2024-2025学年云南省大理市大理白族自治州高一上册9月月考数学试题（含解析）

这是一份2024-2025学年云南省大理市大理白族自治州高一上册9月月考数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 给出下列关系：①；②；③；④其中正确的个数为（ ）
A 1B. 2C. 3D. 4
2. 命题“，”的否定是（ ）
A ，B. ，
C. ，D. ，
3. 集合另一种表示法是（ ）
A. B. C. D.
4. 设集合，，，则集合的真子集的个数为（ ）
A. 3B. 4C. 15D. 16
5. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 已知实数，满足，，则的取值范围是（ ）
A B. C. D.
7. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 的最小值是4B. 的最小值是2
C. 如果，，那么D. 如果，那么
8. 设，，，则的大小顺序是（ ）
A B.
C. D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远若，则下列命题正确的是（ ）
A. 若且，则B. 若，则
C. 若，则D. 若且，则
10. 已知关于的不等式的解集是，则（ ）
A.
B.
C.
D. 不等式的解集是或
11. “”的充分不必要条件可以是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，集合，若，则实数____.
13. 已知m＞0，n＞0，且mn=81，则m+n的最小值是_____．
14. 对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．
四、解答题（本大题共5小题，第15题13分，第16.17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知集合，，求
（1），；
（2）.
16. （Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）解不等式．
17. 已知集合，集合．
（1）当时，求和；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
18. 设函数.
（1）若不等式的解集为，求，的值；
（2）当时，，，，求的最小值.
19. 某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为元，房屋侧面每平方米的造价为元，屋顶的造价为元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？
2024-2025学年云南省大理市大理白族自治州高一上学期9月月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 给出下列关系：①；②；③；④其中正确的个数为（ ）
A 1B. 2C. 3D. 4
【正确答案】B
【分析】根据题意，由元素与集合的关系，逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于①，实数，而表示实数集，所以，即①正确；
对于②，2整数，而表示整数集合，所以，即②正确；
对于③，为正自然数，而表示正自然数集，所以，所以③错误；
对于④，因为为无理数，表示有理数集，所以，即④错误.
故选：B.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【正确答案】D
【分析】根据存在量词命题的否定为特称命题，即可求解.
【详解】命题“，”的否定是，,
故选：D
3. 集合的另一种表示法是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】集合是用描述法来表示的，用另一种方法来表示就是用列举法，看出描述法所表示的数字在集合中列举出元素即可.
【详解】集合是用描述法来表示的，
用另一种方法来表示就是用列举法，
即.
故选：D.
4. 设集合，，，则集合的真子集的个数为（ ）
A. 3B. 4C. 15D. 16
【正确答案】C
【分析】结合集合中元素的性质以及集合的真子集个数的求法进行求解即可.
【详解】由题意可知，集合，集合中有4个元素，
则集合的真子集有个，
故选：C
5. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】根据题意，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由不等式，可得或，则“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
6. 已知实数，满足，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由已知可得，又，可得取值范围.
【详解】，，
又，，.
的取值范围为.
故选：B.
7. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 的最小值是4B. 的最小值是2
C 如果，，那么D. 如果，那么
【正确答案】D
【分析】
A．取特值判断；B．利用基本不等式求出最值判断；C．利用不等式的性质判断；D．利用不等式的性质判断．
【详解】解：A．时，不正确；
B． ，当且仅当时等号成立，这样的不存在，故最小值不为2，不正确；
C．，，那么即，因此不正确；
D．，，，正确．
故选：D．
本题考查了基本不等式的应用，不等式的基本性质，属于基础题．
8. 设，，，则的大小顺序是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】对作差可求出，再对作差可求出，即可得出答案.
【详解】解：，
因为，，
而，所以，所以，
，
而，，，
而，所以，
综上，.
故选：D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远若，则下列命题正确的是（ ）
A. 若且，则B. 若，则
C. 若，则D. 若且，则
【正确答案】BC
【分析】利用赋值法及不等式的性质逐项判断即可.
