武汉市2024-2025学年下学期第一次月考八年级数学试题（一）（word版含答案）

这是一份武汉市2024-2025学年下学期第一次月考八年级数学试题（一）（word版含答案），共25页。试卷主要包含了测试范围等内容，欢迎下载使用。
考前须知：
1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。
2．测试范围：二次根式~勾股定理（人教版）。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（3分）若式子2m−3有意义，则m的取值范围是（ ）
A．m≤23B．m≥−32C．m≥32D．m≤−23
2．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．32B．15C．23D．0.7
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2•3=5B．93×127=3
C．6×2=12D．24•32=6
4．（3分）估算50−232的值（ ）
A．在0与1之间B．在0与2之间
C．在2与3之间D．在3与4之间
5．（3分）已知a、b、c是△ABC的三边，下列条件：①a＝6，b＝10，c＝8；②∠C＝23°，∠B＝57°；③∠B﹣∠C＝∠A；④a2﹣c2＝b2，能够判断△ABC为直角三角形的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
6．（3分）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即AC＝5，DC＝1，BD＝BA，则BC＝（ ）
A．8B．10C．12D．13
7．（3分）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，沿AD和EF将纸片折叠，使点B和点C都落在边BC上的点P处，则AE的长是（ ）
A．136B．56C．76D．65
8．（3分）已知a+b＝﹣6，ab＝7．则代数式aab+bba的值为（ ）
A．−2277B．2277C．3677D．−3677
9．（3分）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于（ ）
A．180°﹣αB．180°﹣2αC．90°+αD．90°+2α
10．（3分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠BCD＝30°，BC＝2，AC=14，则CD的长为（ ）
A．4B．27C．5D．10
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）比较下列两个数的大小：−313 −414．（用“＞”或“＜”填空）
12．（3分）读材料：我们规定，若a+b＝﹣1，则称a与b是关于﹣1的平衡数，若4+23与m是关于﹣1的平衡数，则m＝ ．
13．（3分）如图，从一个大正方形中裁去面积为8cm2和18cm2的两个小正方形，则留下的阴影部分面积和为 ．
14．（3分）如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高10m的树顶飞到一棵高4m的树顶上，两棵树相距8m，则小鸟至少要飞 米．
15．（3分）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c，a=12m2−12，c=12m2+12，m是大于1的奇数，则b＝ （用含m的式子表示）．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，AC=74，BC=210，CD＝6，则BD＝ ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：
（1）(33−1)(33+1)−(23−1)2；（2）(212−13)×6−27+123．
18．（8分）先化简，再求值：25xy+xyx−4yxy−1yxy3，其中x=13，y＝4．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D是Rt△ABC外一点，连接CD，AD，且CD＝12，AD＝13．求四边形ABCD的面积．
20．（8分）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，绳子始终绷紧且绳长保持不变．
（1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离；（结果保留根号）
（2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？
21．（8分）如图是由小正方形组成的9×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列要求完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
（1）在图1中按下列步骤完成画图．
①画出△ABC的高CD；
②画△ACD的角平分线AE；
③画点D关于AC的对称点D'；
