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2022-2023学年河北省石家庄四十一中七年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年河北省石家庄四十一中七年级（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列是二元一次方程的是( )
A. 2x=3B. 2x2=y−1C. y+1x=−5D. x−6y=0
2.2023年2月，记者从国家知识产权局获悉，2022年我国发明专利有效量达4212000件，数据4212000用科学记数法表示为( )
A. 4.212×106B. 4.212×103C. 4212×103D. 0.4212×107
3.如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=72°，那么∠BOD的度数等于( )
A. 30°B. 36°C. 20°D. 40°
4.下列计算正确的是( )
A. a2⋅a5=a10B. a5÷a2=a3
C. (3a3)2=6a6D. (a+1)2=a2+1
5.下列选项中，可以用来说明命题“若|a|>2，则a>2”是假命题的反例是( )
A. a=−1B. a=−2C. a=−3D. a=3
6.已知x=−3y=2是方程2x+ky=4的一组解，则k的值是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
7.如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到对应的△A′B′C′.若B′C=4cm，则BC′的长是( )
A. 6cm
B. 7cm
C. 8cm
D. 10cm
8.42023×(−0.25)2022的值为( )
A. −4B. −0.25C. 0.25D. 4
9.如图，AB⊥BC，AB=6，点D是射线BC上的一个动点，则线段AD的长度不可能是( )
A. 5.5
B. 6
C. 8
D. 15
10.下列图形中，∠1和∠2是同位角的是( )
A. B. C. D.
11.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图甲)，把余下的部分拼成一个矩形(如图乙)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式( )
A. (a+b)2=a2+2ab+b2B. (a−b)2=a2−2ab+b2
C. (a+b)(a−b)=a2−b2D. (a+b)(a−2b)=a2−ab−2b2
12.下列命题中，正确的有( )
(1)内错角相等；
(2)对顶角相等；
(3)过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
(4)两直线平行，同旁内角相等；
(5)点到直线的垂线段叫做点到直线的距离．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
13.用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有36张白铁皮，设用x张制盒身，y张制盒底，恰好配套制成罐头盒．则下列方程组中符合题意的是( )
A. x+y=36y=2xB. x+y=3625x=2×40y
C. x+y=3625x=40y2D. x+y=362x25=y40
14.若x−y=5，xy=−4，则x2+y2的值为( )
A. 21B. 29C. 17D. 33
15.数学课上，老师要求同学们利用三角板画出两条平行线，老师展示了甲、乙两位同学的画法如下：
甲的画法：
乙的画法：
请你判断两人的作图的正确性( )
A. 甲正确，乙错误B. 甲错误，乙正确C. 两人都正确D. 两人都错误
16.如图，把一张长方形纸片沿AB折叠，若∠1=52°，则∠2的度数为( )
A. 52°
B. 128°
C. 66°
D. 76°
二、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。
17.比较大小：(−3)0 ______3−2．
18.已知方程组2x+y=4x+2y=5，则x+y的值为______．
19.将一个三角板如图所示摆放，直线MN与直线GH相交于点P，∠MPH=45°，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，且0≤t≤150，当t= ______时，MN与三角板的边平行．
三、解答题：本题共7小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题15分)
计算：
(1)4x⋅3xy；
(2)(3x+1)(x+2)；
(3)解方程组：2x−y=15x+2y=5．
21.(本小题8分)
先化简，再求值：x(x−2)+(x+1)2，其中x=−3．
22.(本小题10分)
如图，EF//AD，∠DGA+∠BAC=180°，说明：∠1=∠2，请将说明过程填写完整．
解：∵EF//AD，(已知)
∴∠2= ______.(______)
∴∠DGA+∠BAC=180°.(已知)
∴ ______// ______.(______)
∴∠1=∠3．
∴∠1=∠2.(______)
23.(本小题6分)
请同学们观察以下三个算式，并结合这些算式，回答下列问题：
32−1=8×1
53−32=8×2
72−52=8×3
(1)请你再写出另外两个符合上述规律的算式：______；______；
(2)观察上述算式，我们发现：如果设两个连续的奇数分别为2n−1和2n+1(其中n为正整数)，则它们的平方差是8的倍数；请用含n的式子说明上述规律的正确性．
24.(本小题10分)
如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB．
(1)若∠1=40°，求∠BOD的度数；
(2)如果∠1=∠2，请判断ON与CD的位置关系，并说明理由．
25.(本小题10分)
已知某景点的门票价格如表：
某校八年级(一)、(二)两个班共102人去游览该景点，其中(二)班人数多于(一)班人数，且(一)班人数不少于(二)班人数的一半，如果两个班以班为单位各自购票，那么两个班要支付的总费用为1118元．
(1)请通过列二元一次方程组的方法，分别求两个班的学生人数；
(2)如果两个班合在一起统一购票，试问此时两个班需要支付的总费用将比以班为单位各自购票的方式节约多少呢？
