四川省泸州市泸化中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份四川省泸州市泸化中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷（Word版附解析），共20页。
注意事项:
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卷上相应位置.
2．选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卷对应题目号的位置上，填涂在试卷上无效.
3．非选择题答案请使用黑色签字笔填写在答题卷对应题目号的位置上，填写在试卷上无效.
第I卷（选择题）
一、单选题（40分）
1. 已知直线，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线方程得到斜率，再运用公式求出倾斜角即可.
【详解】因为直线，所以直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则，所以.
故选：D．
2. 已知复数满足，为虚数单位，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接根据复数代数形式的除法法则计算可得；
【详解】解：因为，所以
故选：A
【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.
3. “直线和直线平行”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据两直线平行得到或，再利用充分必要条件的定义判断即可.
【详解】解：直线与直线平行,
，
解得或，
当，直线和直线平行；
当，直线和直线平行；
根据充分条件、必要条件的定义可得，
“直线和直线平行”是“”的必要不充分条件
故选：B
【点睛】本题主要考查了两直线平行以及充分必要条件的定义，属于基础题目，关键是要求出的值，然后进行验证.
4. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么请问此人前两天所走的里程为（ ）
A. 189里B. 216里C. 288里D. 192里
【答案】C
【解析】
【分析】每天走的路程可看成一个公比为的等比数列，利用等比数列的求和公式可求出等比数列的首项，从而得到等比数列的通项公式，选出正确答案.
【详解】由题意，记每天走的路程为是公比为的等比数列，
又由，解得，
所以，则
故前两天所走的路程为：
故选：C
5. 已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由空间向量在向量方向上的投影数量为，运算即可得解.
详解】由题意，，，，
则空间向量在向量方向上的投影数量为.
所以所求投影向量的模长为2.
故选：A
6. 奥运会跳水比赛中共有名评委给出某选手原始评分，在评定该选手的成绩时，去掉其中一个最高分和一个最低分，得到个有效评分，则与个原始评分（不全相同）相比，一定会变小的数字特征是（ ）
A. 众数B. 方差C. 中位数D. 平均数
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由数据的中位数、平均数、方差、众数的定义，分析可得答案．
【详解】对于A：众数可能不变，如，故A错误；
对于B：方差体现数据的偏离程度，因为数据不完全相同，当去掉一个最高分、一个最低分，一定使得数据偏离程度变小，即方差变小，故B正确；
对于C：7个数据从小到大排列，第4个数为中位数，当首、末两端的数字去掉，中间的数字依然不变，故5个有效评分与7个原始评分相比，不变的中位数，故C错误；
对于C：平均数可能变大、变小或不变，故D错误；
故选：B
7. 若一个轴截面为正三角形的圆锥的顶点在球O的表面上，底面圆心与O重合，则该圆锥的表面积与球O的表面积之比为（ ）
A. 1:4B. 1:2C. 1:6D. 1:3
【答案】A
【解析】
【分析】设球O的半径为R，由圆锥和球的结构特征可得圆锥底面半径为，母线长为，再利用圆锥的表面积公式和球的表面积公式可得答案.
【详解】设球O的半径为R，则圆锥的高为R，
由正三角形的性质可得圆锥底面半径为，母线长为，
所以圆锥的表面积为，
又球O的表面积为，所以该圆锥的表面积与球O的表面积之比为1:4，
故选：A．
8. 已知，分别是双曲线的左、右顶点，是的焦点，点为的右支上位于第一象限的点，且轴．若直线与直线的斜率之比为，则的离心率为（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】由题意代入，求出，计算出，根据其比值得到，化成齐次式即可得到离心率.
【详解】由题意可知，代入双曲线方程，可得，
又，，可得
，，即，得.
故选：C.
二、多选题（18分）
9. 投掷一枚均匀的骰子，记事件A：“朝上的点数大于3”，B：“朝上的点数为2或4”，则下列说法错误的是（ ）
A. 事件A与事件B互斥B. 事件A与事件B对立
C. 事件A与事件B相互独立D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据互斥事件以及对立事件的概念结合事件A与事件B的基本事件可判断选项AB；根据独立事件的概率公式可判断选项C；求出事件的概率可判断选项D.
【详解】事件A：“朝上的点数大于3”，B：“朝上的点数为2或4”，
这两个事件都包含有事件：“朝上的点数为4”，故事件A与事件B不互斥，也不对立，选项A，B错误；
投掷一枚均匀的骰子，共有基本事件6个，
事件A：“朝上的点数大于3”包含的基本事件个数有3个，其概率为，
事件B：“朝上的点数为2或4”，包含的基本事件个数有2个，其概率为，
事件AB包含的基本事件个数有1个，其概率为，
由于，故事件A与事件B相互独立，C选项正确；
对于D，事件包含的基本事件个数有朝上的点数为共4个，故，D选项错误.
故选：ABD.
