2024-2025学年山西省朔州市高一上册第一次月考数学学情检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年山西省朔州市高一上册第一次月考数学学情检测试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（客观题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列关系中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. 若正实数，，，构成集合，以中四个元素为边长的四边形可能是（ ）
A. 梯形B. 平行四边形C. 菱形D. 矩形
3. 已知集合A={0，1，2}，B={x|x=ab，a，b∈A}，则B的子集的个数是（ ）
A. 16B. 8C. 7D. 4
4. 学校举行运动会时，高一（1）班共有28名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（ ）人．
A. 3B. 9C. 19D. 14
5. 已知集合，，若中有两个元素，则实数取值范围是（ ）
A. B.
C. 或D. 或
6. 已知集合、集合，若，则实数的取值集合为（ ）.
A. B. C. D.
7. 命题“”为真命题一个必要不充分条件是（ ）
A. B.
C. D.
8. 设集合，，把的所有元素的乘积称为的容量（若中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为）.若的容量是奇（偶）数，则称为的奇（偶）子集，若，则的所有偶子集的容量之和为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
10. 已知实数a，b，c，其中，，则下列关系中一定成立的是（ ）
A. B.
C D.
11. 下列说法正确的是（ ）．
A. 的一个必要条件是
B. 若集合中只有一个元素，则
C. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件
D. 已知集合，则满足条件的集合N的个数为4
12. 已知不超过5的实数组成的集合为M，，则（ ）
A. B.
C D.
第II卷（主观题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知命题P：，，则命题P的否定是__________________.
14. 已知集合，，则______．
15. 设集合，且M、N都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是______．
16. 已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是．
18. 已知全集．
（1）求；
（2）求．
19. 已知，若，求a的取值范围．
20 已知非空集合，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围．
21. 已知集合．
（1）若A是空集，求的取值范围；
（2）若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；
（3）若A中至少有一个元素，求的取值范围．
22. 已知或.
（1）若命题是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
2024-2025学年山西省朔州市高一上学期第一次月考数学学情
检测试题
第I卷（客观题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列关系中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据自然数集、整数集、有理数集、空集的定义判断各选项中元素与集合的关系.
【详解】对于A，因为不是正整数，所以，故A错误；
对于B，因为不是有理数，所以，故B正确；
对于C.，因为0自然数，所以，故C错误；
对于D，因为不是整数，所以，故D错误.
故选：B.
2. 若正实数，，，构成集合，以中四个元素为边长的四边形可能是（ ）
A. 梯形B. 平行四边形C. 菱形D. 矩形
【正确答案】A
【分析】根据集合中元素的互异性判断对应四边形的形状.
【详解】由于集合中的元素具有互异性，所以正实数互不相等.结合平行四边形、菱形、矩形均有相等的边，而梯形的四条边可以不相等，可知以中四个元素为边长的四边形可能是梯形，故选A.
本题考查集合中元素的特性：互异性，难度较易.互异性：集合中的任意两个元素不相同.
3. 已知集合A={0，1，2}，B={x|x=ab，a，b∈A}，则B的子集的个数是（ ）
A. 16B. 8C. 7D. 4
【正确答案】A
【分析】根据题意将集合B写出，再计算子集个数即可.
【详解】由题意可知，，所以B的子集的个数是16，
故选：A.
4. 学校举行运动会时，高一（1）班共有28名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（ ）人．
A. 3B. 9C. 19D. 14
【正确答案】C
【分析】利用文氏图，列式求解.
【详解】设只参加田径的人数为，同时参加田径和球类比赛的人数为，只参加球类的人数为，则由韦恩图得：
，解得，所以只参加一项比赛有人，
故选：C．
5. 已知集合，，若中有两个元素，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【正确答案】C
【分析】根据题意先求出集合，再由中有两个元素，列出关于的不等式组，从而可求得结果.
【详解】因为，，且中有两个元素，
所以或，
解得或，
所以实数a的取值范围是或.
故选：C
6. 已知集合、集合，若，则实数的取值集合为（ ）.
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】利用集合之间的包含关系求解即可.
【详解】，
∵，∴，
当时，有，解得，
当时，有，解得，
当时，有，方程组无解，
当时，有，方程组无解，
综上所述，实数的取值集合为.
故选：C.
7. 命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】先由存在量词命题为真求得的范围，再根据“必要不充分条件”即可确定选项.
【详解】由，可得在上能成立，
因，故得.
由题意知，是选项的范围的真子集即可.
故选：D.
8. 设集合，，把的所有元素的乘积称为的容量（若中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为）.若的容量是奇（偶）数，则称为的奇（偶）子集，若，则的所有偶子集的容量之和为
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】由题意可知：当时，集合
∴所有的偶子集为：，，，，
∴当时，集合所有的偶子集的容量之和为
故选D
点睛：本题考查的是集合的子集和新定义的综合问题．在解答过程当中充分体现了新定义问题的规律、列举的方法还有问题转化的思想，解答本题的关键是正确理解奇、偶子集与容量的概念．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】ABC
【分析】根据不等式的性质进行判断可得结论.
【详解】因为，，根据不等式的性质，则，故A正确；
同理：，故BC正确.
如，，但不成立，故D错误.
故选：ABC
10. 已知实数a，b，c，其中，，则下列关系中一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】ABD
【分析】根据作差法判断A，D选项，根据不等式的性质判断B选项，特殊值法判断C选项.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，因为，，所以，故B正确；
对于C，当，，时，，故C错误；
对于D，因为，故D正确.
故选:ABD.
