2025年广西初中学业水平模拟考试数学卷（二）试卷 （原卷版+解析版）

这是一份2025年广西初中学业水平模拟考试数学卷（二）试卷 （原卷版+解析版），共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. 9D. 8
2. 下列车标的设计于与平移有关的是（ ）
A B. C. D.
3. 下列运用等式的性质的变形中，正确的是（ ）
A. 如果，那么B. 如果，那么
C. 如果，那么D. 如果，那么
4. 如图，直线，，于点，若，则的度数为（ ）
A. .B. C. D.
5. 把方程化成的形式则点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
6. 劳动委员统计了某周全班同学的家庭劳动次数（单位：次），按劳动次数分为4组：，，，，绘制成如图所示的频数分布直方图．从中任选一名同学，则该同学这周家庭劳动次数不足6次的概率是（ ）

A. B. C. D.
7. 如图，在五边形中，，，，是五边形的外角，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
8. 下列运算正确的是（ ）．
A B.
C. D.
9. 已知一次函数，随着的增大而增大，且，则在直角坐标系内它的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
10. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（ ）．

A. B. C. D.
11. 某校推出“建设书香校园”的活动计划，购买了一批图书．已知购买科普类图书花费元，购买文学类图书花费元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵元，且购买科普类图书的数量比购买文学类图书的数量少本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是元，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
12. 二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每题3分，共12分）
13. 分解因式：______．
14. 将数据亿用科学记数法表示为的形式，则的值是_______（备注：1亿）．
15. 如图1，平整地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图．由此他可以估计不规则图案的面积为_____________．
16. 小林家的洗手台上有一瓶洗手液（如图1所示）．如图2所示，当手按住顶部A下压位置时，洗手液瞬间从喷口流出路线呈抛物线经过与两点．瓶子上部分是由和组成的，其圆心分别为，，下部分是矩形，，，点到台面的距离为，点距台面的距离为，且，，三点共线．若手心距的水平距离为去接洗手液，则手心距水平台面的高度为________．
三、解答题（共7小题，共72分）
17. 解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
18. 如图，射线分别表示从点出发北、东、南、西四个方向，如果．
（1）图中与互余角是 _________．
（2）①用直尺和圆规作的平分线；
②在①所做的图形中，那么点在点_________方向．
19. 某学校进行“反校园欺凌”教育，并从初中部和高中部各随机抽取20名学生进行“反校园欺凌”知识测试，将测试成绩绘制成如下不完整的统计图：
初中部和高中部被抽取的20名学生测试成绩的平均分、中位数、众数如下表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）高中部学生测试成绩的扇形统计图中圆心角 °，请补全初中部学生测试成绩条形统计图；
（3）你认为该校初中部学生和高中部学生哪个对“反校园欺凌”知识掌握得更好？并说明理由．
20. 综合与实践：利用相似三角形测量距离

（1）【学科融合】如图1，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（蜡烛火焰到小孔的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．则关于的函数关系式是__________（不用写自变量的取值范围）．
（2）【数学思考】如图2，嘉嘉正在使用手电筒进行物理光学实验，手电筒灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离．已知光在镜面反射中的反射角等于入射角，点A，B，C，D在同一水平面上．则灯泡到地面的高度__________．
（3）【实际应用】如图3，小明家窗外有一步路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进客厅里．路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为，小明测得窗户距离地面高度，窗高，某一时刻，，，其中O，F，D，E四点在同一条直线上，C，B，F三点在同一条直线上，且，，请求出路灯的高度．
21. 机动车轮降温淋水独立自动控制装置，由储水箱、导水管、淋水喷头、可变流量电磁水闸、车载电源等组成．如图，是淋水器安装模型，已知是（车轮）的直径，是上一点，安装设计要求喷水线与车轮上的点相切（喷水嘴安装在车体上）．
（1）在上找一点D，连接，使，如图，求证：直线与相切．
（2）在（1）的条件下，设射线与直线交于点，若，求机动车轮胎直径的长．
22. 【项目化学习】
项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”．
项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用．
实验过程：如图（a）所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据．
记录的数据如下：
根据表格中的数值分别在图（b）、图（c）中即可作出与的函数图象、与的函数图象；
任务一：描点画图
（1）请在图（b）中画出与的函数图象；
任务二：观察分析
（2）数学兴趣小组通过观察所作的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现图（b）中与的函数关系为一次函数关系，图（c）中与的函数关系为二次函数关系.请你结合表格数据，分别求出与的函数关系式和与的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）
任务三：问题解决
（3）若黑球到达木板点处的同时，在点的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若黑球不能撞上小车，求的取值范围．
23. 数形结合思想可以借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系．

