2024-2025学年江苏省扬州市高邮市高一上册第一次月考数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年江苏省扬州市高邮市高一上册第一次月考数学检测试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单项选择题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合A＝{0，1}，则下列关系表示错误的是
A. 0∈AB. {1}∈AC. ∅⊆AD. {0，1}⊆A
2. 设集合，则（ ）
A B.
C. D.
3. 设命题，则的否定为（ ）
A B.
C. D.
4. 已知，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 函数的零点为（ ）.
A. B. C. 和5D. 和
6. 设，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. 5D. 4
7. 对于实数，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
8. 已知命题p：“，”，命题q：“，”．若命题和命题q都是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A. 或B. 或C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设，，若，则实数的值可以为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 下列说法正确的是（ ）．
A. 已知集合，则满足条件的集合N的个数为4
B 若集合中只有一个元素，则
C. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件
D. 的一个必要条件是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 某班共有38人，其中21人喜爱跑步运动，15人喜爱篮球运动，10人对两项运动都不喜爱，则对两项运动都喜爱人数为_____________.
13. 关于不等式的解集为，则实数的取值范围为_________．
14. 设常数，集合．若，则的取值范围为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．
15. 已知集合或x>2，．
（1）求，；
（2）若集合是集合的真子集，求实数的取值范围．
16. 已知正数x，y满足.
（1）求的最大值；
（2）求的最小值.
17. 已知集合，，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围．
18. 已知二次函数，当时，；当，．
（1）求，的值；
（2）解关于不等式：；
（3）若不等式在上恒成立，求的取值范围．
19. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等．
例如，，求证：． 证明：原式．
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征．
阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，当为何值时，有最小值，最小值是多少？
解：，，，即，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2．请根据以上阅读材料解答下列问题：
（1）已知，求的值．
（2）若，解关于的方程．
（3）若正数，满足，求的最小值．
2024-2025学年江苏省扬州市高邮市高一上学期第一次月考数学检测试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合A＝{0，1}，则下列关系表示错误的是
A. 0∈AB. {1}∈AC. ∅⊆AD. {0，1}⊆A
【正确答案】B
【详解】根据元素与集合关系的表示法，0∈A，故A正确；
根据集合与集合关系的表示法，{1}⊂A，判断B假；
∅是任意集合的子集，故C正确；
根据集合子集的定义，{0，1}⊆A，故D正确；
故选B．
点睛：本题考查的是集合的包含关系的判断及其应用，元素与集合关系的判断，是基础题.
2. 设集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】根据并集运算法则计算即可.
【详解】易知由可得.
故选：D
3. 设命题，则的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题，即可得答案.
【详解】因为命题是存在量词命题，
所以其否定是全称量词命题，即为．
故选：C.
4. 已知，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】B
【分析】根据充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果.
【详解】因为由能推出；由不能推出；
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
5. 函数的零点为（ ）.
A. B. C. 和5D. 和
【正确答案】C
【分析】先解方程，由函数零点定义可知方程的根即为函数零点.
【详解】解方程得或，
所以函数的零点为和5.
故选：C.
6. 设，且，则的最小值为（ ）
A B. C. 5D. 4
【正确答案】A
【分析】根据基本不等式中“1”的妙用计算即可得出其最小值.
【详解】由题意知m,n>0,1m+1n=1，故，
当且仅当时，即时，等号成立；
故选：A
7. 对于实数，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【正确答案】C
【分析】根据不等式的基本性质及恰当的特殊值可逐一判断.
【详解】对于A选项，若或，或显然无意义.故A选项错误；
对于B选项，若，则.故B选项错误；
对于C选项，因为，所以各项同时乘以得.故C正确；
对于D选项，因为，所以，所以，
所以，即.因为根据题意不知道的符号，
所以无法满足同向可乘性的条件.故D错误.
故选：C.
8. 已知命题p：“，”，命题q：“，”．若命题和命题q都是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A. 或B. 或C. D.
【正确答案】D
【分析】先考虑均为真命题得到取值范围，然后根据的真假性得到关于的不等式，即可求解出的取值范围.
【详解】若，，则，
∴．
若，，
则，
解得或．
∵命题和命题q都是真命题，
∴或，
∴．
故选D．
本题考查根据全称命题、特称命题的真假求解参数范围，难度一般.利用命题的真假求解参数范围时，可先考虑命题都为真的情况下对应的参数范围，然后再根据实际的命题真假得到关于参数的不等式（注：若命题为假，只需对为真时参数范围取补集），由此求解出参数范围.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设，，若，则实数的值可以为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】ABD
【分析】利用一元二次方程的解法、集合间的运算及关系运算分析即可得解.
【详解】解：由题意，集合，由可得，
则或或或，
当时，满足即可；
当时，需满足，解得：；
当时，需满足，解得：；
因为时有且只有一个根，所以.
所以的值可以为.
故选：ABD.
10. 已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】BCD
【分析】由二次不等式的解集可知，相应的二次函数图像开口向下，由相应的一元二次方程的两根结合起韦达定理可求的符号，将代入即可得解.
