山东省济南市槐荫区部分学校2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（解析版）

这是一份山东省济南市槐荫区部分学校2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（解析版），共37页。试卷主要包含了01）， 新定义等内容，欢迎下载使用。
本试题分试卷和答题卡两部分．第Ⅰ卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟．
答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器．
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项：
第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案写在试卷上无效．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知四条线段a，b，c，d是成比例线段，其中，则线段a的长度为（ ）
A. 8cmB. 2cmC. 4cmD. 1cm
2. 如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝30°，则∠BOD的度数是（ ）
A. 75°B. 70°C. 65°D. 60°
3. 已知，且，，若的周长为20，则的周长为（ ）
A. 5B. 10C. 40D. 80
4. 10月8日，杭州亚运会乒乓球比赛全部结束，国乒揽获除女双项目外的6块金牌，展现了在乒乓球领域强大的统治力．乒乓球比赛采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，cm，杯中水面与的交点为E，当水杯底面与水平面的夹角为时，杯中水的最大深度为（ ）cm

A. 9B. 15C. D.
6. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰，测得，，直线交两对边于点E，F，则的长为（ ）

A. 8cmB. 10cmC. D.
7. 2022年的卡塔尔世界杯受到广泛关注，在半决赛中，梅西的一脚射门将足球沿着抛物线飞向球门，此时，足球距离地面的高度h与足球被踢出后经过的时间t之间的关系式为．已知足球被踢出9s时落地，那么足球到达距离地面最大高度时的时间t为（ ）
A. B. C. D.
8. 翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图1是翻花绳的一种图案，可以抽象成如右图，在矩形中，，，的度数为（ ）．

A. 30°B. 45°C. 50°D. 60°
9. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（ ）．

A. B. C. D.
10. 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．若二次函数的图像在的范围内，至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
注意事项：
所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等．
不按以上要求作答，答案无效．
二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．）
11. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_______．
12. 如图，P是反比例函数y = 图象上一点，PA⊥x轴于点A，则_______________．
13. 如图，有一个直径为4cm的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的面积是__________．

14. 如图，在矩形中，点为延长线一点，为中点，以为圆心，为半径的圆弧过与的交点，连接．若，，则________．

15. 只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径?小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为___________cm．

16. 京剧是中国的一门传统文化艺术．如图，在平面直角坐标系中，某脸谱轮廓可以近似的看成是一个半圆与抛物线的一部分组合成的封闭图形，记作图形G．点A，B，C，D分别是图形G与坐标轴的交点，已知点D的坐标为，为半圆的直径，且，半圆圆心M的坐标为．关于图形G给出下列五个结论，其中正确的是______（填序号）．
①图形G关于直线对称；
②线段的长为；
③图形G围成区域内（不含边界）恰有12个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
④当时，直线与图形G有两个公共点；
⑤图形G的面积小于．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17 计算：．
18. 在中， ， 且 ，求边的长度．

19. 如图，在中，D为上一点，．求的长．

20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，．
（1）以点B为位似中心，在点B的下方画出，使与位似，且位似比为；
（2）求四边形的面积．
21. 祖冲之发明水碓（duì）是一种舂米机具（如图1），在我国古代科学家宋应星的著作《天工开物》中有详细记载，其原理是以水流推动轮轴旋转进而拨动碓杆上下舂米．图2是碓杆与支柱的示意图，支柱高4尺且垂直于水平地面，碓杆长16尺，．当点A最低时，，此时点B位于最高点；当点A位于最高点时，，此时点B位于最低点．
（1）求点A位于最低点时与地面的垂直距离；
（2）求最低点与地面的垂直距离．（参考数据：，，）
22. 芯片目前是全球紧缺资源，市政府通过资本招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业．某芯片公司，引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个．试回答下列问题：
（1）已知每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率；
（2）经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度．现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？
23. 如图，为的直径，是上两点，延长至C，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求半径．
24. 【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据：