26.(本小题10分)
已知AB//CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P，满足0°<∠EPF<180°．
(1)如图1，当P点在EF的左侧时，若∠AEP=20°，∠PFC=30°，则∠EPF= ______；
(2)如图2，当P点在EF的右侧时，猜想∠AEP，∠EPF，∠PFC满足的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，点P在EF左侧，且∠EPF=100°，∠PEB和∠PFD的角平分线QE，QF交于点Q，∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q1，∠BEQ1与∠DFQ1的角平分线交于点Q2，∠BEQ2与∠DFQ2的角平分线交于点Q3；以此类推，请直接写出∠EQ2023F的度数．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.2x=3，是一元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B.2x2=y−1，是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
C.y+1x=−5，是分式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
D.x−6y=0，是二元一次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．根据二元一次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
2.【答案】A
【解析】解：4212000=4.212×106，
故选：A．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】B
【解析】解：∵OA平分∠EOC，∠EOC=72°，
∴∠AOC=12∠EOC=12×72°=36°，
∴∠BOD=∠AOC=36°．
故选：B．
根据角平分线的定义可得∠AOC=12∠EOC，然后根据对顶角相等解答即可．
本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：A、a2⋅a5=a7，故原计算错误，不符合题意；
B、a5÷a2=a3，原计算正确，符合题意；
C、3a3)2=9a6，故原计算错误，不符合题意；
D、(a+1)2=a2+2a+1，故原计算错误，不符合题意；
故选：B．
根据整式的运算法则逐项分析判断即可．
本题考查了整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：当a=−3时，|a|>2，而a<2，
说明命题“若|a|>2，则a>2”是假命题，
故选：C．
根据绝对值的性质、有理数的大小比较法则解答即可．
本题考查的是假命题的证明，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
6.【答案】D
【解析】解：把x=−3y=2代入方程2x+ky=4得，−6+2k=4，
解得k=5．
故选：D．
把x=−3y=2直接代入方程2x+ky=4后解之即可．
本题考查二元一次方程的解，解题关键是将方程的解代入原方程得到关于参数的新方程．
7.【答案】C
【解析】解：∵△ABC沿BC方向平移2cm得到△A′B′C′，
∴BB′=CC′=2cm，
∵B′C=4cm，
∴BC′=BB′+B′C+CC′=2+4+2=8(cm)．
故选：C．
根据平移的性质可得BB′=CC′=2，列式计算即可得解．
本题考查了平移的性质，熟记性质得到相等的线段是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：42023×(−0.25)2022
=42022×(−0.25)2022×4
=[4×(−0.25)]2022×4
=(−1)2022×4
=1×4
=4，
故选：D．
积的乘方，等于积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，运用其逆运算进行简便计算即可．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，灵活运用积的乘方法则是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：AB⊥BC，AB=6，点D是射线BC上的一个动点，由垂线段的性质：垂线段最短．得到线段AD的长度不可能是5.5．
故选：A．
由垂线段的性质：垂线段最短，即可判断．
本题考查垂线的性质，关键是掌握：垂线段最短．
10.【答案】A
【解析】解：A选项中∠1和∠2是同位角，
故选：A．
根据同位角的概念求解即可．
本题主要考查同位角，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角．
11.【答案】C
【解析】解：由图形可得，
第一个图形得到：S=a2−b2，
第二个图形得到：S=(a+b)(a−b)，
∴a2−b2=(a+b)(a−b)，
故选：C．
根据图像和题意，结合平方差公式的特征进行判断．
此题考查了平方差公式与几何图形，正确理解并计算两个阴影部分的面积是解题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：(1)根据平行线的性质得：两条直线平行时，内错角相等；
∴(1)中的命题是假命题；
(2)根据对顶角的性质得：对顶角相等，
∴(2)中的命题是真命题；
(3)根据平行线的性质得：过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
∴(3)中的命题是真命题；
(4)根据平行线的性质得：两直线平行，同旁内角互补，
∴(4)中的命题是假命题；
(5)根据点到直线距离的定义得：点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．
∴(5)中的命题是假命题；
综上所述：真命题是(2)(3)共两个．
故选：B．
(1)根据平行线的性质可对其进行判断；
(2)根据对顶角的性质可对其进行判断；
(3)根据平行线的性质可对其进行判断；
(4)根据平行线的性质可对其进行判断；