（1）2002年世界数学家大会（ICM2002）在北京召开，这届大会会标（如图1）的中央图案是经过艺术处理的“弦图”（如图2），它由4个全等的直角三角形拼成，请观察“弦图”直接写出满足的等量关系为______．
（2）某数学兴趣小组，采用数形结合思想解决了如下问题：
已知线段，点在线段上，，求的最小值．
他们解决问题的思路是：如图3，在线段的同侧构造了两个和，，令，利用勾股定理，得出，从而将问题转化成求“最小值”问题，再利用“将军饮马”模型，就完成了解答．请你写出解答过程；
（3）如图4，在中，，点分别为上的动点，且，求的最小值．
备战2025年广西初中学业水平模拟考试数学卷（二）
一、单选题（每题3分，共36分）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. 9D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据只有符号不同的两个数是互为相反数解答即可．
本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数．
【详解】解：的相反数是9．
故选C．
2. 下列车标的设计于与平移有关的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平移．根据平移的性质即可得到结论．
【详解】解：观察图形可知D中的图形是平移得到的．
故选：D．
3. 下列运用等式的性质的变形中，正确的是（ ）
A. 如果，那么B. 如果，那么
C. 如果，那么D. 如果，那么
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式．根据等式的性质逐项分析即可．
【详解】解：．如果，那么或，原式不正确，故该选项不符合题意；
．如果，那么，原式正确，故该选项符合题意；
．如果，当，那么，原式不正确，故该选项不符合题意；
．如果，那么，，则，原式不正确，故该选项不符合题意；
故选：B．
4. 如图，直线，，于点，若，则的度数为（ ）
A. .B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质和三角形内角和，根据可得，再结合和三角形内角和即可求解．
【详解】∵，，
∴
∵
∴
∵
∴
故选：B．
5. 把方程化成的形式则点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程及坐标与图形，解题时要注意解题步骤．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项系数为，一次项的系数是的倍数．根据配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方，再找出，的值即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴．
∴，，
∴点关于轴对称的点的坐标为，
故选：．
6. 劳动委员统计了某周全班同学的家庭劳动次数（单位：次），按劳动次数分为4组：，，，，绘制成如图所示的频数分布直方图．从中任选一名同学，则该同学这周家庭劳动次数不足6次的概率是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：由题意，得：；
故选A．
【点睛】本题考查直方图，求概率．解题的关键是从直方图中有效的获取信息．
7. 如图，在五边形中，，，，是五边形的外角，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，多边形的外角和定理，是基础题，理清求解思路是解题的关键．
根据两直线平行，同旁内角互补得到以点、点为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解．
【详解】解：延长，，
，
，
根据多边形的外角和定理可得，
．
故选：A．
8. 下列运算正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据绝对值的定义，积的乘方的计算法则，完全平方公式，实数的计算分别解答．
【详解】解：，故选项A错误；
，故选项B正确；
，故选项C错误；
，故选项D错误；
故选：B．
【点睛】此题考查了绝对值的定义，积的乘方的计算法则，完全平方公式，实数的计算，正确掌握各知识点是解题的关键．
9. 已知一次函数，随着的增大而增大，且，则在直角坐标系内它的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．
【详解】解：∵一次函数，随着的增大而增大，
∴．
∵，
∴，
∴此函数图象经过一、三、四象限．
故选：B．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知函数（）中，当，时函数的图象在一、三、四象限是解答此题的关键．
10. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（ ）．

