北师大版2024-2025学年八年级数学下册强化专练专题1.12三角形的证明全章专项复习【3大考点14种题型】(原卷版+解析)

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专题1.12 三角形的证明全章专项复习【3大考点14种题型】【北师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc7351" 【考点1 等腰三角形】 PAGEREF _Toc7351 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc4419" 【题型1 含30°的直角三角形性质的应用】 PAGEREF _Toc4419 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc17641" 【题型2 等腰三角形的性质与判定的综合】 PAGEREF _Toc17641 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc8389" 【题型3 等边三角形的性质与判定】 PAGEREF _Toc8389 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc26805" 【题型4 解决“一线”的最短路径问题】 PAGEREF _Toc26805 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc32399" 【题型5 解决“两线”的最短路径问题】 PAGEREF _Toc32399 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc13174" 【考点2 直角三角形】 PAGEREF _Toc13174 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc13074" 【题型6 直角三角形全等的判定】 PAGEREF _Toc13074 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc5174" 【题型7 直角三角形的性质的应用】 PAGEREF _Toc5174 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc24589" 【题型8 勾股定理及其逆定理】 PAGEREF _Toc24589 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc16692" 【题型9 命题与定理】 PAGEREF _Toc16692 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc22639" 【考点3 线段的垂直平分线、角平分线】 PAGEREF _Toc22639 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc2203" 【题型10 利用线段垂直平分线的性质求线段的长】 PAGEREF _Toc2203 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc25775" 【题型11 段垂直平分线的性质、判定与全等三角形的综合应用】 PAGEREF _Toc25775 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc24607" 【题型12 角平分线性质的应用】 PAGEREF _Toc24607 \h 17 HYPERLINK \l "_Toc32376" 【题型13 角平分线判定的应用】 PAGEREF _Toc32376 \h 18 HYPERLINK \l "_Toc29275" 【题型14 角平分线性质与判定的综合运用】 PAGEREF _Toc29275 \h 19【考点1 等腰三角形】1．等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．等腰三角形的其他性质：（1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等．（2）等腰三角形两底角的平分线相等．（3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．（4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°．2．等腰三角形的判定判定等腰三角形的方法：（1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．【注意】（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”．（2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．3．等边三角形及其性质等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形．等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．【注意】（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．4．等边三角形的判定定等边三角形的方法：（1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形．（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．5．含30°角的直角三角形的性质一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．【注意】（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用．（2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系．（3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切．（4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题．【题型1 含30°的直角三角形性质的应用】【方法总结】常常利用含30°角的直角三角形的性质“30°角所对的直角边是斜边的一半”来解决线段的长度问题.【例1】（23-24八年级·辽宁大连·期末）如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，AD=CE，线段BE、CD交于点F，连接AF．  (1)求∠CFE的度数；(2)当∠AFE=30°时，用等式表示线段CF与BF的数量关系，并证明．【变式1-1】（23-24八年级·上海崇明·期末）如图，△ABC和△ADE中，AB=AD，∠B=∠D，BC=DE．