2022-2023学年河北省石家庄市四十中七年级（下）期中数学试卷解析版

这是一份2022-2023学年河北省石家庄市四十中七年级（下）期中数学试卷解析版，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）若关于x的不等式（a﹣1）x＜1的解集是，则a的取值范围是（ ）
A．a＞0B．a＜0C．a＞1D．a＜1
3．（3分）数据0.000032用科学记数法表示正确的是（ ）
A．3.2×105B．3.2×10﹣5C．3.2×10﹣6D．0.000032
4．（3分）下列各式中，计算结果为a10的是（ ）
A．a5•a5B．a20÷a2C．a5+a5D．（a4）6
5．（3分）在解关于x、y的二元一次方程组时，若①+②可以直接消去未知数y，则⊙和⊗的关系是（ ）
A．互为倒数B．互为相反数C．大小相等D．无法确定
6．（3分）如图，AC⊥BC，AC＝3，AB＝5，点D是线段BC上的动点，则A、D两点之间的距离可能是（ ）
A．1.4B．2.5C．3.6D．5.7
7．（3分）如图，能判定EB∥AC的条件是（ ）
A．∠A＝∠ABEB．∠A＝∠EBDC．∠C＝∠ABCD．∠C＝∠ABE
8．（3分）如图，平移△ABC得到△DEF，其中点A的对应点是点D，则下列结论中不成立的是（ ）
A．AD∥BEB．AB∥DEC．AC＝DFD．∠BAC＝∠DEF
9．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为点O．若∠BOE＝40°，则∠AOC的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．140°
10．（3分）如果（3x﹣9）（x+m）的乘积中不含x的一次项，那么m等于（ ）
A．1B．3C．﹣3D．9
11．（2分）算式23+23+23+23的结果是（ ）
A．（23）4B．26C．25D．82
12．（2分）当n为自然数时，（n+1）2﹣（n﹣3）2一定能被下列哪个数整除（ ）
A．5B．6C．7D．8
13．（2分）已知x，y为任意有理数，记M＝x2+y2，N＝2xy，则M与N的大小关系为（ ）
A．M＞NB．M≥NC．M≤ND．不能确定
14．（2分）关于x，y的方程组的解中x与y的差不小于5，则k的取值范围为（ ）
A．k≥8B．k＞8C．k≤8D．k＜8
15．（2分）利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图1方式放置，再交换两木块的位置，按图2方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）
A．73cmB．74cmC．75cmD．76cm
16．（2分）数学课上，老师要求同学们利用三角板画出两条平行线，老师展示了甲、乙两位同学的画法如下：
甲的画法：
乙的画法：
请你判断两人的作图的正确性（ ）
A．甲正确，乙错误B．甲错误，乙正确
C．两人都正确D．两人都错误
二、填空题（每题3分，共12分；其中20题①题1分，②题2分）
17．（3分）已知是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为 ．
18．（3分）如图，已知直线a∥b，∠BAC＝90°，∠1＝50°．则∠2＝ ．
19．（3分）如图，将长方形ABCD的各边向外作正方形，若四个正方形周长之和为56，面积之和为58，则长方形ABCD的面积为 ．
20．（3分）如图（1），在三角形ABC中，∠A＝38°，∠C＝72°，BC边绕点C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置（即旋转角0°≤α≤360°），在旋转过程中（图2），当CB′∥AB时，旋转角为 度；当CB所在直线垂直于AB时，旋转角为 度．
三、计算题（本题共5个小题，其中第1-3题每题2分；第4-5小题每题4分；共14分）
21．（14分）（1）（﹣x2）3+（﹣3x2）2•x2；
（2）；
（3）运用整式乘法公式进行计算：2022×2024﹣20232；
（4）解不等式组，并求其整数解．
（5）先化简，再求值：2b2+（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2，其中a＝﹣3，．
四、解答题（本题共4个小题，22题8分；23题6分；24题9分；25题9分；共32分）
22．（8分）已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1＝∠2，求证：CD⊥AB．
证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知），
∴∠DGC＝90°，∠ACB＝90°（垂直定义），
∴∠DGC+∠ACB＝180°，
∴DG∥AC（ ），
∴∠2＝∠ （ ），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠ （等量代换），
