2024-2025学年黑龙江省鹤岗市高一上册10月月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年黑龙江省鹤岗市高一上册10月月考数学检测试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题，共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列关系中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. 集合，则（ ）
A. B. RC. 0,2D.
3. 已知命题，则为（ ）
A. ，B. ，
C. ， D. ，
4. 下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
5. 若，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 已知，则最小值为（ ）
A. B. C. 4D.
7. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知为正实数，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
10. 已知为正实数，，则下列选项正确的是（ ）
A. ab的最小值为2B. 的最小值为
C. 的最小值为8D. 的最小值为2
11. 已知有限集，如果A中的元素满足，就称A为“W集”则下列选项正确的是（ ）
A. 集合是“W集”
B. 若是“W集”，则至少有一个大于2
C. 二元“W集”有有限个
D. 若为正整数，则“W集”A有且只有一个，且
第II卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.
12. 函数的定义域为_____________.
13. 已知，则的取值范围是_____________.
14. 关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是_____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 比较下列各组M，N大小.
（1）；
（2）
16. 已知集合.
（1）求；
（2）若满足，求实数取值范围.
17. 哈尔滨市第三中学校计划在符保卢田径场建造一间地面为矩形、背面靠墙的器材室，占地面积为，器材室正面每平方米的造价为元，侧面每平方米的造价为元，屋顶的造价为元.墙高为，且不计器材室背面和地面的费用.
（1）列出总造价与器材室正面长度的关系式；
（2）器材室正面长度多少时能使总造价最低？并求出最低总造价.
18 已知函数.
（1）若不等式的解集为，求的取值范围；
（2）解关于的不等式.
19. 设，记不大于的最大整数为，如：，.
（1）若，求；
（2）已知，试求；
（3）已知且，记，求证.
2024-2025学年黑龙江省鹤岗市高一上学期10月月考数学检测试题
考试说明：本试卷分和两部分，满分150分，考试时间120分钟.
第I卷（选择题，共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列关系中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据元素与常用数集关系一一判定选项即可.
【详解】易知，即A错误；
，即B正确；
，即C错误；
，即D错误.
故选：B
2. 集合，则（ ）
A. B. RC. 0,2D.
【正确答案】C
【分析】根据函数的定义域计算B，结合交集的概念计算即可.
【详解】由题意知，即，又，所以.
故选：C
3. 已知命题，则为（ ）
A. ，B. ，
C. ， D. ，
【正确答案】D
【分析】根据题意，结合全称量词命题与存在性量词命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】根据全称量词命题与存在性量词命题的关系，可得：
命题的否定是．
故选：D
4. 下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
【正确答案】A
【分析】根据定义域与对应关系判定同一函数即可.
【详解】对于A，易知两函数定义域均为R，且，
故A正确；
对于B，的定义域为，
而的定义域为，两函数定义域不同，故B错误；
对于C，的定义域为R，的定义域为，
两函数定义域不同，故C错误；
对于D，易知两函数定义域均为R，但，
故D错误.
故选：A
5. 若，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】C
【分析】
根据不等式的性质，由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.
【详解】因为，若，则，即；所以是的充分条件；
若，则，因此，即；所以是的必要条件；
综上，是的充要条件.
故选：C.
6. 已知，则的最小值为（ ）
A. B. C. 4D.
【正确答案】B
【分析】利用基本不等式求和的最小值.
【详解】时，，
则，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
故选：B.
7. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】将变形为，变形为，分析结构可知，从而得到结果.
【详解】，
，
表示等奇数，
表示等奇数，
.
故选：C.
8. 已知为正实数，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】由，结合一元二次不等式利用基本不等式求得范围，即可求解.
【详解】由，可得：
又，当且仅当时取等号，
所以，
令可得：，即，
所以，所以，所以.
故选：A
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】ABC
【分析】根据不等式的性质进行判断可得结论.
【详解】因为，，根据不等式的性质，则，故A正确；
同理：，故BC正确.
如，，但不成立，故D错误.
故选：ABC
10. 已知为正实数，，则下列选项正确的是（ ）
A. ab的最小值为2B. 的最小值为
C. 最小值为8D. 的最小值为2
【正确答案】BCD
【分析】根据基本不等式结合消元转化一一判定选项即可.
【详解】由为正实数，
对于A，，解之得，
所以，当且仅当时取得最小值，故A错误；
对于B，由，
所以，
当且仅当，即时取得最小值，故B正确；
对于C，，由A知，
结合二次函数的性质知，当且仅当时取得最小值，故C正确；
对于D，，
而，即，解之得，
当且仅当时取得最小值，故D正确.