边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧．(1)若∠B=30°，∠APC=70°，求∠CAE的度数；(2)当∠B=30°，AB⊥AC，AB=6时，设AP=x，请用含x的式子表示PD，并写出PD的最大值．【变式1-2】（23-24八年级·湖南长沙·期末）已知在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC．(1)如图1，求证：△CDE是等腰三角形；(2)如图2，若DE平分∠ADC交AC于E，∠ABC=30°，在BC边上取点F使BF=DF，若BC=12，求DF的长．【变式1-3】（23-24八年级·山东济宁·期中）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．(1)当点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是2cm/s，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当t=2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；(2)当它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？【题型2 等腰三角形的性质与判定的综合】【例2】（23-24八年级·安徽六安·期末）在等腰△ABC中，AB=BC，高AD、BE所在的直线相交于点F，将△ACD沿直线AD翻折，点C的对称点C′落在直线BC上，连接FC′．(1)如图1，当∠ABC=45°时，①求证：BF=AC；②求∠FC′D的度数．(2)当∠ABC=135°时，补全图2，并求证：C′F∥AB．【变式2-1】（23-24八年级·安徽六安·期末）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD=AE，BD=CE．(1)求证：AB=AC．(2)若∠BAC=108°,2∠DAE+∠BAC=180°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有等腰三角形．【变式2-2】（23-24八年级·湖北荆门·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AD交BC于D，过C作CN⊥AD交AD于II，交AB于N．(1)求证：△ANC为等腰三角形；(2)求证：BN=CD．【变式2-3】（23-24八年级下·四川成都·期末）如图1，在△ABC中，D为边BC上一点，AB=AD=CD，BC=AC．(1)求∠C的度数；(2)如图2，点E在CA延长线上，连接BE，BE∥AD，求证：AE=CD；(3)在（2）的条件下，求证：CE−BD=2AB．【题型3 等边三角形的性质与判定】【例3】（23-24八年级·全国·单元测试）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．(1)求证：AD=BE；(2)求∠DOE的度数；(3)求证：△MNC是等边三角形．【变式3-1】（23-24八年级·湖北咸宁·期末）如图1，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别为边AB，BC，CA的中点．(1)求证：△CFE为等边三角形；(2)连接CD交EF于点G，如图2，求证：CG⊥FE；(3)如图3，已知△ABC的面积为8，求△DEF的面积．【变式3-2】（23-24八年级·安徽·期末）如图，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC．  (1)如图1，当E为AB的中点时，则AE______DB（填“>”“∠B,AD平分∠BAC，点F在DA的延长线上，FE⊥BC于E，求出∠DFE与∠C、∠B之间的数量关系．【答案】(1)∠DAE=14°(2)∠DFE=14°(3)∠DFE=12∠C−12∠B【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握相关性质是解题的关键．（1）根据三角形内角和定理，可求得∠BAC=180°−∠B−∠C=68°，由AD平分∠BAC，得到∠CAD=12∠BAC=34°，又根据AE⊥BC，可得∠CAE=20°，由此可求得∠DAE=14°；（2）根据三角形内角和定理，可求得∠BAC=180°−∠B−∠C=68°，由AD平分∠BAC，得到∠CAD=12∠BAC=34°，由三角形内角和定理求得∠ADC=76°，再根据FE⊥BC，利用直角三角形两锐角互余，即可求得∠DFE=90°−∠ADC=14°；（3）同理，根据三角形内角和定理和AD平分∠BAC，得到∠CAD=12∠BAC=90°−12∠B+∠C，∠ADC=90°+12∠B−12∠C，再结合FE⊥BC，利用直角三角形两锐角互余，即可求得∠DFE=12∠C−12∠B．【详解】（1）解：在△ABC中，∠B=42°,∠C=70°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−42°−70°=68°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=12∠BAC=12×68°=34°，∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∵∠C=70°，∴∠CAE=90°−70°=20°，∴∠DAE=∠CAD−∠CAE=34°−20°=14°．（2）解：在△ABC中，∠B=42°,∠C=70°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−42°−70°=68°，∵AD平分∠BAC.，∴∠CAD=12∠BAC=12×68°=34°，在△ADC中，∠C=70°，∴∠ADC=180°−70°−34°=76°，∵FE⊥BC，∴∠FED=90°，∴∠DFE=90°−∠ADC=90°−76°=14°．（3）解：在△ABC中，∠BAC=180°−∠B+∠C，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=12∠BAC=90°−12∠B+∠C，在△ADC中∠ADC=180°−∠C−∠CAD=180°−∠C−90°+12∠B+∠C=90°+12∠B−12∠C∵FE⊥BC，∴∠FED=90°，∴∠DFE=90°−∠ADC=90°−90°−12∠B+12∠C=12∠C−12∠B.【题型8 勾股定理及其逆定理】【例8】（2024八年级·全国·专题练习）葛藤是一种“刁钻”的植物，它自己腰杆不硬，为争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路径总是沿最短路线螺旋上升.难道植物也懂数学？(1)想一想怎样找出最短路径；(2)如图，若树干周长为3m，葛藤绕一圈升高4m，则它爬行一周的路程是多少米？