(艺考基础)新高考数学一轮复习精讲精练第02讲 常用逻辑用语 (精讲+精练）（2份，原卷版+解析版）

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第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：充分条件与必要条件的判断
高频考点二：充分条件与必要条件的应用
高频考点三：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比
高频考点四：全称量词命题与存在量词命题的真假判断
高频考点五：含有一个量词的命题的否定
高频考点六：根据全称（特称）命题的真假求参数
第四部分：高考真题感悟
第五部分：常用逻辑用语（精练基础）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、充分条件、必要条件与充要条件的概念
（1）若，则是的充分条件，是的必要条件；
（2）若且，则是的充分不必要条件；
（3）若且，则是的必要不充分条件；
（4） 若，则是的充要条件；
（5）若且，则是的既不充分也不必要条件.
拓展延伸一：等价转化法判断充分条件、必要条件
（1）是的充分不必要条件是的充分不必要条件；
（2）是的必要不充分条件是的必要不充分条件；
（3）是的充要条件是的充要条件；
（4）是的既不充分也不必要条件是的既不充分也不必要条件.
拓展延伸二：集合判断法判断充分条件、必要条件
若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则
（1）若，则是的充分条件；
（2）若，则是的必要条件；
（3）若，则是的充分不必要条件；
（4）若，则是的必要不充分条件；
（5）若，则是的充要条件；
（6）若且，则是的既不充分也不必要条件.
拓展延伸三：充分性必要性高考高频考点结构
（1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序）
（2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序）
2、全称量词与存在量词
（1）全称量词
短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.
（2）存在量词
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.
（3）全称量词命题及其否定（高频考点）
①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：.
②全称量词命题的否定：.
（4）存在量词命题及其否定（高频考点）
①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：.
②存在量词命题的否定：.
（5）常用的正面叙述词语和它的否定词语
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·四川·模拟预测（文））已知命题，那么为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
由已知命题，则是．
故选：A．
2．（2022·天津·二模）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
解：由，得，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
3．（2022·四川·射洪中学高二期中）已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
对于A，，且，即是p的不充分不必要条件，A不是；
对于B，，且，即是p的不充分不必要条件，B不是；
对于C，，即是p的一个充分不必要条件，C是；
对于D，，即是p的必要不充分条件，D不是.
故选：C
4．（2022·宁夏·吴忠中学高二期中（理））已知命题：，总有，则命题的否定为（ ）
A．，使得B．，使得
C．，总有D．，总有
【答案】B
因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题的否定为，使得，
故选：B
5．（2022·河北·模拟预测）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
，则要满足，解得：，
因为，但
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：充分条件与必要条件的判断
例题1．（2022·天津南开·二模）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】
，但，不充分，
时，必要性满足，故是必要不充分条件．
故选：B．
例题2．（2022·湖南·岳阳一中一模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
因为，或，
所以是的既不充分也不必要的条件．
故选：D．
例题3．（2022·辽宁丹东·模拟预测）若，则使“”成立的一个必要不充分条件为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
由可得，
由可得，，所以或，
由可得，
所以使“”成立的一个必要不充分条件为，
故选：D
题型归类练
1．（2022·广西·钦州一中高二期中（文））设，则“”是“”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
，
设A＝{x|}，B＝{x|}，
∵BA，∴“”是“”的充分不必要条件，
“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
2．（2022·江西赣州·高二期中（文））“”是“且”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
由得且，或且；
所以且，
而且
则“”是“且”的必要不充分条件．
故选：C
3．（2022·山东·邹平市第一中学高二期中）设，“”成立的一个充分不必要条件是______．（写出一个即可）
【答案】
，，
所以一个充分不必要条件的范围只需要比求出的范围小，可以是：.
故答案为：
高频考点二：充分条件与必要条件的应用
例题1．（2022·山西·高一期中）设，，若“”是“”的充要条件，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
解不等式可得，由题意可知，，因此，.
故选：C.
例题2．（2022·山西晋中·二模（理））已知条件：，：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
因为是的充分不必要条件，所以，即.
故选：D.
