2022-2023学年河北省石家庄市四十一中七年级（上）期末数学试卷解析版

这是一份2022-2023学年河北省石家庄市四十一中七年级（上）期末数学试卷解析版，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）﹣2的相反数是（ ）
A．2B．﹣2C．D．
2．（2分）若盈利2万元记作+2万元，则﹣3万元表示（ ）
A．盈利3万元B．亏损3万元
C．亏损2万元D．不盈利也不亏损
3．（2分）如图，用剪刀沿直线将一片平整的长方形纸片剪掉一部分，发现剩下纸片的周长比原纸片的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线
C．过一点，有无数条直线D．直线最短
4．（2分）下列各数中最小的是（ ）
A．﹣1B．0C．D．
5．（2分）下列说法正确的是（ ）
A．的系数是﹣2
B．22a3b的次数是6次
C．多项式6x2﹣3x+1是二次三项式
D．x2+x﹣1的常数项为1
6．（2分）下列各图中所给的线段、射线、直线能相交的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2分）下列对代数式﹣a的描述，正确的是（ ）
A．b的相反数与a的差
B．b与a的差的倒数
C．a的相反数与b的差的倒数
D．b的倒数与a的差
8．（2分）若3x2ym与2xn﹣1y的和仍为一个单项式，则m2﹣n的值为（ ）
A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．3
9．（2分）如图，△OAB绕点O逆时针旋转88°得到△OCD，若∠AOB＝30°，则∠α的度数是（ ）
A．38°B．48°C．58°D．68°
10．（2分）定义一种新运算：a⊗b＝a﹣2b．例如2⊗3＝2﹣2×3＝﹣4，则x⊗（﹣y）化简后的结果是（ ）
A．x+2yB．2x﹣yC．x﹣2yD．2x+y
11．（2分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．现有一个长方形的周长为30cm，这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm，就可以变成一个正方形，设长方形的宽为xcm，可列方程为（ ）
A．x﹣2＝（30﹣x）+1B．x﹣2＝（﹣x）+1
C．x+2＝（﹣x）﹣1D．x+2＝（30﹣x）﹣1
12．（2分）如图，用尺规作出了∠NCB＝∠AOC，关于作图痕迹，下列说法错误的是（ ）
A．弧MD是以点O为圆心，任意长为半径的弧
B．弧NE是以点C为圆心，DO为半径的弧
C．弧FG是以点E为圆心，OD为半径的弧
D．弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧
13．（2分）某商品进价为a元，商店将其价格提高30%作零售价销售，在销售旺季过后，商店又以8折（即售价的80%）优惠开展促销活动，这时一件商品的售价为（ ）
A．a元B．0.8a元C．0.92a元D．1.04a元
14．（2分）已知a、b、c三个数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a+b＜0B．bc＞0C．﹣b＞aD．|c|＜|b|
15．（2分）已知∠AOB＝70°，作射线OC，使∠AOC等于30°，OD是∠BOC的平分线，那么∠BOD的度数是（ ）
A．100°B．100°或40°C．40°D．50°或20°
16．（2分）如图表示3×3的数表，数表每个位置所对应的数都是1，2或3．定义a*b为数表中第a行第b列的数，例如，数表第3行第1列所对应的数是2，所以3*1＝2．若2*3＝（2x+1）*2，则x的值为（ ）
A．1，2B．1，3C．0，2D．1，0
二、填空题（本大题有3个小题，共10分，17～18小题各3分；19小题有2个空，每空2分）
17．（3分）已知∠A与∠B互余，且∠A＝45°26'，则∠B＝ ．
18．（3分）有理数x，y满足|x﹣2|+（y+3）2＝0，则（x+y）2023的值为 ．
19．（4分）如图，在长方形ABCD中，AB＝12cm，AD＝6cm．动点P从点A出发，沿线段AB，BC向点C运动，速度为3cm/s；动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，速度为1cm/s．点P，Q同时出发，任意一点到达点C时两点同时停止运动．设运动时间为t（s）．
（1）当点P在AB上运动时，BP＝ （用含t的式子表示）；
（2）当BP与BQ的和等于长方形周长的时，t＝ ．
三、解答题（本大题有6个小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（10分）计算：
（1）﹣10﹣（﹣3）+（﹣5）；
（2）．
21．（10分）已知关于x的方程x﹣2m＝3x+4与的解互为相反数，求m的值．
22．（8分）已知一个代数式与﹣2x2+x的和是﹣6x2+x+3．
（1）求这个代数式；
（2）当x＝﹣时，求这个代数式的值．
23．（8分）如图，已知线段AB＝12cm，点C为AB上一点且AC＝3cm，点P是BC的中点．
（1）求CP的长度；
（2）点D是直线AB上一点，且CD+BD＝11，请直接写出CD的长．