（2）如图2，P是网格线上一点，过点P的线段MN分别交AB，BC于点M，N，且PM＝PN，画出线段MN．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝17，BC＝15，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动．设点P的运动时间为t（t＞0）．
（1）AB＝ ；
（2）求斜边AC上的高线长；
（3）①当P在BC上时，CP的长为 ，t的取值范围是 ；（用含t的代数式表示）
②若点P在∠BCA的平分线上，则t的值为 ．
23．（10分）（1）如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，且点D在BC边上滑动（点D不与点B，C重合），连接EC．求证：BD2+CD2＝2AD2；
[拓展延伸]
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝17cm，CD＝8cm，求AD的长；
（3）如图3，把斜边长都为18cm的一副三角板的斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离AB长为 cm．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，a）在y轴上，点B（b，0）、C在x轴上，OB＝OC，且a，b满足b=a2−1+1−a2a+1−3．
（1）如图1，则点A坐标 ，点B坐标 ，∠ABC＝ ；
（2）如图2，若点D在第一象限且满足AD＝AC，∠DAC＝90°，线段BD交y轴于点G，求线段BG的长；（3）如图3，在（2）的条件下，若在第四象限有一点E，满足∠BEC＝∠BDC．请探究BE、CE、AE之间的数量关系，并证明．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）若式子2m−3有意义，则m的取值范围是（ ）
A．m≤23B．m≥−32C．m≥32D．m≤−23
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：2m﹣3≥0，
解得：m≥32，
故选：C．
2．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．32B．15C．23D．0.7
【分析】对于一个二次根式，被开方数中不含分母或不含开得尽方的因数或因式，这种二次根式即为最简二次根式，据此进行判断即可．
【解答】解：32不是二次根式，则A不符合题意；
15是最简二次根式，则B符合题意；
23中含有分母，则C不符合题意；
0.7=710含有分母，则D不符合题意；
故选：B．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2•3=5B．93×127=3
C．6×2=12D．24•32=6
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、2•3=6，故此选项错误；
B、93×127=919=9×13=3，故此选项错误；
C、6×2=23，故此选项错误；
D、24•32=36=6，故此选项正确；
故选：D．
4．（3分）估算50−232的值（ ）
A．在0与1之间B．在0与2之间
C．在2与3之间D．在3与4之间
【分析】求出原式＝5−6，先确定6的范围，再确定5−6的范围，即可得出答案．
【解答】解：50−232=50÷2−23÷2
＝5−6，
∵2＜6＜3，
∴﹣2＞−6＞−3，
∴5﹣2＞5−6＞5﹣3，
即2＜5−6＜3，
∴2＜50−232＜3，
故选：C．
5．（3分）已知a、b、c是△ABC的三边，下列条件：①a＝6，b＝10，c＝8；②∠C＝23°，∠B＝57°；③∠B﹣∠C＝∠A；④a2﹣c2＝b2，能够判断△ABC为直角三角形的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理求解即可．
【解答】解：①∵62+82＝102，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形，
故本选项符合题意；
②∵∠C＝23°，∠B＝57°，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝100°，
∴△ABC是钝角三角形，
故本选项不符合题意；
③∵∠B﹣∠C＝∠A，
∴∠A+∠C＝∠B，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故本选项符合题意；
④∵a2﹣c2＝b2，
∴a2＝b2+c2，
∴△ABC是直角三角形，
故本选项符合题意；
综上，能够判断△ABC为直角三角形的有3个，
故选：D．
6．（3分）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即AC＝5，DC＝1，BD＝BA，则BC＝（ ）
A．8B．10C．12D．13
【分析】设BC＝x，则BD＝BA＝x+1，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程求解即可．
【解答】解：设BC＝x，则BD＝BA＝x+1，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB2＝AC2+BC2，