故选：BCD
11. 已知有限集，如果A中的元素满足，就称A为“W集”则下列选项正确的是（ ）
A. 集合是“W集”
B. 若是“W集”，则至少有一个大于2
C. 二元“W集”有有限个
D. 若为正整数，则“W集”A有且只有一个，且
【正确答案】AD
【分析】根据定义可判定A，举反例可判定B，利用等量关系化为函数关系可判定C，设A中，得到，分和，两种情况分类讨论，可判定D.
【详解】对于A，，所以A正确；
对于B，如显然是“W集”，但不满足两个元素至少一个大于2，故B错误；
对于C，若是“W集”，即，
显然，显然随变化而变化，这样二元“W集”有无限个，
所以C错误；
对于D，不妨设A中，
由，得，
当时，即有，所以，于是，无解，
即不存在满足条件的“W集”；
当时，，故只能，，求得，
于是“W集”A只有一个，为．
当时，由，即有，
事实上，，
矛盾，
所以当时不存在W集A，所以D正确.
故选：AD.
方法点睛：新定义有关的问题的求解策略：
①通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；
②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决.
第II卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.
12. 函数的定义域为_____________.
【正确答案】
【分析】利用二次根式与零指数幂的意义计算即可.
【详解】由题意可知函数解析式有意义需，解之得.
故
13. 已知，则的取值范围是_____________.
【正确答案】
【分析】利用不等式的性质结合待定系数法计算即可.
【详解】设，即，
解之得，
由，
则.
故
14. 关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是_____________.
【正确答案】
【分析】分离参数，利用对勾函数的性质计算即可.
【详解】不等式在上有解，等价于在上能成立，
根据对勾函数的性质知在上单调递减，
所以，则.
故
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 比较下列各组M，N的大小.
（1）；
（2）
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用作差法结合因式分解比大小即可；
（2）利用取倒数法结合根式的大小比较即可.
【小问1详解】
由题意知
，
而，所以，则
【小问2详解】
易知，且，
又，所以，则.
16. 已知集合.
（1）求；
（2）若满足，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）；
（2）
【分析】（1）解不等式求A，M，利用补集与并集的概念计算即可；
（2）分类讨论B是否为空集，结合集合的基本关系计算即可.
【小问1详解】
由，解得，即，
由，
解得，即，则，
则；
【小问2详解】
由可知，
若，即时，符合题意；
若，则要满足题意需，解之得；
综上所述实数的取值范围为.
17. 哈尔滨市第三中学校计划在符保卢田径场建造一间地面为矩形、背面靠墙的器材室，占地面积为，器材室正面每平方米的造价为元，侧面每平方米的造价为元，屋顶的造价为元.墙高为，且不计器材室背面和地面的费用.
（1）列出总造价与器材室正面长度的关系式；
（2）器材室正面长度为多少时能使总造价最低？并求出最低总造价.
【正确答案】（1）
（2）器材室正面长度时能使总造价最低，最低总造价为元.
【分析】（1）由题意设出长方体长和宽，直接建立函数关系即可；
（2）利用基本不等式，可得答案.
【小问1详解】
由题意可知正面长度为，由占地面积为，则侧面长度为，
可得
【小问2详解】
令，根据基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，即，
.
所以器材室正面长度时能使总造价最低，最低总造价为元.
18. 已知函数.
（1）若不等式的解集为，求的取值范围；
（2）解关于的不等式.
【正确答案】（1）；
（2）答案见解析
【分析】（1）分类讨论结合三个二次关系计算即可；
（2）含参分类讨论解不等式即可.
【小问1详解】
若，则，显然不符合题意；
所以，要满足题意需，
整理得，解之得，
即的取值范围为；
【小问2详解】
原不等式等价于，
若时，解不等式得，
若，解不等式得或，
若，解不等式得，
若，解不等式得，
若，解不等式得，
综上所述：时，不等式解集为；
时，不等式解集为；时，不等式解集为；
时，不等式解集为；时，不等式解集为.
19. 设，记不大于的最大整数为，如：，.
（1）若，求；
（2）已知，试求；
（3）已知且，记，求证.
【正确答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【分析】（1）直接证明即可得到；
（2）利用函数的单调性证明方程存在唯一零点，且该零点属于，即可得到，进一步即知；
（3）先证明不等式，然后由此证明，即可得到原命题.
【小问1详解】
此时，.
故，从而.
【小问2详解】
设，若，下面证明.
若，则有
，
所以，这就得到
.
故；
若，则由，知.
从而有，.
这就得到，且根据上面的证明过程，两个不等号取等的充要条件分别是和，而由，知两个等号不能同时取到，故.
综上，有，所以单调递增.
而我们有
，
.
所以是方程的唯一的实数根，且.
从而，得.
【小问3详解】
先证明一个引理：对任意的，有.
证明：我们有
；
以及
.
引理证毕.
回到原题，设，，，则，，.
所以；
及
.
故，从而.
关键点点睛：本题的关键点在于对取整函数定义的理解，以及取整函数常见性质的运用.