【答案】(1)见解析(2)5m【分析】（1）以AB为切口把树干侧面展开为矩形AA′B′B，则对角线AB′的长为最短路径；（2）由勾股定理即可求解；本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）解：如图，以AB为切口把树干侧面展开为矩形AA′B′B，则对角线AB′的长为最短路径；（2）解：根据题意，得AA′=3m，A′B′=4m，∴AB′=AA′2+A′B′2=32+42=5m答：它爬行一周的路程是5m．【变式8-1】（24-25八年级·全国·期末）在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D，E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△DEB沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′．(1)如图①，如果点B′和顶点A重合，求CE的长；(2)如图②，如果点B′落在AC的中点处，求CE的长．【答案】(1)74(2)5516【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解此题的关键．（1）由折叠可得AE=BE，设CE=x，则AE=BE=8−x，再由勾股定理进行计算即可得出答案；（2）由题意得B′C=12AC=3，由折叠的性质可得：BE=B′E，设CE=y，则BE=B′E=8−y，再由勾股定理计算即可得解．【详解】（1）解：若点B′和顶点A重合，由折叠的性质可得：AE=BE，设CE=x，则AE=BE=BC−CE=8−x，∵∠C=90°，∴由勾股定理得：AC2+CE2=AE2，∴62+x2=8−x2，解得：x=74，∴CE=74；（2）解：∵点B′落在AC的中点，∴CB′=12AC=3；设CE=y，则B'E=BE=BC−CE=8−y，∵∠C=90°，∴由勾股定理得：B′C2+CE2=B′E2，∴32+y2=8−y2，解得：y=5516，即CE的长为：5516．【变式8-2】（23-24八年级·湖南娄底·阶段练习）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，CE是AB边上的中线．(1)若∠B=54°，求∠ECD的度数．(2)若AB=10，BC=6，求DE的长．【答案】(1)18°(2)1.4【分析】（1）根据垂直定义可得∠ADC=∠CDB=90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠BCD=36°，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得CE=BE，从而可得∠BCE=∠B=54°，最后利用角的和差关系进行计算即可解答；（2）在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，再利用面积法求出CD的长，最后在Rt△CDE中，利用勾股定理进行计算即可解答；本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握勾股定理，以及直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．【详解】（1）解：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵∠B=54°，∴∠BCD=90°−∠B=36°，∵∠ACB=90°，CE是AB边上的中线，∴CE=BE=12AB，∴∠BCE=∠B=54°，∴∠ECD=∠BCE−∠BCD=18°，∴∠ECD的度数为18°；（2）解：在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∴AC=AB2−BC2=102−62=8，∵△ABC的面积=12AB·CD＝12AC·BC，∴AB·CD=AC·BC，∴10CD=8×6，解得CD=4.8，∵CE=12AB=5，∴DE=CE2−CD2=52−4.82=1.4，∴DE的长为1.4．【变式8-3】（23-24八年级·四川广元·期末）已知在7×7的网格中，每个小正方形的边长为1，在下列正方形网格中用无刻度的直尺按要求作图：(1)如图1，AB与CD交于点M；①找格点E，使DE∥AB且DE=AB；②直接写出∠AMC的度数．(2)如图2，点A、B、C均在格点上，依照（1）中方法在AB上作点M，使∠CMA=45°．【答案】(1)①见解析；②45°(2)见解析【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质等知识．（1）①利用把AB向上平移1格即可；②由图形可得△EDC是等腰直角三角形，再利用平行线即可求解；（2）构造等腰直角三角形△AGB，再利用平移解决问题即可．【详解】（1）解：①如图1中，直线DE即为所求；②连接CE，由图可得CE=CD=12+32=10，DE=22+42=20，∴CE2+CD2=DE2，∴△EDC是等腰直角三角形，∴∠EDC=45°，∵DE∥AB，∴∠EDC=∠AMC=45°，故答案为：45°；（2）解：如图2中，∠AMC即为所求．【题型9 命题与定理】【例9】（23-24八年级·河南郑州·期末）定理“三角形的任意两边之和大于第三边”可以由你学过的哪一条基本事实推理证明得到？ ．【答案】两点之间线段最短【分析】本题考查了三角形的三边关系及线段的性质，熟记线段性质是解题的关键；根据三角形的三边关系解答即可．【详解】如图：以第三边AC为例由图可知，三角形的两边之和为：AB+BC，相当于从A点到C点经过的距离为：AB+BC，∵两点之间，线段最短，∴从A点到C点最短的距离应为AC，∴其余边同理可得：AC+BC>AB，AB+AC>BC，∴定理“三角形的任意两边之和大于第三边”可以由基本事实：两点之间线段最短加以解释．故答案为：两点之间线段最短．【变式9-1】（2024八年级·全国·专题练习）下面定理中，没有逆定理的是（   ）A．同位角相等，两直线平行B．对顶角相等C．同旁内角互补，两直线平行D．两直线平行，内错角相等【答案】B【分析】本题考查了命题与定理的知识，平行线的性质和判定，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．写出原命题的逆命题后判断正误即可．【详解】解：A、逆命题为两直线平行，内错角相等，成立，不符合题意；B、逆命题为相等的角为对顶角，不成立，符合题意；C、逆命题为两直线平行，同旁内角互补，成立，不符合题意；D、逆命题为内错角相等，两直线平行，成立，不符合题意．故选：B．【变式9-2】（24-25八年级·上海杨浦·阶段练习）将命题“等腰三角形中两腰上的中线相等”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式 ．【答案】如果一个三角形两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形【分析】本题主要考查了将命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是命题的结论，命题的逆命题是如果一个三角形两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形．