即（x+1）2＝52+x2，
解得x＝12，
即BC＝12，
故选：C．
7．（3分）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，沿AD和EF将纸片折叠，使点B和点C都落在边BC上的点P处，则AE的长是（ ）
A．136B．56C．76D．65
【分析】根据题意可得AP＝AB＝2，∠B＝∠APB，CE＝PE，∠C＝∠CPE，可得∠APE＝90°，继而设AE＝x，则CE＝PE＝3﹣x，根据勾股定理即可求解．
【解答】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，
∴AP＝AB＝2，∠B＝∠APB，
∵折叠纸片，使点C与点D重合，
∴CE＝PE，∠C＝∠CPE，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∴∠APB+∠C＝90°，
∴∠APE＝90°，
∴AP2+PE2＝AE2，
设AE＝x，
则CE＝PE＝3﹣x，
∴22+（3﹣x）2＝x2，
解得x=136，
即AE=136，
故选：A．
8．（3分）已知a+b＝﹣6，ab＝7．则代数式aab+bba的值为（ ）
A．−2277B．2277C．3677D．−3677
【分析】根据题意得a＜0，b＜0，a2+2×7+b2＝36，再利用二次根式的性质进行化简即可求解．
【解答】解：∵a+b＝﹣6，ab＝7，
∴a＜0，b＜0，a2+2×7+b2＝36，
∴a2+b2＝22，
aab+bba
=aabb2+baba2
=−aabb−baba
=−a2abab−b2abab
=−(a2+b2)abab
=−2277，
故选：A．
9．（3分）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于（ ）
A．180°﹣αB．180°﹣2αC．90°+αD．90°+2α
【分析】过B点作BG∥CD，连接EG，根据平行线的性质得出∠ABG＝∠CFB＝α．根据勾股定理求出BG2＝17，BE2＝17，EG2＝34，那么BG2+BE2＝EG2，根据勾股定理的逆定理得出∠GBE＝90°，进而求出∠ABE的度数．
【解答】解：如图，过B点作BG∥CD，连接EG，
∵BG∥CD，
∴∠ABG＝∠CFB＝α．
∵BG2＝12+42＝17，BE2＝12+42＝17，EG2＝32+52＝34，
∴BG2+BE2＝EG2，
∴△BEG是直角三角形，
∴∠GBE＝90°，
∴∠ABE＝∠GBE+∠ABG＝90°+α．
故选：C．
10．（3分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠BCD＝30°，BC＝2，AC=14，则CD的长为（ ）
A．4B．27C．5D．10
【分析】把△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，连接CE，作EF⊥CD于F，则AC＝AE=14，结合旋转的性质求得∠ADE+∠ADC＝240°，在Rt△EDF中，∠DEF＝30°，然后利用含30°角的直角三角形性质及勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：如图，把△ABC绕点A逆时针旋转90度，得到△ADE，连接CE，过点E作EF⊥CD延长线于点F，
根据旋转可知：AE＝AC=14，ED＝BC＝2，∠ABC＝∠ADE，
根据四边形ABCD的内角和＝360°，
∴∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠DAB＝360°，
∵∠BAD＝90°，∠BCD＝30°，
∴∠ABC+∠ADC＝240°，
∴∠ADE+∠ADC＝240°，
∴∠CDE＝120°，
∴∠EDF＝60°，
在Rt△EDF中，DE＝2，
∴DF＝1，EF=3，
在Rt△AEC中，CE=2AC＝27
∴CF=CE2−EF2=28−3=5，
∴CD＝CF﹣DF＝5﹣1＝4．
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）比较下列两个数的大小：−313 ＞ −414．（用“＞”或“＜”填空）
【分析】先根据二次根式的性质将根号外的数字3和4，分别放入根号内，再比较大小即可求解．
【解答】解：−313=−3，−414=−2
∵−2＜−3
∴−313＞−414，
故答案为：＞．
12．（3分）读材料：我们规定，若a+b＝﹣1，则称a与b是关于﹣1的平衡数，若4+23与m是关于﹣1的平衡数，则m＝ −5−23 ．
【分析】根据新定义列出算式计算即可．
【解答】解：由题意，得：m=−1−4−23=−5−23．
故答案为：−5−23．
13．（3分）如图，从一个大正方形中裁去面积为8cm2和18cm2的两个小正方形，则留下的阴影部分面积和为 24cm2 ．
【分析】直接利用正方形的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案．
【解答】解：∵两个小正方形面积为8cm2和18cm2，
∴大正方形边长为：8+18=22+32=52（cm），
∴大正方形面积为（52）2＝50（cm2），
∴留下的阴影部分面积和为：50﹣8﹣18＝24（cm2）．