24．（10分）某校要购买一批足球运动装备．市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，三套队服与四个足球的费用相等．
（1）求每套队服和每个足球的价格分别是多少元？
（2）该校计划购买100套队服和a（a＞10）个足球，下表是甲、乙两个商场的优惠方案：
①请用含a的代数式分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花费用；
②当a＝30时，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？说明理由．
25．（12分）如图，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起．
（1）∠ACE ∠BCD（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）当∠DCE＝15°时，求∠ACB的度数；
（3）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；
（4）将三角板ACD绕点C逆时针旋转一周，请直接写出此时∠ACE为多少度时，∠ECD与∠ACB的大小是二倍关系．
2022-2023学年河北省石家庄四十一中七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有16个小题，每小题各2分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2分）﹣2的相反数是（ ）
A．2B．﹣2C．D．
【考点】相反数．
【答案】A
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：﹣2的相反数是：﹣（﹣2）＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2．（2分）若盈利2万元记作+2万元，则﹣3万元表示（ ）
A．盈利3万元B．亏损3万元
C．亏损2万元D．不盈利也不亏损
【考点】正数和负数．
【专题】实数；符号意识．
【答案】B
【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
【解答】解：若盈利2万元记作+2万元，则﹣3万元表示亏损3万元．
故选：B．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
3．（2分）如图，用剪刀沿直线将一片平整的长方形纸片剪掉一部分，发现剩下纸片的周长比原纸片的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线
C．过一点，有无数条直线D．直线最短
【考点】线段的性质：两点之间线段最短；直线的性质：两点确定一条直线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
【分析】根据两点之间，线段最短解答．
【解答】解：能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短．
故选：A．
【点评】本题主要考查了线段的性质，掌握两点之间，线段最短是关键．
4．（2分）下列各数中最小的是（ ）
A．﹣1B．0C．D．
【考点】有理数大小比较．
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】根据正数大于0，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小进行解答．
【解答】解：∵﹣1＜﹣＜0，
∴最小的是﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查的是有理数的大小比较，掌握正数大于0，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小是解题的关键．
5．（2分）下列说法正确的是（ ）
A．的系数是﹣2
B．22a3b的次数是6次
C．多项式6x2﹣3x+1是二次三项式
D．x2+x﹣1的常数项为1
【考点】多项式；单项式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】直接利用单项式的次数与系数、多项式的项数与次数确定方法分别分析得出答案．
【解答】解：A、﹣的系数是﹣，故此选项错误；
B、22a3b的次数项为4，故此选项错误；
C、6x2﹣3x+1是二次三项式，故此选项正确；
D、x2+x﹣1的常数项为﹣1，故此选项正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查了单项式和多项式，掌握相关定义是解题关键．
6．（2分）下列各图中所给的线段、射线、直线能相交的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】直线、射线、线段．
【专题】几何图形．
【答案】B
【分析】根据直线和射线、线段的延伸性即可判断．
【解答】解：能相交的图形是B．
故选：B．
【点评】本题考查了直线、射线、线段的性质、理解三线的延伸性是关键．
