2022-2023学年河北省石家庄市四十中八年级（上）期末数学试卷解析版

这是一份2022-2023学年河北省石家庄市四十中八年级（上）期末数学试卷解析版，共27页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在下列正方体的表面展开图中，剪掉1个正方形（阴影部分），剩余5个正方形组成中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）在三角形内，到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条中线的交点
B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
3．（3分）下列选项中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）若实数m、n满足等式|m﹣2|+|n﹣4|＝0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（ ）
A．6B．8C．8或10D．10
5．（3分）若将四个数﹣、、、2表示在数轴上，其中可能被如图所示的墨迹覆盖的数是（ ）
A．﹣B．C．D．2
6．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．7是49的算术平方根，即＝±7
B．7是（﹣7）2的算术平方根，即＝7
C．±7是49的平方根，即±＝7
D．±7是49的平方根，即＝±7
7．（3分）把分式方程﹣＝1化为整式方程正确的是（ ）
A．1﹣（1﹣x）＝1B．1+（1﹣x）＝1
C．1﹣（1﹣x）＝x﹣2D．1+（1﹣x）＝x﹣2
8．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）
A．72°B．60°C．50°D．58°
9．（3分）如图，把矩形纸片ABCD纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么下列说法错误的是（ ）
A．△EBD是等腰三角形，EB＝ED
B．折叠后∠ABE和∠CBD一定相等
C．折叠后得到的图形是轴对称图形
D．△EBA和△EDC一定是全等三角形
10．（3分）如图，用一把长方形直尺的一边压住射线OB，再用另一把完全相同的直尺的一边压住射线OA，两把直尺的另一边交于点P，则射线OP就是∠AOB角平分线的依据是（ ）
A．等腰三角形中线、角平分线、高线三线合一
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三边垂直平分线的交点到三角形三顶点的距离相等
D．在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上
11．（3分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝9，将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，折痕交AC于点M，交BC于点N，则线段BN的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
12．（3分）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若△ADC的周长为13，BC＝8，则AC的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
13．（3分）如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，且PE＝3，AP＝5，点F在边AB上运动，当运动到某一位置时△FAP面积恰好是△EAP面积的2倍，则此时AF的长是（ ）
A．10B．8C．6D．4
14．（3分）平面直角坐标系中，点A（2，3），B（2，1），经过点A的直线a∥x轴，点C是直线a上的一个动点，当线段BC的长度最短时，点C的坐标为（ ）
A．（0，﹣1）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣2，﹣1）D．（2，3）
15．（3分）五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝4cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜10），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（ ）
A．4B．7或9C．4或9D．4或7或9
二.填空题（共3小题，17、18每空3分，19题4分，共10分）
17．（3分）使代数式有意义的x取值范围是 ．
18．（3分）如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为 cm．
19．（4分）乐乐在学习中遇到了这样的问题：
如图所示的三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，将△ABC沿某一条直线剪开，使其变成两个三角形，且要求其中的一个三角形是等腰三角形，你有几种方法呢？
经过思考，乐乐发现要想沿一条直线把三角形分割成两个三角形，这条直线需要经过三角形的某个定点，请你帮助乐乐写出当这条直线经过点A时，剪出的等腰三角形的面积是 ．
三.解答题（5个大题，共42分）
20．（12分）计算：
（1）；
（2）．
21．（8分）如图，工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．他是这样操作的：
①分别在BA和CA上取BE＝CG；
②在BC上取BD＝CF；
③量出DE的长a米，FG的长b米．
如果a＝b，则说明∠B和∠C是相等的，他的这种做法合理吗？为什么？
22．（10分）在学习“分式方程应用”时，张老师板书了如下的问题，小明和小亮两名同学都列出了对应的方程．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）小明同学所列方程中x表示 ；
列方程所依据的等量关系是 ．
小亮同学所列方程中y表示 ；
列方程所依据的等量关系是 ．
（2）请你在两个方程中任选一个，解答老师的例题．
23．（12分）阅读理解，自主探究：
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．