10. 已知为等差数列的前项和，，，记，，其中是高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据等差数列的前项和公式和等差中项，可的，再根据和等差数列通项公式，可求出等差数列的公差为，进而求出，即可判断选项A正确；根据可得，即再利用裂项相消法即可求出，进而判断B是否正确；根据可得，，可证数列是首项为，公差为的等差数列，又相当于数列前项和，由此即可求出结果，进而判断C是否正确；根据可得，分别求出正自然数在区间，，中的通项公式，以及时的值，再求，即可判断D是否正确.
【详解】由为等差数列的前项和，所以，即；
又，设等差数列的公差为，所以，所以，
所以，故A正确；
由选项A可知，所以，
所以
，故B错误；
由选项A可知，所以，，
所以，即数列是首项为，公差为的等差数列，
所以
，故C正确；
由选项A可知，
当且时，；
当且时，；
当且时，；
当时，；
所以，故D正确.
故选:ACD.
11. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，G为C1D1的中点，K为A1D1中点，M为AB中点，点P在线段B1C上运动，点Q在棱C1C上运动， 则下列结论正确的有（ ）
A. 直线BD1⊥平面A1C1D
B. 异面直线AP与A1D所成角的取值范围是
C. PQ+QG最小值为
D. 过点GKM的平面截正方体所得多边形的面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A选项，利用正方体性质及线面垂直的判定定理即可判断；
对于B选项，由题可得与所成角即为异面直线与所成角；
对于C选项，利用展开图即可判断；
对于D选项，作出截面为正六边形，求其面积即可.
【详解】对于A选项，连接，则，
由题可知，平面，且平面，则，
又，面，平面，平面，则，
同理可得，，面，直线平面，则选项A正确；
对于B选项，由题可知，，，
所以四边形为平行四边形，则，所以与所成角即为异面直线与所成角，
易知是等边三角形，又点在线段上运动，所以直线与所成角的取值范围是，则B选项错误；
对于C选项，如图展开平面，使平面共面，过作，交与点，交与点，
则此时最小，由题可知，，，则，即的最小值为，则C选项正确；
对于D选项，作中点，连接，
如图，易知多边形为过点GKM的平面截正方体所得多边形，
易求，即多边形为正六边形，
连结交于点，故.
故选：ACD.
第II卷（非选择题）
三、填空题（15分）
12. 已知向量，，，若，则实数______．
【答案】
【解析】
【分析】利用空间向量坐标运算以及数量积的坐标表示，可求出结果.
【详解】由，可得，
所以，
解得.
故答案为：
13. 当为任意实数时，直线恒过定点，则以点C为圆心，半径为圆的标准方程______．
【答案】
【解析】
【分析】先求得直线过的定点C，再写出圆的标准方程.
【详解】直线可化为，
则，解得，
所以直线恒过定点，
所以以点C为圆心，半径为圆的标准方程是，
故答案为：
14. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，则的最小值是______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意对直线斜率存在与否进行分类讨论，由焦半径公式写出的表达式，并利用基本不等式求出其最小值.
【详解】如下图示：

易知焦点，设，且
当直线斜率不存在时（如图中虚线所示），可知，此时；
当直线斜率存在时，可设直线方程为，显然，
联立直线和抛物线方程，消去整理可得，
利用韦达定理可知，
又利用焦半径公式可知，
所以可得，
当且仅当，即时，等号成立；
综上可得，的最小值是.
故答案为：
四、解答题（77分）
15. 从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值．由测量表得到如下频率分布直方图
（1）补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）；
（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中间值作为代表，据此估计这种产品质量指标值服从正态分布Z（μ，σ2），其中μ近似为样本平均值，σ2近似为样本方差s2（组数据取中间值）；
①利用该正态分布，求从该厂生产的产品中任取一件，该产品为合格品的概率；
②该企业每年生产这种产品10万件，生产一件合格品利润10元，生产一件不合格品亏损20元，则该企业的年利润是多少？
参考数据：＝5.1，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ，μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ，μ+2σ）＝0.9544．
【答案】（1）见解析；（2）①0.9544，②863200．
【解析】
【分析】（1）由频率分布图求出[95，105）的频率，由此能作出补全频率分布直方图；
（2）求出质量指标值的样本平均数、质量指标值的样本方差；
①由（2）知Z～N（100，104），从而求出P（79.6＜Z＜120.4），注意运用所给数据；
②设这种产品每件利润为随机变量E（X），即可求得EX．
【详解】（1）由频率分布直方图得：[95，105）的频率为：1﹣（0.006+0.026+0.022+0.008）×10＝0.038，补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）：
质量指标值的样本平均数为：
＝80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08＝100．
质量指标值的样本方差为
S2＝（﹣20）2×0.06+（﹣10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08＝104．
（2）①由（1）知Z～N（100，104），从而P（79.6＜Z＜120.4）＝P（100﹣2×10.2＜Z＜100+2×10.2）＝0.9544；
②由①知一件产品的质量指标值位于区间（79.6，120.4）的概率为0.9544，
该企业的年利润是EX＝100000[0.9544×10﹣（1﹣0.9544）×20]＝863200．
【点睛】本题考查频率分布直方图的作法，考查平均数、方差的求法，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力，属于中档题．
16. 已知等比数列的公比为q，前n项和为．
（1）若成等差数列，求证：成等差数列；
（2）若是和等差中项，则成等差数列吗？
【答案】（1）证明见解析；
（2）当时，不是等差数列，当时，成等差数列.
