湖北省孝感市2022-2023学年高二数学上学期1月期末考试试题（Word版附解析）

湖北省孝感市2022-2023年高二上学期1月期末考试

数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知空间向量，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  设不同的直线，则“”是“”的(    )

A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.  将字母，，分别填入标号为，，的三个方格里，每格填上一个字母，则每个方格的标号与所填的字母均不相同的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  过点，，且圆心在直线上的圆的方程是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

7.  在等差数列中，其前项和为，若，，则中最大的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  法国数学家、化学家和物理学家加斯帕尔蒙日被称为“画法几何之父”，他创立的画法几何学推动了空间解析几何的发展，被广泛应用于工程制图当中过椭圆外的一点作椭圆的两条切线，若两条切线互相垂直，则该点的轨迹是以椭圆的中心为圆心、以为半径的圆，这个圆叫做椭圆的蒙日圆若椭圆的蒙日圆为：，过圆上的动点作椭圆的两条切线，分别与圆交于，两点，直线与椭圆交于，两点，则下列结论不正确的是(    )

A. 椭圆的离心率为
B. 到的右焦点的距离的最大值为
C. 若动点在上，记直线，的斜率分别为，，则
D. 面积的最大值为

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知等差数列为递减数列，且，，则下列结论中正确的有(    )

A. 数列的公差为 B.
C. 数列是公差为的等差数列 D.

10.  已知圆，直线则下列命题中正确的有(    )

A. 直线恒过定点
B. 圆被轴截得的弦长为
C. 直线与圆恒相离
D. 直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为

11.  抛物线的焦点为，直线过点，斜率为，且交抛物线于、两点点在轴的下方，抛物线的准线为，交于，交于，点，为抛物线上任一点，则下列结论中正确的有(    )

A. 若，则 B. 的最小值为
C. 若，则 D.

12.  如图，在正方体中，点在线段上运动，有下列判断，其中正确的是(    )
 

A. 平面平面
B. 平面
C. 异面直线与所成角的取值范围是
D. 三棱锥的体积不变

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知直线的斜率为，且和坐标轴围成的三角形的面积为，则直线的方程为          ．

14.  圆与圆的公切线共有          条

15.  设数列的前项和为，点均在函数的图象上，则数列的通项公式为          ．

16.  已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最大值为          ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分

已知在某次米体能测试中，甲、乙、丙人各自通过测试的概率分别，且三人是否通过测试互不影响求：
人都通过体能测试的概率
只有人通过体能测试的概率．

18.  本小题分

已知公差大于零的等差数列的前项和为，且满足：，．
求数列的通项公式
若数列是等差数列，且，求非零常数．

19.  本小题分
已知为过抛物线的焦点的弦，为的中点，为抛物线的准线，垂直于于，点．
求抛物线的方程
求的面积为坐标原点

20.  本小题分

已知三棱柱中，，，，．
求证：平面平面
若，在线段上是否存在一点使平面和平面所成角的余弦值为若存在，确定点的位置若不存在，说明理由．


 

21.  本小题分

已知圆心在轴上的圆与直线切于点
求圆的标准方程
已知，经过原点且斜率为正数的直线与圆交于，求的最大值．

22.  本小题分

已知点，圆，点在圆上运动，的垂直平分线交于点．
求动点的轨迹的方程
动点的轨迹与轴交于，两点在点左侧，直线交轨迹于，两点不在轴上，直线，的斜率分别为，，且，求证：直线过定点．
 

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查空间向量平行的坐标运算，属于基础题．

【解答】

解：根据题意，由，设，即解可得：，则有，由此得．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了两直线平行的判定，属于基础题．

【解答】

解：当时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立当时，显然，从而有，即，解得或，但当时，两直线重合，不符合要求，故必要性成立．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查古典概率的求解，排列问题，属基础题．

【解答】

解：将字母，，填入标号为，，的三个方格里有种不同的填法，这种情况发生的可能性是相等的而每个方格的标号与所填的字母均不相同只有两种不同的填法故所求概率．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查圆的标准方程的求法，属于基础题．

【解答】

解：法一设点为圆心．点在直线上，可设点的坐标为．
又该圆经过，两点，．
，解得．
圆心坐标为，半径长故所求圆的标准方程为．
法二排除法根据圆心在直线上，排除，根据点在圆上，排除．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了异面直线所成角的大小，属于基础题．


 

【解答】

解：解法一：如图所示，设、、分别为，和的中点，
则、夹角为和夹角或其补角因异面直线所成角为

可知，作中点，则为直角三角形
，，中，由余弦定理得
，，
在中，
在中，由余弦定理得
又异面直线所成角的范围是，与所成角的余弦值为．
解法二：如图所示，

补成四棱柱，求即可
，，，，，
．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的离心率，属基础题．

【解答】

解：当双曲线的焦点在轴上时，离心率
当焦点在轴上时．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查等差数列前项和中基本量的运算，及利用二次函数的性质求最值，属于中档题。

【解答】

解：由得，由，得到所以，从而当时有最大值．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了直线与椭圆的位置关系及其应用，属于中档题．

【解答】

解：对于由题意可得，所以，，正确
对于记右焦点为，设，则，
而，，从而，B正确
对于由题意易得为圆的直径，，关于原点对称，从而，正确
对于易得，D错误．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查等差数列的通项及性质，属中档题．