A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由转角为可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和定理可得，然后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：如图：

∵，
∴，
∵过点的两条切线相交于点，
∴,
∴,
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、弧长公式等知识点，根据题意求得是解答本题的关键．
11. 某校推出“建设书香校园”的活动计划，购买了一批图书．已知购买科普类图书花费元，购买文学类图书花费元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵元，且购买科普类图书的数量比购买文学类图书的数量少本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是元，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了分式方程与经济问题，理解数量关系，正确列式是解题的关键．
根据题意可得文学类图书平均每本的价格为元，根据购买科普类图书的数量比购买文学类图书的数量少本，列式求解即可．
【详解】解：设科普类图书平均每本的价格是元，科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵元，
∴文学类图书平均每本的价格为元，
∵购买科普类图书的数量比购买文学类图书的数量少本，
∴，
故选：B ．
12. 二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先分析二次函数的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数的图像恒过定点，即可得出正确选项．
【详解】二次函数的对称轴为，一次函数的图像恒过定点，所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为，只有A选项符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，解决本题的关键是能推出一次函数的图像恒过定点，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
二、填空题（每题3分，共12分）
13. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．先提公因式a，然后用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
14. 将数据亿用科学记数法表示为的形式，则的值是_______（备注：1亿）．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的运用，掌握科学记数法的表示形式，确定的值是解题的关键．
科学记数法的表示形式为，确定值的方法：当原数的绝对值时，把原数变为时，小数点向左移动位数即为的值；当原数的绝对值时，把原数变为时，小数点向右移动位数的相反数即为的值，由此即可求解．
【详解】解：亿，
∴，
故答案为：9 ．
15. 如图1，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图．由此他可以估计不规则图案的面积为_____________．
【答案】2.1
【解析】
【分析】本题考查了几何概率和用频率估计概率，解题的关键是理解题意，得出小球落在不规则图案内的概率约为0.35．根据图2可得，小球落在不规则图案内的概率约为0.35，设不规则图案的面积为，再根据几何概率可得：不规则图案的面积长方形的面积小球落在不规则图案内的概率，列出方程即可求解．
【详解】解：根据题意可得：
小球落在不规则图案内的概率约为0.35，长方形的面积为，
设不规则图案的面积为，
则，
解得：，
不规则图案的面积约为，
故答案为：2.1．
16. 小林家的洗手台上有一瓶洗手液（如图1所示）．如图2所示，当手按住顶部A下压位置时，洗手液瞬间从喷口流出路线呈抛物线经过与两点．瓶子上部分是由和组成的，其圆心分别为，，下部分是矩形，，，点到台面的距离为，点距台面的距离为，且，，三点共线．若手心距的水平距离为去接洗手液，则手心距水平台面的高度为________．
【答案】11
【解析】
【分析】根据题意得出各点的坐标，利用待定系数法求抛物线的解析式，进而求解即可得．
【详解】解：如图：过作于点，
由题意得：，
，
，即为，
设抛物线的解析式为，
抛物线经过三点，
∴，解得，
抛物线的解析式为，
手心距的水平距离为去接洗手液，
点的横坐标为，
当时，，
，
手心距水平台面的高度为，
故答案为：11．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握所学的知识，正确求出抛物线的解析式是解题关键．
三、解答题（共7小题，共72分）
17. 解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴表示见解析
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来即可，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
【详解】解：去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为得，，
不等式的解集在数轴上表示为：
18. 如图，射线分别表示从点出发北、东、南、西四个方向，如果．
（1）图中与互余的角是 _________．
（2）①用直尺和圆规作的平分线；
②在①所做的图形中，那么点在点_________方向．
【答案】（1）
（2）①见解析；②北偏东
【解析】
【分析】本题考查了作图﹣基本作图，方向角，余角和补角，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
（1）根据余角定义即可解决问题；
（2）①根据角平分线的作法即可解决问题；
②结合①利用角平分线定义和方向角定义即可解决问题．
【小问1详解】
解：根据题意，，
∴，
∴，
∴与互余的角是，
∵，即，
∴，
∵，
∴，
∴与互余的角是，
综上所述，与互余角是，，
故答案为：；
【小问2详解】
解：①如图，即为所求；
②∵，
∴．
∴点P在点O方向是北偏东，
故答案为：北偏东．
19. 某学校进行“反校园欺凌”教育，并从初中部和高中部各随机抽取20名学生进行“反校园欺凌”知识测试，将测试成绩绘制成如下不完整的统计图：
初中部和高中部被抽取的20名学生测试成绩的平均分、中位数、众数如下表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）高中部学生测试成绩的扇形统计图中圆心角 °，请补全初中部学生测试成绩条形统计图；
（3）你认为该校初中部学生和高中部学生哪个对“反校园欺凌”知识掌握得更好？并说明理由．
【答案】（1）93.5；95；100
（2）18；图见解析 （3）高中部学生对“反校园欺凌”知识掌握得更好，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由题意知，条形统计图中，计算出成绩分的人数为人，根据平均数，中位数的定义即可求出a，b的值，由扇形统计图，用1减去其他分数所占百分比即可求出分的所占比，可知分数出现次数最多的为，进而可求；
（2）根据，计算求解即可，然后补全条形统计图即可；
（3）利用平均数，众数，中位数进行决策即可．
【小问1详解】
解：由题意知，条形统计图中，成绩分的人数为（人），
∴平均数（分），
中位数是第位数的平均数，第位数均为分，即，
由扇形统计图可知，分的占比为，
∴分数出现次数最多的为，即，
故答案为：，，；
【小问2详解】
解：由题意知，，
故答案为：，
补全条形统计图如下：
【小问3详解】
解：该校初中部学生和高中部学生对“反校园欺凌”知识的成绩中，平均数与众位数相等，高中部学生成绩的众数比初中部学生成绩的众数好，
高中部学生对“反校园欺凌”知识掌握得更好．
【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，平均数，中位数，众数，圆心角，用中位数进行决策．熟练掌握形统计图，扇形统计图，平均数，中位数，众数，圆心角，用中位数进行决策是解题的关键．
20. 综合与实践：利用相似三角形测量距离