(5)根据点到直线距离的定义可对其进行判断，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了平行线的性质，点到直线的距离，对顶角的性质，熟练掌握平行线的性质，点到直线的距离，对顶角的性质是解决问题的关键．
13.【答案】C
【解析】解：设用x张制作盒身，y张制作盒底，
根据题意得x+y=3625x=40y2．
故选：C．
根据本题中的相等关系(1)盒身的个数×2=盒底的个数；(2)制作盒身的白铁皮张数+制作盒底的白铁皮张数=36，列方程组即可．
此题考查二元一次方程组问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系：“一个盒身与两个盒底配成一套盒”．
14.【答案】C
【解析】解：因为x−y=5，xy=−4，
所以x2+y2
=(x−y)2+2xy
=52+2×(−4)
=17．
故选：C．
将x2+y2变形为(x−y)2+2xy，然后将x−y=5，xy=−4代入求解即可．
本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式进行运算是关键．
15.【答案】C
【解析】解：对于甲的画法：通过平移含30°角的三角尺得到同位角相等，则可判断b//a，所以甲的作图正确；
对于乙的画法：利用画法得到内错角相等，则可判断b//a，所以乙的作图正确．
故选：C．
根据平移的性质，利用同位角相等两直线平行可对甲的画法的正确性进行判断；利用内错角相等两直线平行可对乙的画法的正确性进行判断．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定与平移的性质．
16.【答案】D
【解析】解：如图，
∵AD//BC，∠1=52°，
∴∠3=∠1=52°，∠4=180°−∠1=128°，
又由折叠可得∠4=∠3+∠2，
∴∠2=∠4−∠3=128°−52°=76°，
故选：D．
如图，由平行线的性质可求得∠3，∠4，由折叠的性质可知∠4=∠3+∠2，可求得∠2．
本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
17.【答案】>
【解析】解：(−3)0=1，3−2=19，
∵1>19，
∴(−3)0>3−2．
故答案为：>．
首先根据零指数幂、负整数指数幂的运算方法，分别求出(−3)0、3−2的值，然后根据有理数大小比较的方法判断即可．
此题主要考查了零指数幂、负整数指数幂的运算，解答此题的关键是要明确：(1)①a0=1(a≠0)；②00≠1.(2)①(am)n=amn(m,n是正整数)；②(ab)n=anbn(n是正整数)．
18.【答案】3
【解析】解：2x+y=4 ①x+2y=5 ②，
①+②得：3x+3y=3(x+y)=9，
则x+y=3．
故答案为：3．
方程组两方程相加，即可求出x+y的值．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
19.【答案】15秒或105秒或135秒
【解析】解：当BC//MN时，如图：
延长CB交GH于Q．
∴∠AQB=∠MPH=45，
∵∠ABC=∠BAQ+∠AQB，
∴60°=45°+∠BAQ，
∴∠BAQ=15°，
∴t=15÷1=15(秒)．
当AC′//MN时(△ABC转到△AB′C′)，如图：
∴∠PAC′=∠MPH=45°，
∴∠C′AB=180°−∠PAC′=135°，
∴∠C′AC=∠C′AB−∠CAB=105°，
∴t=105÷1=105(秒)．
当AB//MN时(△ABC转到△AB′C′)，如图：
∴∠PAB′=∠MPH=45°，
∴∠B′AB=180°−∠PAB′=135°，
∴t=135÷1=135(秒)．
故答案为：15秒或105秒或135秒．
分三种情况讨论：当BC//MN时，当AC′//MN时(△ABC转到△AB′C′)时，当AB//MN(△ABC转到△AB′C′)时，画图计算即可．
本题考查了平行线的性质，利用平行线的性质是解题关键．
20.【答案】解：(1)4x⋅3xy=12x2y；
(2)(3x+1)(x+2)
=3x(x+2)+(x+2)
=3x2+6x+x+2
=3x2+7x+2；
(3)2x−y=15①x+2y=5②，
①×2+②得：5x=35，解得x=7，
将x=7代入②得：7+2y=5，解得y=−1，
∴方程组的解为x=7y=−1．
【解析】(1)根据单项式乘单项式运算法则运算即可；
(2)根据多项式乘多项式运算法则运算即可；
(3)用加减消元法解方程组即可．
本题考查了整式的运算和二元一次方程组的解法，熟练掌握相关运算法则是关键．
21.【答案】解：x(x+2)+(x+1)2
=x2+2x+x2+2x+1
=2x2+4x+1，
当x=−3时，原式=2×(−3)2+4×(−3)+1=7．
【解析】根据单项式乘多项式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将x的值代入化简后的式子计算即可．
此题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22.【答案】∠3 两直线平行，同位角相等 DG AB 两直线平行，内错角相等 等量代换
【解析】解：∵EF//AD(已知)，
∴∠2=∠3(两直线平行，同位角相等)，
∵∠DGA+∠BAC=180°(已知)，
∴DG//AB(同旁内角互补，两直线平行)，
∴∠1=∠3(两直线平行，内错角相等)，
∴∠1=∠2(等量代换)，
故答案为：∠3；两直线平行，同位角相等；DG，AB；两直线平行，内错角相等；等量代换．
根据平行线的判定与性质定理求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
23.【答案】92−72=8×4 112−92=8×5
【解析】解：(1)92−72=8×4，112−92=8×5；
故答案为：92−72=8×4；112−92=8×5；(答案不唯一)
(2)验证规律：设两个连续奇数为2n+1，2n−1(其中n为正整数)，则它们的平方差是8的倍数；
(2n+1)2−(2n−1)2
=(2n+1−2n+1)(2n+1+2n−1)
=2×4n
=8n，
故两个连续奇数的平方差是8的倍数．
(1)根据已知算式写出符合题意的答案；
(2)利用平方差公式计算得出答案；
此题主要考查了规律型：数字的变化类，平方差公式的应用，正确发现数字变化规律是解题关键．
24.【答案】解：(1)∵OM⊥AB，
∴∠AOM=90°，
∴∠1+∠AOC=90°，
∵∠1=40°，
∴∠AOC=90°−40°=50°，