∴EF∥CD（ ），
∴∠AEF＝∠ （ ），
∵EF⊥AB（已知），
∴∠AEF＝90°（垂直定义），
∴∠ ＝90°（等量代换），
∴CD⊥AB（垂直定义）．
23．（6分）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1．若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．
（1）直接用含a，b的代数式分别表示图S1、S2：则：S1＝ ，S2＝ ；
（2）若a+b＝8，ab＝13，求S1+S2的值；
（3）当S1+S2＝28时，求出图3中阴影部分的面积S3．
24．（9分）骑行过程中佩戴安全头盔，可以保护头部，减少伤害．某商店经销进价分别为40元/个、30元/个的甲、乙两种安全头盔，表是近两天的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润＝售价﹣进价）
（1）求甲、乙两种头盔的销售单价．
（2）若某企业计划恰好用2000元在该商店购进甲、乙两种头盔（两种均买）作为员工福利发放，请问该企业有几种采购方案？
（3）若商店准备用不多于3400元的资金再购进这两种头盔共100个，最多能购进甲种头盔多少个？
（4）在（3）的条件下，商店销售完这100个头盔能否实现利润为1300元的目标？若能，请给出相应的进货方案；若不能，请说明理由．
25．（9分）已知直线EF分别交直线AB，CD于点G，H，且∠AGH+∠DHF＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点M、N分别在射线GE、HF上，点P、Q分别在射线GA、HC上，连接MP，NQ，且∠MPG+∠NQH＝90°，分别延长MP，NQ交于点K，求证：MK⊥NK；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接KH，KH平分∠MKN，且HE平分∠KHD，若，直接写出∠MPG的度数．
2022-2023学年河北省石家庄四十中七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（1-10题每题3分，11-16题每题2分，共42分）
1．（3分）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；推理能力．
【答案】B
【分析】先求出一元一次不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可．
【解答】解：∵，
∴，
∴不等式组的解集为：﹣1＜x≤2，
在数轴上表示如下：
．
故选：B．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组以及在数轴上表示解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤，学会在数轴上表示不等式组的解，是解题的关键．
2．（3分）若关于x的不等式（a﹣1）x＜1的解集是，则a的取值范围是（ ）
A．a＞0B．a＜0C．a＞1D．a＜1
【考点】解一元一次不等式．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据不等式（a﹣1）x＜1的解集是，得出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．
【解答】解：∵（a﹣1）x＜1的解集是，
∵原不等式两边同时除以a﹣1，不等号方向改变，
∴a﹣1＜0，解得a＜1．
故选：D．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质，是解答此题的关键．
3．（3分）数据0.000032用科学记数法表示正确的是（ ）
A．3.2×105B．3.2×10﹣5C．3.2×10﹣6D．0.000032
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】实数；数感．
【答案】B
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000032从左边起第一个不为零的数是3，其前面有5个零，因此0.0000032＝3.2×10﹣5．
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤a＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．（3分）下列各式中，计算结果为a10的是（ ）
A．a5•a5B．a20÷a2C．a5+a5D．（a4）6
【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】根据同底数幂的乘法和除法、幂的乘方法则以及合并同类项的知识分别计算，即可判断．
【解答】解：A、a5•a5＝a10，符合题意，故选项正确．