故答案为：24cm2．
14．（3分）如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高10m的树顶飞到一棵高4m的树顶上，两棵树相距8m，则小鸟至少要飞 10 米．
【分析】根据勾股定理求出AB的长即可．
【解答】解：如图，由题意可知，AC＝AD﹣CD＝10﹣4＝6（m），BC＝8m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB=AC2+BC2=62+82=10（m），
则小鸟至少要飞10m，
故答案为：10．
15．（3分）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c，a=12m2−12，c=12m2+12，m是大于1的奇数，则b＝ m （用含m的式子表示）．
【分析】根据勾股数的定义解答即可．
【解答】解：∵a，b，c是勾股数，其中a，b均小于c，a=12m2−12，c=12m2+12，
∴b2＝c2﹣a2
＝（12m2+12）2﹣（12m2−12）2
=14m4+14+12m2﹣（14m4+14−12m2）
=14m4+14+12m2−14m4−14+12m2
＝m2，
∵m是大于1的奇数，
∴b＝m．
故答案为：m．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，AC=74，BC=210，CD＝6，则BD＝ 213 ．
【分析】作AE⊥AC，AE＝AC，连接EC，延长EB交CD于点F，构造旋转全等，再结合勾股定理求解．
【解答】解：作AE⊥AC，AE＝AC，连接EC，延长EB交CD于点F，
∵AE⊥AC，∠BAD＝90°，
∴∠BAE＝∠DAC，
∵AE＝AC，AB＝AD，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE＝CD＝6，∠AEB＝∠ACD，
∵∠1＝∠2，
∴∠CFB＝∠CAE＝90°，
在Rt△AEC中，EC=2AE=237，
在Rt△BCF中，Rt△ECF中，有(237)2−(6+BF)2=(210)2−BF2，
解得：BF＝6，
∴CF＝2，FD＝4，
∴在Rt△BDF中，BD=36+16=213，
故答案为：213．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：
（1）(33−1)(33+1)−(23−1)2；
（2）(212−13)×6−27+123．
【分析】（1）利用平方差公式，完全平方公式计算即可；
（2）先计算乘除，再计算加减．
【解答】解：（1）原式＝（33）2﹣1﹣（12﹣43+1）
＝27﹣1﹣12+43−1
＝13+43；
（2）原式＝212×6−13×6−27÷3−12÷3
＝122−2−3﹣2
＝112−5．
18．（8分）先化简，再求值：25xy+xyx−4yxy−1yxy3，其中x=13，y＝4．
【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再合并得到原式=xy，然后把x、y的值代入计算．
【解答】解：∵x=13＞0，y＝4＞0，
∴原式＝5xy+xy−4xy−xy
=xy，
当x=13，y＝4时，原式=13×4=233．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D是Rt△ABC外一点，连接CD，AD，且CD＝12，AD＝13．求四边形ABCD的面积．
【分析】根据勾股定理计算AC，根据勾股定理的逆定理判定△ADC是直角三角形，根据面积公式计算即可．
【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC=AB2+BC2=32+42=5，
∵CD＝12，AD＝13，AC＝5，
且CD2+AC2＝52+122＝132＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴四边形ABCD面积为：12BC⋅AC+12DC⋅AD
=12×5×12+12×3×4=36．
20．（8分）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，绳子始终绷紧且绳长保持不变．
（1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离；（结果保留根号）
（2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？
【分析】（1）根据勾股定理求AC、BC的长，然后作差求解即可；
（2）求出从A处移动到岸边点F的时间，再比较即可．
【解答】解：（1）∵∠AFC＝90°，AF＝24米，CF＝7米，
∴AC=AF2+CF2=242+72=25（米），
∵AB＝18米，
∴BF＝AF﹣AB＝24﹣18＝6（米），
∴BC=BF2+CF2=62+72=85（米），
∴CE＝AC﹣BC＝（25−85）米，
答：男子需向右移动的距离为(25−85)米；
（2）由题意知，需收绳的绳长为：AC﹣CF＝25﹣7＝18（米），
∴此人的收绳时间为180.5=36（秒），
∵36＞30，
∴该男子不能在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置．