7．（2分）下列对代数式﹣a的描述，正确的是（ ）
A．b的相反数与a的差
B．b与a的差的倒数
C．a的相反数与b的差的倒数
D．b的倒数与a的差
【考点】代数式．
【专题】整式；符号意识．
【答案】D
【分析】利用数学语言表述代数式即可．
【解答】解：用数学语言叙述代数式﹣a为b的倒数与a的差．
故选：D．
【点评】此题考查了代数式．解决问题的关键是掌握用语言表达代数式的意义，一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序．具体说法没有统一规定，以简明而不引起误会为出发点．
8．（2分）若3x2ym与2xn﹣1y的和仍为一个单项式，则m2﹣n的值为（ ）
A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．3
【考点】合并同类项；单项式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】单项式3x2ym与2xn﹣1y的和仍是一个单项式，就是说它们是同类项，由同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）可得：m＝1，n﹣1＝2，解方程即可求得m和n的值，从而得出结果．
【解答】解：由题意知3x2ym与2xn﹣1y是同类项，
所以有n﹣1＝2，m＝1，
即n＝3，m＝1，
m2﹣n＝12﹣3＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了合并同类项，以及单项式，掌握合并同类项法则是解本题的关键．
9．（2分）如图，△OAB绕点O逆时针旋转88°得到△OCD，若∠AOB＝30°，则∠α的度数是（ ）
A．38°B．48°C．58°D．68°
【考点】旋转的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】C
【分析】先根据旋转的性质得到∠BOD＝88°，然后计算∠BOD﹣∠AOB即可．
【解答】解：∵△OAB绕点O逆时针旋转88°得到△OCD，
∴∠BOD＝88°，
∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝88°﹣30°＝58°，
即∠α的度数是58°．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
10．（2分）定义一种新运算：a⊗b＝a﹣2b．例如2⊗3＝2﹣2×3＝﹣4，则x⊗（﹣y）化简后的结果是（ ）
A．x+2yB．2x﹣yC．x﹣2yD．2x+y
【考点】有理数的混合运算．
【专题】计算题；新定义；实数；运算能力．
【答案】A
【分析】认真读懂题意，利用新定义计算．
【解答】解：x⊗（﹣y）＝x﹣2（﹣y）＝x+2y，
故选：A．
【点评】本题考查了有理数混合运算的新定义，解题的关键是读懂新定义，利用新定义计算．
11．（2分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．现有一个长方形的周长为30cm，这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm，就可以变成一个正方形，设长方形的宽为xcm，可列方程为（ ）
A．x﹣2＝（30﹣x）+1B．x﹣2＝（﹣x）+1
C．x+2＝（﹣x）﹣1D．x+2＝（30﹣x）﹣1
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程；数学常识．
【专题】常规题型；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】设长方形的宽为xcm，则长为（15﹣x）cm，根据题意，长减少1cm，宽增加2cm，就可以变成一个正方形，即长＝宽，据此列方程即可．
【解答】解：设长方形的宽为xcm，则长为（15﹣x）cm，
由题意得，x+2＝（15﹣x）﹣1．
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
12．（2分）如图，用尺规作出了∠NCB＝∠AOC，关于作图痕迹，下列说法错误的是（ ）
A．弧MD是以点O为圆心，任意长为半径的弧
B．弧NE是以点C为圆心，DO为半径的弧
C．弧FG是以点E为圆心，OD为半径的弧
D．弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧
【考点】作图—基本作图．
【专题】作图题；应用意识．
【答案】C
【分析】运用作一个角等于已知角的方法可得答案．
【解答】解：根据作一个角等于已知角可得弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧．故选项C错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的方法．
13．（2分）某商品进价为a元，商店将其价格提高30%作零售价销售，在销售旺季过后，商店又以8折（即售价的80%）优惠开展促销活动，这时一件商品的售价为（ ）
A．a元B．0.8a元C．0.92a元D．1.04a元
【考点】列代数式．
【答案】D
【分析】此题的等量关系：进价×（1+提高率）×打折数＝售价，代入计算即可．
