广东省深圳市建文教育集团两学部2025届高三下学期2月第一次模拟数学试题（解析版）

这是一份广东省深圳市建文教育集团两学部2025届高三下学期2月第一次模拟数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为合，
所以，
故选：B.
2. 已知，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据余弦的倍角公式，可得.
故选：C.
3. 点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设关于直线的对称点为，
由对称关系可得，解得.
则点到直线：的距离为.
故选：C.
4. 已知函数是奇函数，则曲线在处的切线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由函数的定义域为，且是奇函数，
则，即，解得，
于是，求导得，
则，而，
所以曲线在处的切线的方程为：，即.
故选：B.
5 已知复数z满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，可得.
故选：A.
6. 在平行六面体中，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】.
故选：B.
7. 设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由椭圆：可得，， ，
因为上一点且在第一象限，则
由为等腰三角形，则可得或，
当时，，
此时的面积为：；
当时，，不合题意，舍去.
综上，可得的面积为.
故选：C.
8. 在正六棱柱中，，为棱中点，以为球心，为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为球的半径为6，，所以球不与侧面及侧面相交，
设分别为的中点，连接，
则由题意可得，
所以，
所以球与侧面交于点，与侧面交于点，
在正六边形中，因为，
所以，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，
所以平面，所以平面，且，
所以，
所以球与侧面的交线是以为直径的半圆，
同理可得球与侧面的交线是以为直径的半圆，
因为，所以球与上下底面的交线均为个半径为的圆，
所以球面与该正六棱柱各面的交线总长为
故选：D.

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知点，，点在圆：上运动，则（ ）
A. 直线与圆相离B. 的面积的最小值为
C. 的最大值为D. 当最小时，
【答案】ACD
【解析】
对于A，已知点,，点在圆：上运动，
则圆心为，半径为，直线的方程为即，
则圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，故A正确；
对于B，因为，点到直线的距离的最小值为，则面积的最小值为，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，当最小时，直线与圆相切，此时，故D正确．
故选：ACD.
10. 在平面直角坐标系中，已知圆，直线，则下列说法成立的是（ ）
A. 圆上有两个点到直线的距离为B. 圆上有三个点到直线的距离为
C. 圆上有三个点到直线的距离为D. 圆上有四个点到直线的距离为
【答案】AD
【解析】圆的圆心，半径为，
圆心到直线的距离为；
又圆的半径为，得圆上有两个点到直线的距离为，
圆上有个点到直线的距离为，所以AD成立
故选：AD.
11. 已知椭圆的长轴长为4，离心率为分别为椭圆的左､右焦点，过点的直线与椭圆相交于两点，则下列说法正确的是（ ）
A. 椭圆的标准方程为
B. 椭圆上存在点，使得
C. 是椭圆上一点，若，则
D. 若的内切圆半径分别为，当时，直线的斜率
【答案】AC
【解析】对于A，因为椭圆的长轴长为，所以，又因为椭圆的离心率，所以，所以，所以椭圆，故A正确；
对于B，若椭圆上存在点，使得，则点在圆上，
又因方程组无解，故B错误；
对于C，设，则，

在中，由余弦定理可得
，因为，所以，
所以，故C正确；
对于D，显然直线斜率不为0，设直线，
由，整理得：恒成立，
所以，依题意有，
得，所以，即，
同理可得，因为，所以，
又因为，所以，
因为，所以，解得，
代入到，得，解得：，
所以直线的斜率为：，故D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则________；若，则________．
【答案】 或
【解析】因为，所以；
因为，
当时，，解得（舍去）或；
当时，，解得.
综上：或；
故答案为：；或.
13. 已知集合，，若，且中恰有个整数元素，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】集合或，
设，则函数的图象开口向上，而由知：对称轴．
因为中恰有个整数元素，所以方程有实数根，
令、是方程的两根，则，
所以（取），所以中恰有个整数元素为，
则，即，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
14. 一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数的和大于，则算过关. 则某人在这项游戏中最多能过_________关；他连过前三关的概率是___________.
【答案】
【解析】若每次抛掷一颗骰子都能得到最大点数点，则第关抛掷的点数和为，
令，则，
则当时，数列单调递增；当时，数列单调递减；
又，，，
当时，，则某人在这项游戏中最多能过关；
该人第一关所有可能的结果为，则通过第一关的概率；
该人第二关所有可能的结果有种，则不能过关的基本事件个数为的正整数解的个数，则有种，
通过第二关的概率；
该人第三关所有可能的结果有种，则不能过关的基本事件个数为的正整数解得个数，则有种，
通过第三关的概率；
连过前三关的概率.
故答案：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，在正三棱柱中，已知，、分别是、的中点.
（1）求正三棱柱的表面积；
（2）求证：平面平面；
（3）求证：直线平面.
（1）解：正三棱柱的侧面积为：，底面积为.
所以正三棱柱的表面积为：.
（2）证明：如图：
因为为等边三角形，为的中点，故，
又三棱柱为直三棱柱，故平面平面，
因为平面，平面平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（3）证明：连接，交与点，连接.
因为四边形为正方形，所以为中点，
又为中点，所以，又平面,平面，
所以平面.
16. 某单位组织名职工利用周末和节假日参加社会公益活动，活动内容是：到各社区宣传慰问，倡导文明新风；到指定的社区、车站、码头做义工，帮助哪些需要帮助的人，各位职工根据各自的实际情况，选择了不同的活动项目，相关系数据如下表所示：
（1）用分层抽样的方法在做义工救助的职工中随机抽取名，求在年龄大于岁的职工中，应该抽取几名？
（2）在（1）中抽取的名职工中，任取名，求选到的职工的年龄大于岁的数学期望．
解：（1）因为参加义工救助的共有人，其中岁以上的共人，抽样比为，
故在做义工救助的职工中随机抽取名，在年龄大于岁的职工中，应该抽取名；
（2）由（1）可得有三种可能，，
则,
,
则随机变量的分布列为：
则
17. 已知的展开式中共有9项.
（1）求的值；
（2）求展开式中的系数；
（3）求二项式系数最大的项.
解：（1）由题意得，解得.
（2）由（1）可知展开式的通项为.
令，解得，则.
故展开式中的系数为112.
（3）根据题意可得二项式系数最大的项为.
18. 设的内角所对边的长分别是，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
解：（1）因为，所以，
由余弦定理得，
所以由正弦定理可得.
因为，，所以，即.
（2）由余弦定理得
因为，所以.
故
.
19. 已知，其中.
（1）若是函数的极值点，求的值；
（2）求的单调区间；
（3）若在上的最大值是0，求的取值范围．
解：（1）由题意得，因为是函数的极值点，所以，
即，当时，单调递减，当时，单调递增，
所以是函数的极值点，即；
（2）令，
①当时，与的变化情况如下表：
∴的单调递增区间是，的单调递减区间是，
②当时，的单调递减区间是；
③当时，，与的变化情况如下表：
的单调递增区间是，的单调递减区间是，
综上，当时，的单调递增区间是，的单调递减区间是；
当时，的单调递减区间是；
当，的单调递增区间是，的单调递减区间是；
（3）由（2）可知当时，在的最大值是，但，所以不合题意，
当时，在上单调递减，可得在上的最大值为，符合题意，
∴在上的最大值为0时，的取值范围是．宣传慰问
义工救助
总计
至岁
大于岁
总 计






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