（1）_______，_______；
（2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；

②随着自变量不断增大，函数值的变化趋势是_________．
（3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________．
25. 如图1，已知二次函数图象与轴交点为，其顶点为．
（1）求二次函数的表达式；
（2）直线与轴交于，现将线段上下移动，若线段与二次函数的图象有交点，求向上和向下平移的最大距离；
（3）若将（1）中二次函数图象平移，使其顶点与原点重合，然后将其图象绕点顺时针旋转，得到抛物线，如图2所示，直线与交于，两点，为上位于直线左侧一点，求面积最大值，及此时点的坐标．
26. 在矩形中，，，点E在射线上，将射线绕点A逆时针旋转，交延长线于点G，以线段为邻边作矩形．
（1）如图1，若E在线段上，连接，则______，______；
（2）如图2，若E在线段延长线上，当点共线时，求线段的长；
（3）如图3，若E在线段上，当时，在平面内有一动点P，满足，连接，请直接写出的最小值．
2023~2024学年度第一学期期末质量检测
九年级数学（2024.01）
本试题分试卷和答题卡两部分．第Ⅰ卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟．
答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器．
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项：
第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案写在试卷上无效．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知四条线段a，b，c，d是成比例线段，其中，则线段a的长度为（ ）
A. 8cmB. 2cmC. 4cmD. 1cm
【答案】B
【解析】
【分析】根据比例线段定义求解，注意线段顺序；
【详解】解：由题意，得
∴．
故选：B
【点睛】本题考查成比例线段的定义，掌握成比例线段的定义是解题的关键．
2. 如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝30°，则∠BOD的度数是（ ）
A. 75°B. 70°C. 65°D. 60°
【答案】D
【解析】
【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案．
【详解】∵∠BCD＝30°，
∴∠BOD＝2∠BCD＝2×30°＝60°．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆的角度问题，掌握圆周角定理是解题的关键．
3. 已知，且，，若的周长为20，则的周长为（ ）
A. 5B. 10C. 40D. 80
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是相似三角形的性质．根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．
【详解】解：，
∴的周长的周长，
的周长为20，
的周长为40．
故选：C．
4. 10月8日，杭州亚运会乒乓球比赛全部结束，国乒揽获除女双项目外的6块金牌，展现了在乒乓球领域强大的统治力．乒乓球比赛采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是设参赛队伍有支，根据参加乒乓球比赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛380场，可列出方程．
【详解】解：设参赛队伍有x支，
由题意可得：，
故选B．
5. 如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，cm，杯中水面与的交点为E，当水杯底面与水平面的夹角为时，杯中水的最大深度为（ ）cm

A. 9B. 15C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点B作于点F，如图，则的长即为杯中水的最大深度，然后根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可.
【详解】解：过点B作于点F，如图，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵cm，
∴cm，
∴cm，即杯中水的最大深度为cm；
故选：D.
【点睛】本题考查了矩形的性质、含30度角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，正确理解题意、掌握解答的方法是关键.
6. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰，测得，，直线交两对边于点E，F，则的长为（ ）

A. 8cmB. 10cmC. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据菱形的性质与勾股定理可求出菱形的边长，再根据菱形的面积为对角线乘积的一半，或底乘以高可求出高．
【详解】∵四边形是菱形
∴
∴在中，
∵或
∴，即
∴
故选：C
【点睛】本题考查菱形的性质，菱形的面积，熟练运用菱形的面积公式是解题的关键．
7. 2022年的卡塔尔世界杯受到广泛关注，在半决赛中，梅西的一脚射门将足球沿着抛物线飞向球门，此时，足球距离地面的高度h与足球被踢出后经过的时间t之间的关系式为．已知足球被踢出9s时落地，那么足球到达距离地面最大高度时的时间t为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得当时，，再代入，可得到该函数解析式为，然后化为顶点式，即可求解．
【详解】解：根据题意得：当时，，
∴，
解得：，
∴该函数解析式为，
∵，
∴足球到达距离地面最大高度时的时间t为．
故选：D
【点睛】此题主要考查了二次函数应用，关键是正确确定函数解析式，掌握函数函数图象经过的点必能满足解析式．
8. 翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图1是翻花绳的一种图案，可以抽象成如右图，在矩形中，，，的度数为（ ）．

