2024-2025学年云南省大理市大理白族自治州高二上册10月月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年云南省大理市大理白族自治州高二上册10月月考数学检测试题（含解析），共23页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1 复数，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知直线和两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是（ ）
A 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
4. 某单位职工参加某APP推出的“二十大知识问答竞赛”活动，参与者每人每天可以作答三次，每次作答20题，每题答对得5分，答错得0分，该单位从职工中随机抽取了10位，他们一天中三次作答的得分情况如图：
根据图，估计该单位职工答题情况，则下列说法正确的是（ ）
A. 该单位职工一天中各次作答的平均分保持一致
B. 该单位职工一天中各次作答的正确率保持一致
C. 该单位职工一天中第三次作答得分的极差小于第二次的极差
D. 该单位职工一天中第三次作答得分的标准差小于第一次的标准差
5. 设x，y∈R，向量，且，则（ ）
A B. C. 3D.
6. 魏晋南北期时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周率约为，和真正的值相比，误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才给打破.已知的近似值还可以表示成，则的值为（ ）
A. B. C. 8D. 16
7. 奇函数在区间上单调递增，且其图象经过点，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在直三棱柱中，，已知与分别为和的中点， 与分别为线和上的动点（不包括端点），若 、则线段长度的取值范围为（ ）
A. [ )B. [ ]C. [)D. []
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝上的点数，设事件“点数为4”，事件“点数为奇数”，事件“点数小于4”，事件“点数大于3”，则（ ）
A. 与互斥B. 与互斥
C. 与对立D. 与对立
10. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 直线是图象的一条对称轴
C. 在上单调递增
D. 图像关于原点对称
11. 已知三棱锥的底面是直角三角形，平面，，则（ ）
A. 三棱锥外接球表面积为
B. 三棱锥外接球的表面积为
C. 三棱锥内切球的半径为
D. 三棱锥内切球的半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 正方形边长为，以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为_______．
13. 已知，则的最小值为____________．
14. 如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，，．若方向上的单位向量为，则在向量方向上的投影向量为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤．
15. 如图，在三棱柱中，D，E分别为和AB的中点，设，，.
（1）用表示向量；
（2）若，，，求.
16. 已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点为中点，．
（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离．
17. 在中，角的对边分别为，且.
（1）求角：
（2）若，角的平分线交于点，且满足，求的面积.
18. 如图，在四棱锥中，平面，，，且，，．

（1）求证：；
（2）在线段上，是否存在一点M，使得二面角的大小为，如果存在，求与平面所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．
19. 设函数的定义域为，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称为的一个“Ω区间”.性质1：对任意，均有；性质2：对任意，均有.
（1）分别判断说明区间是否为下列两函数的“Ω区间”；
；
.
若是函数“Ω区间”，求的取值范围.
2024-2025学年云南省大理市大理白族自治州高二上学期10月月考
数学检测试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1. 复数，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
【正确答案】A
【分析】由复数的运算化简已知等式，再由共轭复数和复数的关系求出共轭复数的模长即可.
【详解】由已知可得，
所以，
所以，
故选：A.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】先解不等式确定集合的元素，再利用集合的并集运算即可求解.
【详解】由，解得，所以，
因为，得，所以，
故.
故选:C．
3. 已知直线和两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【正确答案】D
【分析】由直线与平面，平面与平面的位置关系判断即可.
【详解】对于A选项，若，则可能与平行，故A错误；
对于B选项，若，则可能与平行或者在平面内，故B错误；
对于C选项，若，则可能平行或者相交，则C错误；
对于D选项，由面面平行以及线面垂直的性质可知，D正确；
故选：D
本题主要考查了直线与平面，平面与平面的位置关系，属于基础题.
4. 某单位职工参加某APP推出“二十大知识问答竞赛”活动，参与者每人每天可以作答三次，每次作答20题，每题答对得5分，答错得0分，该单位从职工中随机抽取了10位，他们一天中三次作答的得分情况如图：