【解答】解：根据题意商品的售价是：a（1+30%）×80%＝1.04a元．
故选：D．
【点评】考查了列代数式的知识，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的数量关系进行解题．有关销售问题中的提高30%，8折优惠等名词要理解透彻，正确应用．
14．（2分）已知a、b、c三个数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a+b＜0B．bc＞0C．﹣b＞aD．|c|＜|b|
【考点】数轴；绝对值．
【专题】数形结合；数据分析观念．
【答案】B
【分析】根据数轴得出c＜b＜0＜a，|c|＞|a|＞|b|，再逐个判断即可．
【解答】解：从数轴可知：数轴得出c＜b＜0＜a，|c|＞|a|＞|b|，
A、∵b＜0＜a，|a|＞|b|，∴a+b＞0，故本选项不符合题意；
B、∵c＜b＜0，bc＞0，故本选项符合题意；
C、∵b＜0＜a，|a|＞|b|，∴﹣b＜a，故本选项不符合题意；
D、|c|＞|b|，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了数轴和绝对值，能根据数轴得出正确的结论是解此题的关键．
15．（2分）已知∠AOB＝70°，作射线OC，使∠AOC等于30°，OD是∠BOC的平分线，那么∠BOD的度数是（ ）
A．100°B．100°或40°C．40°D．50°或20°
【考点】角的计算；角平分线的定义．
【专题】分类讨论；线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】分为两种情况：①当OC在∠AOB外部时，②当OC在∠AOB内部时，求出∠BOC，根据∠BOD＝∠BOC求出即可．
【解答】解：分为两种情况：
①当OC在∠AOB外部时，
∵∠AOB＝70°，∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝70°+30°＝100°，
∵OD是∠BOC的平分线，
∴∠BOD＝∠BOC＝50°，
②当OC在∠AOB内部时，
∵∠AOB＝70°，∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝70°﹣30°＝40°，
∵OD是∠BOC的平分线，
∴∠BOD＝∠BOC＝20°，
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线定义和角的有关计算，解此题的关键是求出符合条件的所有情况．
16．（2分）如图表示3×3的数表，数表每个位置所对应的数都是1，2或3．定义a*b为数表中第a行第b列的数，例如，数表第3行第1列所对应的数是2，所以3*1＝2．若2*3＝（2x+1）*2，则x的值为（ ）
A．1，2B．1，3C．0，2D．1，0
【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算．
【专题】规律型；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】首先根据题意，由2*3＝（2x+1）*2，可得：（2x+1）*2＝3，然后根据数表，可得：2x+1＝3或2x+1＝1，据此求出x的值为多少即可．
【解答】解：∵2*3＝（2x+1）*2，
∴（2x+1）*2＝3，
根据数表，可得：2x+1＝3或2x+1＝1，
解得：x＝1或x＝0．
故选：D．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
二、填空题（本大题有3个小题，共10分，17～18小题各3分；19小题有2个空，每空2分）
17．（3分）已知∠A与∠B互余，且∠A＝45°26'，则∠B＝ 44°34′ ．
【考点】余角和补角；度分秒的换算．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】44°34′．
【分析】根据余角的定义，用90°减去∠A的度数即可．
【解答】解：∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣45°26'＝44°34′．
故答案为：44°34′．
【点评】本题考查余角的定义和度分秒的换算，和为90°的两角互为余角．
18．（3分）有理数x，y满足|x﹣2|+（y+3）2＝0，则（x+y）2023的值为 ﹣1 ．
【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值．
【专题】整式；运算能力．
【答案】﹣1．
【分析】根据非负数的性质进行计算即可．
【解答】解：∵|x﹣2|+（y+3）2＝0，
∴x﹣2＝0，y+3＝0，
∴x＝2，y＝﹣3，
∴（x+y）2023＝（2﹣3）2023＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0，这几个数都为0是解题的关键．
19．（4分）如图，在长方形ABCD中，AB＝12cm，AD＝6cm．动点P从点A出发，沿线段AB，BC向点C运动，速度为3cm/s；动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，速度为1cm/s．点P，Q同时出发，任意一点到达点C时两点同时停止运动．设运动时间为t（s）．
