2024-2025学年江西省高二上学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江西省高二上学期期末考试数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知随机变量X∼N80,σ2，且PX≥120=0.21，则P400)上一点，F为C的焦点，且|AF|=2．
(1)求C的准线方程；
(2)若点A位于第一象限，求C在点A处的切线l的方程．
16.(本小题12分)
现有一质地均匀的正方体骰子(六个面分别标着数字1∼6)，连续投掷两次，记m，n分别为第一次、第二次投掷后朝上的点数，设离散型随机变量X=m−n．
(1)求PX=0和PX=1的值；
(2)求X的分布列和数学期望．
17.(本小题12分)
如图，三棱锥P−ABC的棱BC上存在一点D，使得平面PAD⊥底面ABC，点E在棱AD上，且PE⊥AD,PD⊥平面PAB．
(1)证明：AB⊥平面PAD；
(2)若AB=AD=2,AP=PD,BD=2CD，求平面PAB与平面PAC夹角的余弦值．
18.(本小题12分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点为F(−1,0)，过F且斜率不为0的直线l交E于A,B两点，过点A,B分别作l的垂线，交E于M,N两点.当l的斜率不存在时，四边形AMNB的面积为6．
(1)求E的方程；
(2)求AF的取值范围；
(3)证明：AFMF=BFNF．
19.(本小题12分)
对于样本空间中的随机事件A和随机事件B，定义：S=P(B∣A)P(B∣A)表示在事件A发生的条件下事件B的发生强度，Z=P(B∣A)P(B∣A)表示在事件A发生的条件下事件B的发生强度．某著名生物科研所为研究上班族患有肥胖症与经常喝“肥宅快乐水”的关系，随机调查了某地区100位上班族，统计数据如下表所示．
(1)完善上述列联表并判断是否有99.5%的把握认为该地区上班族患有肥胖症与经常喝“肥宅快乐水”之间有关联；
(2)证明SZ=P(A∣B)P(A∣B)⋅P(A∣B)P(A∣B)；
(3)从该地区的上班族中任取一位，记事件A为“此人患有肥胖症”，B为“此人经常喝肥宅快乐水”，利用调查的样本数据，估计SZ的值．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
参考答案
1.B
2.C
3.A
4.C
5.D
6.B
7.C
8.B
9.BD
10.AD
11.ABD
12.1
13.1
14.1728；3840
15.解：(1)因为抛物线C:y2=2pxp>0，A1,y0，
所以AF=1+p2=2，所以p=2，可得C:y2=4x
所以C的准线方程为x=−1．
(2)因为点A1,y0在抛物线C上，所以y02=4，
又A1,y0位于第一象限，所以y0=2，所以A1,2，
过点A的直线l与C相切，若直线l斜率不存在，不符合题意；
设直线l:y−2=kx−1与C:y2=4x，
由y−2=kx−1y2=4x，得ky2−4y+8−4k=0，
当k≠0时，Δ=16−4k8−4k=0，即k2−2k+1=0，即k=1，
当k=0时，−4y+8=0，y=2与抛物线相交，不符合题意；
所以l的方程为y−2=x−1，即x−y+1=0．

16.解：(1)由题意可得离散型随机变量X表示连续两次投掷得到的点数中大的点数与小的点数的差，连续投掷两次骰子，得到的点数共有36种可能，
其中得到的点数中点数之差为0的可能情况有6种，1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6
故P(X=0)=636=16．
其中得到的点数中大的点数与小的点数的差为1的可能情况有10种，
1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,2,1,3,2,4,3,5,4,6,5，
故P(X=1)=1036=518．
(2)由题意可得X的可能取值有0，1，2，3，4，5，
X=2的情况有1,3,2,4,3,5,4,6,3,1,4,2,5,3,6,4，8种，
X=3的情况有1,4,2,5,3,6,4,1,5,2,6,3，6种，
X=4的情况有1,5,2,6,5,1,6,2，4种，
X=5的情况有1,6,6,1，2种，
所以P(X=2)=836=29,P(X=3)=636=16，
P(X=4)=436=19,P(X=5)=236=118，
可得分布列如下：
故EX=0×16+1×518+2×29+3×16+4×19+5×118=3518．

17.解：(1)因为平面PAD⊥底面ABC，平面PAD∩平面ABC=AD，PE⊥AD，PE⊂平面PAD，
所以PE⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，所以AB⊥PE．
又因为PD⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，所以AB⊥PD．
又PE∩PD=P，PE,PD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD．
(2)由(1)知AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，所以AB⊥AD，
以点A为坐标原点，AB,AD所在直线分别为x,y轴，过点A垂直底面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空直角坐标系．
因为PD⊥平面PAB，AP⊂平面PAB，所以AP⊥PD．
又AP=PD，所以AD2=AP2+PD2=2AP2=4，得AP= 2.
则A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),C(−1,3,0),P(0,1,1)，
故DP=0,−1,1,AP=0,1,1,AC=−1,3,0，
依题意，平面PAB的一个法向量为DP=0,−1,1.
设平面PAC的一个法向量为n=(a,b,c)，
则AP⋅n=0AC⋅n=0，即b+c=0−a+3b=0，取b=1，则n=(3,1,−1).
设平面PAB与平面PAC的夹角为θ，
所以csθ=csDP,n=DP⋅nDPn=2 2× 11= 2211，
因此平面PAB与平面PAC夹角的余弦值为 2211.

