2024-2025学年河北省保定市部分中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年河北省保定市部分中学高二（上）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知{an}，{bn}是两个等差数列，其中a1=3，b1=−3，且a20−b20=6，那么a10−b10的值为( )
A. −6B. 6C. 0D. 10
2.已知三棱锥O−ABC中，点M，N分别为AB，OC的中点，且OA=a，OB=b，OC=c，则NM=( )
A. 12(b+c−a)
B. 12(a+b+c)
C. 12(a−b+c)
D. 12(a+b−c)
3.已知Sn是各项均为正数的等比数列{an}的前n项和，若a2⋅a4=81，S3=13，则q=( )
A. 2B. 3C. 6D. 9
4.直线xcsα+ysinα+1=0，α∈(0,π2)的倾斜角为( )
A. αB. π2+αC. π−αD. π2−α
5.在直角坐标系xOy中，已知点F(1,0)，E(−2,0)，M(3,2)，动点P满足线段PE的中点在曲线y2=2x+2上，则|PM|+|PF|的最小值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
6.小李在2022年1月1日采用分期付款的方式贷款购买一台价值a元的家电，在购买一个月后的2月1日第一次还款，且以后每月的1日等额还款一次，一年内还清全部贷款(2022年12月1日最后一次还款)，月利率为r.按复利计算，则小李每个月应还( )
A. ar(1+r)11(1+r)11−1元B. ar(1+r)12(1+r)12−1元C. a(1+r)1111元D. a(1+r)1212元
7.在△ABC中，点D是AC边上靠近点C的三等分点，若∠ABD=90°,AB=1,BC= 7，则S△ABC=( )
A. 34B. 34C. 3 34D. 94
8.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，Sn+1=2Sn−1(n∈N∗)，则a8=( )
A. 32B. 64C. 128D. 256
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……”大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，从第一项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…….记大衍数列为{an}，其前n项和为Sn，n∈N∗，则( )
A. a20=220B. 1a3+1a5+1a7+⋅⋅⋅+1a2021=5051011
C. S23=2156D. a2+a4+a6+⋅⋅⋅+a48=9800
10.记等差数列{an}的前n项和为Sn，则根据下列条件能够确定S21的值的是( )
A. a11=10B. a4+a19=10
C. a7=10，S13=130D. S7=100，S14=300
11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，P分别是AA1，CC1，C1D1的中点，Q是线段D1A1上的动点，则( )
A. 存在点Q，使B，N，P，Q四点共面
B. 存在点Q，使PQ//平面MBN
C. 经过C，M，B，N四点的球的表面积为9π2
D. 过Q，M，N三点的平面截正方体ABCD−A1B1C1D1所得截面图形不可能是五边形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列{an}的前n项和为Sn，若2Sn−an=5，则a101= ______．
13.已知抛物线y2=2px(p>0)，AB是过焦点F的一条弦，AA1⊥准线l于A1点，BB1⊥准线l于B1点，N是A1B1中点，若AA1=4，BB1=2，则线段NF的长为______．
14.数列{an}满足a1+4a2+9a3+…+n2an=2n(n+1).记不超过x的最大整数为[x]，如[0.9]=0，[−0.9]=−1.设bn=[lg2an]，数列{bn}的前n项和为Sn，若Snb>0)过点A(2,1)，且焦距为2 3．
(1)求C的方程；
(2)已知点B(2,−1)，D(3,0)，E为线段AB上一点，且直线DE交C于G，H两点.证明：2|DE|=1|DG|+1|DH|．
17.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，Sn+1−3an=Sn+2×3n−2．
(1)记bn=an−13n−1，证明：{bn}是等差数列，并求{bn}的通项公式；
(2)记数列{an}的前n项和为Tn，求Tn．
18.(本小题12分)
如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．
(1)证明：AC1⊥A1B；
(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为 3，求二面角A1−AB−C的余弦值．
19.(本小题12分)
已知椭圆C：x22+y2=1的右焦点为F，直线l与C交于M，N两点．
(1)若l过点F，点M，N到直线y=2的距离分别为d1，d2，且d1+d2=143，求l的方程；
(2)若点M的坐标为(0,1)，直线m过点M交C于另一点N′，当直线l与m的斜率之和为2时，证明：直线NN′过定点．
参考答案
1.B
2.D
3.B
4.B
5.C
6.A
7.C
8.B
9.BCD
10.AD
11.ABD
12.5
13.2 2
14.8
15.解：(1)设数列{an}的公差为d由a2=3，且lg2a1，lg2a3，lg2a7成等差数列，
得2lg2a3=lg2a1+lg2a7，
即2lg2(3+d)=10g2(3−d)+lg2(3+5d)，
得2lg2(3+d)2=lg2(3−d)(3+5d)，
得(3+d)2=(3−d)(3+5d)，解得d=1或d=0(舍去)
所以数列{an}的通项公式为an=a2+(n−2)⋅d=3+(n−2)⋅1=n+1．
(2)因为bn=1anan+1=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2
所以Sn=12−13+13−14+14−15+…+1n−1−1n+1n−1n+1+1n+1−1n+2=12−1n+2=n2(n+2)．
16.(1)解：设椭圆的焦距为2c，
由焦距为2 3，知c= 3，
所以a2−b2=c2=3①，
因为点A(2,1)在椭圆上，所以4a2+1b2=1②，
由①②解得a2=6，b2=3，
所以C的方程为x26+y23=1．

(2)证明：当直线DE的斜率为0时，G( 6,0)，H(− 6,0)，E(2,0)，
所以|DE|=1，|DG|=3− 6，|DH|=3+ 6，
所以2|DE|=21=2，1|DG|+1|DH|=|DH|+|DG||DG|⋅|DH|=3+ 6+3− 6(3− 6)(3+ 6)=69−6=2，
所以2|DE|=1|DG|+1|DH|；
当直线DE的斜率不为0时，设其方程为x=ty+3(不妨取t