根据图，估计该单位职工答题情况，则下列说法正确的是（ ）
A. 该单位职工一天中各次作答的平均分保持一致
B. 该单位职工一天中各次作答的正确率保持一致
C. 该单位职工一天中第三次作答得分的极差小于第二次的极差
D. 该单位职工一天中第三次作答得分的标准差小于第一次的标准差
【正确答案】D
【分析】根据给出统计图数据，分别计算出三次作答的平均分、正确率、极差、标准差，即可作出判断．
【详解】由题可得，该单位抽取的10位员工三次作答的得分分别为：
对于A：第一次作答的平均分为：，
第二次作答的平均分：，
第三次作答的平均分：，
故该单位职工一天中各次作答的平均分不一致，故A错误；
对于B：第一次作答的正确率： ，
第二次作答的正确率： ，
第三次作答的正确率： ，
故该单位职工一天中各次作答的正确率不一致，故B错误；
对于C：该单位职工一天中第三次作答得分的极差：，
该单位职工一天中第二次作答得分的极差：，
故该单位职工一天中第三次作答得分的极差等于第二次的极差，故C错误；
对于D：该单位职工一天中第三次作答得分的标准差：，
该单位职工一天中第一次作答得分的标准差：
，
故该单位职工一天中第三次作答得分的标准差小于第一次的标准差，故D正确，
故选：D．
5. 设x，y∈R，向量，且，则（ ）
A. B. C. 3D.
【正确答案】B
【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量的数乘及加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果.
【详解】解：向量，
且，
∴，解得
∴，
∴，选项B正确.
故选：B．
6. 魏晋南北期时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周率约为，和真正的值相比，误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才给打破.已知的近似值还可以表示成，则的值为（ ）
A. B. C. 8D. 16
【正确答案】B
【分析】
利用的近似值是代入化简，即得结果.
【详解】由已知的近似值是代入得，
.
故选：B.
7. 奇函数在区间上单调递增，且其图象经过点，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据函数的奇偶性与单调性得：，解不等式即可.
【详解】因为为奇函数，且，所以；
又在区间上单调递增，所以，
有，即，解得.
故选：D
8. 如图，在直三棱柱中，，已知与分别为和的中点， 与分别为线和上的动点（不包括端点），若 、则线段长度的取值范围为（ ）
A. [ )B. [ ]C. [)D. []
【正确答案】A
【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设出的坐标，根据已知条件求得参数之间的关系，并建立关于参数的函数关系式，求其值域即可.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
则，设点坐标为，，
故，因为，
故可得，则，由可得，
又，故,
故当时，取得最小值；又当时，，但无法取到，则无法取到；
综上，线段DF长度的取值范围为.
故选：A
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝上的点数，设事件“点数为4”，事件“点数为奇数”，事件“点数小于4”，事件“点数大于3”，则（ ）
A. 与互斥B. 与互斥
C. 与对立D. 与对立
【正确答案】ABD
【分析】利用互斥事件和对立事件的概念求解.
【详解】事件“点数为4”与“点数为奇数”不能同时发生，所以与互斥，A正确.
事件“点数为4”与“点数小于4”不能同时发生，所以与互斥，B正确.
事件“点数为奇数”的对立事件是“点数为偶数”，不是“点数大于3”，C错误.
事件“点数小于4”的对立事件是“点数不小于4”，即“点数大于3”， 与对立，D正确.
故选：ABD.
10. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 直线是图象的一条对称轴
C. 在上单调递增
D. 图像关于原点对称
【正确答案】ACD
【分析】利用三角函数图象变换规律得出，利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；计算的值可判断B选项；由，在的单调性可判断C选项；利用奇函数的定义可判断D选项.
【详解】将函数图象向右平移个单位长度，可得到函数的图象 .
对于A选项，函数的最小正周期为，A选项正确；
对于B选项，，B选项错误；
对于C选项，，则，，在上单调递增，C选项正确；
对于D选项，函数的定义域为，，
所以，函数为奇函数，D选项正确.
故选：ACD.
11. 已知三棱锥的底面是直角三角形，平面，，则（ ）
A. 三棱锥外接球的表面积为
B. 三棱锥外接球的表面积为
C. 三棱锥内切球的半径为
D. 三棱锥内切球的半径为
【正确答案】AC
【分析】根据三棱锥特征构造长方体求出外接球半径，求得表面积，再由等体积法求出内切球半径.
【详解】由题意可知，，两两垂直，
则三棱锥外接球的半径满足，
从而三棱锥外接球的表面积为，
故A正确，B错误.
由题意可得三棱锥的体积，
三棱锥的表面积.
设三棱锥内切球的半径为，
因为V=13Sr，
所以，则C正确，D错误.
故选：AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 正方形边长为，以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为_______．
【正确答案】
【分析】得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积.
【详解】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，
则所得几何体的侧面积为：，
故答案.
13. 已知，则的最小值为____________．
【正确答案】3
【分析】由基本不等式即可求解.
【详解】
,当且仅当时，等号成立
故3
14. 如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，，．若方向上的单位向量为，则在向量方向上的投影向量为______．
【正确答案】
【分析】根据题意结合垂直关系可得，，结合投影向量的定义分析求解.