（1）问题解决：如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E，则CD与BE的数量关系是 ；
（2）问题探究：如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线CE，AD⊥CE于D，BE⊥CE于E，AD＝2.5cm，DE＝1.6cm，求BE的长；
（3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，A（﹣1.5，0），C（1.5，3.5），△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，求B点坐标．
2022-2023学年河北省石家庄四十中八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每题3分，共48分）
1．（3分）在下列正方体的表面展开图中，剪掉1个正方形（阴影部分），剩余5个正方形组成中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】中心对称图形；几何体的展开图．
【答案】D
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项图形分析判断后即可得解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合是解题的关键．
2．（3分）在三角形内，到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条中线的交点
B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据线段垂直平分线的判定定理解答．
【解答】解：∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上，
∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，
故选：D．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的判定定理，掌握到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上是解题的关键．
3．（3分）下列选项中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】最简二次根式．
【专题】计算题；二次根式．
【答案】C
【分析】利用最简二次根式定义判断即可．
【解答】解：A．＝，不是最简二次根式；
B．＝2，不是最简二次根式；
C．是最简二次根式，符合题意；
D．＝2，不是最简二次根式；
故选：C．
【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的判定方法是解本题的关键．
4．（3分）若实数m、n满足等式|m﹣2|+|n﹣4|＝0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（ ）
A．6B．8C．8或10D．10
【考点】等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；三角形三边关系．
【专题】数与式；等腰三角形与直角三角形．
【答案】D
【分析】利用非负数的性质求出m，n的值，再分两种情形讨论即可；
【解答】解：∵|m﹣2|+|n﹣4|＝0，
又∵|m﹣2|≥0，|n﹣4|，≥0，
∴m＝2，n＝4，
当2是等腰三角形的底时，4，4，2能构成三角形，周长为10，
当4是底时，2，2，4不能构成三角形．
故选：D．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，非负数的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题．
5．（3分）若将四个数﹣、、、2表示在数轴上，其中可能被如图所示的墨迹覆盖的数是（ ）
A．﹣B．C．D．2
【考点】实数与数轴；算术平方根．
【专题】实数．
【答案】B
【分析】根据算术平方根的概念分别估算各个实数的大小，根据题意判断．
【解答】解：﹣＜0，
2＜＜3，
3＜＜4，
3＜2＜4，
∴可能被如图所示的墨迹覆盖的数是，
故选：B．
【点评】本题考查的是实数和数轴，算术平方根，正确估算算术平方根的大小是解题的关键．
6．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．7是49的算术平方根，即＝±7
B．7是（﹣7）2的算术平方根，即＝7
C．±7是49的平方根，即±＝7
D．±7是49的平方根，即＝±7
【考点】平方根；算术平方根．
【答案】B
【分析】根据平方根的定义以及书写特点可知，代表的就是49的算术平方根，由排除法可得出结论．
【解答】解：∵代表的就是49的算术平方根，
∴A、C、D选项均错误，
故选：B．
【点评】本题考查的是平方根，解题的关键是牢记平方根的定义以及明白算术平方根的书写方式．
7．（3分）把分式方程﹣＝1化为整式方程正确的是（ ）
A．1﹣（1﹣x）＝1B．1+（1﹣x）＝1
C．1﹣（1﹣x）＝x﹣2D．1+（1﹣x）＝x﹣2
【考点】解分式方程．
【专题】计算题；分式方程及应用．
【答案】D
【分析】分式方程变形后，两边乘以最简公分母（x﹣2）化简得到结果，即可作出判断．
【解答】解：方程变形得：+＝1，
去分母得：1+（1﹣x）＝x﹣2，
故选：D．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验．
8．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）
A．72°B．60°C．50°D．58°
【考点】全等三角形的性质．
【专题】几何直观．
【答案】D
【分析】根据三角形内角和定理求得∠2＝58°；然后由全等三角形的性质得到∠1＝∠2＝58°．
【解答】解：如图，由三角形内角和定理得到：∠2＝180°﹣50°﹣72°＝58°．
∵图中的两个三角形全等，
∴∠1＝∠2＝58°．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是找准对应角．
9．（3分）如图，把矩形纸片ABCD纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么下列说法错误的是（ ）