【详解】解：题设为：一个三角形是等腰三角形，结论为：它的两腰上的中线相等，故逆命题写成“如果…那么…”的形式是：如果一个三角形两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形，故答案为：如果一个三角形两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形．【变式9-3】（2024八年级上·全国·专题练习）下列命题可以作定理的有 个．①2与6的平均值是8；②能被3整除的数能被6整除；③5是方程12x+7=9x+26的根；④三角形的内角和是180°；⑤等式两边加上同一个数仍是等式．【答案】2/两【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到①、②、③是假命题，④、⑤是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题．【详解】解：①2与6的平均值是4，故此命题是假命题，不是定理；②能被3整除的数，不一定能被6整除，故此命题是假命题，不是定理；③把5代入方程12x+7=9x+26，方程两边不相等，故不是真命题，更不是定理；④三角形的内角和为180°，是经过证明的是真命题，故是定理；⑤等式两边加上同一个数仍是等式，符合等式的性质，是定理；综上所述：③和④是定理，共2个．故答案为：2．【考点3 线段的垂直平分线、角平分线】1．线段垂直平分线的定义及其性质（1）线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．（2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB．（3）与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．2．角的平分线的性质内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．【提示】（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；（3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直；（4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论．4．角的平分线的判定（1）内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．（2）角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上．【题型10 利用线段垂直平分线的性质求线段的长】【方法总结】此类题目一般是借助线段垂直平分线的性质,将一条线段用另一条线段来替换.【例10】（23-24八年级·江苏南通·期末）如图，在△ABC中，E是BC上一点，AE=AB，EF垂直平分AC，AD⊥BC于点D，△ABC的周长为18cm，AC=7cm，则DC的长为 ．【答案】112cm/5.5cm【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形性质，线段的和差，根据垂直平分线的性质和三线合一得到BD=DE，EC=AE=AB，继而结合△ABC的周长得出2DC+AC=18cm，即可求出结果．【详解】解：∵AE=AB，AD⊥BC，∴ BD=DE，∵EF垂直平分AC，∴EC=AE=AB，∵△ABC的周长为18cm，∴AB+BD+DE+EC+AC=2DE+EC+AC=2DC+AC=18cm， ∵AC=7cm，∴2DC+7=18cm，解得DC=5.5cm，故答案为：5.5cm．【变式10-1】（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，D为BC上一点，CE垂直平分AD交AD于点E，已知AC=5，BC=8，则BD的长为（   ）A．3B．5C．8D．18【答案】A【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线的性质求出CD，然后利用线段和差关系求解即可．【详解】解：∵CE垂直平分AD交AD于点E，AC=5，∴CD=AC=5，又BC=8，∴BD=BC−CD=3，故选：A．【变式10-2】（23-24八年级·宁夏石嘴山·期末）如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为18cm，则BC的长为 ．【答案】8cm【分析】此题考查线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．利用线段垂直平分线的性质得AD=BD，再利用已知条件结合三角形的周长计算．【详解】解：∵△DBC的周长=BC+BD+CD=18cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD=BD，故BC+AD+CD=18cm，∵AC=AD+DC=10cm，∴BC=18−10=8(cm)．故答案为：8cm．【变式10-3】（23-24八年级·广西贵港·期末）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．(1)若AB=3cm，求△CMN的周长．(2)若∠MFN=80°，求∠MCN的度数．【答案】(1)3cm(2)20°【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．（1）根据线段垂直平分线的性质得到AM=CM，BN=CN，根据三角形的周长公式计算，得到答案；（2）根据三角形内角和定理求出∠MNF+∠NMF，进而求出∠A+∠B，结合图形计算即可．【详解】（1）解：∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，∴AM=CM，BN=CN，∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB=3(cm)，故△CMN的周长为3cm；（2）∵∠MFN=80°，∴∠MNF+∠NMF=180°−80°=100°，∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=100°，∴∠A+∠B=90°−∠AMD+90°−∠BNE=180°−100°=80°，∵AM=CM，BN=CN，∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，∴∠MCN=180°−2(∠A+∠B)=180°−2×80°=20°，故∠MCN的度数为20°．【题型11 段垂直平分线的性质、判定与全等三角形的综合应用】【例11】（23-24八年级·湖南株洲·期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.