【详解】对于A，若且，当，时，则，故A错误；
对于B，，
因为，所以，，
所以，即，故B正确；
对于C，若，则，则，
当时，，所以，故C正确；
对于D，若且，
因为，所以，必为一正一负；
又，所以，，
当时，；
当时，则，故D错误.
故选：BC.
10. 已知关于的不等式的解集是，则（ ）
A.
B.
C.
D. 不等式的解集是或
【正确答案】ABD
【分析】由一元二次不等式的解和韦达定理逐项判断即可.
【详解】由题意可知，1，3是方程的两个根，且，，
A：由以上可知，故A正确；
B：当x=1时，代入方程可得，故B正确；
C：因为，不等式的解集是，故将代入不等式左边为，故C错误；
D：原不等式可变为，且，约分可得，解集为或，故D正确；
故选：ABD
11. “”的充分不必要条件可以是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】AB
【分析】根据一元二次方程求解不等式为，即可根据选项逐一求解.
【详解】由，得，
所以“”“”是“”的充分不必要条件.
“”是“”的充分必要条件.
“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：AB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，集合，若，则实数____.
【正确答案】1
【分析】根据子集的定义求解.
【详解】因为，所以，
即，所以.
当时，，，满足，故.
故1.
13. 已知m＞0，n＞0，且mn=81，则m+n的最小值是_____．
【正确答案】18
【详解】试题分析：由基本不等式知m+n≥2=18．
解：∵mn=81，且m＞0，n＞0，
∴m+n≥2=18，
（当且仅当m=n=9时，等号成立），
故答案为18．
考点：基本不等式．
14. 对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．
【正确答案】
【分析】首先讨论，然后时，将一元二次不等式恒成立问题进行等价转换即可得解.
【详解】若，则不等式变为了恒成立，故满足题意；
若，则不等式恒成立等价于，解得；
综上所述：实数的取值范围是.
故答案为.
四、解答题（本大题共5小题，第15题13分，第16.17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知集合，，求
（1），；
（2）.
【正确答案】（1）；
（2）；
【分析】解出集合,按照集合的运算法则进行运算即可.
【小问1详解】
因为，，
所以，.
【小问2详解】
由（1）可得，
，
或.
16. （Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）解不等式．
【正确答案】（Ⅰ）或x>5；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）根据一元二次不等式的解法，直接求解，即可得出结果；
（Ⅱ）先移项通分，进而可求出结果.
【详解】（Ⅰ）由得，即，
解得或，
所以不等式的解集为或x>5；
（Ⅱ）由得，即，即，
解得，即不等式的解集为；
17. 已知集合，集合．
（1）当时，求和；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【正确答案】（1）或，；（2）或.
【分析】
（1）当时，得出集合，解分式不等式即可得集合，再根据补集和并集的运算，从而可求出；
(2)由题意知，当时，；当时，或，从而可求出实数的取值范围.
【详解】解：（1）由题可知，当时，则，
或，
则，
所以.
（2）由题可知，是的必要不充分条件，则，
当时，，解得：；
当时，或，
解得：或；
综上所得：或.
结论点睛：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含．
18. 设函数.
（1）若不等式的解集为，求，的值；
（2）当时，，，，求的最小值.
【正确答案】（1），
（2）9
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出、的值.
（2）由题意，求得，利用基本不等式，即可求出的最小值.
【小问1详解】
由题意知，和3是方程的两根，
所以，，
解得，.
【小问2详解】
由，知，
因为，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为9.
19. 某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为元，房屋侧面每平方米的造价为元，屋顶的造价为元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？
【正确答案】当房屋的正面边长为，侧面边长为时，房屋总造价最低，为元.
【分析】
设房屋的正面边长为，侧面边长为，总造价为元，由题意得出，然后根据题意得出关于的函数表达式，利用基本不等式可求出的最小值，利用等号求出对应的值，综合可得出结论.
【详解】设房屋的正面边长为，侧面边长为，总造价为元，则，即，
.
当时，即当时，有最小值，最低总造价为元.
答：当房屋的正面边长为，侧面边长为时，房屋总造价最低，为元.
本题考查基本不等式的应用，在利用基本不等式时，要注意等号成立的条件，考查计算能力，属于基础题.