省邵东市高一上册10月月考数学检测试题（含解析），共18页。试卷主要包含了 命题“”的否定是， 已知集合，，那么， 函数的零点是， “”是“”， 已知集合，若，则实数的值为， 已知集合，若，则的值可能是等内容，欢迎下载使用。
1. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知集合，，那么（ ）
A. B. C. D.
3. 函数的零点是（ ）
A. B. 1，2C. D.
4. “”是“”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 已知集合，若，则实数的值为（ ）
A. 2B. C. 2或D. 4
6. 对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（ ）
A.
B.
C. 若，则
D. 整数属于同一“类”的充分不必要条件是“”
8. 在数学中，对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点.已知函数在区间上恰有两个不同的不动点，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 已知集合，若，则的值可能是（ ）
A. -4B. -2C. 0D. 2
10. 对于实数，下列命题为假命题的有（ ）
A 若，则.
B. 若，则.
C. 若则.
D. 若，则.
11. 已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（ ）
A.
B.
C. 若不等式的解集为，则
D. 若不等式的解集为，且，则
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，，若，则实数a的取值范围是______.
13. 研究问题：“已知关于x的不等式的解集为，解关于x的不等式”，有如下解决方案：
解：由，令，则，
所以不等式的解集为.
参考上述解法，已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为_____________.
14. 已知正数满足，则的最小值是_______.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 设全集R，集合，．
（1）分别求，；
（2）已知，若，求实数a的取值范围．
16. （1）已知且，求使不等式恒成立实数的取值范围.
（2）已知，且，求的最小值.
17. 已知集合，且.
（1）若“命题，”是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
18. 2022年8月9日，美国总统拜登签署《2022年芯片与科学法案》．对中国的半导体产业来说，短期内可能会受到“芯片法案”负面影响，但它不是决定性的，因为它将激发中国自主创新的更强爆发力和持久动力．某企业原有400名技术人员，年人均投入万元，现为加大对研发工作的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元．
（1）若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少人？
（2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入始终不减少．请问是否存在这样的实数，满足以上两个条件，若存在，求出的范围；若不存在，说明理由．
19. 已知集合非空数集，定义.
（1）若集合，直接写出集合，
（2）若集合，且，求证：；
（3）若集合，记为集合中元素的个数，求的最大值.
2024-2025学年湖南省邵东市高一上学期10月月考数学检测试题
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】根据含有一个量词命题的否定形式即可得出结论.
【详解】易知命题“”的否定是“”.
故选：B
2. 已知集合，，那么（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】
求出集合、，利用交集的定义可求得集合.
【详解】，，因此，.
故选：C.
本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.
3. 函数的零点是（ ）
A. B. 1，2C. D.
【正确答案】D
【分析】利用零点定义解方程可得结论.
【详解】令，解得，
由零点定义可得函数的零点是.
故选：D
4. “”是“”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】利用充分、必要条件的概念计算即可.
【详解】由可以得出，满足充分性，
而可得，不满足必要性，即A正确.
故选：A
5. 已知集合，若，则实数的值为（ ）
A. 2B. C. 2或D. 4
【正确答案】B
【分析】根据元素与集合之间的关系，分类讨论、、，即可求解.
【详解】由，
若，则，不符合集合元素的互异性；
若，则或（舍），，此时符合集合元素的特性；
若，即，则不符合集合元素的互异性.
故.
故选：B.
6. 对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】分类讨论，利用判别式小于0，即可得到结论
【详解】当，即时，，恒成立；
当时，，解之得，
综上可得
故选：D
7. 在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（ ）
A.
B.
C 若，则
D. 整数属于同一“类”的充分不必要条件是“”
【正确答案】C
【分析】根据“类”的定义可直接判断AB均错误，根据可得，即C正确，整数属于同一“类”的充要条件是“”，即D错误.
【详解】对于A，易知，能被整除，因此可得，即A错误；
对于B，可得，因此可得，可得B错误；
对于C，由可设，
所以，即，所以C正确；
对于D，整数属于同一“类”，则余数相同，作差余数为0，即，可知充分性成立；
若，则除以5之后余数相同，故整数属于同一“类”，
因此整数属于同一“类”的充要条件是“”，即D错误.
故选：C
8. 在数学中，对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点.已知函数在区间上恰有两个不同的不动点，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】根据不动点的定义列出方程，转化为二次函数零点问题，根据二次函数零点的分布列不等式求解即可.
【详解】根据题意可得：在上恰有两个解，
即在区间上恰有两个零点，
所以或，
解得或.
故选：C.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 已知集合，若，则的值可能是（ ）
A. -4B. -2C. 0D. 2
【正确答案】BC
【分析】利用集合相等，解出对应参数的值，然后利用元素的性质判断即可.
【详解】因为，所以或解得或则或.
故选：BC
10. 对于实数，下列命题为假命题的有（ ）
A. 若，则.
B. 若，则.
C. 若则.
D. 若，则.
【正确答案】ABD
【分析】利用特殊值可判断AB均为假命题，再由作差法以及不等式性质可得C为真命题，D为假命题.
【详解】对于A，不妨取，则，即A为假命题；
对于B，若，当时，满足，即B为假命题；
对于C，由可得，易知，
所以，可得C为真命题；
对于D，由可得，
所以，因为的符号不确定，所以不一定正确，即D为假命题；
故选：ABD
11. 已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（ ）
A.