∵∠BOD=∠AOC，
∴∠BOD=50°；
(2)ON⊥CD，理由如下：
由(1)知：∠1+∠AOC=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠2+∠AOC=90°，即∠CON=90°，
∴ON⊥CD．
【解析】(1)直接利用垂线的定义结合对顶角的定义得出答案；
(2)根据等量代换可知∠CON=90°，从而得结论．
此题主要考查了垂线，对顶角，正确把握垂线的定义是解题关键．
25.【答案】解：(1)设八年级(一)班有x名学生，八年级(二)班有y名学生，
根据题意得：x+y=10212x+10y=1118，
解得：x=49y=53．
答：八年级(一)班有49名学生，八年级(二)班有53名学生；
(2)根据题意得：1118−8×102
=1118−816
=302(元)．
答：如果两个班合在一起统一购票，比以班为单位各自购票的方式节约302元钱．
【解析】(1)设八年级(一)班有x名学生，八年级(二)班有y名学生，根据“八年级(一)、(二)两个班共102人去游览该景点，且两个班以班为单位各自购票，要支付的总费用为1118元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)利用节约的钱数=两个班以班为单位各自购票所需总费用−8×两个班的人数之和，即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
26.【答案】50°
【解析】解：(1)过点P作PM//AB，如图1所示：
∵AB//CD，
∴AB//PM//CD，
∴∠EPM=∠AEP，∠FPM=∠PFC，
∴∠EPM+∠FPM=∠AEP+∠PFC，
即∠EPF=∠AEP+∠PFC，
∵∠AEP=20°，∠PFC=30°，
∴∠EPF=∠AEP+∠PFC=50°，
故答案为：50°．
(2)∠AEP，∠EPF，∠PFC满足的数量关系是：∠AEP+∠PFC+∠EPF=360°，理由如下：
过点P作PN//AB，如图2所示：
∵AB//CD，
∴AB//PN//CD，
∴∠AEP+∠EPN=180°，∠PFC+∠FPN=180°，
∴∠AEP+∠EPN+∠PFC+∠FPN=360°，
∵∠EPN+∠FPN=∠EPF
∴∠AEP+∠PFC+∠EPF=360°．
(3)由(2)可知：∠EPF+∠BEP+∠DFP=360°，
∵∠EPF=100°，
∴∠BEP+∠DFP=360°−∠EPF=260°，
∵EQ，FQ分别平分∠PEB，∠PFD，
∴∠BEQ+∠DFQ=12(∠BEP+∠DFP)=130°，
由(1)可知：∠EQF=∠BEQ+∠DFQ=130°，
∵EQ1，FQ1分别平分∠BEQ，∠DFQ，
∴∠BEQ1+DFQ1=12(∠BEQ+∠DFQ)=12×130°，
∴EQ1F=∠BEQ1+DFQ1=12×130°，
同理：∠EQ2F=122×130°，
…，以此类推：∠EQnF=12n×130°，
∴∠EQ2023F=122023×130°．
(1)过点P作PM//AB，证AB//PM//CD，则∠EPM=∠AEP，∠FPM=∠PFC，从而得∠EPF=∠AEP+∠PFC，再根据∠AEP=20°，∠PFC=30°可得∠EPF的度数；
(2)过点P作PN//AB，证AB//PN//CD，则∠AEP+∠EPN=180°，∠PFC+∠FPN=180°，从而得∠AEP+∠EPN+∠PFC+∠FPN=360°，由此可得∠AEP，∠EPF，∠PFC满足的数量关系；
(3)由(2)可知∠EPF+∠BEP+∠DFP=360°，由∠EPF=100°得∠BEP+∠DFP=260°，由角平分线定义得∠BEQ+∠DFQ=12(∠BEP+∠DFP)=130°，由(1)得∠EQF=∠BEQ+∠DFQ=130°，再由角平分线定义得∠BEQ1+DFQ1=12(∠BEQ+∠DFQ)=12×130°，则EQ1F=∠BEQ1+DFQ1=12×130°，同理：∠EQ2F=122×130°，…，以此类推：∠EQnF=12n×130°，据此可得∠EQ2023F的度数．
此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，理解题意，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义是解决问题的关键．①将含30°角的三角尺的最长边与直线a重合，另一块三角尺最长边与含30°角的三角尺的最短边紧贴；
②将含30°角的三角尺沿贴合边平移一段距离，画出最长边所在直线b，则b//a．
①将含30°角三角尺的最长边与直线a重合，用虚线作出一条最短边所在直线；
②再次将含30°角三角尺最短边与虚线重合，画出最长边所在直线b，则b//a．
购票人数/人
1～50
51～100
100以上
每张门票价/元
12
10
8
1.下列是二元一次方程的是( )
A. 2x=3B. 2x2=y−1C. y+1x=−5D. x−6y=0
2.2023年2月，记者从国家知识产权局获悉，2022年我国发明专利有效量达4212000件，数据4212000用科学记数法表示为( )
A. 4.212×106B. 4.212×103C. 4212×103D. 0.4212×107
3.如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=72°，那么∠BOD的度数等于( )
A. 30°B. 36°C. 20°D. 40°
4.下列计算正确的是( )
A. a2⋅a5=a10B. a5÷a2=a3
C. (3a3)2=6a6D. (a+1)2=a2+1
5.下列选项中，可以用来说明命题“若|a|>2，则a>2”是假命题的反例是( )
A. a=−1B. a=−2C. a=−3D. a=3
6.已知x=−3y=2是方程2x+ky=4的一组解，则k的值是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
7.如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到对应的△A′B′C′.若B′C=4cm，则BC′的长是( )
A. 6cm
B. 7cm
C. 8cm
D. 10cm
8.42023×(−0.25)2022的值为( )
A. −4B. −0.25C. 0.25D. 4
9.如图，AB⊥BC，AB=6，点D是射线BC上的一个动点，则线段AD的长度不可能是( )
A. 5.5
B. 6
C. 8
D. 15
10.下列图形中，∠1和∠2是同位角的是( )
