新高考数学一轮复习考点题型训练 2.3函数的奇偶性、周期性、对称性（精讲）（2份，原卷版+解析版）

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【知识储备】
1．函数的奇偶性
2.周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f (x＋T)＝f (x)，那么就称函数y＝f (x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x)的最小正周期．
3．与函数周期有关的结论：
(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；
(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；
(3)若f(x＋a)＝－eq \f(1,fx)，则函数的周期为2a；
(4)若f(x＋a)＝eq \f(1,fx)，则函数的周期为2a；
(5)若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f(x)的周期为2|b－a|；
(6)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是2|b－a|；
(7)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4|b－a|；
(8)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a；
(9)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a.
4、函数对称性（异号对称）
（1）轴对称：若函数关于直线对称，则
①；
②；
③
（2）点对称：若函数关于点对称，则
①
②
③
（3）点对称：若函数关于点对称，则
①
②
③
【题型精讲】
【题型一 判断函数奇偶性的两种方法】
必备技巧 判断函数的奇偶性
(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
例1 (安老师改编山东高考)判断下列函数的奇偶性：
①f(x)＝xlg(x＋eq \r(x2＋1))；②f(x)＝(1－x) eq \r(\f(1＋x,1－x))；
③f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋2x＋1 x>0，,x2＋2x－1 x|x|≥0，∴函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，
又f(－x)＝(－x)lg(－x＋eq \r(－x2＋1))＝－xlg(eq \r(x2＋1)－x)＝xlg(eq \r(x2＋1)＋x)＝f(x)，
即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
②当且仅当eq \f(1＋x,1－x)≥0时函数有意义，∴－1≤x0时，－x