1．（2022·四川·广安二中模拟预测（理））“”是“在上恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
在上恒成立，
即在恒成立，
令，则在上恒成立，
故在上单调递增，
所以，
所以
因为，而，
所以“”是“在上恒成立”的充分不必要条件.
故选：A
例题3．（2022·四川·广安二中模拟预测（理））“”是“在上恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
在上恒成立，
即在恒成立，
令，则在上恒成立，
故在上单调递增，
所以，
所以
因为，而，
所以“”是“在上恒成立”的充分不必要条件.
故选：A
题型归类练
1．（2022·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（理））已知， ，若是的必要不充分条件，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
由，得或，
又是的必要不充分条件，
所以，
故选：B.
2．（2022·云南昆明·模拟预测（文））若“”是“”的必要不充分条件，则a的值可以是___________．（写出满足条件a的一个值即可）
【答案】(答案不唯一，满足即可)
【详解】
因为“”是“”的必要不充分条件，
所以.
故答案为：(答案不唯一，满足即可).
3．（2022·全国·高三专题练习（文））写出一个使命题“，”成立的充分不必要条件______（用m的值或范围作答）．
【答案】（答案不唯一）
【详解】
当时，易知，又，，
显然，故是命题“，”成立的充分不必要条件.
故答案为：（答案不唯一）.
高频考点三：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比
例题1．（2022·湖南怀化·一模）已知，且“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是___________.
【答案】
等价于或，
而且“”是“”的充分不必要条件，则．
故答案为：．
例题2．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）已知集合，或，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是___________．
【答案】
∵“”是”的必要条件，∴，
当时，，则；
当时，根据题意作出如图所示的数轴，

由图可知或，解得或，
综上可得，实数a的取值范围为．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数a的取值范围是_____.
【答案】；
因为不等式成立的充分不必要条件是，
所以.
所以，解得.
故答案为：
例题4．（多选）（2022·全国·高一期末）“关于的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
由题意，关于的不等式对恒成立，
则，解得，
对于选项A中，“”是“关于的不等式对恒成立”的充要条件；
对于选项B 中，“”是“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件；
对于选项C中，“”是“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件；
对于选项D中，“”是“关于的不等式对恒成立”必要不充分条件.
故选：BD.
题型归类练
1．（多选）（2022·湖南·南县第一中学高一阶段练习）下列条件中，为“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
若关于的不等式对恒成立，
则 或，解得，
所以A选项为充要条件，D选项为必要不充分条件，B、C选项为充分不必要条件.
故选：BC.
2．（2022·四川·富顺第二中学校高二阶段练习（理））已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是______
【答案】
解：因为是的充分不必要条件，
所以，
所以.
故答案为：.
3．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校高二期末（文））已知p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是______.
【答案】
因为p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，
故集合为集合的真子集，故只需.
故答案为：.
4．（2022·吉林·长春十一高高一阶段练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
【答案】
因为，即，由于“”是“”的充分不必要条件，则，但不能推出，所以，
故答案为：.
高频考点四：全称量词命题与存在量词命题的真假判断
例题1．（多选）（2022·贵州黔东南·高一期末）下列命题中的真命题是（ ）
A．B．若a＜b＜0，则
C．对顶角不一定相等D．， x2-2x≥4
【答案】AD
对于A，，所以A正确；
对于B，取满足a＜b＜0，但不满足，所以B错误；；
对于C，对顶角一定相等，所以C错误；
对于D，取，则，所以D正确.
故选：AD.
例题2．（2022·湖南·高一课时练习）对下列含有量词的命题作否定，并判断其真假：
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，；
(5)任意三角形都有内切圆；
(6)任意两个直角三角形都是相似三角形．
【答案】
(1)解：原命题的否定为：，.
因为，故原命题的否定为假命题.
(2)解：原命题的否定为：，.
因为当时，，原命题为假命题，原命题的否定为真命题.
(3)解：原命题的否定为：，.
当时，，原命题为真命题，原命题的否定为假命题.
(4)
解：原命题的否定为：，.
取，则，原命题的否定为真命题.
(5)解：原命题的否定为：有些三角形没有内切圆.原命题的否定为假命题.
