(艺考基础)新高考数学一轮复习精讲精练第02讲 函数的单调性与最大（小）值 (高频考点-精讲）（2份，原卷版+解析版）

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第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：函数的单调性
角度1：求函数的单调区间
角度2：根据函数的单调性求参数
角度3：复合函数的单调性
角度4：根据函数单调性解不等式
高频考点二：函数的最大（小）值
角度1：利用函数单调性求最值
角度2：根据函数最值求参数
角度3：不等式恒成立问题
角度4：不等式有解问题
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、函数的单调性
（1）单调性的定义
一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，；
①当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数
②当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数
（2）单调性简图：

（3）单调区间（注意先求定义域）
若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间．
（4）复合函数的单调性（同调增；异调减）
对于函数和，如果当时，，且在区间上和在区间上同时具有单调性，则复合函数在区间上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．
2、函数的最值
（1）设函数的定义域为，如果存在实数满足
①对于任意的，都有；
②存在，使得
则为最大值
（2）设函数的定义域为，如果存在实数满足
①对于任意的，都有；
②存在，使得
则为最小值
3、常用高频结论
（1）设，.
①若有或，则在闭区间上是增函数；
②若有或，则在闭区间上是减函数.此为函数单调性定义的等价形式.
（2）函数相加或相减后单调性：
设，两个函数，在区间上的单调性如下表，则在上的单调性遵循（增+增=增；减+减=减）
（3）对钩函数单调性：（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减．
（4）常见对钩函数：（），的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减．
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·全国·高一专题练习）下列四个函数在是增函数的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
对A，二次函数开口向上，对称轴为轴，在是减函数，故A不对．
对B，为一次函数，，在是减函数，故B不对．
对C，，二次函数，开口向下，对称轴为，在是增函数，故C不对．
对D，为反比例类型，，在是增函数，故D对．
故选：D
2．（2022·贵州·高二学业考试）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
由知，函数为开口向上，对称轴为的二次函数，则单调递增区间是.
故选：B.
3．（2022·全国·高一课时练习）函数在上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
A．，0 B．0，2
C．，2 D．，2
【答案】C
由图可得，函数在处取得最小值，在处取得最大值，
故选：C
4．（2022·浙江·平湖市当湖高级中学高二阶段练习）设，则函数的最大值为______.
【答案】##0.5
二次函数是开口向下的，对称轴为 ，
∴当 时， ；
故答案为： .
5．（2022·全国·高一）已知函数f(x)＝4x＋ (x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.
【答案】36
f(x)＝4x＋ (x＞0，a＞0)在(0，]上单调递减，
在(，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝时取得最小值，
由题意知＝3，∴a＝36.
故答案为：
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：函数的单调性
角度1：求函数的单调区间
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）的单调增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
由题得二次函数的图象的对称轴为，因为抛物线开口向上，
所以函数的单调增区间为.
故选：A
例题2．（2022·全国·高一专题练习）函数的单调增区间是________.
【答案】，
；
的图像是由的图像沿轴向右平移个单位，
然后沿轴向下平移一个单位得到；
而的单调增区间为，；
的单调增区间是，．
故答案为：，
角度2：根据函数的单调性求参数
典型例题
例题1．（2022·江苏·高一）已知函数在上是增函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
函数的单调递增区间是，依题意，，
所以，即实数的取值范围是.
故选：D
例题2．（2022·湖北武汉·高一期末）已知二次函数在区间内是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
由题知，当或，即或时，满足题意.
故选：A
角度3：复合函数的单调性
典型例题
例题1．（2022·全国·高一专题练习）函数的单调减区间为__________.
【答案】##
函数是由函数和组成的复合函数，
，解得或，
函数的定义域是或，
因为函数在单调递减，在单调递增，
而在上单调递增，
由复合函数单调性的“同增异减”，可得函数的单调减区间．
故答案为：.
例题2．（2022·黑龙江·佳木斯一中高一开学考试）函数的单调增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
要满足，解得：或，又是增函数，所以只需求出的单调递增区间，的对称轴为，且开口向上，结合函数的定义域可得：的单调递增区间为
故选：D
角度4：根据函数单调性解不等式
典型例题
例题1．（2022·甘肃庆阳·高一期末）若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
在上单调递增，，，解得：，
实数的取值范围为.
故选：C.
例题2．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，若，则实数的取值范围是___.
【答案】
解：和在上都是单调递减，
在上单调递减，
由，可得，解得，即．
故答案为：
题型归类练
1．（2022·全国·高一）已知在为单调函数，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
在上单调递减，在上单调递增，故要想在为单调函数，需满足，
故选：D
2．（2022·辽宁鞍山·高一期末）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
在函数中，由得或，则的定义域为，
函数在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增，
于是得在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递减区间为.
故选：B
3．（2022·全国·高一）若函数y＝f(x)在R上单调递减，且f(2m－3) > f(－m)，则实数m的取值范围是（ ）
A．(－∞，－1)B．(－1，＋∞)C．(1，＋∞)D．(－∞，1)
【答案】D
因为函数y＝f(x)在R上单调递减，且f(2m－3) > f(－m)，
所以，得，
所以实数m的取值范围是(－∞，1)，
故选：D
4．（2022·江西·南昌市实验中学高二阶段练习（文））函数的减区间是____________．
【答案】（或，两个任写一个都对）
因为函数的开口向上，对称轴为，
由二次函数的性质可知，函数的减区间是（或）.
故答案为：（或）.
5．（2022·广东揭阳·高一期末）已知函数在区间是单调递增函数，则实数的取值范围是______．
【答案】
函数的对称轴是，开口向上，
若函数在区间是单调递增函数，
则，
故答案为：．
6．（2022·全国·高一）已知函数，则的单调递增区间为______.
