2024-2025学年河北省保定市高二（上）期末数学试卷（B卷）（含答案）

这是一份2024-2025学年河北省保定市高二（上）期末数学试卷（B卷）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线x−2y+1=0的一个方向向量是( )
A. (1,−2)B. (1,2)C. (2,−1)D. (2,1)
2.已知曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线2x−y+1=0垂直，则a=( )
A. 12B. −12C. 2D. −2
3.若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为 5，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. y=±12xB. y=± 3xC. y=± 5xD. y=±2x
4.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4+a5+a6=−3，a7+a8+a9=9，则S15=( )
A. −81B. 81C. 50D. 61
5.在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=a，AC=b，AA1=c，BC的中点为O，则OB1=( )
A. −12a+12b+c
B. 12a−12b+c
C. −12a+12b−c
D. 12a+12b−c
6.已知函数f(x)=kx2−2x+lnx，f(1)=−32，若2f(2a2−a)0)与圆(x−p)2+y2=5p2交于A、B两点，|AB|=p+6，则p=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.已知函数f(x)=ax−sin12x，若方程f(x)−x=0在(−2π,2π)上有且仅有一个实数根，则a的取值范围为( )
A. (−∞,1]∪[32,+∞)B. [32,+∞)
C. (−∞,1]D. [1,32]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的有( )
A. 与点A(−3,4,2)关于x轴对称的点的坐标为(−3,−4,−2)
B. 若{a,b,c}是空间向量的一组基底，且m=λa+μc(λ,μ∈R)，则{a,b,m}也是空间向量的一组基底
C. 已知a=(−1,2,0)，b=(1,2,3)，则b在a上的投影向量的坐标为(−35,65,0)
D. 已知AB=(−1,12,0)，平面α的法向量为m=(1,2,1)，则AB//α
10.已知等差数列{an}前n项和为Sn，公差为d(d≠0)，a4是a1和a6的等比中项，则( )
A. a10=0B. 数列{an}是递增数列
C. S19=0D. Sn有最大值为S9
11.已知F1(−1,0)，F2(1,0)分别为椭圆C：xa2+yb2=1(a>b>0)的左，右焦点，M为椭圆C上一动点，I为△MF1F2内切圆的圆心，连接MI并延长交x轴于Q，若|MI||MQ|=34，则( )
A. 椭圆C的离心率e=13
B. MF1⋅MF2的取值范围为[7,8)
C. 若l是C在M点处的切线，过F1，F2分别作l的垂线，垂足为A，B，则|F1A|⋅|F2B|=9
D. 点I的轨迹方程为x2+2y2=1(y≠0)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在2与18中间插入7个数使这9个数成等差数列，则该数列的第5项是______．
13.已知函数f(x)=λsin2πx(λ>0)的部分图象如图1所示，A，B分别为图象的最高点和最低点，过A，B分别作x轴的垂线，点C为该部分图象与x轴的交点.将绘有该图象的纸片沿x轴折成直二面角，如图2所示，此时|AB|= 176，则λ的值为______．
14.已知函数f(x)=x3−x，点P(m,n)在第四象限内，过P(m,n)作f(x)图象的切线，有且只有两条，则mn的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆M过0(0,0)，A(8,0)，B(0,6)三点，直线l过点P(2,2)．
(1)求圆M的标准方程；
(2)直线l被圆M截得弦长何时最短？求出截得弦长最短时直线l的方程及最短弦长．
16.(本小题15分)
如图，在四面体P−ABC中，PA⊥面ABC，PB：PC：BC= 3： 2：1．
(1)求证：面PAC⊥面PBC；
(2)若PA=BC=2，AD⊥PB于D，求平面DAC和平面DBC夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=ax+1x2−2lnx，g(x)=x3⋅f′(x)，其中f′(x)为f(x)的导函数．
(1)讨论g(x)的单调性；
(2)若f(x)≥e−ax恒成立，求a的取值范围．
18.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2 2，离心率e= 63．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F2作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求四边形EPFQ面积的取值范围．
19.(本小题17分)
北宋数学家沈括博学多才、善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？“沈括“用刍童(长方台)法求之，常失于数少”，他想堆积的酒坛、棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把他们看成离散的量，经过反复尝试，沈括提出对上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物(如图)，可以用公式S=n6[(2b+d)a+(b+2d)c]+n6(c−a)求出物体的总数，这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列ab，(a+1)(b+1)，(a+2)(b+2)，…，(a+n−1)(b+n−1)=cd的和，“隙积术”给出了二阶等差数列的一个求和公式.现已知数列{an}为二阶等差数列，其通项an=n2+2n，其前n项和为Sn，数列{bn}满足bn+1=3bn+6，b1=0．
(1)求数列{(n+1)(n+3)−1}的前10项和；
(2)求Sn；
(3)数列{3Sn−92n2−72n}和数列{bn+3}的公共项组成一个新的数列{cn}，设数列{13cn−1}的前n项和为Tn，证明Tn0时，令g′(x)>0⇒x>43a，令g(x)