(6)解：原命题的否定为：存在两个直角三角形不是相似三角形，原命题的否定为真命题.
例题3．（2022·湖南·高一课时练习）判断下列命题的真假，并写出其否定．
（1）对任意的，；
（2）所有能被5整除的整数都是奇数；
（3）对任意的，是有理数；
（4）有些实数的绝对值是正数；
（5），.
【答案】答案见解析
（1）命题“对任意的x∈R，x2-x-1≤0”是全称量词命题，因当x=2时，22-2-1=1>0，
则原命题是假命题，
原命题的否定：存在x∈R，x2-x-1>0；
（2）命题“所有能被5整除的整数都是奇数” 是全称量词命题，因10能被5整除，
10是偶数，则原命题是假命题，
原命题的否定：存在一个能被5整除的整数不是奇数；
（3）命题“对任意的x∈Q，x2+x+1是有理数” 是全称量词命题，
因有理数经过加、减、乘运算后仍是有理数，则原命题是真命题，
原命题的否定：存在x∈Q，x2+x+1不是有理数；
（4）命题“有些实数的绝对值是正数”是存在量词命题，
因实数-2的绝对值2是正数，则原命题是真命题，
原命题的否定：所有实数的绝对值不是正数；
（5）命题“x0，y0∈Z，x0+y0=3” 是存在量词命题，
当时，，则原命题是真命题，
原命题的否定：x，y∈Z，.
题型归类练
1．（多选）（2022·全国·高三专题练习）下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有（ ）
A．，
B．所有的正方形都是矩形
C．，
D．至少有一个实数，使
【答案】AC
对于A，原命题的否定为：，，是全称命题；
，命题的否定为真命题，A正确；
对于B，原命题为全称命题，其否定为特称命题，B错误；
对于C，原命题的否定为：，；
，恒成立，
则命题的否定为真命题，C正确；
对于D，原命题的否定为：对于任意实数，都有；
当时，，命题的否定为假命题，D错误.
故选：AC.
2．（2022·湖南·高一课时练习）判断下列命题的真假：
(1)，；
(2)，；
(3)线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
(4)平面上任意两条直线必有交点．
【答案】
(1)解：若，解得，因为不是整数，故命题“，”为假命题；
(2)解：若，解得，因为，故命题“，”为真命题；
(3)解：根据垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；故命题：“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；”为真命题；
(4)解：平面上两条直线的位置关系有相交与平行，当两直线平行时，两直线没有交点，故命题“平面上任意两条直线必有交点．”为假命题；
3．（2022·湖南·高一课时练习）对下列含有量词的命题作否定，并判断其真假．
(1)存在某个整数，使得；
(2)任意实数都可以写成平方和的形式；
(3)每个能被写成两个奇数之和的整数都是偶数；
(4)，方程有实数根；
(5)，方程有实数根．
【答案】(1)对于任意的整数，都有；假命题
(2)存在实数都不可以写成平方和的形式；真命题
(3)存在能写成两个奇数之和的整数不是偶数；假命题
(4)，方程没有实数根；假命题
(5)，方程没有实数根；假命题
【解析】
(1)解：命题“存在某个整数，使得”，
其否定为“对于任意的整数，都有”，
当时，，
所以原命题的否定为假命题；
(2)解：命题“任意实数都可以写成平方和的形式”，
其否定为“存在实数不可以写成平方和的形式”，
因为负数不能写出平方和的形式，
所以原命题的否定为真命题；
(3)解：命题“每个能被写成两个奇数之和的整数都是偶数”，
其否定为“存在能写成两个奇数之和的整数不是偶数”，
因为两个奇数之和一定为偶数，
所以原命题的否定为假命题；
(4)解：命题“，方程有实数根”，
其否定为“，方程没有实数根”，
因为，所以，
所以，方程有实数根，
所以原命题的否定为假命题；
(5)解：命题“，方程有实数根”，
其否定为“，方程没有实数根”，
由，解得，
所以，
所以，方程有实数根，
所以原命题的否定为假命题.