A. 30°B. 45°C. 50°D. 60°
【答案】D
【解析】
【分析】由矩形的性质可得，进而可得；再根据三角形内角和定理可得；然后再证四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，最后由对顶角相等即可解答．
【详解】解：如图：∵矩形中，
∴,
∵，
∴,
∴,
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴,
∴．
故选D．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定、性质定理是解答本题的关键．
9. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（ ）．

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由转角为可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和定理可得，然后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：如图：

∵，
∴，
∵过点的两条切线相交于点，
∴,
∴,
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、弧长公式等知识点，根据题意求得是解答本题的关键．
10. 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．若二次函数的图像在的范围内，至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一次函数的交点问题，由题意得，三倍点所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”转化为和至少有一个交点，求，再根据和时两个函数值大小即可求出答案．
【详解】解：由题意得，三倍点所在的直线为，
在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在的范围内，二次函数和至少有一个交点，
令，整理得，，
则，解得，
把代入得，代入得，
，解得；
把代入得，代入得，
，解得：，
综上，c的取值范围为：．
故选：A．
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
注意事项：
所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等．
不按以上要求作答，答案无效．
二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．）
11. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
故答案：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
12. 如图，P是反比例函数y = 图象上一点，PA⊥x轴于点A，则_______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据反比例函数的几何意义即可求解．
【详解】解：∵P是反比例函数y = 图象上一点PA⊥x轴于点A，
∴，
故答案为：.
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．
13. 如图，有一个直径为4cm的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的面积是__________．

【答案】
【解析】
【分析】如图，连接，则，可得是等边三角形，作于C，利用等边三角形的性质求出，进而求解．
【详解】如图，连接，则，
∴是等边三角形，
作于C，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵cm，
∴cm，
∴cm，
∴这个正六边形纸片的面积是；
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，本题中，求出是解题的关键．
14. 如图，在矩形中，点为延长线一点，为的中点，以为圆心，为半径的圆弧过与的交点，连接．若，，则________．

【答案】
【解析】
【分析】利用直角三角形斜边中线的性质求得，在中，利用勾股定理即可求出.
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵F为的中点，，
∴，
又∵以为圆心，为半径的圆弧过与的交点，
∴，
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键.
15. 只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径?小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为___________cm．

【答案】10
【解析】
【分析】设圆心为O，根据垂径定理可以得到，，再根据勾股定理构建方程解题即可．
【详解】解：设圆心为O，为纸条宽，连接，，

则，，
∴，，
设，则，
又∵，
∴，即，
解得：，
∴半径，
即直径为，
故答案为：10．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，构建直角三角形利用勾股定理计算是解题的关键．
16. 京剧是中国的一门传统文化艺术．如图，在平面直角坐标系中，某脸谱轮廓可以近似的看成是一个半圆与抛物线的一部分组合成的封闭图形，记作图形G．点A，B，C，D分别是图形G与坐标轴的交点，已知点D的坐标为，为半圆的直径，且，半圆圆心M的坐标为．关于图形G给出下列五个结论，其中正确的是______（填序号）．
①图形G关于直线对称；
②线段的长为；
③图形G围成区域内（不含边界）恰有12个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
④当时，直线与图形G有两个公共点；
⑤图形G的面积小于．
【答案】①②
【解析】
【分析】本题以半圆为抛物线合成的封闭图形为背景、曲线的对称性、整点问题、构造直角三角形、勾股定理等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．
由题意很明显可以得到图形G的对称轴为，故①正确；构造直角三角形、利用勾股定理求得的长，进而求得的长，故②正确；从图中可以很直观的得到③错误；根据图形可得当、，直线与图形G有一个公共点，即不能得出结论④，故④错误；如图：连接,可求得，从而判定⑤错误．
【详解】解：如图：由圆M可知且点A，B在抛物线上，
∴图形G关于对称，即①正确；
如图：连接，
在中，
∵， ，
，
又，
，
，故②正确；
根据题意得，由图形G围成区域内（不含边界）恰有13个整点（即横、纵坐标均为整数点），故③错误；
由图形可得：当、，直线与图形G有一个公共点，故④错误；
如图：连接, ，
∴，故⑤错误．
故答案为①②．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17. 计算：．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查特殊锐角的三角函数值．利用特殊锐角的三角函数值计算即可．
【详解】解：
．
18. 在中， ， 且 ，求边的长度．

