2024-2025学年山西省朔州市怀仁市高一上册9月月考数学学情检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年山西省朔州市怀仁市高一上册9月月考数学学情检测试题（含解析），共15页。试卷主要包含了 本试卷分第Ⅰ卷两部分， 考试结束后，将答题卡交回， 已知，，则、 的大小关系为， 某校高三等内容，欢迎下载使用。
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4. 考试结束后，将答题卡交回.
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，则的子集有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
2. 已知集合，，集合为（ ）
A. B. C. D. 不确定
3. 设，则""是""的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 设全集，集合，则满足的集合共有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
5. 若不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
6. 若命题“，使得”是假命题，则实数k的取值范围是
A. B. C. D.
7. 已知，，则、 的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 无法确定
8. 某校高三（1）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有8名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（ ）
A. 27B. 23C. 15D. 7
二、多项选择题（在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.本题共3小题，共18分；全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分）
9. 已知集合，，若，则实数值可能是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知集合，，若，则实数a可能取值（ ）
A. 0B. 3C. D.
11. 已知实数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知，，则是的_______________（充分条件”、“必要条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选择一个填空）．
13. 已知集合，则集合的所有子集的个数是________.
14. 若X是一个集合,是一个以X某些子集为元素的集合,且满足：①X属于,空集属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于τ.
则称是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{,,},对于下面给出的四个集合：
①＝{,{},{},{,,}}；
②＝{,{},{},{,},{,,}}；
③＝{,{},{,},{,}}；
④＝{{,},{,},{},{,,}}．
其中是集合X上的一个拓扑的集合的所有序号是________．
四、解答题（本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知集合，.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
16. 已知集合，或.
（1）当时，求；
（2）当时，若“”是“”的充分条件，求的取值范围.
17. 解不等式.
18. （1）已知，求证：；
（2）已知，求证：；
（3）已知，求证：
19. 已知，.
（1）是否存在实数m，使是充要条件？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由；
（2）是否存在实数m，使是的必要条件？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由.
2024-2025学年山西省朔州市怀仁市高一上学期9月月考数学学情检测试题
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4. 考试结束后，将答题卡交回.
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，则的子集有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【正确答案】D
【分析】根据集合子集的个数计算公式求解.
【详解】因为集合共有个元素，所以子集个数为个.
故选：D.
2. 已知集合，，集合为（ ）
A. B. C. D. 不确定
【正确答案】C
【分析】根据集合的运算法则确定．
【详解】由题意，，则，所以．
故选：C．
3. 设，则""是""的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】B
【分析】用集合法判断即可.
【详解】因为集合是集合的真子集，
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：B.
结论点睛：有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：
(1)若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
(2)若是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
(3)若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
(4)若是的既不充分又不必要条件，对应集合与对应集合互不包含．
4. 设全集，集合，则满足的集合共有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【正确答案】C
【分析】结合集合的有关概念与运算即可.
【详解】由题意知，，，且，即，且，则，所以集合可以是，，，共4个，
故选：C.
5. 若不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】依题意和是方程的两个实数根，利用韦达定理得到方程组，即可求出，再解一元二次不等式即可.
【详解】因为不等式的解集是：，
所以和是方程的两个实数根，
由，解得：，
故不等式，即为，
解不等式，得：，
所求不等式的解集是.
故选：C．
6. 若命题“，使得”是假命题，则实数k的取值范围是
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】
由题意先找到等价命题“,都有恒成立”，再求即可.
【详解】命题“，使得”是假命题等价于“,都有恒成立”是真命题,所以即,解得: .
故选:B.
本题主要考查了特称命题的否定与恒成立问题,属于简单题型.
7. 已知，，则、 的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【正确答案】C
【分析】对、运用作差法得，再根据,和，可得结论.
【详解】
，
，又，
，.
故选C.
本题考查运用作差法比较代数式的值的大小，作差法常运用的步骤是：作差、通分、分解因式或配方，关键在于能判断每一个因式的符号，属于基础题.
8. 某校高三（1）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有8名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（ ）
A. 27B. 23C. 15D. 7
【正确答案】B
【分析】由题意，结合韦恩图可求解
【详解】设高三（1）班有50名学生组成的集合为 ,参加田赛项目的学生组成的集合为，参加径赛项目的学生组成的集合为
由题意集合有15个元素，有20个元素，中有8个元素
所以有个元素.
所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为
故选：B
二、多项选择题（在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.本题共3小题，共18分；全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分）
9. 已知集合，，若，则实数的值可能是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】ABC
【分析】
由可得出关于实数的不等式组，解出实数的取值范围，进而可得出实数的可能取值.
