2024-2025学年山东省菏泽市鄄城一中高二（下）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年山东省菏泽市鄄城一中高二（下）开学数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知l=(1,3,4)是直线l的方向向量，m=(5,y,4)是平面α的法向量.若l//α，则y=( )
A. 7B. −7C. 113D. −113
2.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，O是对角线AC，BD的交点.用基底{AB,AD,AP}表示PO，正确的是( )
A. AP−12AB−12ADB. AP−12AB−AD
C. 12AB+12AD−APD. 12AB−12AD−AP
3.已知直线l的方程为(sinα)x−y+3 2=0,α∈(−π2,π2)，则直线l的倾斜角θ的取值范围是( )
A. [0,π4)∪(3π4,π)B. [0,π4]∪[3π4,π]C. (−π4,π4)D. [−π4,π4]
4.在等差数列{an}中，Sn是其前n项和.若a7+a9=32，则S15=( )
A. 480B. 120C. 160D. 240
5.已知抛物线y2=4x的焦点是双曲线x2a2−y215=1(a>0)的右顶点，则双曲线的离心率是( )
A. 4B. 14C. 4 1515D. 21014
6.过点(1,0)的直线l与抛物线y2=8x相交于A，B两点，F是抛物线的焦点.若|AF|+|BF|=14，则直线l的斜率为( )
A. 1B. 2C. ±1D. −1
7.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点，则直线AE到平面C1DF的距离为( )
A. 53
B. 305
C. 23
D. 13
8.已知数列{an}的首项为1，且an+1−an=2n(n∈N∗),bn=2lg2(an+1)−1，设数列{bn}中不在数列{an}中的项按从小到大的顺序排列构成数列{cn}，则数列{cn}的前100项和为( )
A. 11449B. 11195C. 11209D. 11202
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l：mx+y−2m=0(m∈R)，圆C：x2+y2+6x−7=0，则( )
A. 当m=1时，直线l与圆C相离
B. 当直线l与圆C相切时，m的值为±43
C. 圆心C到直线l的距离的最大值是5
D. 圆C与圆D：x2+y2+8y+15=0外切
10.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，点A在椭圆C上.若△OFA(O是坐标原点)是等腰直角三角形，则C的离心率可能是( )
A. 22B. 5−12C. 3− 5D. 10− 22
11.已知Sn是数列{an}的前n项和，若a1=1，an+1=3Sn，则下列结论中正确的有( )
A. a3=12B. 数列{Sn}是等比数列
C. an=3⋅4n−2D. 数列{lg4Sn}的前n项和为n(n−1)2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点(1,2)，且与直线5x+4y+1=0垂直的直线l的一般式方程为______．
13.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=3an+1−3，则an= ______．
14.如图，二面角α−l−β的大小为2π3,A,B是棱l上两点，AC⊥l，BD⊥l，且AB=3，AC=2，BD=5，则CD= ______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知在△ABC中，AB边上的高所在的直线方程为x−y=0，AC边上的高所在的直线方程为3x+4y−9=0，点A的坐标为(1,2).求：
(1)边BC所在的直线方程；
(2)△ABC的面积．
16.(本小题12分)
如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC是等边三角形，PA=AB=2，E为BC的中点．
(1)用向量法证明：PE⊥BC；
(2)用向量法求直线PE与AC所成角的余弦值．
17.(本小题12分)
记数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn=nan−n(n−1)2．
(1)证明：{an}是等差数列；
(2)若a1=2，证明：1S1+1S2+⋯+1Snb>0)的右焦点为F(1,0)，离心率为 22，O为坐标原点．