18.解：(1)由题意可得a2−b2=c2=1，①
当l的斜率不存在时，在椭圆方程x2a2+y2b2=1中，令x=−1，
可得A−1,b2a,B−1,−b2a，
所以AB=2b2a，由题意可知四边形AMNB为矩形，
则其面积S=2×2b2a=6，②
联立①②解得a2=4,b2=3,
故E的方程为x24+y23=1．

(2)设Ax1,y1，因为点A在椭圆E上，且l的斜率不为0，
则x1∈(−2,2)，且x124+y123=1，所以y12=3−34x12，
则AF= x1+12+y12= x1+12+3−34x12=x1+42，由x1∈(−2,2)，
故AF∈(1,3)．
(3)设Bx2,y2,Mx3,y3,Nx4,y4，且x1,x2∈(−2,2)，x3,x4∈−2,2
故xi+4>0，且4yi2−12=−3xi2,i=1,2,3,4．
由(2)可得，AF=x1+42，同理有BF=x2+42,MF=x3+42,NF=x4+42．
故要证AFMF=BFNF，即证4+x14+x3=4+x24+x4(∗).
由题意直线AB斜率不为0，则直线AM和NB的斜率存在，
设斜率为k，则AM的方程为y=kx−x1+y1，
联立x24+y23=1y=kx−x1+y1,
得3x2+4k2x−x12+8ky1x−x1+4y12−12=0，
即3+4k2x2+8ky1−kx1x+4k2−3x12−8kx1y1=0，
当x1≠0时，由韦达定理得x1x3=4k2−3x12−8kx1y13+4k2，
故x3=4k2−3x1−8ky13+4k2；
当x1=0时，由韦达定理得x1+x3=x3=−8ky13+4k2，也适合上式；
故x3=4k2−3x1−8ky13+4k2；同理可得x4=4k2−3x2−8ky23+4k2．
所以代入(∗)式化简整理可得，
(∗)左边=4+x14+x3=4+x13+4k216k2+12+4k2−3x1−8ky1；
(∗)右边=4+x24+x4=4+x23+4k216k2+12+4k2−3x2−8ky2；
①当直线l的斜率存在且不为0时，l的方程为y=−1k(x+1)，
故y1=−1kx1+1,y2=−1kx2+1，
则−8ky1=8(x1+1)，且−8ky2=8(x2+1)，
则(∗)左边=4+x13+4k216k2+20+4k2+5x1=3+4k24k2+5；
(∗)右边=4+x23+4k216k2+20+4k2+5x2=3+4k24k2+5；
故AFMF=BFNF．

②当l的斜率不存在即k=0时，则x1=x2,x3=x4，
等式4+x14+x3=4+x24+x4显然成立．
综上所述，AFMF=BFNF得证．

19.解：(1)解：完善列联表如下．
根据列联表数据可得χ2=100×(34×32−16×18)250×50×48×52=40039≈10.256>7.879,
所以有99.5%的把握认为该地区上班族患有肥胖症与经常喝＂肥宅快乐水＂有关联．
(2)证明：由SZ=P(B∣A)P(B∣A)⋅P(B∣A)P(B∣A)=P(AB)P(A)⋅P(A)P(AB)⋅P(AB)P(A)⋅P(A)P(AB)=P(AB)⋅P(AB)P(AB)⋅P(AB)，
P(A∣B)P(A∣B)⋅P(A∣B)P(A∣B)=P(AB)P(B)⋅P(B)P(AB)⋅P(AB)P(B)⋅P(B)P(AB)=P(AB)⋅P(AB)P(AB)⋅P(AB)，
左，右两边展开相同，故SZ=P(A∣B)P(A∣B)⋅P(A∣B)P(A∣B)得证．
(3)由样本数据可得P(A∣B)=13,P(A∣B)=1726，又P(A∣B)=23,P(A∣B)=926，
故SZ=P(A∣B)P(A∣B)⋅P(A∣B)P(A∣B)=12×917=934．
x
1
2
3
4
y
1
4
5
8
患有肥胖症
不患有肥胖症
合计
经常喝
16
不经常喝
18
52
合计
100
P(χ2≥k0)
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
X
0
1
2
3
4
5
P
16
518
29
16
19
118
患有肥胖症
不患有肥胖症
合计
经常喝
16
32
48
不经常喝
34
18
52
合计
50
50
100