2024-2025学年四川省眉山市高二（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年四川省眉山市高二（下）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.某物体运动的位移随时间变化的函数是s=f(t)，已知t0时刻该物体的瞬时速度为a，则limΔt→0f(t0+2Δt)−f(t0)Δt的值为( )
A. −2aB. 2aC. aD. a2
2.已知数列{an}，满足an+1=11−an，若a1=12，则a2025=( )
A. 2B. 12C. −1D. −12
3.下列求导正确的是( )
A. (csπ6)′=−12B. (sin2x)′=cs2x C. (x3+x)′=3x2D. (2x)′=2xln2
4.某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、体育、艺术、通技各一节课的课表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同的排法种数是( )
A. 96B. 192C. 384D. 768
5.已知f(x)=x3−ax在[2,3]上递增，则实数a的范围是( )
A. a>12B. a≥12C. a0且b≠1)有唯一实数解，其中e为自然对数的底数，则实数b的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足a2+a4=10，S7=49．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=(−1)nan，求b1+b2+b3+⋯+b20．
16.(本小题15分)
已知等比数列{an}满足a1=2，且4a3，2a4，a5成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求an+an−14+an−242⋯+a14n−1．
17.(本小题15分)
现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？
(1)老师站在最中间，2名女学生分别在老师的两边且相邻，4名男学生两边各2人；
(2)4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端；
(3)2名老师之间必要有男女学生各1人．
18.(本小题17分)
如图1，△ABC是等边三角形，△DAC为等腰直角三角形，DA=DC= 2，将△DAC沿AC翻折到△PAC的位置，且点P不在平面ABC内(如图2)，点F在线段PB上(不含端点)．
(1)证明：AC⊥PB；
(2)若PB=2．
(i)当点F为线段PB的中点时，求直线PB与平面ACF所成角的大小；
(ii)设平面ACF与平面PBC的夹角为α，求csα的取值范围．
19.(本小题17分)
若函数f(x)的图象上存在三点A(a,f(a))，B(b,f(b))，M(m,f(m))，且a0，使得g(a)=g(b)．
(i)求实数t的取值范围；
(ii)当t=k(k∈N∗)时，记g(x)在区间[a,b]上所有可能的中值点之和为Sk，证明：S1+S2+…+Sn>14n2+94n.
参考答案
1.B
2.C
3.D
4.B
5.D
6.B
7.A
8.C
9.ABD
10.ABD
11.BC
12.an=3,n=12n−1,n≥2
13.36
14.(1,∞)∪{1e}
15.解：(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，满足a2+a4=10，S7=49，
设等差数列的公差为d，
由题意可得2a1+4d=107a1+21d=49，解得a1=1d=2，
∴an=2n−1．
(2)由(1)可得bn=(−1)nan=(−1)n(2n−1)，
∴b1+b2+b3+⋯+b20=(−1+3)+(−5+7)+⋯+(−37+39)=2×10=20．
16.解：(1)设等比数列{an}的公比为q，
因为4a3，2a4，a5成等差数列，
所以4a4=4a3+a5，所以4a1q3=4a1q2+a1q4，
即8q3=8q2+2q4，解得q=2或q=0(舍)，
所以an=a1qn−1=2⋅2n−1=2n；
(2)an+an−14+an−242+…+a14n−1
=2n+2n−14+2n−242+…+24n−1
=2n[(18)0+(18)1+(18)2+…+(18)n−1]
=2n×1−(18)n1−18=87(2n−122n)．
17.解：(1)由题意可得共A22A22A44=2×2×24=96种不同的站法．
(2)先排老师和女学生共有A44种站法，再排男学生甲有C31种站法，
最后排剩余的3名男学生有A43种站法，所以共有A44C31A43=24×3×24=1728种不同的站法．
(3)先任选一男学生一女学生站两位老师中间，有C21C41A22种站法，两老师的站法有A22种，
再将一男学生一女学生两位老师进行捆绑与剩余的4个人进行全排列有A55种，
所以共有C21C41A22A22A55=2×4×2×2×120=3840种不同的站法．
18.解：(1)证明：取AC中点为E，连接PE，BE，
因为PA=PC，AB=BC，所以PE⊥AC，BE⊥AC，
又因为PE∩BE=E，PE，BE⊂平面PBE，
所以AC⊥平面PBE，
又因为PB⊂平面PBE，
所以AC⊥PB；
(2)(i)取AC的中点E，因为△ABC为等边三角形，△DAC为等腰直角三角形，DA=DC= 2，
所以EP⊥AC，EP⊥EB，且EP=1,EB= 3，
由PB=2，则EP2+EB2=PB2，
故EP⊥EB，
如图建立空间直角坐标系，
得P(0,0,1)，B(0, 3,0)，A(1,0,0)，C(−1,0,0)，F(0, 32,12)，
则AC=(−2,0,0)，AF=(−1, 32,12)，PB=(0, 3,−1)，
设平面ACF的法向量n=(x,y,z)，
则n⋅AC=−2x=0n⋅AF=−x+ 32y+12z=0，
令z= 3，则y=−1，x=0，
故n=(0,−1, 3)．
设直线PB与平面ACF所成角为θ，
则sinθ=|cs|=|PB⋅n||PB||n|=2 32×2= 32，
故直线PB与平面ACF所成角为60°．
(ii)设平面PBC的法向量为n1=(x1,y1,z1)，PB=(0, 3,−1)，PC=(−1,0,−1)，
则PB⋅n1= 3y1−z1=0PC⋅n1=−x1−z1=0，
取y1=1，则x1=− 3，z1= 3，
故n1=(− 3,1, 3)，
PF=tPB(0