21．（8分）如图是由小正方形组成的9×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列要求完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
（1）在图1中按下列步骤完成画图．
①画出△ABC的高CD；
②画△ACD的角平分线AE；
③画点D关于AC的对称点D'；
（2）如图2，P是网格线上一点，过点P的线段MN分别交AB，BC于点M，N，且PM＝PN，画出线段MN．
【分析】（1）①取格点T，连接CT交AB于点D，线段CD即为所求；
②取BC的中点E，连接AE即可；
③作点B关于AC的对称点B′，T关于AC的对称点T′，连接CT′交AB′于点D′，点D′即为所求；
（2）连接BP并延长交网格线于点Q，则BP＝PQ，连接AP并延长交网格线于点L，则AP＝PL，连接QL交BC于点N，延长NP交AB于点M，则线段MN即为所画的线段．
【解答】解：（1）①如图1中，线段CD即为所求；
②如图1中，线段AE即为所求；
③如图1中，点D′即为所求．
（2）如图2，线段MN即为所求．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝17，BC＝15，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动．设点P的运动时间为t（t＞0）．
（1）AB＝ 8 ；
（2）求斜边AC上的高线长；
（3）①当P在BC上时，CP的长为 3t﹣17 ，t的取值范围是 173≤t≤323 ；（用含t的代数式表示）
②若点P在∠BCA的平分线上，则t的值为 14312 ．
【分析】（1）利用股定理即可求解；
（2）过点B作BD⊥AC于点D，利用面积法求解即可；
（3）①根据点P的运动路径及速度表示出CP即可解答；
②过点P作PE⊥AC于E，利用角平分线的性质可知PB＝PE，再证Rt△BCP≌Rt△ECP（HL），推出EC＝BC，最后利用股定理解Rt△AEP即可．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝17，BC＝15，
∴AB=AC2−BC2=172−152=8．
故答案为：8．
（2）如图所示，过点B作 BD⊥AC 于点D，
∴S△ABC=12AB⋅BC=12AC⋅BD，
即 BD=AB⋅BCAC=8×1517=12017，
∴斜边AC上的高线长为 12017．
（3）①∵点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线 A﹣C﹣B﹣A 运动，AC＝17，
∴当P在 BC上时，CP＝3t﹣AC＝3t﹣17．
∵AC3≤t≤AC+BC3，即 173≤t≤17+153，
∴.173≤t≤323．
故答案为：3t﹣17，173≤t≤323；
②当点P在∠BCA 的角平分线上时，过点P作 PE⊥AC 于E，如图所示，
∵CP平分∠BCA，∠B＝90°，PE⊥AC，
∴PB＝PE．
又∵PC＝PC，
∴Rt△BCP≌Rt△ECP（HL）．
∴EC＝BC＝15，则 AE＝AC﹣CE＝17﹣15＝2．
由（2）易知 AP＝40﹣3t，BP＝3t﹣32，
∴PE＝3t﹣32．
在Rt△AEP中，AP2＝AE2+EP2 即 （40﹣3t）2＝22+（3t﹣32）2，
解得 t=14312．
∴点P在∠BAC 的平分线上时，t=14312．
故答案为：14312．
23．（10分）（1）如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，且点D在BC边上滑动（点D不与点B，C重合），连接EC．求证：BD2+CD2＝2AD2；
[拓展延伸]
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝17cm，CD＝8cm，求AD的长；
（3）如图3，把斜边长都为18cm的一副三角板的斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离AB长为 9(6+2)2 cm．
【分析】（1）证明△BAD≌△CAE（SAS），根据全等三角形的性质得到BD＝CE，∠ACE＝∠B，得到∠DCE＝90°，根据勾股定理计算即可；
（2）作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，证明△BAD≌△CAE，得到BD＝CE＝17cm，根据勾股定理计算即可．
（3）延长BN到点P，使NP＝MB，先证△AMB≌△ANP得AB＝AP，∠NAM＝∠BAP，据此可得∠BAP＝∠MAN＝90°，由勾股定理知AB2+AP2＝BP2，继而可得2AB2＝（MB+BN）2；由直角三角形的性质知BN=9cm，MB=93cm，代入计算即可得答案．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠ACE＝∠B，
∴∠DCE＝90°，
∴CE2+CD2＝ED2，
在Rt△ADE中，AD2+AE2＝ED2，
又AD＝AE，
∴BD2+CD2＝2AD2；
（2）解：作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，如图2，