A. B. C. D.
11.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图甲)，把余下的部分拼成一个矩形(如图乙)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式( )
A. (a+b)2=a2+2ab+b2B. (a−b)2=a2−2ab+b2
C. (a+b)(a−b)=a2−b2D. (a+b)(a−2b)=a2−ab−2b2
12.下列命题中，正确的有( )
(1)内错角相等；
(2)对顶角相等；
(3)过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
(4)两直线平行，同旁内角相等；
(5)点到直线的垂线段叫做点到直线的距离．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
13.用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有36张白铁皮，设用x张制盒身，y张制盒底，恰好配套制成罐头盒．则下列方程组中符合题意的是( )
A. x+y=36y=2xB. x+y=3625x=2×40y
C. x+y=3625x=40y2D. x+y=362x25=y40
14.若x−y=5，xy=−4，则x2+y2的值为( )
A. 21B. 29C. 17D. 33
15.数学课上，老师要求同学们利用三角板画出两条平行线，老师展示了甲、乙两位同学的画法如下：
甲的画法：
乙的画法：
请你判断两人的作图的正确性( )
A. 甲正确，乙错误B. 甲错误，乙正确C. 两人都正确D. 两人都错误
16.如图，把一张长方形纸片沿AB折叠，若∠1=52°，则∠2的度数为( )
A. 52°
B. 128°
C. 66°
D. 76°
二、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。
17.比较大小：(−3)0 ______3−2．
18.已知方程组2x+y=4x+2y=5，则x+y的值为______．
19.将一个三角板如图所示摆放，直线MN与直线GH相交于点P，∠MPH=45°，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，且0≤t≤150，当t= ______时，MN与三角板的边平行．
三、解答题：本题共7小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题15分)
计算：
(1)4x⋅3xy；
(2)(3x+1)(x+2)；
(3)解方程组：2x−y=15x+2y=5．
21.(本小题8分)
先化简，再求值：x(x−2)+(x+1)2，其中x=−3．
22.(本小题10分)
如图，EF//AD，∠DGA+∠BAC=180°，说明：∠1=∠2，请将说明过程填写完整．
解：∵EF//AD，(已知)
∴∠2= ______.(______)
∴∠DGA+∠BAC=180°.(已知)
∴ ______// ______.(______)
∴∠1=∠3．
∴∠1=∠2.(______)
23.(本小题6分)
请同学们观察以下三个算式，并结合这些算式，回答下列问题：
32−1=8×1
53−32=8×2
72−52=8×3
(1)请你再写出另外两个符合上述规律的算式：______；______；
(2)观察上述算式，我们发现：如果设两个连续的奇数分别为2n−1和2n+1(其中n为正整数)，则它们的平方差是8的倍数；请用含n的式子说明上述规律的正确性．
24.(本小题10分)
如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB．
(1)若∠1=40°，求∠BOD的度数；
(2)如果∠1=∠2，请判断ON与CD的位置关系，并说明理由．
25.(本小题10分)
已知某景点的门票价格如表：
某校八年级(一)、(二)两个班共102人去游览该景点，其中(二)班人数多于(一)班人数，且(一)班人数不少于(二)班人数的一半，如果两个班以班为单位各自购票，那么两个班要支付的总费用为1118元．
(1)请通过列二元一次方程组的方法，分别求两个班的学生人数；
(2)如果两个班合在一起统一购票，试问此时两个班需要支付的总费用将比以班为单位各自购票的方式节约多少呢？
26.(本小题10分)
已知AB//CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P，满足0°<∠EPF<180°．
(1)如图1，当P点在EF的左侧时，若∠AEP=20°，∠PFC=30°，则∠EPF= ______；
(2)如图2，当P点在EF的右侧时，猜想∠AEP，∠EPF，∠PFC满足的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，点P在EF左侧，且∠EPF=100°，∠PEB和∠PFD的角平分线QE，QF交于点Q，∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q1，∠BEQ1与∠DFQ1的角平分线交于点Q2，∠BEQ2与∠DFQ2的角平分线交于点Q3；以此类推，请直接写出∠EQ2023F的度数．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.2x=3，是一元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B.2x2=y−1，是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