A．△EBD是等腰三角形，EB＝ED
B．折叠后∠ABE和∠CBD一定相等
C．折叠后得到的图形是轴对称图形
D．△EBA和△EDC一定是全等三角形
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【专题】证明题．
【答案】B
【分析】对翻折变换及矩形四个角都是直角和对边相等的性质的理解及运用．
【解答】解：∵ABCD为矩形
∴∠A＝∠C，AB＝CD
∵∠AEB＝∠CED
∴△AEB≌△CED（故D选项正确）
∴BE＝DE（故A选项正确）
∠ABE＝∠CDE（故B选项不正确）
∵△EBA≌△EDC，△EBD是等腰三角形
∴过E作BD边的中垂线，即是图形的对称轴．（故C选项正确）
故选：B．
【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
10．（3分）如图，用一把长方形直尺的一边压住射线OB，再用另一把完全相同的直尺的一边压住射线OA，两把直尺的另一边交于点P，则射线OP就是∠AOB角平分线的依据是（ ）
A．等腰三角形中线、角平分线、高线三线合一
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三边垂直平分线的交点到三角形三顶点的距离相等
D．在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上
【考点】角平分线的性质；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE＝PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得OP平分∠AOB．
【解答】解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选：D．
【点评】此题主要考查了角平分线的判定，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
11．（3分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝9，将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，折痕交AC于点M，交BC于点N，则线段BN的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．
【专题】平移、旋转与对称．
【答案】B
【分析】由折叠的性质可得DN＝CN，根据勾股定理可求DN的长，即可求BN的长．
【解答】解：∵D是AB中点，AB＝6，
∴AD＝BD＝3，
∵将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，
∴DN＝CN，
∴BN＝BC﹣CN＝9﹣DN，
在Rt△DBN中，DN2＝BN2+DB2，
∴DN2＝（9﹣DN）2+9，
∴DN＝5
∴BN＝4，
故选：B．
【点评】本题考查了翻折变换，折叠的性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
12．（3分）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若△ADC的周长为13，BC＝8，则AC的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【专题】尺规作图；几何直观．
【答案】A
【分析】根据像是垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据三角形的周长公式计算．
【解答】解：由基本作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∵△ADC的周长为13，
∴AC+CD+AD＝AC+CD+DB＝AC+BC＝13，
∵BC＝8，
∴AC＝5，
故选：A．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
13．（3分）如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，且PE＝3，AP＝5，点F在边AB上运动，当运动到某一位置时△FAP面积恰好是△EAP面积的2倍，则此时AF的长是（ ）
A．10B．8C．6D．4
【考点】角平分线的性质．
【专题】图形的全等．
【答案】B
【分析】作PH⊥AB于H，根据角平分线的性质即可得出结论．
【解答】解：作PH⊥AB于H，
∵点P是∠BAC的平分线上一点，PE⊥AC，PH⊥AB，
∴PH＝PE，
由勾股定理得，AE＝＝4，
∵△FAP面积是△EAP面积的2倍，
∴AF＝2AE＝8，
故选：B．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
14．（3分）平面直角坐标系中，点A（2，3），B（2，1），经过点A的直线a∥x轴，点C是直线a上的一个动点，当线段BC的长度最短时，点C的坐标为（ ）
A．（0，﹣1）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣2，﹣1）D．（2，3）
【考点】坐标与图形性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】根据题意，可以得到直线AB和直线a的关系，然后根据垂线段最短，即可得到点C的坐标．
【解答】解：∵点A（2，3），B（2，1），
∴直线AB∥y轴，
∵经过点A的直线a∥x轴，点C是直线a上的一个动点，
∴直线AB和直线a互相垂直，
∴当线段BC的长度最短时，点C与点A重合，此时点C的坐标为（2，3），
故选：D．
【点评】本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确垂线段最短．
15．（3分）五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】勾股定理的逆定理．
【答案】C
【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、72+242＝252，152+202≠242，故A不正确；
B、72+242＝252，152+202≠242，故B不正确；
C、72+242＝252，152+202＝252，故C正确；