【详解】因为平面平面，平面平面，平面，，
可得平面，
且平面，则，
又因为平面，平面，则，
故在方向上的投影向量为．
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤．
15. 如图，在三棱柱中，D，E分别为和AB的中点，设，，.
（1）用表示向量；
（2）若，，，求.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）结合已知条件，利用空间向量的运算法则即可求解；
（2）由空间向量数量积的运算律计算可得结果.
【小问1详解】
根据题意可得；
【小问2详解】
易知，且，
显然，；
所以.
16. 已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点为中点，．
（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）.
【分析】（1）以所在直线为轴，以所在的直线为 轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求出相关向量的坐标，利用向量数量积证明线面垂直，继而可证明结论.
（2）利用向量法求得平面的法向量，根据距离的向量求法求点到平面的距离．
【小问1详解】
证明：平面，为正方形，以所在的直线为轴，以所在的直线为 轴，以所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系．
由已知可得，，，，
为的中点， ，
所以 ， ， ，
所以 ，所以，
又点为中点，，所以，
，平面 ，平面，
又因为平面,故平面平面．
【小问2详解】
设平面的法向量为，则
令，则 ，，
，设点到平面的距离为d，
,点到平面的距离为．
17. 在中，角的对边分别为，且.
（1）求角：
（2）若，角的平分线交于点，且满足，求的面积.
【正确答案】（1）
（2）3
【分析】（1）根据题意结合正弦定理、三角恒等变换分析求解；
（2）由角平分线性质可得，利用余弦定理解得，，结合面积公式运算求解.
【小问1详解】
因为，整理得，
由正弦定理可得：，
且，则，可得，
即，且，可得.
【小问2详解】
因为为角的角平分线，则，即，
由余弦定理可得，即，
解得或（舍去），则，
所以的面积.
18. 如图，在四棱锥中，平面，，，且，，．

（1）求证：；
（2）在线段上，是否存在一点M，使得二面角的大小为，如果存在，求与平面所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）存在；
【分析】（1）利用直角梯形的性质求出，的长，根据勾股定理的逆定理得出，由平面得出，故平面，于是；
（2）假设存在点，做出二面角的平面角，根据勾股定理求出到平面的距离从而确定的位置，利用棱锥的体积求出到平面的距离，根据勾股定理计算，则即为所求角的正弦值．
【小问1详解】
证明：如图，由已知得四边形ABCD是直角梯形，
由，，可得是等腰直角三角形，即，

∵平面，∴，又平面PAC,
∴平面，∴．
【小问2详解】
(方法1)过点M作交于点N，则，
∵平面，∴平面． 过点M作交于点G，
连接，则是二面角的平面角．
若，则，又，
∴，
∴，，∴M是的中点．

在三棱锥中，可得，
设点B到平面的距离是h，
则，
∴，解得．
在中，可得．设与平面所成的角为，
则．
(方法2)建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，
，，，．设，则点M的坐标为，
∴．设平面的法向量是，则
得则可取．
又是平面的一个法向量，
∴，解得，
即点M是线段的中点．
此时平面的一个法向量可取，．
设BM与平面所成的角为，则．
19. 设函数的定义域为，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称为的一个“Ω区间”.性质1：对任意，均有；性质2：对任意，均有.
（1）分别判断说明区间是否为下列两函数的“Ω区间”；
；
（2）若是函数的“Ω区间”，求的取值范围.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）利用给定定义逐步检验即可.
（2）利用给定定义结合对参数分类讨论，求解即可.
【小问1详解】
对于，由一次函数性质得它在上单调递减，
所以当时，，故区间是的“Ω区间”，
对于，由反比例函数性质得它在上单调递减，
所以当时，，此时不满足，
也不满足，故区间不是的“Ω区间”，
【小问2详解】
若是函数的“Ω区间”，
而，不满足性质2，必然满足性质1，
由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
且，
即，所以，
满足，符合题意，
当时，在上单调递减，
所以，而，符合题意，
当时，在上单调递减，
，所以，不符合题意，
综上可得的取值范围为.
关键点点睛：本题考查函数新定义，解题关键是利用给定定义，然后对参数进行分类讨论，得到所要求的取值范围即可．
1号员工
2号员工
3号员工
4号员工
5号员工
6号员工
7号员工
8号员工
9号员工
10号员工
第一次作答
65
80
85
80
90
90
90
85
90
90
第二次作答
80
85
90
90
95
90
95
90
95
95
第三次作答
85
90
95
95
100
100
100
95
100
100