(Ⅰ)求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)设直线l与椭圆相交于P，Q两点，△OPQ的面积为 22，求直线OP，OQ的斜率之积的值．
参考答案
1.B
2.C
3.A
4.D
5.A
6.C
7.D
8.D
9.BD
10.ABD
11.ABD
12.4x−5y+6=0
13.(53)n−1
14.4 3
15.解：(1)AB边上的高所在的直线方程为x−y=0，AC边上的高所在的直线方程为3x+4y−9=0，
则AB边上的高的斜率为1，AC边上的高的斜率为−34，
所以直线AB，AC的斜率分别为−1,43．
因为A(1,2)，所以直线AB，AC的方程分别为x+y−3=0，4x−3y+2=0．
由x+y−3=0,3x+4y−9=0,解得x=3,y=0,即B(3,0)；
由4x−3y+2=0,x−y=0,解得x=−2,y=−2,即C(−2,−2)．
所以直线BC的斜率为−2−0−2−3=25，所以直线BC的方程为y=25(x−3)，即得2x−5y−6=0．
(2)由(1)知，B(3,0)，C(−2,−2)，直线BC的方程为2x−5y−6=0，
所以BC= (−2−3)2+(−2−0)2= 29．
因为A(1,2)，所以点A到直线BC的距离d=|2−10−6| 22+(−5)2=14 29．
所以△ABC的面积S=12BC⋅d=12× 29×14 29=7．
16.解：(1)证明：在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC是等边三角形，
PA=AB=2，E为BC的中点，
∴由向量线性运算法则得：
AE=12AB+12AC．
∴由向量线性运算法则得：
PE=AE−AP=12AB+12AC−AP，

∵由向量数量积公式得：
BC=AC−AB，
∴由向量数量积公式得：
PE⋅BC=(12AB+12AC−AP)⋅(AC−AB)
=−12AB2+12AC2−AP⋅AC+AP⋅AB．
∵PA⊥平面ABC，AB，AC⊂平面ABC，
∴PA⊥AB，PA⊥AC，
∴由向量垂直的性质得AP⋅AB=AP⋅AC=0．
∵AB=AC=2，∴PE⋅BC=−2+2−0+0=0，
∴由向量垂直的定义得PE⊥BC，∴PE⊥BC．
(2)解：∵PE=12AB+12AC−AP，
∴由向量数量积性质得：
PE2=(12AB+12AC−AP)2
=14AB2+14AC2+AP2+12AB⋅AC−AB⋅AP−AC⋅AP，
由(1)知，AP⋅AB=AP⋅AC=0；
∵△ABC是等边三角形，AB=2，
∴由向量数量积公式得AB⋅AC=2×2×csπ3=2，
∵PA=2，∴PE2=1+1+4+1=7，
∴|PE|= 7．
∵由向量数量积公式得：
PE⋅AC=(12AB−12AC−AP)⋅AC=12AB⋅AC+12AC2−AP⋅AC=1+2−0=3，
∴由向量夹角余弦公式得：
cs=PE⋅AC|PE|⋅|AC|=3 7×2=3 714，
∵直线PE与AC所成角的取值范围是[0,π2]，
∴直线PE与AC所成角的余弦值为3 714．
17.证明：(1)数列{an}的前n项和为Sn，Sn=nan−n(n−1)2，
可得Sn+1=(n+1)an+1−n(n+1)2，
两式相减可得an+1=(n+1)an+1−nan−n，
即nan+1=nan+n，
即an+1=an+1，
可得{an}是以1为公差的等差数列．
(2)由等差数列的通项公式可得an=2+n−1=n+1，
由等差数列的求和公式可得Sn=(2+n+1)n2=n(n+3)2，
则1Sn=2n(n+3)=23(1n−1n+3)．
可得1S1+1S2+1S3+⋯+1Sn
=23(1−14+12−15+13−16+14−17+⋯+1n−2−1n+1+1n−1−1n+2+1n−1n+3)
=23(1+12+13−1n+1−1n+2−1n+3)
=23(116−1n+1−1n+2−1n+3)0，
由韦达定理得x1+x2=−4km2k2+1，x1x2=2m2−22k2+1，
所以|PQ|= 1+k2|x1−x2|= 1+k2 (x1+x2)2−4x1x2=2 2 1+k2 1+2k2−m22k2+1，
又点O到直线l的距离为d=|m| k2+1，
所以S△OPQ=12|PQ|d=12×2 2 1+k2 1+2k2−m22k2+1×|m| 1+k2= 22，
解得2m2=1+2k2，
因为y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+kt(x1+x2)+m2=m2−2k21+2k2，
所以kOPkOQ=y1y2x1x2=m2−2k21+2k22m2−21+2k2=m2−2k22m2−2=1−m22m2−2=−12．
综上所述，直线OP，OQ的斜率之积的值为−12．