11. 下列说法正确的是（ ）．
A. 的一个必要条件是
B. 若集合中只有一个元素，则
C. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件
D. 已知集合，则满足条件的集合N的个数为4
【正确答案】CD
【分析】对于A，举例时不成立，进而由充分条件和必要条件的定义得不是的充分条件，也不是的必要条件；对于B，按和两种情况去探究方程的解即可；对于C，先由一元二次方程有一正一负根得，该不等式组的解即为方程有一正一负根的充要条件；对于D，先由得，再由结合子集个数公式即可得解.
【详解】对于A，当时满足，但不成立，
所以不是的充分条件，不是的必要条件，故A错误；
对于B，当时，方程的解为，
此时集合中只有一个元素，满足题意，
当时，为一元二次方程，
则由集合中只有一个元素得，故，
所以符合题意的有两个，或，故B错误；
对于C，一元二次方程有一正一负根，则，
所以“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件，故C正确；
对于D，因为，所以，
又，故集合N的个数为个，故D正确.
故选：CD.
12. 已知不超过5的实数组成的集合为M，，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】ACD
【分析】根据题意，利用元素与集合的关系，逐个分析判断即可
【详解】对于A，因为，所以，所以A正确，
对于B，因为，
所以，所以B错误，
对于C，因为，所以，
所以，所以C正确，
对于D，因为，所以，
所以，所以D正确.
故选：ACD
第II卷（主观题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知命题P：，，则命题P的否定是__________________.
【正确答案】，
【分析】由全称命题的否定为特称命题直接写出答案.
【详解】由全称命题的否定可得，命题P的否定：，.
故，
14. 已知集合，，则______．
【正确答案】
【分析】先化简两个集合，再求这两个集合的交集即可.
【详解】提示：由，则是偶数，故；
再由，则是奇数且不小于，即，
故．
故答案为.
15. 设集合，且M、N都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是______．
【正确答案】
【详解】∵集合M={x|m x  m+},N={x|n- x n}，且M、N都是集合{x|0x1}的子集
∴根据新定义可知：M的长度为，N的长度为，
当集合M∩N的长度的最小值时，
M与N应分别在区间[0，1]的左右两端，
故M∩N的长度的最小值是．
故．
16. 已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为________.
【正确答案】
【分析】根据真子集的定义，推断出中有4个元素，即不等式的解集中有且仅有4个整数，由此进行分类讨论求实数的取值范围.
【详解】若集合有15个真子集，则中有4个元素，又，可知，即，且区间中有4个整数，
当时，的区间长度为，此时中不可能有4个整数；
当时，，其中含有共4个整数，符合题意；
当时，的区间长度大于3，
若的区间长度，即，
若是整数，则区间中含有4个整数，
根据可知，则，
此时，其中含有四个整数，符合题意；
若不是整数，则区间中含有四个整数，
则必须有且，解得；
若时，，其中含有五个整数，不符合题意；
若时，区间长度，
此时中有这四个整数，故，即，
结合，得；
综上所述，或或，
即实数的取值范围是.
故
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是．
【正确答案】证明见解析
【分析】由题意得，代入方程，因式分解可得方程有一个根为1，可证充分性；把代入方程，可得，可证必要性.
【详解】证明：充分性：因为，所以，
代入方程，得，
即．
所以方程有一个根为1．
必要性：因为方程有一个根为1，
所以满足方程，
所以，即．
故关于的方程有一个根为1的充要条件是．
18. 已知全集．
（1）求；
（2）求．
【正确答案】（1），．
（2）
【分析】集合B中，绝对值去掉得到，然后与集合A进行并补运算.先算补集，然后与集合P求交集.
【小问1详解】
由，可得，
，
，．
【小问2详解】
，
．
19. 已知，若，求a的取值范围．
【正确答案】或.
【分析】分、为单元素集合、为双元素集合三种情况讨论，分别求出参数的取值范围即可得.
【详解】①若为空集，则，解得；
②若单元素集合，则，解得，
将代入方程，得，解得，
所以，符合要求；
③若为双元素集合，则，即，
此时，即，解得；
综上所述，或.
20. 已知非空集合，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）将代入集合求解，利用集合间的关系可求；
（2）利用充分不必要条件的定义，分类讨论集合可求实数的取值范围．
【小问1详解】
已知集合，．
当时，，或
又，
；
【小问2详解】
因为“”是“”充分不必要条件，所以是的真子集，
又，，
所以，
所以；
当时，是的真子集；
当时，也满足是的真子集，
综上所述：．
21. 已知集合．
（1）若A是空集，求的取值范围；
（2）若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；
（3）若A中至少有一个元素，求的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）当时，集合，当时，集合；
（3）
【分析】（1）利用是空集，则即可求出的取值范围；
（2）对分情况讨论，分别求出符合题意的的值，及集合即可；
（3）分中只有一个元素和有2个元素两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解．
【小问1详解】
解： 是空集，
且，
，解得，
所以的取值范围为：；
小问2详解】
：①当时，集合，
②当时，，
，解得，此时集合，
综上所述，当时，集合，当时，集合；
【小问3详解】
中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或；
当中有2个元素时，则且，即，解得且；
综上可得，时中至少有一个元素，即.
22. 已知或.
（1）若命题是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）；
（2）.
【分析】（1）根据题意得到是假命题，结合一元二次方程的性质，列出不等式即可求解；
（2）根据（1）的结论，得出命题是真命题的范围，再将问题转化为集合间的真子集关系，从而得到不等式组即可求解.
【小问1详解】
因为命题是真命题，所以命题是假命题，即关于的方程无实数根.
当时，方程无解，符合题意；
当时，，解得.
故实数的取值范围是.
【小问2详解】
由（1）知若命题是真命题，则或.
因为命题是命题的必要不充分条件，
所以或⫋或，
则解得，
所以实数的取值范围是.