B、a20÷a2＝a18，不符合题意，故选项错误．
C、a5+a5＝2a5，不符合题意，故选项错误．
D、（a4）6＝a24，不符合题意，故选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法和除法、幂的乘方法则以及合并同类项，属于基础题，掌握运算法则是解题的必要能力．
5．（3分）在解关于x、y的二元一次方程组时，若①+②可以直接消去未知数y，则⊙和⊗的关系是（ ）
A．互为倒数B．互为相反数C．大小相等D．无法确定
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用．
【答案】B
【分析】根据加减消元法即可得．
【解答】解：，
由①+②得：8x+（⊙+⊗）y＝2，
∵①+②可以直接消去未知数y，
∴⊙+⊗＝0，
则⊙和⊗的关系是互为相反数，
故选：B．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题关键．
6．（3分）如图，AC⊥BC，AC＝3，AB＝5，点D是线段BC上的动点，则A、D两点之间的距离可能是（ ）
A．1.4B．2.5C．3.6D．5.7
【考点】垂线段最短；两点间的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】点D是线段BC上的动点，根据垂线段最短以及AB的长，可得AC≤AD≤AB，进而可得答案．
【解答】解：∵AC⊥BC，AC＝3，AB＝5，点D是线段BC上的动点，
∴AC≤AD≤AB，
∴3≤AD≤5．
故选：C．
【点评】本题主要考查了垂线段的性质，解题的关键是掌握垂线段最短．
7．（3分）如图，能判定EB∥AC的条件是（ ）
A．∠A＝∠ABEB．∠A＝∠EBDC．∠C＝∠ABCD．∠C＝∠ABE
【考点】平行线的判定．
【答案】A
【分析】在复杂的图形中具有相等关系的两角首先要判断它们是否是同位角或内错角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．
【解答】解：A、∠A＝∠ABE，根据内错角相等，两直线平行，可以得出EB∥AC，故本选项正确．
B、∠A＝∠EBD不能判断出EB∥AC，故本选项错误；
C、∠C＝∠ABC只能判断出AB＝AC，不能判断出EB∥AC，故本选项错误；
D、∠C＝∠ABE不能判断出EB∥AC，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
8．（3分）如图，平移△ABC得到△DEF，其中点A的对应点是点D，则下列结论中不成立的是（ ）
A．AD∥BEB．AB∥DEC．AC＝DFD．∠BAC＝∠DEF
【考点】平移的性质；平行线的判定．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】D
【分析】利用平移的性质得到AD∥BE，AB∥DE，AC＝DF，∠BAC＝∠EDF．
【解答】解：∵平移△ABC得到△DEF，
∴AD∥BE，AB∥DE，AC＝DF，∠BAC＝∠EDF，
故D项不成立．
故选：D．
【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．
9．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为点O．若∠BOE＝40°，则∠AOC的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．140°
【考点】垂线；对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】直接利用垂直的定义结合对顶角的性质得出答案．
【解答】解：∵OE⊥CD，
∴∠EOD＝90°，
∵∠BOE＝40°，
∴∠BOD＝90°﹣40°＝50°，
∴∠AOC＝∠BOD＝50°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了垂线以及对顶角，正确得出∠BOD的度数是解题关键．
10．（3分）如果（3x﹣9）（x+m）的乘积中不含x的一次项，那么m等于（ ）
A．1B．3C．﹣3D．9
【考点】多项式乘多项式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】直接利用多项式乘法去括号，进而得出一次项系数为0，求解即可．
【解答】解：∵（3x﹣9）（x+m）的乘积中不含x的一次项，
∴（3x﹣9）（x+m）＝3x2+3mx﹣9x﹣9m＝3x2+（3m﹣9）x﹣9m中，3m﹣9＝0，
∴m＝3，
故选：B．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解答本题的关键在于正确去括号并计算．
11．（2分）算式23+23+23+23的结果是（ ）
A．（23）4B．26C．25D．82