(1)求证：FC=AD；(2)求证：AB=BC+AD；(3)若四边形ABCD的面积为32，AB=8，求点E到BC边的距离.【答案】(1)见解析(2)见解析(3)4【分析】(1)首先根据AD∥BC可知∠ADE=∠FCE，再根据点E为CD的中点，可证得△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可得证；(2)结合全等三角形的性质可知BE是线段AF的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可证得AB=BF，再由线段的和差以及等量代换即可得证；(3)首先根据全等三角形的性质及线段垂直平分线的性质，可得S△ADE=S△FCE，AB=BF=8，S△ABE=S△BEF，再根据S四边形ABCD=S△ADE+S△ABE+S△BCE=2S△BEF=32，即可求得S△BEF=16，据此即可求得．【详解】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADE=∠FCE，又∵点E为CD的中点，∴DE=CE， 在△ADE和△FCE中，∠ADE=∠FCEDE=CE∠AED=∠FEC∴△ADE≌△FCE(ASA)，∴FC=AD；（2）证明：∵△ADE≌△FCE，∴AE=FE，AD=FC，又∵BE⊥AE， ∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB=BF=BC+FC=BC+AD，即AB=BC+CF；（3）解：∵△ADE≌△FCE， ∴S△ADE=S△FCE，∵BE是线段AF的垂直平分线∴AB=BF=8，S△ABE=S△BEF，∴S四边形ABCD=S△ADE+S△ABE+S△BCE=S△ABE+S△BEF=2S△BEF=32，即S△BEF=16，设点E到BC边的距离为h，则S△BEF=12BF⋅ℎ=4ℎ=16，解得ℎ=4，即点E到BC边的距离为4．【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质与判定，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，关键是证明三角形全等．【变式11-1】（23-24八年级·河北沧州·阶段练习）如图，△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点C作CE⊥BD于点O，交AB于点E．(1)求证：BD是线段CE的垂直平分线；(2)若∠CBD=20°，求∠ADE的度数．【答案】(1)见解析(2)40°【分析】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质．（1）根据角平分线的性质，得到∠CBD=∠EBD，易证△BOC≌△BOEASA，即可得出结论；（2）根据题意，求出∠CDB=70°，由（1）易证△COD≌△EODSAS，再根据三角形外角的性质即可得出结果．【详解】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠EBD，∵CE⊥BD于点O，∴∠BOC=∠BOE=90°，在△BOC和△BOE中，∠CBD=∠EBDBO=BO∠BOC=∠BOE，∴△BOC≌△BOEASA，∴OC=OE， 又∵ CE⊥BD，∴BD是线段CE的垂直平分线；（2）解：∵∠CBD=20°，∴∠CDB=180°−∠BCD−∠CBD=180°−90°−20°=70°， 由（1）知△BOC≌△BOE，∴CO=OE，在△BOC和△BOE中，CO=OE∠COD=∠EODDO=DO，∴△COD≌△EODSAS，∴∠BDE=∠CDB=70°，∴∠ADE=180°−∠BDE−∠CDB=180°−70°−70°=40°．【变式11-2】（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，在AB边上取一点F，使∠ACF=∠CBG，连接CF．(1)求证：AF=CG；(2)试探究线段CF与DE长的数量关系，并对结论给予证明．【答案】(1)见解析(2)CF=2DE，理由见解析【分析】（1）先证明△AFC≌△CGB，然后根据全等三角形的性质即可证明结论；（2）延长CG交AB于H，则CH⊥AB、AH=BH，进而证得AG=BG，可得DG=BG和△ADE≌△CGE，再结合△AFC≌△CBG运用全等三角形的性质即可解答．【详解】（1）证明：∵∠ACB=90°，CG平分∠ACB，∴∠ACG=∠BCG=45°，又∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAF=∠CBF=45°，∴∠CAF=∠BCG，在△AFC与△CGB中，∠ACF=∠CBG∠CAF=∠BCGAC=BC，∴△AFC≌△CGBASA，∴AF=CG．（2）解：CF=2DE，理由如下：如图：延长CG交AB于H，∵CG平分∠ACB，AC=BC，∴CH⊥AB，AH=BH，∵AD⊥AB，∴AD∥CG，∴∠D=∠EGC，∵E为AC边的中点，∴AE=CE，在△ADE与△CGE中，∠AED=∠CEG∠D=∠EGCAE=CE∴△ADE≌△CGEAAS，∴DE=GE，∴DG=2DE，连接AG，∵CH⊥AB，AH=BH，∴CH是AB的垂直平分线，∴AG=BG，∴∠GAB=∠GBA，∵∠DAB=90°，∴∠GAB+∠DAG=90°=∠GBA+∠D，∴∠DAG=∠D，∴GA=GD=GB，∵△AFC≌△CGB，∴CF=BG，∴CF=2DE．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定及性质，线段的垂直平分线的性质等知识点，掌握三角形全等的判定与性质是解本题的关键．【变式11-3】（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，DA⊥AB，垂足为A,CB⊥AB，垂足为B，E为AB的中点，AB=BC,CE⊥BD．（1）求证：BE=AD．（2）有同学认为AC是线段DE的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由；（3）若∠ABD=25°，求∠BDC的度数．【答案】（1）详情见解析；（2）对，理由见解析；（3）50°【分析】（1）首先根据题意证明∠ADB=∠BEC，然后利用“AAS”证明△ADB与△BEC全等，最后利用全等三角形性质进一步证明即可；（2）根据E是AB的中点可知AE=BE，从而得出AE=AD，然后根据AB=BC得出∠BAC=∠BCA，据此结合题意进一步证明△ADC≅△AEC，由此得出DC=CE，从而得出C点在线段DE的垂直平分线上，最后进一步证明出A点在线段DE的垂直平分线上，由此即可得出结论；（3）首先利用全等三角形性质得出DB=CE，结合题意进一步得出∠CBD=∠BCD，据此求出∠CBD的度数，然后进一步求解即可.