（1）当点P在AB上运动时，BP＝ （12﹣3t）cm （用含t的式子表示）；
（2）当BP与BQ的和等于长方形周长的时，t＝ 或 ．
【考点】一元一次方程的应用；列代数式．
【专题】分类讨论；一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）（12﹣3t）cm；
（2）或
【分析】（1）由题意知，当点P在AB上运动时，AP＝3tcm，即得BP＝AB﹣AP＝（12﹣3t）cm；
（2）求出长方形周长为36cm，当点P在AB上运动时，12﹣3t+t＝36×，点P在BC上运动时，3t﹣12+t＝36×，解方程即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意知，当点P在AB上运动时，AP＝3tcm，
∴BP＝AB﹣AP＝（12﹣3t）cm，
故答案为：（12﹣3t）cm；
（2）∵AB＝12cm，AD＝6cm，
∴长方形周长为（12+6）×2＝36（cm），
当点P在AB上运动时，12﹣3t+t＝36×，
解得t＝，
点P在BC上运动时，3t﹣12+t＝36×，
解得t＝，
综上所述，当BP与BQ的和等于长方形周长的时，t为或，
故答案为：或．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是分类讨论思想的应用．
三、解答题（本大题有6个小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（10分）计算：
（1）﹣10﹣（﹣3）+（﹣5）；
（2）．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）﹣12；（2）9．
【分析】（1）利用有理数的加减法运算法则进行计算即可得解；
（2）根据乘法分配律进行计算即可得解．
【解答】解：（1）﹣10﹣（﹣3）+（﹣5）
＝﹣10+3﹣5
＝﹣12；
（2）
＝﹣1+×（﹣24）﹣×（﹣24）
＝﹣1﹣8+18
＝9．
【点评】本题考查了有理数的加减法和乘法，掌握相应的运算法则是关键．
21．（10分）已知关于x的方程x﹣2m＝3x+4与的解互为相反数，求m的值．
【考点】一元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣3．
【分析】先解方程得x＝﹣1，然后把x＝﹣1代入方程x﹣2m＝3x+4得到关于m的方程，最后解关于m的方程即可．
【解答】解：解方程得x＝﹣1，
∵关于x的方程x﹣2m＝3x+4与的解互为相反数，
∴把x＝1代入方程x﹣2m＝3x+4得1﹣2m＝3+4，
解得m＝﹣3．
【点评】本题考查了同解方程：如果第一个方程的解都是第二个方程的解，并且第二个方程的解也都是第一个方程的解，那么这两个方程叫做同解方程．
22．（8分）已知一个代数式与﹣2x2+x的和是﹣6x2+x+3．
（1）求这个代数式；
（2）当x＝﹣时，求这个代数式的值．
【考点】合并同类项．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）﹣4x2+3；（2）2．
【分析】（1）直接利用整式的加减运算法则计算得出答案；
（2）直接把x的值代入，进而得出答案．
【解答】解：（1）∵一个代数式与﹣2x2+x的和是﹣6x2+x+3，
∴这个代数式为：﹣6x2+x+3﹣（﹣2x2+x）
＝﹣6x2+x+3+2x2﹣x
＝﹣4x2+3；
（2）当x＝﹣时，
原式＝﹣4×（﹣）2+3
＝﹣1+3
＝2．
【点评】本题主要考查了整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是解题关键．
23．（8分）如图，已知线段AB＝12cm，点C为AB上一点且AC＝3cm，点P是BC的中点．
（1）求CP的长度；
（2）点D是直线AB上一点，且CD+BD＝11，请直接写出CD的长．
【考点】两点间的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）4.5cm；（2）1cm或10cm．
【分析】（1）由BC＝AB﹣AC得到BC长，由线段中点定义即可求解；
（2）点C可能在线段AC上，也可能在AB的延长线上，于是可以解决问题．
【解答】解：（1）∵P是BC的中点，
∴CP＝BC，
∵BC＝AB﹣AC＝12﹣3＝9cm，
∴CP＝×9＝4.5cm，
∴CP的长是4.5cm．
（2）①若D在线段AC上，
∵BD＝CD+BC，
∴CD+BD＝2CD+BC＝11cm，
∴CD＝×（11﹣9）＝1cm．
②若D在AB的延长线上，
∵CD＝BC+BD，
∴CD+BD＝BC+2BD＝11cm，
∴BD＝×（11﹣9）＝1cm，
∴CD＝BC+BD＝9+1＝10cm，
∴CD的长是1cm或10cm．
【点评】本题考查求线段的长，关键是分情况讨论．
24．（10分）某校要购买一批足球运动装备．市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，三套队服与四个足球的费用相等．
（1）求每套队服和每个足球的价格分别是多少元？
（2）该校计划购买100套队服和a（a＞10）个足球，下表是甲、乙两个商场的优惠方案：