【解析】
【分析】(1)验证是否符合条件，当时，根据等比数列求和公式化简条件，再根据等差数列定义证明成等差数列；
(2)根据等差中项定义化简条件，再根据等差数列定义判断是否为等差数列.
【小问1详解】
若，则，，，
因为，所以，所以不成等差数列，与已知矛盾；所以，
因为成等差数列，所以，
所以，
又，所以，所以，
所以，所以，所以，
所以，
所以成等差数列；
【小问2详解】
因为是和的等差中项，所以，
所以，
又，，所以，所以或，
当时，，，，
因为，所以，
当时，，
所以，
所以，所以成等差数列，
综上所述，当时，不是等差数列，当时，成等差数列.
17. 已知椭圆的方程为，称圆心在坐标原点，半径为的圆为椭圆的“伴随圆”，椭圆的短轴长为2，离心率为．
（1）求椭圆及其“伴随圆”的方程；
（2）若直线与椭圆交于两点，与其“伴随圆”交于两点，当时，求面积的最大值．
【答案】（1）椭圆；“伴随圆”方程为；（2）
【解析】
【分析】（1）由离心率和短轴长可求得，由此可得椭圆方程及“伴随圆”的半径，进而得到“伴随圆”的方程；
（2）①当轴时，可知直线，进而知，可求得此时；②当与轴不垂直时，设直线，利用直线被圆截得弦长可得满足的关系式；将直线与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，利用弦长公式和点到直线距离公式可表示出，令，化简可得，由二次函数最值求法可求得结果；综合两种情况可得结论.
【详解】（1）由题意得：，，，，
椭圆的方程为：；
椭圆的“伴随圆”圆心为，半径，
“伴随圆”的方程为；
（2）①当轴时，设直线，
，解得：，代入椭圆方程可得：，
，；
②当与轴不垂直时，设直线，
则圆心到直线距离，，
整理可得：；
由得：，
，即，解得：；
设，，则
；
又坐标原点到直线距离，
；
当时，三点共线，不合题意，；
令，则，，
，
令，则，，
则当，即时，取得最大值，最大值为；
综上所述：面积的最大值为.
【点睛】思路点睛：求解直线与椭圆综合应用中的三角形面积最值（取值范围）问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理和点到直线距离表示出所求三角形的面积；
④将所求三角形面积转化为关于某一变量的函数的形式，利用函数的单调性或基本不等式求解出最值（范围）.
18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，BCAD，AB⊥BC，PA=AB=AD=2BC=2，M是PD的中点.
（1）求证：CM平面PAB；
（2）求三棱锥P-ACM的体积；
（3）求二面角M-AC-D的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）取中点，通过证明四边形是平行四边形得出，于是平面；
（2）根据计算棱锥的体积；
（3）建立空间坐标系，求出平面和平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小．
【详解】（1）证明：取中点，连接，，
是的中点，是的中点，，，
，，
，，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面，
平面．
（2）解：是的中点，，
．
（3）解：以为原点，以，，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
，
设平面的法向量为，则，即，
令可得，
又平面，为平面的一个法向量，
，
由图形可知二面角为锐二面角，
二面角的余弦值为．
【点睛】方法点睛：（1）求空间中三棱锥的体积，一般采用等体积法求解，找到三棱锥合适的底面和高；（2）求空间面面角常常建立空间直角坐标系，利用向量的方法求解更为便捷.
19. 在平面直角坐标系中，已知，圆与轴切于点，又过作圆异于轴的两切线，设这两切线交于点.
（1）求点的轨迹方程;
（2）设为坐标原点，是的轨迹上的不同两点且不关于原点对称，若直线的斜率分别为和，若，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据切线的几何性质，结合椭圆定义可判断点的轨迹是以为两焦点的椭圆，即可求解，
（2）联立直线与椭圆方程，得韦达定理，根据两点斜率公式可得，即可根据根据弦长公式以及点到直线距离公式，即可根据面积公式求解.
【小问1详解】
设过异于轴的两切线分别切于两点，两切线交于点，
由切线的性质可知:，
故
，
故由椭圆定义知，点的轨迹是以为两焦点的椭圆（去除在x轴上的两点），
可求得动点的轨迹方程为:;
【小问2详解】
当直线的斜率存在时，设其方程为，
由，消去，得:，
设，则
，
，
点到直线的距离，
，
，
，
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.