【详解】，且，所以，，解得.
因此，ABC选项合乎题意.
故选：ABC.
10. 已知集合，，若，则实数a的可能取值（ ）
A. 0B. 3C. D.
【正确答案】ACD
【分析】
由集合间关系，按照、讨论，运算即可得解.
【详解】∵集合，，，
当时，，满足题意；
当时，，要使，则需要满足或，
解得或，
a的值为0或或.
故选：ACD.
11. 已知实数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】AC
【分析】
利用不等式的可加性判断AB；变形后判断C；变形后判断D.
【详解】因为，所以，A正确；
因为，所以，解得，B错误；
因为，，所以，C正确；
，，所以， D错误.
故选：AC.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知，，则是的_______________（充分条件”、“必要条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选择一个填空）．
【正确答案】充分条件
【分析】根据集合关系判断即可得答案.
【详解】设命题对应的集合为,
命题对应的集合为,
因为,所以命题是命题充分条件.
故充分条件.
结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）若是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）若是的既不充分又不必要条件，则对的集合与对应集合互不包含．
13. 已知集合，则集合的所有子集的个数是________.
【正确答案】32
【分析】
根据条件求出集合B中的元素即可．
【详解】因为集合，则集合，
所以集合B的所有子集的个数是个，
故答案为.
14. 若X是一个集合,是一个以X的某些子集为元素的集合,且满足：①X属于,空集属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于τ.
则称是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{,,},对于下面给出的四个集合：
①＝{,{},{},{,,}}；
②＝{,{},{},{,},{,,}}；
③＝{,{},{,},{,}}；
④＝{,{,},{,},{},{,,}}．
其中是集合X上的一个拓扑的集合的所有序号是________．
【正确答案】②④.
【分析】根据新定义进行验证即可得．
【详解】①τ＝{∅,{a},{c},{a,b,c}},因为{a}∪{c}＝{a,c}∉τ,故①不是集合X上的一个拓扑；
②满足集合X上的一个拓扑的集合τ的定义；
③因为{a,b}∪{a,c}＝{a,b,c}∉τ,故③不是集合X上的一个拓扑；
④满足集合X上的一个拓扑的集合τ的定义.
故②④.
四、解答题（本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知集合，.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据并集的概念运算可得结果；
（2）分类讨论集合是否为空集，根据交集结果列式可得答案.
【详解】（1）当时，，
所以.
（2）因为，
（i）当，即时，，符合题意；
（ii）当时，，解得或.
综上所述，实数的取值范围是.
易错点点睛：容易漏掉集合为空集的情况.
16. 已知集合，或.
（1）当时，求；
（2）当时，若“”是“”的充分条件，求的取值范围.
【正确答案】（1）或；（2）.
【分析】
（1）当时，解出集合A，计算；
（2）由集合法判断充要条件，转化为，进行计算.
【详解】解：（1）当时，由不等式，
得，故，
又或，
所以或.
（2）若“”是“”的充分条件，等价于，
因为，由不等式，得，
又或，
要使，则或，
综合可得的取值范围为.
结论点睛：有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：
(1)若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
(2)若是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
(3)若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
(4)若是的既不充分又不必要条件，对应集合与对应集合互不包含．
17. 解不等式.
【正确答案】答案见解析
【分析】将不等式化为，故对应的方程必有两根，再讨论两根的大小即可求出所对应的不等式的解集.
【详解】解：对于不等式，可化为，
所以方程有两根、，
令，解得，
∴当或时， ，故原不等式的解集为；
当或时，，原不等式的解集为；
当或时， ，原不等式的解集为；
综上可得：当当或时解集为，当或时解集为，
当或时解集为.
18. （1）已知，求证：；
（2）已知，求证：；
（3）已知，求证：
【正确答案】证明见解析
【分析】根据不等式的性质逐项证明.
【详解】（1）∵，
∴，又，
∴；
（2），
∴，又，
∴；
（3）因为，
所以，
所以，即.
19. 已知，.
（1）是否存在实数m，使是充要条件？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由；
（2）是否存在实数m，使是的必要条件？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由.
【正确答案】（1）不存在，理由见解析
（2）存在，
【分析】（1）要使是的充要条件，则，得到，方程无解，得到答案.
（2）要使是的必要条件，则，考虑和两种情况，计算得到答案.
【小问1详解】
，
要使是的充要条件，则，即，此方程无解，
则不存在实数m，使是的充要条件；
【小问2详解】
要使是的必要条件，则，
当时，，得；
当时，，得，要使，则有，得，故，
综上所述，当实数时，是的必要条件.