C.y+1x=−5，是分式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
D.x−6y=0，是二元一次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．根据二元一次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
2.【答案】A
【解析】解：4212000=4.212×106，
故选：A．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】B
【解析】解：∵OA平分∠EOC，∠EOC=72°，
∴∠AOC=12∠EOC=12×72°=36°，
∴∠BOD=∠AOC=36°．
故选：B．
根据角平分线的定义可得∠AOC=12∠EOC，然后根据对顶角相等解答即可．
本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：A、a2⋅a5=a7，故原计算错误，不符合题意；
B、a5÷a2=a3，原计算正确，符合题意；
C、3a3)2=9a6，故原计算错误，不符合题意；
D、(a+1)2=a2+2a+1，故原计算错误，不符合题意；
故选：B．
根据整式的运算法则逐项分析判断即可．
本题考查了整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：当a=−3时，|a|>2，而a<2，
说明命题“若|a|>2，则a>2”是假命题，
故选：C．
根据绝对值的性质、有理数的大小比较法则解答即可．
本题考查的是假命题的证明，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
6.【答案】D
【解析】解：把x=−3y=2代入方程2x+ky=4得，−6+2k=4，
解得k=5．
故选：D．
把x=−3y=2直接代入方程2x+ky=4后解之即可．
本题考查二元一次方程的解，解题关键是将方程的解代入原方程得到关于参数的新方程．
7.【答案】C
【解析】解：∵△ABC沿BC方向平移2cm得到△A′B′C′，
∴BB′=CC′=2cm，
∵B′C=4cm，
∴BC′=BB′+B′C+CC′=2+4+2=8(cm)．
故选：C．
根据平移的性质可得BB′=CC′=2，列式计算即可得解．
本题考查了平移的性质，熟记性质得到相等的线段是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：42023×(−0.25)2022
=42022×(−0.25)2022×4
=[4×(−0.25)]2022×4
=(−1)2022×4
=1×4
=4，
故选：D．
积的乘方，等于积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，运用其逆运算进行简便计算即可．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，灵活运用积的乘方法则是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：AB⊥BC，AB=6，点D是射线BC上的一个动点，由垂线段的性质：垂线段最短．得到线段AD的长度不可能是5.5．
故选：A．
由垂线段的性质：垂线段最短，即可判断．
本题考查垂线的性质，关键是掌握：垂线段最短．
10.【答案】A
【解析】解：A选项中∠1和∠2是同位角，
故选：A．
根据同位角的概念求解即可．
本题主要考查同位角，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角．
11.【答案】C
【解析】解：由图形可得，
第一个图形得到：S=a2−b2，
第二个图形得到：S=(a+b)(a−b)，
∴a2−b2=(a+b)(a−b)，
故选：C．
根据图像和题意，结合平方差公式的特征进行判断．
此题考查了平方差公式与几何图形，正确理解并计算两个阴影部分的面积是解题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：(1)根据平行线的性质得：两条直线平行时，内错角相等；
∴(1)中的命题是假命题；
(2)根据对顶角的性质得：对顶角相等，
∴(2)中的命题是真命题；
(3)根据平行线的性质得：过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
∴(3)中的命题是真命题；
(4)根据平行线的性质得：两直线平行，同旁内角互补，
∴(4)中的命题是假命题；
(5)根据点到直线距离的定义得：点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．
∴(5)中的命题是假命题；
综上所述：真命题是(2)(3)共两个．
故选：B．
(1)根据平行线的性质可对其进行判断；
(2)根据对顶角的性质可对其进行判断；
(3)根据平行线的性质可对其进行判断；
(4)根据平行线的性质可对其进行判断；
(5)根据点到直线距离的定义可对其进行判断，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了平行线的性质，点到直线的距离，对顶角的性质，熟练掌握平行线的性质，点到直线的距离，对顶角的性质是解决问题的关键．