【详解】（1）∵BD⊥EC，DA⊥AB，∴∠BEC+∠DBA=90°，∠DBA+∠ADB=90°，∴∠ADB=∠BEC，在△ADB与△BEC中，∵∠ADB=∠BEC，∠DAB=∠EBC，AB=BC，∴△ADB≅△BEC（AAS），∴BE=AD；（2）对的，AC是线段DE的垂直平分线，理由如下：∵E是AB中点，∴AE=BE,∵BE=AD，∴AE=AD，∵AB=BC，∴∠BAC=∠BCA，∵DA⊥AB，CB⊥AB，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∴∠BAC=∠DAC，在△ADC与△AEC中，∵AD=AE，∠DAC=∠EAC，AC=AC，∴△ADC≅△AEC（SAS），∴DC=CE，∴C点在线段DE的垂直平分线上，∵AD=AE，∴A点在线段DE的垂直平分线上，∴AC垂直平分DE；（3）∵AC是线段DE的垂直平分线，∴CD=CE，∵△ADB≅△BEC（AAS），∴DB=CE，∴CD=BD，∴∠CBD=∠BCD，∵∠ABD=25°，∴∠CBD=90°−25°=65°，∴∠BDC=180°−2∠CBD=50°.【点睛】本题主要考查了全等三角形性质与判定及线段垂直平分线性质与判定的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.【题型12 角平分线性质的应用】【方法总结】角平分线上有一点到一条边有垂线段时,通常可作这一点到另一边的垂线段,得到两条垂线段的长度相等.【例12】（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图1，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线．(1)若AB=6，AC=3，BC=5，可得到结论：BDDC=__________；(2)若AB=m，AC=n，BC=t，可得到结论：BDDC=__________；(3)图2中，AB=m，AC=n，BC=t，若CE是∠BCA的外角平分线，与BA的延长线交于点E，可得到结论：BEAE=__________．【答案】(1)2(2)mn(3)tn【分析】（1）本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质可得DE=DF，从而求得S△ABD:S△ADC=2:1，再利用S△ABDS△ADC=BDDC求解即可；（2）由（1）可得，S△ABDS△ADC=BDDC，即可求解；（3）由S△BCE:S△ACE=12⋅BC⋅ℎ:12⋅AC⋅ℎ=12⋅BE⋅CN:12⋅AE⋅CN，即可求解．【详解】（1）解：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，过点A作AG⊥BC于点G，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴S△ABD:S△ADC=12×DE×AB:12×AC×DF=2:1，∴S△ABDS△ADC=12×AG×BD12×AG×DC=BDDC=2，故答案为：2．（2）解：由（1）可得，S△ABDS△ADC=BDDC，∵S△ABD:S△ADC=12×DE×AB:12×AC×DF=m:n，∴S△ABDS△ADC=BDDC=mn，故答案为：mn．（3）解：过点E分别作EH⊥BC于点H，EG⊥AC交AC的延长线于点G，则EG=EH=ℎ，过点C作CN⊥BE于点N，∴S△BCE:S△ACE=12⋅BC⋅ℎ:12⋅AC⋅ℎ=12⋅BE⋅CN:12⋅AE⋅CN，即BEAE=BCAC=tn，故答案为：tn．【变式12-1】（23-24八年级下·湖南张家界·期末）如图，点P是△ABC的三个内角平分线的交点，若△ABC的周长为18cm，面积为27cm2，则点P到边BC的距离是（ ）A．3cmB．4cmC．6cmD．8cm【答案】A【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，根据角平分线的性质得到PE=PF=PD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如图，∵点P是△ABC的内角平分线的交点，∴PE=PF=PD，又△ABC的周长为18cm，面积为27cm2，∴S△ABC=12AB⋅PD+12BC⋅PE+12AC⋅PF=12PEAB+BC+AC，∴12×18×PE=27∴PE=3cm∴点P到边BC的距离是3cm故选：A．【变式12-2】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，点P是线段AD上的任一点（不与A、D重合），PE∥AB，交BC于点E，PF∥AC，交BC于点F，若点D到PE的距离为3，PF=6，则S△PDF= ．  【答案】9【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的性质，三角形的面积．利用角平分线的性质求得的边的高是解题的关键．过点P作DM⊥PE，垂足为M，DN⊥PF，垂足为N，先由平行线的性质与角平分线证明∠EPD=∠FPD，再利用角平分线的性质证明，求得PM=PN=3，即可由三角形面积公式求解．【详解】过点P作DM⊥PE，垂足为M，DN⊥PF，垂足为N，如图，  ∵ AD是△ABC的角平分线，∴ ∠BAD=∠CAD，∵ PE∥AB，PF∥AC，∴ ∠EOD=∠BAD，∠FPD=∠CAD，∴ ∠EPD=∠FPD，∵ DM⊥PE，DN⊥PF，∴PM=PN，∵点D到PE的距离为3，∴ PM=PN=3，∵ PF=6，∴点D到PF的距离为3，∴S△PDF=12PN×PF=12×3×6=9，故答案为：9．【变式12-3】（23-24八年级·云南红河·期末）如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=50°，过点D作AC的垂线，交AC于点E，∠CDE=32°．(1)求∠ADE的度数；(2)若AC=6，S△ADCS△ABD=34，求AB的长．【答案】(1)54°(2)AB=8【分析】此题考查了三角形内角和定理，角平分线的概念，角平分线的性质定理，解题的关键是掌握以上知识点．（1）根据三角形内角和定理和角平分线的概念求解即可；（2）如图所示，过点D作DF⊥AB交AB于点F，根据角平分线的性质定理得到DF=DE，然后结合S△ADCS△ABD=34得到12AC⋅DE12AB⋅DF=34，然后代数求解即可．【详解】（1）∵DE⊥AC∴∠DEC=90°∵∠CDE=32°∴∠C=58°∵∠B=50°∴∠BAC=180°−∠B−∠C=72°∵AD平分∠BAC∴∠CAD=12∠BAC=36°∴∠ADE=180°−∠AED−∠DAE=54°；（2）如图所示，过点D作DF⊥AB交AB于点F∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB∴DF=DE∵S△ADCS△ABD=34∴12AC⋅DE12AB⋅DF=34，即6AB=34∴AB=8．【题型13 角平分线判定的应用】【方法总结】证明一条射线(或线段)是角平分线,有两种方法:①利用三角形全等证两角相等;②利用到角两边距离相等的点在角的平分线上.【例13】（23-24八年级·重庆渝北·期末）已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B、C、D在一条直线上．