【答案】
【解析】
【分析】根据含30度角的直角三角形的性质可得，进而勾股定理即可求解．
【详解】中，，，，
，
．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
19. 如图，在中，D为上一点，．求的长．

【答案】的长为9．
【解析】
【分析】根据已知条件证明，得到求出即可．
【详解】解：∵，
∴
∴
∴．
故的长为9．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似三角形的性质求解．
20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，．
（1）以点B为位似中心，在点B的下方画出，使与位似，且位似比为；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）作图详见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了位似的性质，平面直角坐标系内三角形面积的求法，
（1）根据相似比的以及点的坐标即可求得；
（2）根据位似的性质可得到的坐标，利用割补法即可求得四边形的面积．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求，
【小问2详解】
解：，
∵与位似，且位似比为；
则，
∴．
．
21. 祖冲之发明的水碓（duì）是一种舂米机具（如图1），在我国古代科学家宋应星的著作《天工开物》中有详细记载，其原理是以水流推动轮轴旋转进而拨动碓杆上下舂米．图2是碓杆与支柱的示意图，支柱高4尺且垂直于水平地面，碓杆长16尺，．当点A最低时，，此时点B位于最高点；当点A位于最高点时，，此时点B位于最低点．
（1）求点A位于最低点时与地面的垂直距离；
（2）求最低点与地面的垂直距离．（参考数据：，，）
【答案】（1）点A距离地面2尺
（2）点到地面之间的垂直距离约为尺
【解析】
【分析】（1）分别过点O作直线，作，H为垂足，分别过点B、作、，垂足分别为C、D；根据30度角所对的边是斜边的一半，可得，，即可求得；
（2）根据，，求得，根据三角函数的定义，可得，即可求得．
【小问1详解】
分别过点O作直线，作，H为垂足，分别过点B、作、，垂足分别为C、D．

∵，
∵
∴，
∴点A距离地面2尺；
【小问2详解】
∵，
∴
∴
∴
故点到地面之间的垂直距离约为0.28尺．
【点睛】本题考查含30度角的直角三角形，解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22. 芯片目前是全球紧缺资源，市政府通过资本招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业．某芯片公司，引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个．试回答下列问题：
（1）已知每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率；
（2）经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度．现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？
【答案】（1）20% （2）4条
【解析】
【分析】（1）设求前三季度生产量的平均增长率为x， 根据第一季度生产200万个，第三季度生产288万个，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（600-20m）万个/季度，利用总产量=每条生产线的产量×生产线的数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合在增加产能同时又要节省投入，即可确定m的值．
【小问1详解】
解：设求前三季度生产量的平均增长率为x，
依题意得：，
解得：=0.2=20%，=-2.2（不合题意，舍去）．
答：前三季度生产量的平均增长率20%；
【小问2详解】
解：设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（600-20m）万个/季度，
依题意得：（1+m）（600-20m）=2600，
整理得：，
解得：=4，=25，
∵在增加产能同时又要节省投入，
∴m=4．
答：应该再增加4条生产线
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23. 如图，为的直径，是上两点，延长至C，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明见解析
（2）的半径为
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键；
（1）连接，由圆周角定理得出，证出，由切线的判定可得出结论；
（2）证明，由相似三角形的性质得出，由比例线段求出和的长，可求出的长，则可得出答案．
【小问1详解】
证明：连接，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴的半径为．
24. 【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据：