D、72+202≠252，242+152≠252，故D不正确．
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝4cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜10），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（ ）
A．4B．7或9C．4或9D．4或7或9
【考点】相似三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】D
【分析】由条件可求得AB＝8，可知E点的运动路线为从A到B，再从B到AB的中点，当△BDE为直角三角形时，只有∠EDB＝90°或∠DEB＝90°，再结合△BDE和△ABC相似，可求得BE的长，则可求得t的值．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝4cm，
∴AB＝2BC＝8cm，
∵D为BC中点，
∴BD＝2cm，
∵0≤t＜12，
∴E点的运动路线为从A到B，再从B到AB的中点，
按运动时间分为0≤t≤8和8＜t＜10两种情况，
①当0≤t≤8时，AE＝tcm，BE＝BC﹣AE＝（8﹣t）cm，
当∠EDB＝90°时，则有AC∥ED，
∵D为BC中点，
∴E为AB中点，
此时AE＝4cm，可得t＝4；
当∠DEB＝90°时，
∵∠DEB＝∠C，∠B＝∠B，
∴△BED∽△BCA，
∴，
即，
解得t＝7；
②当8＜t＜10时，则此时E点又经过t＝7秒时的位置，此时t＝8+1＝9．
综上可知t的值为4或7或9，
故选：D．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，用t表示出线段的长，化动为静，再根据相似三角形的对应边成比例找到关于t的方程是解决这类问题的基本思路．
二.填空题（共3小题，17、18每空3分，19题4分，共10分）
17．（3分）使代数式有意义的x取值范围是 x≥1 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．
【解答】解：∵代数式有意义，
∴x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，解答本题的关键是掌握被开方数为非负数．
18．（3分）如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为 3 cm．
【考点】翻折变换（折叠问题）；轴对称的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意得AE＝A′E，AD＝A′D，故阴影部分的周长可以转化为三角形ABC的周长．
【解答】解：将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，
所以AD＝A′D，AE＝A′E．
则阴影部分图形的周长等于BC+BD+CE+A′D+A′E，
＝BC+BD+CE+AD+AE，
＝BC+AB+AC，
＝3cm．
故答案为：3．
【点评】折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系．
19．（4分）乐乐在学习中遇到了这样的问题：
如图所示的三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，将△ABC沿某一条直线剪开，使其变成两个三角形，且要求其中的一个三角形是等腰三角形，你有几种方法呢？
经过思考，乐乐发现要想沿一条直线把三角形分割成两个三角形，这条直线需要经过三角形的某个定点，请你帮助乐乐写出当这条直线经过点A时，剪出的等腰三角形的面积是 8或 ．
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【专题】分类讨论；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力．
【答案】8或．
【分析】要分两种情况进行讨论：①PC＝AC＝4时，△ACP是等腰直角三角形，根据三角形面积公式可求剪出的等腰三角形的面积；②AP＝BP时，△ABP是等腰三角形，根据勾股定理可求CP，再根据三角形面积公式可求剪出的等腰三角形的面积．
【解答】解：①如图1：PC＝AC＝4时，△ACP是等腰直角三角形，
则S△ACP＝×4×4＝8；
②如图2：AP＝BP时，△ABP是等腰三角形，
在△ACP中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，
则AC2+CP2＝AP2，即42+CP2＝（6﹣CP）2，
解得CP＝，
则S△ABP＝S△ABC﹣S△ACP＝×4×6﹣×4×＝．
综上所述，剪出的等腰三角形的面积是8或．
故答案为：8或．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，以及等腰三角形的性质，关键是掌握三角形的面积计算．
三.解答题（5个大题，共42分）
20．（12分）计算：
（1）；
（2）．
【考点】二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．
【专题】实数；二次根式；运算能力．
【答案】（1）19+；
（2）6﹣2．
【分析】（1）先根据零指数幂，负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质进行计算，再算加减即可；
（2）先根据平方差公式，完全平方公式和二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝1+2+2﹣+16
＝19+；
（2）原式＝22﹣（）2+（）2﹣2×+（）2
＝4﹣3+3﹣2+2
＝6﹣2．
【点评】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，实数的混合运算和二次根式的混合运算等知识点，能正确根据二次根式的运算法则和实数的运算法则进行计算是解此题的关键．
21．（8分）如图，工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．他是这样操作的：
①分别在BA和CA上取BE＝CG；
②在BC上取BD＝CF；
③量出DE的长a米，FG的长b米．
如果a＝b，则说明∠B和∠C是相等的，他的这种做法合理吗？为什么？
【考点】全等三角形的应用．