（1）【学科融合】如图1，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（蜡烛火焰到小孔的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．则关于的函数关系式是__________（不用写自变量的取值范围）．
（2）【数学思考】如图2，嘉嘉正在使用手电筒进行物理光学实验，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离．已知光在镜面反射中的反射角等于入射角，点A，B，C，D在同一水平面上．则灯泡到地面的高度__________．
（3）【实际应用】如图3，小明家窗外有一步路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进客厅里．路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为，小明测得窗户距离地面高度，窗高，某一时刻，，，其中O，F，D，E四点在同一条直线上，C，B，F三点在同一条直线上，且，，请求出路灯的高度．
【答案】（1）
（2）
（3）路灯的高度为
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数解析式，相似三角形的应用，相似三角形的判定与性质，熟练掌握反比例函数解析式，相似三角形的应用，相似三角形的判定与性质是解题的关键
（1）设关于的函数关系式为，将时，代入，解得，，进而可得关于的函数关系式；
（2）由题意知，，证明，则，即，解得，，证明，则，即，计算求解即可；
（3）由题意知，，，设，．证明，则，即，解得，，，则，即，计算求解即可．
【小问1详解】
解：设关于的函数关系式为，
将时，代入得，，
解得，，
∴关于函数关系式为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：由题意知，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
故答案为：；
【小问3详解】
解：由题意知，，，
设，．
∵，，
∴．
∴，
∴，即，解得，，
∴，
∴，即，解得，
∴路灯的高度为．
21. 机动车轮降温淋水独立自动控制装置，由储水箱、导水管、淋水喷头、可变流量电磁水闸、车载电源等组成．如图，是淋水器安装模型，已知是（车轮）的直径，是上一点，安装设计要求喷水线与车轮上的点相切（喷水嘴安装在车体上）．
（1）在上找一点D，连接，使，如图，求证：直线与相切．
（2）在（1）的条件下，设射线与直线交于点，若，求机动车轮胎直径的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了复杂作图，掌握切线判定与性质及三角函数的意义是解题的关键．
（1）根据“经过半径的外端，垂直于半径的直线是圆的切线”进行作图，再利用切线的判定进行证明即可；
（2）根据三角形全等的性质及三角函数求解．
【小问1详解】
如图：点即为所求；
证明：是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
直线与相切；
【小问2详解】
解：是圆的切线，
，
，
是直径，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
为等边三角形，
，
．
22. 【项目化学习】
项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”．
项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用．
实验过程：如图（a）所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据．
记录的数据如下：
根据表格中的数值分别在图（b）、图（c）中即可作出与的函数图象、与的函数图象；
任务一：描点画图
（1）请在图（b）中画出与的函数图象；
任务二：观察分析
（2）数学兴趣小组通过观察所作的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现图（b）中与的函数关系为一次函数关系，图（c）中与的函数关系为二次函数关系.请你结合表格数据，分别求出与的函数关系式和与的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）
任务三：问题解决
（3）若黑球到达木板点处的同时，在点的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若黑球不能撞上小车，求的取值范围．
【答案】（1）见详解；（2）；；（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，待定系数法，一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键．
（1）利用描点法解答即可；
（2）利用待定系数法解答即可；
（3）假定经过秒小球追上小电动车得到关于的一元二次方程，令，得到关于的不等式，解不等式即可得出结论．
【详解】解：（1）画出与的函数图象如下：
（2）由（b）中图象可知：与的函数关系为一次函数关系，
设，代入，得：
，
解得：，
与函数关系为；
设代入，得：
，
所得：，
与的函数关系式为；
（3）假定经过秒小球追上小电动车，
，
．
由题意：，
．
若黑球不能撞上小车，则的取值范围为．
故答案为：．
23. 数形结合思想可以借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系．