(1)求证：BE=AD；(2)若AD，BE交于O点，连接OC，求证：OC平分∠BOD．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，角平分线的判定定理；（1）由等边三角形的性质得AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠ECD=60°，由SAS可判定△ACD≌△BCE，由全等三角形的性质即可求证；（2）作CF⊥BE于F，CG⊥AD于G，由全等三角形的性质得CF=CG，由角平分线的判定定理即可求证；掌握全等三角形的判定及性质，角平分线的判定定理是解题的关键．【详解】（1）证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中AC=BC∠ACD=∠BCEEC=DC，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE；（2）证明：如图，作CF⊥BE于F，CG⊥AD于G， ∵△ACD≌△BCE，∴CF=CG，∴CO平分∠BOD．【变式13-1】（23-24八年级·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知点D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE=BF，S△DCE=S△DBF，且∠BAD=42°，则∠BAC的值是 ．【答案】84°/84度【分析】本题考查了三角形面积公式、角平分线的判定，作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，由三角形面积公式得出DG=DH，从而得出AD平分∠BAC，再由角平分线的性质即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：如图，作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，，∵S△BDF=12BF⋅DG，S△CDE=12CE⋅DH，CE=BF，S△DCE=S△DBF，∴DG=DH，∵DG⊥AB，DH⊥AC，∴AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAD=2×42°=84°，故答案为：84°．【变式13-2】（23-24八年级·河南新乡·期中）如图，三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，则可供选择的地方有 处?(阴影部分不能修建超市)【答案】3【分析】因为要到三条公路的距离相等，所以超市要选择的位置是ΔABC内角平分线的交点或者是外角平分线的交点，作图可知答案．【详解】解：如图所示，ΔABC的内角平分线的交点O1，外角平分线的交点O2,O3,O4，∵阴影部分不能修建超市，∴ O4不能修建超市，故满足条件的修建点共有3处，即点O1,O2,O3；故答案为：3．【点睛】此题考查了角平分线的判定定理，熟练掌握：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，是解答此题的关键．【变式13-3】（23-24八年级·湖南衡阳·期中）如图，AB=AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE、CF相交于点D，则①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上，以上结论正确的是 ．（填序号）  【答案】①②③【分析】连接AD，根据垂直的定义，利用AAS证明△ABE≌△ACF即可判断①；推出AE=AF，由AB=AC推出EC=BF，再利用AAS证明△BDF≌△CDE即可判断②；根据角平分线的判定即可判断③．【详解】解：连接AD  ∵BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，∴∠AEB=∠AFC=90°，∠DEC=∠DFB=90°在△ABE和△ACF中∠BAE=∠CAF∠AEB=∠AFCAB=AC∴△ABE≌△ACFAAS，故①正确；∴AE=AF∵AB=AC∴EC=BF在△DEC和△DFB中∠EDC=∠FDB∠DEC=∠DFBEC=FB∴△DEC≌△DFBAAS，故②正确；∴DE=DF∵DE⊥AC，DF⊥AB∴点D在∠BAC的平分线上，故③正确；故答案为：①②③．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、角平分线的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．【题型14 角平分线性质与判定的综合运用】【方法总结】当遇到角平分线问题时,除了常见的作垂线的方法,还有截长法.遇到角平分线时的常见作辅助线方法:①作垂线:已知AP平分∠BAC,过点P作PD⊥AB,PE⊥AC,得PD=PE且,可△ADP≌△AEP;②截长:已知AP平分∠BAC,在AC上截取AF=AE,连接PF,可证得△AFPP≌△AEP.【例14】（23-24八年级·江苏泰州·期中）如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，已知∠DAC=α,∠DAB=90°−α2,CE平分∠ACB交AB于点E，连接DE，则∠DEC的度数为（    ）A．α2B．α3C．30°−α2D．45°−α【答案】A【分析】过点E作EM⊥AC于M，EN⊥AD于N，EH⊥BC于H，先计算出∠EAM，则AE平分∠MAD，根据角平分线的性质得EM=EN，再由CE平分∠ACB得到EM=EH，则EN=EH，于是根据角平分线定理的逆定理可判断DE平分∠ADB，再根据三角形外角性质解答即可．【详解】解：过点E作EM⊥AC于M，EN⊥AD于N，EH⊥BC于H，如图：∵∠DAC=α，∠DAB=90°−α2，∴∠EAM=90°−α2，∴AE平分∠MAD，∴EM=EN，∵CE平分∠ACB，∴EM=EH，∠2=12∠ACB∴EN=EH∴DE平分∠ADB，∴∠1=12∠ADB，∵由三角形外角可得：∠1=∠DEC+∠2，∵∠2=12∠ACB，∴∠1=∠DEC+12∠ACB，而∠ADB=∠DAC+∠ACB，∴∠DEC=12∠DAC=12α， 故选：A．【点睛】本题考查了角平分线的性质和判定定理，三角形的外角性质定理，解决本题的关键是运用角平分线定理的逆定理证明DE平分∠ADB．【变式14-1】（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD的角平分线BE，CE交于点E，且∠BEC=26°，则∠CAE= ．【答案】64°/64度【分析】延长BA，过点E作EF⊥BD于点F，作EG⊥AC于点G，作EH⊥BA于点H，根据角平分线的判定可知AE是∠CAH的平分线，再利用角平分线的定义可知∠ACD=2∠ECD，∠ABC=2∠EBC，最后利用三角形外角的性质即可解答．