【考点】同底数幂的乘法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】直接利用乘法的意义，再利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：23+23+23+23
＝4×23
＝22×23
＝25．
故选：C．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
12．（2分）当n为自然数时，（n+1）2﹣（n﹣3）2一定能被下列哪个数整除（ ）
A．5B．6C．7D．8
【考点】因式分解的应用．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】D
【分析】先将代数式（n+1）2﹣（n﹣3）2分解因式，进而可求解．
【解答】解：（n+1）2﹣（n﹣3）2
＝（n+1+n﹣3）（n+1﹣n+3）
＝4（2n﹣2）
＝8（n﹣1），
∴当n为自然数时，（n+1）2﹣（n﹣3）2一定能被8整除，
故选：D．
【点评】本题主要考查因式分解的应用，将整式分解因式是解题的关键．
13．（2分）已知x，y为任意有理数，记M＝x2+y2，N＝2xy，则M与N的大小关系为（ ）
A．M＞NB．M≥NC．M≤ND．不能确定
【考点】因式分解﹣运用公式法；非负数的性质：偶次方．
【答案】B
【分析】首先求出M﹣N＝x2+y2﹣2xy＝（x﹣y）2，进而判断M与N的大小关系．
【解答】解：∵M＝x2+y2，N＝2xy，
∴M﹣N＝x2+y2﹣2xy＝（x﹣y）2，
∵（x﹣y）2≥0，
∴M≥N．
故选：B．
【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用以及偶次方的性质，得出M﹣N＝（x﹣y）2是解题关键．
14．（2分）关于x，y的方程组的解中x与y的差不小于5，则k的取值范围为（ ）
A．k≥8B．k＞8C．k≤8D．k＜8
【考点】解一元一次不等式；二元一次方程组的解．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】由两式相减，得到x﹣y＝k﹣3，再根据x 与 y 的差不小于5列出不等式即可求解．
【解答】解：，
由①﹣②得：x﹣y＝k﹣3，
根据题意得：k﹣3≥5，
解得：k≥8．
故选：A．
【点评】本题考查二元一次方程组的解和解一元一次不等式，将两式相减得到x与y的差是解题的关键．
15．（2分）利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图1方式放置，再交换两木块的位置，按图2方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）
A．73cmB．74cmC．75cmD．76cm
【考点】二元一次方程组的应用．
【答案】D
【分析】设长方体长xcm，宽ycm，桌子的高为acm，由图象建立方程组求出其解就可以得出结论．
【解答】解：设长方体长xcm，宽ycm，桌子的高为acm，由题意，得
，
解得：2a＝152，
∴a＝76．
故选：D．
【点评】本题考查了运用列三元一次方程组解决实际问题的运用及方程组的解法的运用，在解答时设参数建立方程是关键．
16．（2分）数学课上，老师要求同学们利用三角板画出两条平行线，老师展示了甲、乙两位同学的画法如下：
甲的画法：
乙的画法：
请你判断两人的作图的正确性（ ）
A．甲正确，乙错误B．甲错误，乙正确
C．两人都正确D．两人都错误
【考点】作图—复杂作图；平移的性质；平行线的判定．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】C
【分析】根据平移的性质，利用同位角相等两直线平行可对甲的画法的正确性进行判断；利用内错角相等两直线平行可对乙的画法的正确性进行判断．
【解答】解：对于甲的画法：通过平移含30°角的三角尺得到同位角相等，则可判断b∥a，所以甲的作图正确；
对于乙的画法：利用画法得到内错角相等，则可判断b∥a，所以乙的作图正确．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定与平移的性质．
二、填空题（每题3分，共12分；其中20题①题1分，②题2分）
17．（3分）已知是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为 1 ．
【考点】二元一次方程的解；代数式求值．
【专题】实数；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】把x与y的值代入方程计算得到a+2b的值，原式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：把代入ax+by＝3得：a+2b＝3，
则原式＝2（a+2b）﹣5
＝2×3﹣5
＝6﹣5
＝1．
故答案为：1．
【点评】此题考查了二元一次方程的解，以及代数式求值，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