高频考点五：含有一个量词的命题的否定
例题1．（2022·北京顺义·高一期末）设命题，使得，则命题为的否定为（）
A．，B．，使得
C．，D．，使得
【答案】C
依题意，命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，
所以命题的否定是：，.
故选：C
例题2．（2022·天津·静海一中高三阶段练习）已知命题：，，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
因为命题：，，则：，.
故选：B.
例题3．（2022·河南·永城市苗桥乡重点中学高一期末）命题“”的否定为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
根据命题的否定形式可得：原命题的否定为“”
故选：C
例题4．（2022·安徽·高一期中）已知命题，则的否定为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
的否定为，
故选：C
高频考点六：根据全称（特称）命题的真假求参数
例题1．（2022·山东青岛·一模）若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
依题意命题“，”为真命题，
当时，成立，
当时，成立，
当时，函数开口向下，不恒成立.
综上所述，.
故选：B
例题2．（2022·全国·高三专题练习）若命题p：“，”是真命题，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
由题意可知恒成立，
所以，
解得，
故选：D
例题3．（2022·湖北·沙市中学高一期末）命题：，使得成立．若是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
命题：，使得成立．
因为是假命题，则命题的否定为：，使得成立，为真命题．
所以，解得，
所以实数的取值范围是．
故选：B．
例题4．（2022·陕西西安·三模（文））若命题“，”为真命题，则实数可取的最小整数值是（ ）
A．B．0C．1D．3
【答案】A
由题意，，，
令，则，，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以.
所以实数可取的最小整数值是.
故选：A
题型归类练
1．（2022·广西·容县高级中学高二开学考试（文））若命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
因为命题“，”为真命题，则对，恒成立，
又当时，，所以实数的取值范围是.
故选：B.
2．（2022·浙江·高三专题练习）已知，则成立的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
当真时，在区间上恒成立，所以，
所以成立的一个充分不必要条件可以是.
故选：A
3．（2022·江西南昌·高二期末（文））若命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
解：命题“，”是假命题，
则它的否定命题“，”是真命题，
时，不等式为，显然成立；
时，应满足，解得，
所以实数的取值范围是．
故选：A．
4．（2022·浙江·高三专题练习）若命题“存在，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
∵命题“存在，使” 是假命题，
则其否定“任意， ” 为真命题,
∴ ，
所以 .
故选： C.
5．（2022·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（理））命题“，”为假命题的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
求命题“，”为假命题的充要条件，
即求命题“，”为真命题的充要条件．
若命题“，”为真命题，
则，解得．
∴命题“，”为假命题的充要条件是．
故选：D
6．（2022·全国·高三专题练习）若命题“”为假命题，则m的取值范围是（ ）
A．[-1，2]B．（-∞，-1）（2，+∞）
C．（-1，2）D．（-∞，-1][2，+∞）
【答案】A
因为命题“”为假命题，所以命题“x∈R，使得x2+2mx+m+2≥0”是真命题．
故：4m2-4（m+2）≤0，解得：-1≤m≤2，故：m∈[-1，2]．
故选：A．
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
由题意，若，则，故充分性成立；
若，则或，推不出，故必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2020·山东·高考真题）已知，若集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
当时，集合，，可得，满足充分性，
若，则或，不满足必要性，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
3．（2020·山东·高考真题）下列命题为真命题的是（ ）
A．且B．或
C．，D．，
【答案】D
A项：因为，所以且是假命题，A错误；
B项：根据、易知B错误；
C项：由余弦函数性质易知，C错误；
D项：恒大于等于，D正确，
故选：D.
4．（2020·天津·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
求解二次不等式可得：或，
据此可知：是的充分不必要条件.
故选：A.
5．（2019·天津·高考真题（理））设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
化简不等式，可知 推不出；
由能推出，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选B．
第五部分：第02讲 常用逻辑用语（精练基础）
一、单选题
1．（2022·辽宁·模拟预测）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
因为存在量词命题的否定为全称量词命题，结合题意可得命题“，”的否定为，．
故选：B.
2．（2022·江西·赣州市第三中学高一期中）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
解：因为，所以或，
当时，或一定成立，所以“”是“”的充分条件；
当或时，不一定成立，所以“”是“”的非必要条件.