B.
C. 若不等式的解集为，则
D. 若不等式的解集为，且，则
【正确答案】CD
【分析】利用一元二次不等式的解法与一元二次方程之间的关系以及韦达定理进行求解.
【详解】由题意，集合有且仅有两个子集，则只有一个根，
所以，所以，所以A错误；
对于B：，当且仅当即时，等号成立，所以B错误；
对于C：若不等式的解集为，由韦达定理知，所以C正确；
对于D：若不等式的解集为，即的解集为，
由韦达定理知：，
则，解得，所以D正确.
故选：CD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，，若，则实数a的取值范围是______.
【正确答案】
【分析】根据，建立不等关系即可求得实数a的取值范围．
【详解】已知集合，，
若，则，
实数a的取值范围是．
故
13. 研究问题：“已知关于x的不等式的解集为，解关于x的不等式”，有如下解决方案：
解：由，令，则，
所以不等式的解集为.
参考上述解法，已知关于x不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为_____________.
【正确答案】
【分析】参考题中所给解法，通过变形将不等式中的变为的形式，再令，解不等式即可.
【详解】由得，，
令，因为，所以.
所以不等式的解集为.
故答案为.
14. 已知正数满足，则的最小值是_______.
【正确答案】
【分析】
首先设，，则，，，利用基本不等式得到，从而得到，再解不等式即可得到答案.
【详解】设，，则，，.
则.
当且仅当时取等号.
所以，解得，
所以的最小值为.
故
本题主要考查基本不等式求最值，同时考查学生分析问题的能力，属于中档题.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 设全集为R，集合，．
（1）分别求，；
（2）已知，若，求实数a的取值范围．
【正确答案】（1）或
（2）
【分析】（1）根据集合交并补的定义即可求解，
（2）根据，即可列关系式求解.
【小问1详解】
因为，，则，
可得或，
所以或
【小问2详解】
因为，可知，且，
可得，解得，
所以实数a的取值范围为
16. （1）已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围.
（2）已知，且，求的最小值.
【正确答案】（1）；（2）10.
【分析】（1）利用基本不等式结合“乘1法”求出的最小值即可得m的取值范围；
（2）将化为的形式，由于，结合基本不等式即可求得最小值.
【详解】（1）由得，
则.
当且仅当即时取到最小值9.
所以若恒成立，则.
（2）由，得，
所以x−1>0,y−4>0，
所以，
当且仅当，结合即时，等号成立.
故的最小值为10.
17. 已知集合，且.
（1）若“命题，”是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由命题是真命题，可知，又，可得的取值范围；
（2）由是的充分不必要条件,得是的真子集，又，可得的取值范围.
【小问1详解】
因为，所以
命题是真命题，可知，
因为，，
，,
故的取值范围是.
【小问2详解】
若是的充分不必要条件,得是的真子集，，
，解得，
故的取值范围是.
18. 2022年8月9日，美国总统拜登签署《2022年芯片与科学法案》．对中国的半导体产业来说，短期内可能会受到“芯片法案”负面影响，但它不是决定性的，因为它将激发中国自主创新的更强爆发力和持久动力．某企业原有400名技术人员，年人均投入万元，现为加大对研发工作的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元．
（1）若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少人？
（2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入始终不减少．请问是否存在这样的实数，满足以上两个条件，若存在，求出的范围；若不存在，说明理由．
【正确答案】（1）125.
（2）存在，.
【分析】（1）根据题意，得到，解得，结合条件，可求得，由此可知调整后的研发人员的人数最少为125人；
（2）由条件①得，由条件②得，假设存在同时满足以上两个条件，则上述不等式恒成立，进而求得，即，故确定存在，且.
【小问1详解】
依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元，
则，整理得，
解得，
因为且，所以，故，
所以要使这名研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，调整后的研发人员的人数最少为125人.
【小问2详解】
由条件①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，得，
上式两边同除以得，整理得；
由条件②由技术人员年人均投入不减少，得，解得；
假设存在这样的实数, 使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，
即恒成立，
因为，
当且仅当，即时等号成立, 所以，
又因为，当时，取得最大值，所以，
所以，即，
即存在这样的满足条件，其范围为.
19. 已知集合为非空数集，定义.
（1）若集合，直接写出集合，
（2）若集合，且，求证：；
（3）若集合，记为集合中元素的个数，求的最大值.
【正确答案】（1）
（2）证明见解析； （3）
【分析】（1）根据题目定义，直接计算集合；
（2）根据两集合相等即可找到的关系；
（3）通过假设集合，其中，求出相应的，通过建立不等关系，进而求出相应的值．
【小问1详解】
由，根据定义：，
所以.
【小问2详解】
由于集合，且，
所以也只有四个元素，即，
因为，，
所以，，
所以，即.
【小问3详解】
设，其中，
不妨设，
则，
所以，
因为，
又因为，所以，
中最小的元素为0，最大的元素为，，
所以，
实际上当时满足题意，
证明如下：
设，
则，，
依题意有，解得，
故的最小值为，于是当时，中元素最多，
即时满足题意，
综上所述，集合中元素的个数的最大值为.
方法点睛：新定义题型的特点是通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.