18．（3分）如图，已知直线a∥b，∠BAC＝90°，∠1＝50°．则∠2＝ 40° ．
【考点】平行线的性质；余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】40°．
【分析】根据直角三角形的两锐角互余求出∠ACB，再根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠1＝50°，
则∠ACB＝90°﹣50°＝40°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠ACB＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查的是平行线的性质、直角三角形的性质，掌握两直线平行、同位角相等是解题的关键．
19．（3分）如图，将长方形ABCD的各边向外作正方形，若四个正方形周长之和为56，面积之和为58，则长方形ABCD的面积为 10 ．
【考点】完全平方公式的几何背景．
【专题】整式；运算能力．
【答案】10．
【分析】设AB＝DC＝x，AD＝BC＝y，由题中周长和面积的关系，得关于x和y的二元二次方程组，根据完全平方公式及方程之间的关系，可得答案．
【解答】解：设AB＝DC＝x，AD＝BC＝y，
由题意得：，
化简得：，
将①两边平方再减去②得：2xy＝20，
∴xy＝10，即长方形ABCD的面积为10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了完全平方公式在几何问题中的应用，根据题意正确列方程组并运用完全平方公式化简是解题的关键．
20．（3分）如图（1），在三角形ABC中，∠A＝38°，∠C＝72°，BC边绕点C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置（即旋转角0°≤α≤360°），在旋转过程中（图2），当CB′∥AB时，旋转角为 70或250 度；当CB所在直线垂直于AB时，旋转角为 160或340 度．
【考点】多边形内角与外角；平行线的性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】在三角形ABC中，根据三角形的内角和得到∠B＝180°﹣38°﹣72°＝70°，如图1，当CB′∥AB时，根据平行线的性质即可得到结论；如图2，当CB′⊥AB时根据垂直的定义和周角的定义即可得到结论．
【解答】解：∵在三角形ABC中，∠A＝38°，∠C＝72°，
∴∠B＝180°﹣38°﹣72°＝70°，
如图1，当CB′∥AB时，旋转角＝∠B＝70°，当CB″∥AB时，∠B″CA＝∠A＝38°，
∴旋转角＝360°﹣38°﹣72°＝250°，
综上所述，当CB′∥AB时，旋转角为70°或250°；
如图2，当CB′⊥AB时，∠BCB″＝90°﹣70°＝20°，
∴旋转角＝180°﹣20°＝160°，
当CB″⊥AB时，旋转角＝180°+160°＝340°，
综上所述，当CB′⊥AB时，旋转角为160°或340°；
故答案为：70或250；160或340．
【点评】本题考查了多边形的内角和外角，平行线的性质，正确的画出图形是解题的关键．
三、计算题（本题共5个小题，其中第1-3题每题2分；第4-5小题每题4分；共14分）
21．（14分）（1）（﹣x2）3+（﹣3x2）2•x2；
（2）；
（3）运用整式乘法公式进行计算：2022×2024﹣20232；
（4）解不等式组，并求其整数解．
（5）先化简，再求值：2b2+（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2，其中a＝﹣3，．
【考点】整式的混合运算—化简求值；零指数幂；负整数指数幂；一元一次不等式组的整数解．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）8x6；
（2）；
（3）﹣1；
（4）﹣3＜x≤1，x＝﹣2，﹣1，0，1；
（5）2ab；﹣3
【分析】（1）先运算幂的乘方，然后合并解题；
（2）按照实数的运算法则解题即可；
（3）先用平方差公式计算，再合并解题即可；
（4）先解不等式组求解集，然后写出符合的整数即可；
（5）运用整式的乘法公式化简，然后代入数值计算．
【解答】解：（1）（﹣x2）3+（﹣3x2）2⋅x2
＝﹣x6+9x6＝（﹣1+9）x6
＝8x6；
（2）
＝
＝
＝8﹣1+1×（﹣）
＝；
（3）2022×2024﹣20232＝（2023﹣1）×（2023+1）﹣20232
＝20232﹣12﹣20232
＝﹣1；
（4）解不等式①，得：x＞﹣3；
解不等式②，得：x≤1；
∴该不等式组的解集为﹣3＜x≤1，
∴满足该不等式组的整数解为x＝﹣2，﹣1，0，1．
（5）原式＝2b2+（a2﹣b2）﹣（a2+b2﹣2ab）
＝2b2+a2﹣b2﹣a2﹣b2+2ab
＝2ab；
当a＝﹣3，时，
原式＝．