13.【答案】C
【解析】解：设用x张制作盒身，y张制作盒底，
根据题意得x+y=3625x=40y2．
故选：C．
根据本题中的相等关系(1)盒身的个数×2=盒底的个数；(2)制作盒身的白铁皮张数+制作盒底的白铁皮张数=36，列方程组即可．
此题考查二元一次方程组问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系：“一个盒身与两个盒底配成一套盒”．
14.【答案】C
【解析】解：因为x−y=5，xy=−4，
所以x2+y2
=(x−y)2+2xy
=52+2×(−4)
=17．
故选：C．
将x2+y2变形为(x−y)2+2xy，然后将x−y=5，xy=−4代入求解即可．
本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式进行运算是关键．
15.【答案】C
【解析】解：对于甲的画法：通过平移含30°角的三角尺得到同位角相等，则可判断b//a，所以甲的作图正确；
对于乙的画法：利用画法得到内错角相等，则可判断b//a，所以乙的作图正确．
故选：C．
根据平移的性质，利用同位角相等两直线平行可对甲的画法的正确性进行判断；利用内错角相等两直线平行可对乙的画法的正确性进行判断．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定与平移的性质．
16.【答案】D
【解析】解：如图，
∵AD//BC，∠1=52°，
∴∠3=∠1=52°，∠4=180°−∠1=128°，
又由折叠可得∠4=∠3+∠2，
∴∠2=∠4−∠3=128°−52°=76°，
故选：D．
如图，由平行线的性质可求得∠3，∠4，由折叠的性质可知∠4=∠3+∠2，可求得∠2．
本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
17.【答案】>
【解析】解：(−3)0=1，3−2=19，
∵1>19，
∴(−3)0>3−2．
故答案为：>．
首先根据零指数幂、负整数指数幂的运算方法，分别求出(−3)0、3−2的值，然后根据有理数大小比较的方法判断即可．
此题主要考查了零指数幂、负整数指数幂的运算，解答此题的关键是要明确：(1)①a0=1(a≠0)；②00≠1.(2)①(am)n=amn(m,n是正整数)；②(ab)n=anbn(n是正整数)．
18.【答案】3
【解析】解：2x+y=4 ①x+2y=5 ②，
①+②得：3x+3y=3(x+y)=9，
则x+y=3．
故答案为：3．
方程组两方程相加，即可求出x+y的值．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
19.【答案】15秒或105秒或135秒
【解析】解：当BC//MN时，如图：
延长CB交GH于Q．
∴∠AQB=∠MPH=45，
∵∠ABC=∠BAQ+∠AQB，
∴60°=45°+∠BAQ，
∴∠BAQ=15°，
∴t=15÷1=15(秒)．
当AC′//MN时(△ABC转到△AB′C′)，如图：
∴∠PAC′=∠MPH=45°，
∴∠C′AB=180°−∠PAC′=135°，
∴∠C′AC=∠C′AB−∠CAB=105°，
∴t=105÷1=105(秒)．
当AB//MN时(△ABC转到△AB′C′)，如图：
∴∠PAB′=∠MPH=45°，
∴∠B′AB=180°−∠PAB′=135°，
∴t=135÷1=135(秒)．
故答案为：15秒或105秒或135秒．
分三种情况讨论：当BC//MN时，当AC′//MN时(△ABC转到△AB′C′)时，当AB//MN(△ABC转到△AB′C′)时，画图计算即可．
本题考查了平行线的性质，利用平行线的性质是解题关键．
20.【答案】解：(1)4x⋅3xy=12x2y；
(2)(3x+1)(x+2)
=3x(x+2)+(x+2)
=3x2+6x+x+2
=3x2+7x+2；
(3)2x−y=15①x+2y=5②，
①×2+②得：5x=35，解得x=7，
将x=7代入②得：7+2y=5，解得y=−1，
∴方程组的解为x=7y=−1．
【解析】(1)根据单项式乘单项式运算法则运算即可；
(2)根据多项式乘多项式运算法则运算即可；
(3)用加减消元法解方程组即可．
本题考查了整式的运算和二元一次方程组的解法，熟练掌握相关运算法则是关键．
21.【答案】解：x(x+2)+(x+1)2
=x2+2x+x2+2x+1
=2x2+4x+1，
当x=−3时，原式=2×(−3)2+4×(−3)+1=7．
【解析】根据单项式乘多项式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将x的值代入化简后的式子计算即可．
此题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22.【答案】∠3 两直线平行，同位角相等 DG AB 两直线平行，内错角相等 等量代换
【解析】解：∵EF//AD(已知)，
∴∠2=∠3(两直线平行，同位角相等)，
∵∠DGA+∠BAC=180°(已知)，
∴DG//AB(同旁内角互补，两直线平行)，
∴∠1=∠3(两直线平行，内错角相等)，
∴∠1=∠2(等量代换)，
故答案为：∠3；两直线平行，同位角相等；DG，AB；两直线平行，内错角相等；等量代换．
根据平行线的判定与性质定理求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
23.【答案】92−72=8×4 112−92=8×5
【解析】解：(1)92−72=8×4，112−92=8×5；