∵∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE＝17cm，
∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°，
∴∠EDC＝90°，
∴DE=CE2−CD2=172−82=15cm，
∵∠DAE＝90°，
∴AD=AE=1522cm．
（3）解：如图3，延长BN到点P，使NP＝MB，
∵∠MAB＝90°，∠MBN＝90°，
∴∠AMB+∠ANB＝180°，
∵∠ANP+∠ANB＝180°，
∴∠AMB＝∠ANP，
∵AM＝AN，NP＝MB，
∴△AMB≌△ANP（SAS），
∴AB＝AP，∠MAB＝∠NAP，
∴∠BAP＝∠BAM＝90°，
∴BA2+AP2＝BP2，
∴2AB2＝（MB+BN）2，即AB=22(MB+BN)；
∵MN＝18cm，∠BMN＝30°，
∴BN=12MN=9cm，
∴MB=MN2−BN2=182−92=93cm
∴AB=22(93+9)=9(6+2)2cm，
故答案为：9(6+2)2．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，a）在y轴上，点B（b，0）、C在x轴上，OB＝OC，且a，b满足b=a2−1+1−a2a+1−3．
（1）如图1，则点A坐标 （0，1） ，点B坐标 （﹣3，0） ，∠ABC＝ 30° ；
（2）如图2，若点D在第一象限且满足AD＝AC，∠DAC＝90°，线段BD交y轴于点G，求线段BG的长；
（3）如图3，在（2）的条件下，若在第四象限有一点E，满足∠BEC＝∠BDC．请探究BE、CE、AE之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）先根据二次根式的性质求出a的值，然后再求出b的值，取AB的中点M，连接OM，
证明△OAM为等边三角形，得出∠OAB＝60°，求出∠ABC＝90°﹣60°＝30°，即可得出答案；
（2）求出AC=AO2+OC2=2，即AB＝AC，可得∠ABD＝∠ADB，接着求出∠BAG＝120°，证明△BAO≌△CAO，即有∠BAO＝60°＝∠CAO，可得∠GAD＝180°﹣∠DAC﹣∠OAC＝30°，得出∠BAD＝∠BAG+∠GAD＝150°，进而有∠ABD＝∠ADB＝15°，可得∠GBO＝∠ABD+∠ABO＝45°，即有∠GBO＝∠BGO＝45°，问题随之得解；
（3）由（2）可知：∠ADB＝15°，可得∠BDC＝∠ADB+∠ADC＝60°，进而有∠BEC＝∠BDC＝60°，延长EB至F，使BF＝CE，连接AF，过A点作AM⊥EF于M点，根据∠OAB＝∠OAC＝60°，即有∠BAC＝120°，进一步有∠BAC+∠BEC＝180°，即可证明∠ABF＝∠ACE，接着证明△ABF≌△ACE（SAS），问题随之得解．
【解答】解：（1）∵a2−1+1−a2有意义，
∴a2−1≥01−a2≥0，
∴a2＝1，
解得：a＝±1，
∵点A在y轴的正半轴上，
∴a＝1，
∴A（0，1），
∴b=a2−1+1−a2a+1−3=−3，
∴点B(−3，0)，
∴OB=OC=3，
∴C(3，0)，
∴AB=12+(3)2=2，
取AB的中点M，连接OM，如图1所示：
M(−32，12)，AM=12AB=1，
则OM=(−32)2+(12)2=1，
∴OM＝AM＝OA，
∴△OAM为等边三角形，
∴∠OAB＝60°，
∴∠ABC＝90°﹣60°＝30°．
（2）∵OC=3，AO＝1，
∴在Rt△ACO中，AC=AO2+OC2=2，即AB＝AC，
∵AD＝AC，
∴AD＝2，
∴AD＝2＝AB，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠ABO＝30°，∠AOB＝90°，
∴∠BAO＝60°，即∠BAG＝120°，
∵OB＝OC，AB＝AC＝2，AO＝AO，
∴△BAO≌△CAO（SSS），
∴∠BAO＝60°＝∠CAO，
∵∠DAC＝90°，
∴∠GAD＝180°﹣∠DAC﹣∠OAC＝30°，
∵∠BAG＝120°，
∴∠BAD＝∠BAG+∠GAD＝150°，
∴∠ABD＝∠ADB＝15°，
∵∠ABO＝30°，∠AOB＝90°，
∴∠GBO＝∠ABD+∠ABO＝45°，
∴∠GBO＝∠BGO＝45°，
∴BO＝OG，
∵BO=3，
∴BO=OG=3，
∴在△BOG中，BG=BO2+OG2=6；
（3）BE+CE=3AE，理由如下：
由（2）可知：∠ADB＝15°，
∵AD＝AC，∠DAC＝90°，
∴∠ADC＝∠ACD＝45°，
∴∠BDC＝∠ADB+∠ADC＝60°，
∴∠BEC＝∠BDC＝60°，
延长EB至F，使BF＝CE，连接AF，过A点作AM⊥EF于M点，如图3，
∵∠OAB＝∠OAC＝60°，
∴∠BAC＝120°，
∴∠BAC+∠BEC＝180°，
∴∠ACE+∠ABE＝180°，
∵∠ABF+∠ABE＝180°，
∴∠ABF＝∠ACE，
又∵AB＝AC，BF＝CE，
∴△ABF≌△ACE（SAS），
∴AF＝AE，∠BAF＝∠CAE，
∴∠FAE＝∠BAC＝120°，
∴∠F＝∠AEF＝30°，
∵AM⊥EF，AF＝AE，
∴AM=12AE，ME=12EF，
∴ME=AE2−AM2=32AE，
∴FE=3AE，
∴BE+CE=BE+BF=FE=3AE，
即BE+CE=3AE．