【点评】本题考查整式的乘法，解不等式组，实数的混合运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．
四、解答题（本题共4个小题，22题8分；23题6分；24题9分；25题9分；共32分）
22．（8分）已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1＝∠2，求证：CD⊥AB．
证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知），
∴∠DGC＝90°，∠ACB＝90°（垂直定义），
∴∠DGC+∠ACB＝180°，
∴DG∥AC（ 同旁内角互补，两直线平行 ），
∴∠2＝∠ DCA （ 两直线平行，内错角相等 ），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠ DCA （等量代换），
∴EF∥CD（ 同位角相等，两直线平行 ），
∴∠AEF＝∠ ADC （ 两直线平行，同位角相等 ），
∵EF⊥AB（已知），
∴∠AEF＝90°（垂直定义），
∴∠ ADC ＝90°（等量代换），
∴CD⊥AB（垂直定义）．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】同旁内角互补，两直线平行，DCA，两直线平行，内错角相等，DCA，同位角相等，两直线平行，ADC，两直线平行，同位角相等，ADC．
【分析】利用平行线的判定和性质，进行作答即可．
【解答】证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知），
∴∠DGC＝90°，∠ACB＝90°（垂直定义），
∴∠DGC+∠ACB＝180°，
∴DG∥AC（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠2＝∠DCA（两直线平行，内错角相等），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠DCA（等量代换），
∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行），
∴∠AEF＝∠ADC（两直线平行，同位角相等），
∵EF⊥AB（已知），
∴∠AEF＝90°（垂直定义），
∴∠ADC＝90°（等量代换），
∴CD⊥AB（垂直定义）．
故答案为：同旁内角互补，两直线平行，DCA，两直线平行，内错角相等，DCA，同位角相等，两直线平行，ADC，两直线平行，同位角相等，ADC．
【点评】本题考查平行线的判定和性质．熟练掌握相关知识点并灵活运用，是解题的关键．
23．（6分）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1．若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．
（1）直接用含a，b的代数式分别表示图S1、S2：则：S1＝ a2﹣b2 ，S2＝ 2b2﹣ab ；
（2）若a+b＝8，ab＝13，求S1+S2的值；
（3）当S1+S2＝28时，求出图3中阴影部分的面积S3．
【考点】整式的混合运算；完全平方公式的几何背景．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）a2﹣b2，2b2﹣ab；
（2）25；
（3）14．
【分析】（1）根据题意由图可知：，；
（2）根据题意由已知可得；
（3）根据题意由图可知：，再由即可求解．
【解答】解：（1）由图可得，，；
故答案为：a2﹣b2，2b2﹣ab；
（2）根据题意由图可知：；
∵a+b＝8，ab＝13，
∴；
（3）根据题意由图可知：，
∵，
∴．
【点评】本题考查整式的混合运算，完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式，并能灵活运用公式是解题的关键．
24．（9分）骑行过程中佩戴安全头盔，可以保护头部，减少伤害．某商店经销进价分别为40元/个、30元/个的甲、乙两种安全头盔，表是近两天的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润＝售价﹣进价）
（1）求甲、乙两种头盔的销售单价．
（2）若某企业计划恰好用2000元在该商店购进甲、乙两种头盔（两种均买）作为员工福利发放，请问该企业有几种采购方案？
（3）若商店准备用不多于3400元的资金再购进这两种头盔共100个，最多能购进甲种头盔多少个？
（4）在（3）的条件下，商店销售完这100个头盔能否实现利润为1300元的目标？若能，请给出相应的进货方案；若不能，请说明理由．
【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）55元/个，40元/个；
（2）有4种采购方案；
（3）40个；
（4）不能实现获利1300元的目标，理由见解析．
【分析】（1）设甲、乙两种头盔的售价分别是x元/个、y元/个，根据题意列出二元一次方程组即可求解；