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】给出的三组相等线段都分布在△BDE，△CFG中，判断他们全等，条件充分，利用全等的性质容易得出∠B＝∠C．
【解答】解：这种做法合理．
理由：
在△BDE和△CFG中，
．
∴△BDE≌△CFG（SSS），
∴∠B＝∠C．
【点评】本题考查了全等三角形的应用；判断两个角相等，或者边相等，可以把他们分别放到两个可能全等的三角形中，围绕全等找判断全等的条件．
22．（10分）在学习“分式方程应用”时，张老师板书了如下的问题，小明和小亮两名同学都列出了对应的方程．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）小明同学所列方程中x表示 第一批口罩所进的数量 ；
列方程所依据的等量关系是 每包口罩的进价比第一批多0.5元 ．
小亮同学所列方程中y表示 第一批每包口罩的进价 ；
列方程所依据的等量关系是 第二批所进的数量比第一批多50% ．
（2）请你在两个方程中任选一个，解答老师的例题．
【考点】分式方程的应用．
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】（1）第一批口罩所进的数量；每包口罩的进价比第一批多0.5元．第一批每包口罩的进价；第二批所进的数量比第一批多50%；
（2）2000包．
【分析】（1）根据两人的方程思路，可得出：x表示第一批口罩所进的数量，等量关系是每包口罩的进价比第一批多0.5元；y表示第一批每包口罩的进价，等量关系是第二批所进的数量比第一批多50%；
（2）选择两个方程中的一个，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）小明同学所列方程中x表示第一批口罩所进的数量，等量关系是每包口罩的进价比第一批多0.5元；
小亮同学所列方程中y表示第一批每包口罩的进价，等量关系是第二批所进的数量比第一批多50%；
故答案为：第一批口罩所进的数量；每包口罩的进价比第一批多0.5元．第一批每包口罩的进价；第二批所进的数量比第一批多50%；
（2）①选小明同学的方程，
去分母，得6000＝7500﹣0.75x，
解得x＝2000．
经检验x＝2000是原分式方程的解．
答：购进的第一批医用口罩有2000包．
②选小亮同学的方程（1+50%）×，
解得y＝2．
经检验y＝2是原分式方程的解．
所以购进的第一批医用口罩有＝2000（包）．
答：购进的第一批医用口罩有2000包．
【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23．（12分）阅读理解，自主探究：
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．
（1）问题解决：如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E，则CD与BE的数量关系是 CD＝BE ；
（2）问题探究：如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线CE，AD⊥CE于D，BE⊥CE于E，AD＝2.5cm，DE＝1.6cm，求BE的长；
（3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，A（﹣1.5，0），C（1.5，3.5），△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，求B点坐标．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）CD＝BE，证明见解析部分；
（2）0.9cm；
（3）（5，0.5）．
【分析】（1）证∠DAC＝∠ECB，再由AAS证△ADC≌△CEB即可；
（2）证△ADC≌△CEB（AAS），得AD＝CE＝2.5cm，CD＝BE，即可解决问题；
（3）过点C作直线l∥x轴，交y轴于点G，过A作AE⊥l于点E，过B作BF⊥l于点F，交x轴于点H，证△AEC≌△CFB（AAS），得AE＝CF＝3，BF＝CE＝2，则FG＝CG+CF＝4，BH＝FH﹣BF＝1，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠ECB＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CD＝BE．
故答案为：CD＝BE；
（2）∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠CBE+∠ECB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE＝2.5cm，CD＝BE，
∴BE＝CD＝CE﹣DE＝2.5﹣1.6＝0.9（cm），
即BE的长为0.9cm；
（3）如图3，过点C作直线l∥x轴，交y轴于点G，过A作AE⊥l于点E，过B作BF⊥l于点F，交x轴于点H，
则∠AEC＝∠CFB＝∠ACB＝90°，
∵A（﹣1.5，0），C（1.5，3.5），
∴EG＝OA＝1.5，CG＝1.5，FH＝AE＝OG＝3.5，
∴CE＝EG+CG＝3，
∵∠ACE+∠EAC＝90°，∠ACE+∠FCB＝90°，
∴∠EAC＝∠FCB，
在△AEC和△CFB中，
，
∴△AEC≌△CFB（AAS），
∴AE＝CF＝3.5，BF＝CE＝3，
∴FG＝CG+CF＝1.5+3.5＝5，BH＝FH﹣BF＝3.5﹣3＝0.5，
∴B点坐标为（5，0.5）．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、一线三垂直”模型等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
声明：试题解析著作
12.3分式方程
例：疫情防控形势下，人们在外出时都应戴上口罩以免受新型冠状病毒的感染．某药店用4000元购进了一批一次性医用口罩，很快售完，该店又用7500元钱购进第二批这种口罩，所进的数量比第一批多50%，每包口罩的进价比第一批多0.5元，求购进的第一批医用口罩有多少包？
小明：；
小亮：．
12.3分式方程
例：疫情防控形势下，人们在外出时都应戴上口罩以免受新型冠状病毒的感染．某药店用4000元购进了一批一次性医用口罩，很快售完，该店又用7500元钱购进第二批这种口罩，所进的数量比第一批多50%，每包口罩的进价比第一批多0.5元，求购进的第一批医用口罩有多少包？
小明：；
小亮：．