故答案为：92−72=8×4；112−92=8×5；(答案不唯一)
(2)验证规律：设两个连续奇数为2n+1，2n−1(其中n为正整数)，则它们的平方差是8的倍数；
(2n+1)2−(2n−1)2
=(2n+1−2n+1)(2n+1+2n−1)
=2×4n
=8n，
故两个连续奇数的平方差是8的倍数．
(1)根据已知算式写出符合题意的答案；
(2)利用平方差公式计算得出答案；
此题主要考查了规律型：数字的变化类，平方差公式的应用，正确发现数字变化规律是解题关键．
24.【答案】解：(1)∵OM⊥AB，
∴∠AOM=90°，
∴∠1+∠AOC=90°，
∵∠1=40°，
∴∠AOC=90°−40°=50°，
∵∠BOD=∠AOC，
∴∠BOD=50°；
(2)ON⊥CD，理由如下：
由(1)知：∠1+∠AOC=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠2+∠AOC=90°，即∠CON=90°，
∴ON⊥CD．
【解析】(1)直接利用垂线的定义结合对顶角的定义得出答案；
(2)根据等量代换可知∠CON=90°，从而得结论．
此题主要考查了垂线，对顶角，正确把握垂线的定义是解题关键．
25.【答案】解：(1)设八年级(一)班有x名学生，八年级(二)班有y名学生，
根据题意得：x+y=10212x+10y=1118，
解得：x=49y=53．
答：八年级(一)班有49名学生，八年级(二)班有53名学生；
(2)根据题意得：1118−8×102
=1118−816
=302(元)．
答：如果两个班合在一起统一购票，比以班为单位各自购票的方式节约302元钱．
【解析】(1)设八年级(一)班有x名学生，八年级(二)班有y名学生，根据“八年级(一)、(二)两个班共102人去游览该景点，且两个班以班为单位各自购票，要支付的总费用为1118元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)利用节约的钱数=两个班以班为单位各自购票所需总费用−8×两个班的人数之和，即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
26.【答案】50°
【解析】解：(1)过点P作PM//AB，如图1所示：
∵AB//CD，
∴AB//PM//CD，
∴∠EPM=∠AEP，∠FPM=∠PFC，
∴∠EPM+∠FPM=∠AEP+∠PFC，
即∠EPF=∠AEP+∠PFC，
∵∠AEP=20°，∠PFC=30°，
∴∠EPF=∠AEP+∠PFC=50°，
故答案为：50°．
(2)∠AEP，∠EPF，∠PFC满足的数量关系是：∠AEP+∠PFC+∠EPF=360°，理由如下：
过点P作PN//AB，如图2所示：
∵AB//CD，
∴AB//PN//CD，
∴∠AEP+∠EPN=180°，∠PFC+∠FPN=180°，
∴∠AEP+∠EPN+∠PFC+∠FPN=360°，
∵∠EPN+∠FPN=∠EPF
∴∠AEP+∠PFC+∠EPF=360°．
(3)由(2)可知：∠EPF+∠BEP+∠DFP=360°，
∵∠EPF=100°，
∴∠BEP+∠DFP=360°−∠EPF=260°，
∵EQ，FQ分别平分∠PEB，∠PFD，
∴∠BEQ+∠DFQ=12(∠BEP+∠DFP)=130°，
由(1)可知：∠EQF=∠BEQ+∠DFQ=130°，
∵EQ1，FQ1分别平分∠BEQ，∠DFQ，
∴∠BEQ1+DFQ1=12(∠BEQ+∠DFQ)=12×130°，
∴EQ1F=∠BEQ1+DFQ1=12×130°，
同理：∠EQ2F=122×130°，
…，以此类推：∠EQnF=12n×130°，
∴∠EQ2023F=122023×130°．
(1)过点P作PM//AB，证AB//PM//CD，则∠EPM=∠AEP，∠FPM=∠PFC，从而得∠EPF=∠AEP+∠PFC，再根据∠AEP=20°，∠PFC=30°可得∠EPF的度数；
(2)过点P作PN//AB，证AB//PN//CD，则∠AEP+∠EPN=180°，∠PFC+∠FPN=180°，从而得∠AEP+∠EPN+∠PFC+∠FPN=360°，由此可得∠AEP，∠EPF，∠PFC满足的数量关系；
(3)由(2)可知∠EPF+∠BEP+∠DFP=360°，由∠EPF=100°得∠BEP+∠DFP=260°，由角平分线定义得∠BEQ+∠DFQ=12(∠BEP+∠DFP)=130°，由(1)得∠EQF=∠BEQ+∠DFQ=130°，再由角平分线定义得∠BEQ1+DFQ1=12(∠BEQ+∠DFQ)=12×130°，则EQ1F=∠BEQ1+DFQ1=12×130°，同理：∠EQ2F=122×130°，…，以此类推：∠EQnF=12n×130°，据此可得∠EQ2023F的度数．
此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，理解题意，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义是解决问题的关键．①将含30°角的三角尺的最长边与直线a重合，另一块三角尺最长边与含30°角的三角尺的最短边紧贴；
②将含30°角的三角尺沿贴合边平移一段距离，画出最长边所在直线b，则b//a．
①将含30°角三角尺的最长边与直线a重合，用虚线作出一条最短边所在直线；
②再次将含30°角三角尺最短边与虚线重合，画出最长边所在直线b，则b//a．
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