【答案】
，
解得.
函数的对称轴为，开口向下，
根据复合函数单调性同增异减可知，的单调递增区间为.
故答案为：
7．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，若则实数的取值范围是____．
【答案】
由题意可知，函数在上单调递增，
则，
即且，即且，
解得且或，即
故答案为：.
8．（2022·湖南·高一课时练习）求函数的单调递增区间．
【答案】当 时，是增函数，当 时，减函数.
首先考虑定义域： ，所以 ，
由于 是减函数；
是开口向上的二次函数，对称轴为x=-2，
当 时是减函数， 时是增函数，
根据复合函数同增异减的性质，当 时， 是增函数，
当 时， 是减函数；
故答案为：当 时，是增函数，当 时，减函数.
高频考点二：函数的最大（小）值
角度1：利用函数单调性求最值
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）设函数，则( )
A．有最大值 B．有最小值
C．既有最大值又有最小值 D．既无最大值又无最小值
【答案】D
由题意可知函数单调递增，但定义域为，取不到最大值，也没有最小值；
故选：D
例题2．（2022·全国·高三专题练习（文））函数在区间上的最小值为__________．
【答案】
∵函数
∴函数在区间上为单调增函数
∴当时，函数取得最小值，为.
故答案为：.
角度2：根据函数最值求参数
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数在区间上的最大值是,最小值是,则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】A
由题意可知抛物线得对称轴为,开口向上,
在对称轴的左侧,对称轴的左侧图象为单调递减,在对称轴左侧时有最大值,
上有最大值,最小值,当时,,
的取值范围必须大于或等于,抛物线得图象关于对称,,所以.
故选：A.
例题2．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高二期末）若函数在区间上的最大值为，则实数（ ）
A．B．C．D．或
【答案】B
函数，即，，
当时，不成立；
当，即时，在递减，可得为最大值，
即，解得成立；
当，即时，在递增，可得为最大值，
即，解得不成立；
综上可得．
故选：
角度3：不等式恒成立问题
典型例题
例题1．（2022·江苏·高一）设函数，若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围为______．
【答案】
由，则，
因为，所以，
则，
又，当且仅当时等号成立，所以，
所以，即实数m的取值范围是，
故答案为：
例题2．（2022·四川凉山·高一期末（理））已知函数．
(1)当时，解不等式；
(2)若恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)或(2)
(1)解：当时，，即，，
所以：或
(2)①当时，恒成立，
②当时，恒成立，，即，
综上所述：a的取值范围为：．
角度4：不等式有解问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习（文））写出一个使命题“，”成立的充分不必要条件______（用的值或范围作答）．
【答案】（答案不唯一）
当时，易知，又，，
显然，故是命题“，”成立的充分不必要条件.
故答案为：（答案不唯一）.
例题2．（2022·福建泉州·高一期末）已知函数在上的最大值为3，最小值为．
(1)求的解析式；
(2)若，使得，求实数的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)的开口向上，对称轴为，
所以在区间上有：，
即，
所以.
(2)依题意，使得，
即，
由于，，
当且仅当时等号成立.
所以.
题型归类练
1．（2022·全国·高一专题练习）在上的最小值为______．
【答案】0
解: 根据题意在上为增函数，
则在上的最小值为．
故答案为：0.
2．（2022·安徽蚌埠·高一期末）若函数在定义域上的值域为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
因为的对称轴为，且
所以若函数在定义域上的值域为，则
故选：A
3．（2022·四川南充·高一期末）函数在上的最大值为1，则的值为___________.
【答案】
解：因为是由向右平移个单位得到，即在上单调递减，所以在上单调递减，所以，解得；
故答案为：
4．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是___________.
【答案】
对任意，恒成立，
等价于在上恒成立，
令，
则其在上的最小值为，所以，得.
故答案为：
5．（2022·广东·信宜市第二中学高一开学考试）已知.
(1)用定义证明在区间上是增函数；
(2)求该函数在区间上的最大值.
【答案】(1)见解析(2)
(1)证明：任取，，，且，
则．
，，而，，
，即，
在区间，上是增函数；
(2)解：由(1)知，在区间，上是单调增函数，
．
6．（2022·全国·高一专题练习）求函数，的最大值与最小值.
【答案】最大值，最小值
函数，根据对勾函数的性质可得：在上单调递减，上单调递增.
当时取到最小值.
又当时，，当时，
所以当时取到最大值，
所以函数的最大值，最小值
7．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学高一期末）已知函数．
（1）试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明；
（2）对任意时，都成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）在上单调递减，证明见解析；（2）.
（1）函数在区间上单调递减，以下证明：设，
∵，
∴，，，
∴，
∴在区间上单调递减；
（2）由（2）可知在上单调减函数，
∴当时，取得最小值，即，
对任意时，都成立，只需成立，
∴，解得：．
8．（2022·山西省长治市第二中学校高二期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求函数的解析式；
(2)若，，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
(1)解：设，则，可得，
又因为函数是定义在上的奇函数，所以，
且当时，可得，适合上式，
所以函数的解析式为.
(2)解：由时，，
又由，即，可得，
因为，，即在区间有解，
又因为，
当且仅当时，即时，等号成立，即的最大值为，
所以，即实数的取值范围.
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
若函数在上单调递增，则在上的最大值为，
若在上的最大值为，
比如，
但在为减函数，在为增函数，
故在上的最大值为推不出在上单调递增，
故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，
故选：A.
2．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中是增函数的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
对于A，为上的减函数，不合题意，舍.
对于B，为上的减函数，不合题意，舍.
对于C，在为减函数，不合题意，舍.
对于D，为上的增函数，符合题意，
故选：D.
增
增
增
减
减
减
增
减
增
减
增
减