①请用含a的代数式分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花费用；
②当a＝30时，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？说明理由．
【考点】代数式求值；列代数式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）每套队服和每个足球的价格分别是150元，200元；
（2）①甲商场的费用为（150a+18500）元，
乙商场所花费用为（105a+20000）元；
②到甲商场购买比较合算．
【分析】（1）根据题意列方程求解；
（2）①根据题意列代数式表示；
②把a＝30分别带入①中的代数式求值，再比较大小．
【解答】解：（1）设队服的价格为4x元，则足球的价格为3x元，
由题意得：4x﹣3x＝50，
解得：x＝50，
∴3x＝150，4x＝200，
答：每套队服和每个足球的价格分别是150元，200元；
（2）①甲商场的费用为：100×200+150（a﹣10）＝（150a+18500）元，
乙商场所花费用为：100×200+150a•0.7＝（105a+20000）元；
②当a＝30时，150a+18500＝23000（元），
105a+20000＝23150（元），
∵23000＜23150，
∴当a＝30时，到甲商场购买比较合算．
【点评】本题考查了列代数式，理解题意是解题的关键．
25．（12分）如图，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起．
（1）∠ACE ＝ ∠BCD（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）当∠DCE＝15°时，求∠ACB的度数；
（3）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；
（4）将三角板ACD绕点C逆时针旋转一周，请直接写出此时∠ACE为多少度时，∠ECD与∠ACB的大小是二倍关系．
【考点】角的大小比较；角的计算．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】（1）“＝”；（2）165°；（3）∠ACB+∠DCE＝180°，理由见解析；（4）30°或150°．
【分析】（1）由∠ACD＝∠ACE+∠DCE＝90°，∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°，可得∠ACE＝∠BCD；
（2）∠DCE＝15°，∠ACE+∠DCE＝90°，可得∠ACE的值，进而可求出∠ACB的度数；
（3）∠ACB+∠DCE＝180°；由∠ACE+∠DCE＝90°，∠BCD+∠DCE＝90°，∠ACB＝∠ACE+∠DCE+∠BCD，可证∠ACB+∠DCE＝180°；
（4）分类讨论，当2∠ECD＝∠ACB时，由∠ACB+∠DCE＝180°，可得∠ECD＝60°，进而可得∠ACE＝∠ACD﹣∠ECD＝90°﹣60°＝30°；当2∠ECD＝∠ACB时，∠ACD+∠ECD+∠BCE+∠ACB＝360°，可求得∠ACE＝∠ACD+∠ECD＝90°+60°＝150°．
【解答】解：（1）∵∠ACD＝∠ACE+∠DCE＝90°，∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
故答案为：“＝”；
（2）∵∠DCE＝15°，∠ACE+∠DCE＝90°，
∴∠ACE＝75°，
∴∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝75°+90°＝165°；
（3）∠ACB+∠DCE＝180°，理由如下：
∵∠ACE+∠DCE＝90°，∠BCD+∠DCE＝90°，
∴（∠ACE+∠DCE+∠BCD）+∠DCE＝180°，
∵∠ACB＝∠ACE+∠DCE+∠BCD，
∴∠ACB+∠DCE＝180°；
（4）①当2∠ECD＝∠ACB时，
∵∠ACB+∠DCE＝180°，2∠ECD＝∠ACB，
∴∠ECD＝60°，
∴∠ACE＝∠ACD﹣∠ECD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ACE为30°，∠ECD与∠ACB的大小是二倍关系；
②当∠ECD＝2∠ACB时，
∠ACD+∠ECD+∠BCE+∠ACB＝360°，
∵∠ACD＝∠BCE＝90°，
∴∠ECD+∠ACB＝180°，
∵∠ECD＝2∠ACB，
∴∠ECD＝60°，∠ACB＝120°，
∴∠ACE＝∠ACD+∠ECD＝90°+60°＝150°，
∴∠ACE为150°，∠ECD与∠ACB的大小是二倍关系；
综上所述，当∠ACE为30°或150°时，∠ECD与∠ACB的大小是二倍关系．
【点评】本题考查了角的计算，熟练掌握角平分线的定义以及角的相关计算是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
声明：试
商场名称
优惠办法
甲
每购买十套队服，送一个足球
乙
若购买队服超过90套，则购买足球打七折；否则按原价出售
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