本题考查了角平分线的判定，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练运用角平分线的定义是解题的关键．【详解】解：延长BA，过点E作EF⊥BD于点F，作EG⊥AC于点G，作EH⊥BA于点H，∵△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，∴EH=EF，EG=EF，∴EH=EG，∴AE是∠CAH的平分线，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠ACD=2∠ECD，∠ABC=2∠EBC，∵∠ECD=∠BEC+∠EBC，∠ACD=∠ABC+∠BAC，∴∠BAC=2∠BEC=52°，∴∠CAH=128°，∴∠CAE=64°，故答案为：64°．【变式14-2】（23-24八年级·湖南长沙·阶段练习）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF=50°，连接DE．      (1)求证：DE平分∠ADC；(2)若AB=7，AD=4，CD=8，S△ACD=15，求△ABE的面积．【答案】(1)见解析(2)S△ABE=354【分析】（1）过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，先通过计算得出∠FAE=∠CAD=40，根据角平分线的判定与性质得EF=EG，EF=EH，则EG=EH，由到角两边距离相等的点在角的平分线上结论得证；（2）设EG=x，则EF=EH=EG=x，根据S△ACD=S△ADE+S△CDE=15，即：12×4x+12×8x=15，求得，x=52，根据S△ABE=12AB⋅EF，计算求解即可．【详解】（1）明：如图，过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，    ∵EF⊥AB，∠AEF=50°，∴∠FAE=90°−50°=40°，∵∠BAD=100°，∴∠CAD=180°−∠BAD−∠FAE=40°，∴∠FAE=∠CAD=40°，∴CA为∠DAE的平分线，又EF⊥AB，EG⊥AD，∴EF=EG，∵BE是∠ABC的平分线，∴EF=EH，∴EG=EH，∴点E在∠ADC的平分线上，∴DE平分∠ADC；（2）解：设EG=x，则EF=EH=EG=x，∴S△ACD=S△ADE+S△CDE=12AD⋅EG+12CD⋅EH=15，即：12×4x+12×8x=15，解得，x=52，∴S△ABE=12AB⋅EF=12×7×52=354，∴△ABE的面积为354．【点睛】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的高．熟练掌握：角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．【变式14-3】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在△ABC中，∠BAC=60°，线段BF、CE分别平分∠ABC、∠ACB交于点G．      (1)如图1，求∠BGC的度数；(2)如图2，求证：EG=FG；(3)如图3，过点C作CD⊥EC交BF延长线于点D，连接AD，点N在BA延长线上，连接NG交AC于点M，使∠DAC=∠NGD，若EB:FC=1:2，CG=10，求线段MN的长．【答案】(1)120°(2)见解析(3)5【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=120°，根据BF平分∠ABC、CE平分∠ACB，得出∠GBC=∠GBE=12∠ABC，∠GCB=∠GCF=12∠ACB，求出∠GBC+∠GCB=60°，根据三角形内角和得出∠BGC+∠GBC+∠GCB=180°，即可求出结果；（2）作GH平分∠BGC交BC于点H，证明△BGE≌△BGH，得出EG=GH，证明△CGF≌△CGH，得出FG=GH，即可证明结论；（3）作DP⊥BC交BC延长线于点P，作DQ⊥AB交BA延长线于点Q，作DR⊥AC于点R，证明CD平分∠ACP，根据DR⊥AC，DP⊥BC，得出DR=DP，根据BF平分∠ABC，DR⊥AC，DQ⊥AB，得出DP=DQ，证明DR=DQ，证明△NEG≌△CFG，得出NG=CG=10，证明△BEG≌△MFG，得出BE=MF，作FL⊥NG于点L，FK⊥CG于点K，GW⊥MC于点W，根据S△MGF=12MG⋅FL=12MF⋅GW，S△CGF=12GC⋅FK=12FC⋅GW，得出MGGC=MFFC=12，求出MG=5即可得出答案．【详解】（1）解：在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∵∠BAC=60°∴∠ABC+∠ACB=120°，∵BF平分∠ABC、CE平分∠ACB，∴∠GBC=∠GBE=12∠ABC，∠GCB=∠GCF=12∠ACB，∴∠GBC+∠GCB=60°，在△BGC中，∠BGC+∠GBC+∠GCB=180°，∴∠BGC=120°．（2）解：作GH平分∠BGC交BC于点H，如图所示：  ∴∠BGH=∠CGH=60°，∵∠BGE=∠CGF=∠GBC+∠GCB=60°，∴∠BGH=∠CGH=∠BGE=∠CGF，∵∠GBC=∠GBE，BG=BG∴△BGE≌△BGH，∴EG=GH，∵∠GCH=∠GCF，CG=CG，∴△CGF≌△CGH，∴FG=GH，∴EG=FG；（3）解：作DP⊥BC交BC延长线于点P，作DQ⊥AB交BA延长线于点Q，作DR⊥AC于点R，如图所示：∵CE平分∠ACB，∴∠ACB=2∠ACE，∵CD⊥EC，∴∠ECD=90°，∴∠ACE+∠ACD=90°，∵∠ACB+∠ACP=180°，∴∠ACP=2∠ACD，∴CD平分∠ACP，∵DR⊥AC，DP⊥BC，∴DR=DP，∵BF平分∠ABC，DR⊥AC，DQ⊥AB，∴DP=DQ，∴DR=DQ，∴AD平分∠QAC，∵∠BAC=60°，∴∠DAQ=∠DAC=60°，∴∠NGD=∠DAC=60°，由（1）得∠BGC=120°，∴∠BEG=∠FGC=180°−∠BGC=60°，∵∠MGF=∠ABF+∠BNG=60°，∠FGC=∠FBC+∠ECB=60°，∠ABF=∠FBC，∴∠BNG=∠ECB，∵∠ECB=∠ACE，∴∠ACE=∠BNG，由（2）得EG=FG，∴△NEG≌△CFG，∴NG=CG=10，∠NEG=∠CFG，∵∠NEG+∠BEG=180°，∠CFG+∠MFG=180°，∴∠BEG=∠MFG，∴△BEG≌△MFG，∴BE=MF，∵BE:FC=1:2，∴MF:FC=1:2，作FL⊥NG于点L，FK⊥CG于点K，GW⊥MC于点W，∵∠MGF=∠CGF=60°，∴FK=FL，S△MGF=12MG⋅FL=12MF⋅GW，S△CGF=12GC⋅FK=12FC⋅GW，∴MGGC=MFFC=12，∴MG=5，∴MN=NG−MG=5．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的判定和性质，三角形面积的计算，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法．