所以“”是“”的充分非必要条件.
故选：A
3．（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）若命题“时，”是假命题，则的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
因为“，”是假命题，
则其否定“，”为真命题
则
而当时，取得最小值
所以
故选：B
4．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））“”是“使成立”为假命题的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
解：“使成立”为假命题，则“使成立”为真命题，当时成立，当，则，，∴，综合得，则“”是的充分不必要条件.
故选：B.
5．（2022·广东茂名·模拟预测）若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
由不等式，可得，（不合题意）
要使得是的一个充分条件，
则满足，解得.
故选：D.
6．（2022·北京·高三专题练习）已知函数，则“函数的图象恒在轴的下方”是“”的（ ）
A．既不必要又不充分条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．充要条件
【答案】C
因为二次函数的开口方向向下，
所以有，则，
即，满足函数的图像在轴的下方.
又因为，
所以“函数的图像在轴的下方”是“0”的必要不充分条件.
故选：C
7．（2022·全国·高三专题练习（理））若，则“”的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
因为，
对于A，当，取，明显可见，不成立，故必要性不成立，A错误；
对于B，当，，得，必要性成立；当，取，，明显可见，，则不成立，充分性不成立；则B正确
对于C，当，取，明显可见，，则不成立，故必要性不成立，则C错误；
对于D，当成立，则，明显可见，成立；当，两边平方，同样有，充分性也成立，D错误；
故选：B
8．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））若命题“，”是真命题，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
当时显然恒成立，
当时要使命题为真，则：
可得；而时不可能恒成立，
综上，k的取值范围是.
故选：B
二、填空题
9．（2022·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（文））已知命题“”为真命题，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
因为命题“”为真命题，
所以，即，
解得，
所以实数a的取值范围是，
故答案为：
10．（2022·全国·高一期末）已知p：，q：，，且p是q成立的必要非充分条件，则实数a的取值范围是________．
【答案】
因为p是q成立的必要非充分条件，所以，
所以，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
11．（2022·全国·高三专题练习）若命题“，”为真命题，则实数m的取值范围为________.
【答案】
由题意可知，不等式有解，，即，
∴实数m的取值范围为，
故答案为：.
12．（2022·甘肃张掖·高三期末（文））已知：，：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为__________．
【答案】
详解：求解绝对值不等式可得：，
求解二次不等式可得：,
若是的充分不必要条件,则：，
求解关于a的不等式组可得：，
结合可得实数的取值范围是（0，3].
三、解答题
13．（2022·新疆·乌鲁木齐101中学高二期中（理））设命题p:实数x满足，命题q:实数x满足，其中a>0.
(1)若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】(1)；(2).
(1)
由题设，则为真有，而为真有，
所以p∧q为真，即有.
(2)
由且，可得，
所以为真有，而为真有，
又p是q的充分不必要条件，即，则.
14．（2022·湖南师大附中高一开学考试）设全集，集合，集合.
(1)当时，求
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
(1)
；当时，；
，，
.
(2)
由（1）知：
“”是“”的必要不充分条件，，
当时，满足；此时，解得：；
当时，，解得：；
综上所述：的取值范围为.
15．（2022·贵州贵阳·高二期末（文））已知命题：，在下面①②中任选一个作为： ，使为真命题，求出实数a的取值范围.
①关于x的方程有两个不等正根；
②.
（若选①、选②都给出解答，只按第一个解答计分.）
【答案】答案见解析
解：选①时
由知在上恒成立，
∴，即．
又由q：关于x的方程有两个不等正根，知
解得，
由为真命题知,解得.
实数a的取值范围.
选②时
由知在上恒成立，
∴，即
又由，知在上恒成立，
∴，
又，当且仅当时取“=”号，
∴，
由为真命题知，解得.
实数a的取值范围.
正面词语
等于（）
大于（）
小于（）
是
否定词语
不等于（）
不大于（）
不小于（）
不是
正面词语
都是
任意的
所有的
至多一个
至少一个
否定词语
不都是
某个
某些
至少两个
一个也没有