【解答】

解：由题意知，又，数列为递减数列，
，．
公差，故A正确
又，，故B正确
由上可知，则当时，，当时，，
数列是首项为，公差为的等差数列，故C正确
，，故D错误．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查直线过定点问题，直线与圆的位置关系，属于中档题。

【解答】

解：将直线的方程整理为，
由解得
则无论为何值，直线过定点，故A正确
令，则，解得，故圆被轴截得的弦长为，故B不正确
因为，所以点在圆的内部，直线与圆相交，故C不正确
圆心，半径为，，当截得的弦长最短时，，，
则直线的斜率为，此时直线的方程为，即故D正确．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了直线与抛物线位置关系及其应用，属于中档题．

【解答】

解：对于设，过做于点，则，，易得，从而A正确
对于过、分别作、于点、，则，从而B正确
对于易得，C错误
对于由得，，，从而

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查空间中线面的位置关系，棱锥体积、异面直线夹角，属较难题．

【解答】

解：对于连接，因为正方体中，平面，
平面，所以，又因为，
，为平面内的两条相交直线，所以平面，
因为平面，所以，同理可得，
因为，为平面内两条相交直线，可得平面，平面，
从而平面平面，
故A正确
对于连接，，，平面，平面，
所以平面，
同理平面，又、为平面内两条相交直线，
所以平面平面，
因为平面，所以平面，故B正确
对于因为，所以与所成角即为与所成的角，，则为等边三角形，当与线段的两端点重合时，与所成角取最小值当与线段的中点重合时，与所成角取最大值，故与所成角的范围是，故C不正确
对于由选项B得平面，故上任意一点到平面的距离均相等，
所以以为顶点，平面为底面，则三棱锥的体积不变，又，
所以三棱锥的体积不变，故 D正确．

13.【答案】或 

【解析】

【分析】

本题主要考查直线的一般方程的求法，属于基础题。

【解答】

解：设直线的方程为，，且，，或，，直线的方程为或，即或．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了圆的公共弦、公切线，属于基础题．

【解答】

解：，圆心坐标为，半径为，
圆心坐标为，半径为两圆圆心距为，两圆半径和为，因为，所以两圆的位置关系是外离，
故两圆的公切线共有条．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查数列中与的关系，属基础题．

【解答】

解：依题意得，，即．
当时，，
因为，满足，所以

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查椭圆、双曲线的定义，利用余弦定理求解焦点三角形问题，由基本不等式求最值，属于难题。

【解答】

解：不妨设为第一象限的点，为左焦点，设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义可得，所以，，，在中，，由余弦定理得，化简得，即．
所以，从而，当且仅当，时等号成立．

17.【答案】解：设事件“甲通过体能测试”，事件“乙通过体能测试”，事件“丙通过体能测试”，
则，，
设表示“甲、乙、丙人都通过体能测试”，即，则由，，相互独立，可得．
设表示“只有人通过体能测试”，则，由于事件与，与，与均相互独立，且事件，，两两互斥，则
． 

【解析】本题考查了相互独立事件的概率的应用，属于基础题．
 

18.【答案】解：设等差数列的公差为，且．
，，
，是方程的两个根又公差，，．
解得．
由知，，．
，，．是等差数列，，
舍去经检验，符合题意， 

【解析】本题考查等差数列的通项公式，前项和公式，属中档题．
 

19.【答案】解：依题意准线的方程为，即，则，
抛物线的方程为
设的方程为
由得

依题意则，
到的距离，从而得 

【解析】本题主要考查抛物线的焦点、准线，抛物线的标准方程，抛物线中的弦长公式，求解抛物线中的面积问题，属于中档题。
 

20.【答案】解：证明：在三棱柱中，四边形是平行四边形，而，则平行四边形是菱形，连接，如图，

则有，因，，
，平面，于是得平面，
而平面，则，由，得，，，平面，
从而得平面，又平面，所以平面平面．
解：在平面内过作，
由知平面平面，平面平面，
则平面，以为原点，射线，，分别为，，轴正半轴建立空间直角坐标系，如图，

因，，，则，，，，
假设在线段上存在符合要求的点，设其坐标为，，
则有，，
设平面的一个法向量，则有
令得，而平面的一个法向量，
依题意，，
化简整理得：而，解得，
所以在线段上存在一点，且是靠近的四等分点，使平面和平面所成角的余弦值为． 

【解析】本题考查了面面垂直的证明和直线与平面所成的角的计算，属于中档题．
 

21.【答案】解：由圆心在轴上的圆与直线切于点，设，
直线的斜率为，
则，所以．
所以，所以，，即，
所以圆的标准方程为．
设直线，与圆联立方程组可得，
，由根与系数的关系得，，
，
令，则，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时，
所以的最大值为． 

【解析】本题考查直线与圆的位置关系，两点间的距离公式，属中档题．
 

22.【答案】解：依题意得，则动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，其中，
，，所以动点的轨迹的方程为
设直线的方程为，，，
则由得，由根与系数的关系得
由题意，两点不在轴上，所以，，，又点，
所以，，由得
从而由已知得，即
又，，将代入得
将代入上式并整理得．
，整理得
，故直线恒过定点 

【解析】本题主要考查椭圆中的轨迹问题，直线与圆的位置关系，直线过定点问题，属于较难题。