【详解】因为不等式的解集为，
故相应的二次函数的图像开口向下，所以，故A错误；
易知2和是方程的两个根，则有，，
又，故，，故BC正确；
因为，所以，故D正确．
故选：BCD
11. 下列说法正确的是（ ）．
A. 已知集合，则满足条件的集合N的个数为4
B. 若集合中只有一个元素，则
C. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件
D. 的一个必要条件是
【正确答案】AC
【分析】根据并集的结果可得，即可知A正确；易知方程只有一根，可得或，B错误；根据一元二次方程根与系数之间的关系可判断C正确，易知可得的一个充分条件是，即D错误.
【详解】对于A，根据可知，即集合为集合的子集，
由中有2个元素，因此集合N的个数为个，即A正确；
对于B，若集合中只有一个元素，则方程只有一根，
若，方程为，满足题意；
若，则可得，解得，满足题意；
因此或，所以B错误；
对于C，由可得，即一元二次方程有两根，且两根之积为，所以两根为一正一负，即充分性成立；
若一元二次方程有一正一负根则须满足，且两根积为，即，可得必要性成立，即C正确；
对于D，由可得，易知可推出，所以可得的一个充分条件是，即D错误.
故选：AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 某班共有38人，其中21人喜爱跑步运动，15人喜爱篮球运动，10人对两项运动都不喜爱，则对两项运动都喜爱的人数为_____________.
【正确答案】8
【分析】由某班共有38人、10人对两项运动都不喜爱，可以求出喜欢这两项运动的人数，再根据其中21人喜爱跑步运动，15人喜爱篮球运动，可以求出对两项运动都喜爱的人数.
【详解】设喜欢欢这两项运动的学生为集合A，喜爱跑步运动的学生为集合B,喜爱篮球运动的学生为集合C，因为某班共有38人、10人对两项运动都不喜爱，所以喜欢这两项运动的人数为28人，记为card(A)=28,由 可知：
，即对两项运动都喜爱的人数为8.
本题考查了集合元素个数问题，熟记公式
是解题的关键.
13. 关于不等式的解集为，则实数的取值范围为_________．
【正确答案】
【分析】先根据二次项的系数分类为，.当时，显然成立，当时，则二次函数开口向下，且与轴无交点，进而有，可得.
【详解】当时，原不等式可化为，显然成立，
当时，因关于不等式的解集为，
则，解得，
综上可知，实数的取值范围为，
故
14. 设常数，集合．若，则的取值范围为_________．
【正确答案】
【分析】分和两种情况求出集合，再由可求出a的取值范围.
【详解】当时，由，得或，
所以或，
因为，且，
所以，解得，
当时，由，得或，
所以或x≥1，
因为，且，
所以，即恒成立，所以，
综上，.
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．
15. 已知集合或x>2，．
（1）求，；
（2）若集合是集合的真子集，求实数的取值范围．
【正确答案】（1），或x≥4
（2）或
【分析】（1）根据集合的运算法则计算即可得；
（2）由子集定义得出不等关系后计算即可得．
【小问1详解】
，
则，
，或，
∴或；
【小问2详解】
∵集合是集合的真子集，
∴或，解得或．
16. 已知正数x，y满足.
（1）求的最大值；
（2）求的最小值.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据条件直接利用基本不等式得到，即可求解；
（2）利用“1”的妙用得到，再结合基本不等式即可求解.
【小问1详解】
因为，且，
所以，即，当且仅当即时取得等号；
故的最大值为.
【小问2详解】
因为，且，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
17. 已知集合，，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围．
【正确答案】（1）或；（2）.
【分析】（1）解方程可求得集合，根据并集结果可知或，由此可求得结果；
（2）由交集结果可知，由此可确定所有可能的结果，分别讨论不同结果对应的的取值范围，由此可得结果.
【详解】
（1），，又，所有可能的结果为，；
当时，，解得：；当时，，解得：；
或；
（2），，所有可能的结果为，，，；
当时，，解得：；
当时，，解得：，此时，满足题意；
当时，，解得：，
此时，不合题意；
当时，无解，不合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
18. 已知二次函数，当时，；当，．
（1）求，值；
（2）解关于的不等式：；
（3）若不等式在上恒成立，求的取值范围．
【正确答案】（1）；（2）解集见详解；（3）
分析】
（1）将和代入方程解得；
（2）将值代入不等式求解并讨论大小范围得结果；
（3）化简不等式并分离参数，由恒成立问题转为最值问题，再用均值不等式求解.
【详解】解：（1）由题意知是方程的根，所以 解得
（2）由（1）知代入得 即
当时，不等式无解集；当时，不等式解集为 ；当时，不等式解集为；
（3）由（1）知
所以，得，在上恒成立，
又因为当且仅当时等号成立，所以
方法点晴：解恒成立问题通常参数分离再求函数最值或用均值不等式求最值.
19. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等．
例如，，求证：． 证明：原式．
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征．
阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，当为何值时，有最小值，最小值是多少？
解：，，，即，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2．请根据以上阅读材料解答下列问题：
（1）已知，求的值．
（2）若，解关于的方程．
（3）若正数，满足，求的最小值．
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）由题意把代入式中化简计算即可得解；
（2）将代入方程后化简计算即可得解；
（3）由已知条件可得，利用基本不等式求出的最小值即可得的最小值．
【小问1详解】
由题意得；
【小问2详解】
由，
故原方程可化为：，
即：，
，即，解得：；
【小问3详解】
由，则有
，
，
当且仅当，即，时，等号成立，
有最小值，此时有最大值，
从而有最小值，即有最小值．