（1）2002年世界数学家大会（ICM2002）在北京召开，这届大会会标（如图1）的中央图案是经过艺术处理的“弦图”（如图2），它由4个全等的直角三角形拼成，请观察“弦图”直接写出满足的等量关系为______．
（2）某数学兴趣小组，采用数形结合思想解决了如下问题：
已知线段，点在线段上，，求的最小值．
他们解决问题的思路是：如图3，在线段的同侧构造了两个和，，令，利用勾股定理，得出，从而将问题转化成求“最小值”问题，再利用“将军饮马”模型，就完成了解答．请你写出解答过程；
（3）如图4，在中，，点分别为上的动点，且，求的最小值．
【答案】（1）；
（2）的最小值为；
（3）的最小值为．
【解析】
【分析】（）根据正方形面积公式求出面积即可；
（）延长 到点 ，使 ，连接 交 于点 ，作，交延长线于点，当三点共线时；
（）过点作，并截取，连接，过点作，交的延长线于点，得，从而证明，当三点共线时，；
本题主要考查勾股定理的应用，矩形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练应用数形结合思想是解题的关键．
【小问1详解】
由图得，正方形的面积为或，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
延长 到点 ，使 ，连接 交 于点 ，作，交延长线于点，

∵，，
∴，
∴（当三点共线时，取“=”号）
∵，
∴四边形是矩形，
∴，；
∴，
∴，
∴最小值为，即最小值为；
【小问3详解】
过点作，并截取，连接，过点作，交的延长线于点，

∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴（当三点共线时，取“=”号）
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值为．
平均分
中位数
众数
初中部
a
b
95
高中部
93.5
95
c
运动时间
0
2
4
6
8
10
…
运动速度
10
9
8
7
6
5
…
滑行距离
0
19
36
51
64
75
…
平均分
中位数
众数
初中部
a
b
95
高中部
93.5
95
c
运动时间
0
2
4
6
8
10
…
运动速度
10
9
8
7
6
5
…
滑行距离
0
19
36
51
64
75
…