（2）设企业恰好用2000元在该商店购进a个甲头盔、b个乙头盔，即可得二元一次方程：11a+8b＝400，根据a，b均为正整数，即可求解；
（3）设购进甲种头盔m个，则购进乙种头盔（100﹣m）个，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解；
（4）设购进甲种头盔a个，列出一元一次方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）设甲、乙两种头盔的售价分别是x元/个、y元/个，
则，
整理得：，
解得，
答：甲、乙两种头盔的售价分别是55元/个，40元/个；
（2）设企业恰好用2000元在该商店购进a个甲头盔、b个乙头盔，
根据题意得：55a+40b＝2000，
整理得：11a+8b＝400，即，
∵两种头盔均要买，
∴a，b均为正整数，
∴，或，或，或，
∴该企业有4种采购方案；
（3）设购进甲种头盔m个，则购进乙种头盔（100﹣m）个，
则40m+30（100﹣m）≤3400，解得m≤40．
答：甲种头盔最多购进40个；
（4）不能实现获利1300元的目标，理由如下：
设购进甲种头盔a个，则（55﹣40）a+（40﹣30）（100﹣a）＝1300．解得a＝60．
∵根据（2）中甲种头盔最多购进40个，
∴不能实现利润为1300元的目标．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用等知识，明确题意，正确列出相应的方程或不等式，是解答本题的关键．
25．（9分）已知直线EF分别交直线AB，CD于点G，H，且∠AGH+∠DHF＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点M、N分别在射线GE、HF上，点P、Q分别在射线GA、HC上，连接MP，NQ，且∠MPG+∠NQH＝90°，分别延长MP，NQ交于点K，求证：MK⊥NK；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接KH，KH平分∠MKN，且HE平分∠KHD，若，直接写出∠MPG的度数．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）∠MPG＝35°．
【分析】（1）利用∠CHG＝∠DHF，再利用等量代换，即可解决；
（2）过K作KR∥AB，因为AB∥CD，所以RK∥AB∥CD，则∠MPG＝∠MKR，∠NQH＝∠RKN代入即可解决．
（3）过M作MT∥AB，过K作KR∥AB，可以得到MT∥AB∥CD∥KR，设∠DHG＝17x，∠MPG＝7x，利用平行线的性质，用含x的代数式表示出各个角，利用方程思想解决问题．
【解答】（1）证明：∵∠CHG＝∠DHF，∠AGH+∠DHF＝180°，
∴∠AGH+∠CHG＝180°，
∴AB∥CD；
（2）证明：过点K作KR∥AB，如图2，
∵AB∥CD，KR∥AB，
∴RK∥AB∥CD，
∴∠MPG＝∠MKR，∠NQH＝∠RKN，
∵∠MPG+∠NQH＝90°，
∴∠MKR+∠NKR＝90°，
即∠MKN＝90°，
∴MK⊥NK；
（3）∠KMN＝50°．
理由如下：过M作MT∥AB，过K作KR∥AB，如图，
∵AB∥CD，KR∥AB，MT∥AB，
∴MT∥AB∥CD∥KR，
∵KH平分∠MKN，∠MKN＝90°，
∴∠MKH＝∠NKH＝45°，
∵，
∴设∠DHG＝17x，∠MPG＝7x，
∵HE平分∠KHD，
∴∠KHM＝∠DHG＝17x
∴∠KHD＝34x，∠KHQ＝180°﹣34x，
∵CD∥KR，
∴∠RKH＝∠KHQ＝180°﹣34x，
∵MT∥AB∥KR，
∴∠TMP＝∠MKR＝∠MPG＝7x，∠TMH＝∠MHD＝17x，
∵∠MKH＝45°，
即∠RKH+∠MKR＝180°﹣34x+7x＝45°，解得x＝5°，
∴∠MPG＝7x＝35°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质进行计算．
①将含30°角的三角尺的最长边与直线a重合，另一块三角尺最长边与含30°角的三角尺的最短边紧贴；
②将含30°角的三角尺沿贴合边平移一段距离，画出最长边所在直线b，则b∥a．
①将含30°角三角尺的最长边与直线a重合，用虚线作出一条最短边所在直线；
②再次将含30°角三角尺最短边与虚线重合，画出最长边所在直线b，则b∥a．
时间
甲头盔销量
乙头盔销量
销售额
周一
10
15
1150
周二
6
12
810
①将含30°角的三角尺的最长边与直线a重合，另一块三角尺最长边与含30°角的三角尺的最短边紧贴；
②将含30°角的三角尺沿贴合边平移一段距离，画出最长边所在直线b，则b∥a．
①将含30°角三角尺的最长边与直线a重合，用虚线作出一条最短边所在直线；
②再次将含30°角三角尺最短边与虚线重合，画出最长边所在直线b，则b∥a．
时间
甲头盔销量
乙头盔销量
销售额
周一
10
15
1150
周二
6
12
810