（1）_______，_______；
（2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；

②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________．
（3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________．
【答案】（1）2，
（2）①见解析；②函数值逐渐减小
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据解析式求解即可；
（2）①根据表格数据，描点连线画出函数图象；②根据图象可得出结论；
（3）求出第一象限的交点坐标，结合图象可得结论．
【小问1详解】
解：由题意，，
当时，由得，
当时，，
故答案为：2，；
【小问2详解】
解：①根据表格数据，描点、连线得到函数的图象如图：

②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值逐渐减小，
故答案为：函数值逐渐减小；
【小问3详解】
解：当时，，当时，，
∴函数与函数的图象交点坐标为，，
在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，如图，

由图知，当或时，，
即当时，的解集为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查函数的图象与性质、描点法画函数图象、两个函数图象的交点问题，根据表格画出函数的图象，并利用数形结合思想探究函数性质是解答的关键．
25. 如图1，已知二次函数图象与轴交点为，其顶点为．
（1）求二次函数的表达式；
（2）直线与轴交于，现将线段上下移动，若线段与二次函数的图象有交点，求向上和向下平移的最大距离；
（3）若将（1）中二次函数图象平移，使其顶点与原点重合，然后将其图象绕点顺时针旋转，得到抛物线，如图2所示，直线与交于，两点，为上位于直线左侧一点，求面积最大值，及此时点的坐标．
【答案】（1）
（2）CM向下平移的最大距离为，向上平移的最大距离为6．
（3）
【解析】
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）①设直线向下平移最大距离为，由△，即可求解；②设直线向上平移最大距离为，同理可解；
（3）由，即可求解．
【小问1详解】
解：顶点，
设二次函数的解析式为，
把代入得：，
，
，
即；
【小问2详解】
解：由点、的坐标得，直线解析式为，
，
①设直线向下平移最大距离为，
平移后的直线解析式为，
此时直线与抛物线有一个交点，
把 代入，
得，
，
△，
即：．
②设直线向上平移最大距离为，
此时，对应点为，，
则，
当恰在二次函数上时，
，
，
向上平移的最大距离为6．
综上，向下平移的最大距离为，向上平移的最大距离为6；
【小问3详解】
解：二次函数平移后顶点与原点重合时顶点为，
则函数的解析式为：，
设 为 上一点，
绕顺时针旋转 后，对应点为，
则，
则，，
，
若在轴左侧同理可证成立，即满足横坐标为纵坐标平方，
所以，
把 代入，
，
解得：，；
则，，
设：，
过点作轴交于点，
，
，
，
，
当 时，有最大值，，
此时．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、面积的计算、图象的旋转等，有一定的综合性，难度较大．
26. 在矩形中，，，点E在射线上，将射线绕点A逆时针旋转，交延长线于点G，以线段为邻边作矩形．
（1）如图1，若E在线段上，连接，则______，______；
（2）如图2，若E在线段延长线上，当点共线时，求线段的长；
（3）如图3，若E在线段上，当时，在平面内有一动点P，满足，连接，请直接写出的最小值．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）通过证明，可得；
（2）同理可证，可求的长，由锐角三角函数可列出方程，即可求解；
（3）由勾股定理可求的长，由锐角三角函数可求，通过证明，可得，则当、、三点共线时，有最小值，最小值为的长，由相似三角形的性质和勾股定理可求解．
【小问1详解】
解：∵四边形是矩形，
∵将射线绕点逆时针旋转，
又
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
过作交延长线于，

由（1）可知：，
∴
，
则，
设，
∴中，
解得，
【小问3详解】
设，
，
作，且，连接，

又
∴当、、三点共线时，有最小值，最小值为的长，
又
又
在中，．
【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．…
1
3
4
6
…
…
4
3
2.4
2
…
…
1
3
4
6
…
…
4
3
2.4
2
…