新高考数学一轮复习考点题型归纳讲练第27讲 数列的概念（精讲）（2份，原卷版+解析版）

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一、知识点梳理
一、数列的概念
1.定义：按照一定顺序排列的一列数，称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是第几项，则在数列中是第几项，一般记为数列.
2.对数列概念的理解
（1）数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．
（2）数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．
（3）数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集和正整数集的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点.
二、数列的分类
三、数列的通项公式
如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.
四、数列的递推公式
如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
五、an与Sn的关系
数列的前项和和通项的关系：则
二、题型分类精讲
题型一 数列的概念与通项公式
策略方法 数列的概念与通项公式
1.根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用或来调整．
2.对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式.
【典例1】将1，5，12，22等称为五边形数，如下图所示，把所有的五边形数按从小到大的顺序排列，就能构成一个数列，则该数列的第6项（ ）

A．49B．50C．51D．52
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，······，则第十层有（ ）个球．

A．12B．20C．55D．110
2．（2023秋·山西大同·高三统考阶段练习）分形几何学是数学家伯努瓦•曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路，按照如图1的分形规律可得知图2的一个树形图，记图2中第行黑圈的个数为，白圈的个数为，若，则（ ）

A．34B．35C．88D．89
3．（2023·河南·河南省内乡县高级中学校考模拟预测）“角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次运算，最终回到1.对任意正整数，按照上述规则实施第次运算的结果为，若，且均不为1，则（ ）
A．5或16B．5或32
C．5或16或4D．5或32或4
4．（2023·全国·高三专题练习）历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，，，，，，，，，，，，即，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
5．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知数列中，，，则数列前项的和（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（2023·全国·高三专题练习）如图，第个图形由第边形“扩展”而来的.记第个图形的顶点数为，则 .

7．（2023·云南昆明·统考模拟预测）Farey序列是指把在0到1之间的所有分母不超过的最简分数及0（视为）和1（视为：）按从小到大的顺序排列起来所形成的数列，记作F－n，例如F－4就是．则F－7的项数为 ．
8．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知，且（为正整数），则 .
9．（2023·全国·高三专题练习）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”．那么 是斐波那契数列中的第 项．
题型二 数列的性质
策略方法
1．解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
2．判断数列单调性的两种方法
(1)作差(或商)法．
(2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去．
3．求数列中最大(小)项的两种方法
(1)根据数列的单调性判断．
(2)在数列中，若最大，则若最小，则
【典例1】若数列中，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】已知数列的通项公式为，且为递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，已知，当时，是的个位数，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
2．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）若数列满足，则（ ）
A．2B．C．D．
3．（2023·四川宜宾·统考三模）已知数列的前n项和为，则使得最小时的n是（ ）
A．4B．5C．6D．7
4．（2023·贵州铜仁·统考模拟预测）已知数列的通项公式为，前n项和为，则取最小值时n的值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
5．（2023·北京·统考模拟预测）设是等比数列，则“”是“为递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．（2023·北京密云·统考三模）设数列的前n项和为，则“对任意，”是“数列为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不是充分也不是必要条件
7．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，对所有的正整数都有，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列的通项公式为，则当最小时，（ ）
A．9B．10C．11D．12
9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023·全国·高三专题练习）数列的通项公式是，则该数列中的最大项和最小项依次为（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·北京通州·统考三模）数列中，，则（ ）
A．B．C．2D．4
12．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1B．C．0D．
13．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知数列满足，，记数列的前项和为，则（ ）
A．B．
C．D．
14．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）斐波那契数列可以用如下方法定义：，且，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列，则数列的第100项为（ ）
A．0B．1C．2D．3
15．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，已知，，，且，则（ ）
A．B．C．D．
16．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，若存在实数，使单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
17．（2023春·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）已知无穷实数列的前n项和为．若数列既有最大项，也有最小项，则在：①“且数列严格减”和②“且数列严格增”中，可能满足的条件是（ ）
A．不存在B．只有①
C．只有②D．①和②
二、多选题
18．（2023·全国·高三专题练习）定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列是等积数列，且，前项的和为，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．公积为D．
19．（2023·全国·高三专题练习）数列中，．则下列结论中正确的是（ ）
A．是等比数列B．
C．D．
20．（2023秋·江苏常州·高三校考期末）斐波那契数列是数学中的一个有趣的问题，它满足：，，人们在研究它的过程中获得了许多漂亮的结果某同学据此改编，研究如下问题：在数列中，，，数列的前项和为，则（ ）
A．B．
C．D．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，，前项和为（参考数据：，，则下列选项正确的是（ ）
A．是单调递增数列，是单调递减数列
B．
C．
D．
三、填空题
22．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，则 .
23．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，已知，，则 .
24．（2023·全国·高三专题练习）数列满足若，则 .
25．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）若数列中，，，且（），记数列的前n项积为，则的值为 ．
26．（2023·全国·高三专题练习）设数列满足.若存在常数，对于任意，恒有，则的取值范围是 .
27．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且对任意，有，则的取值范围是 .
28．（2023·山东泰安·校考模拟预测）已知数列满足：，若
，且数列为递增数列，则实数的取值范围为 ．
29．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则 ．
30．（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知是各项均为正数的无穷数列，其前n项和为，．给出下列四个结论：
①；
②数列有最大值，无最小值；
③；
④存在，使得.
其中所有正确结论的序号是 ．
题型三 与的关系
策略方法 已知Sn求an的三个步骤
(1)利用a1＝S1求出a1．
(2)当n≥2时，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表达式．
(3)看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式，即an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
【典例1】已知数列的前项和为，且满足，则（ ）
A．16B．18C．20D．25
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·北京·高三专题练习）已知数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．5C．7D．8
2．（2023·北京·高三专题练习）已知数列的前n项和是，则（ ）
A．9B．16C．31D．33
3．（2023秋·海南·高三统考期末）若数列的前n项和，则（ ）
A．7B．8C．15D．16
4．（2023·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考模拟预测）“斐波那契数列” 由十三世纪意大利数学家列昂纳多 •斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为 “兔子数列”.斐波那契数列 满足:，记其前项和为，设(为常数)，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·河北·统考模拟预测）已知数列的前项和为，且，，，则（ ）
A．B．2C．1011D．2022
6．（2023春·湖南长沙·高三校联考阶段练习）数列的前项和为，满足，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·陕西·西北工业大学附属中学校联考模拟预测）已知首项为3的数列的前项和为，若，则（ ）
A．1435B．1436C．D．
8．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知数列的前项和满足，数列满足，则下列各式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·四川·校联考模拟预测）已知数列满足，则的通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，若数列为单调递增数列，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
11．（2023·湖南岳阳·统考三模）设数列的前n项和为，且，若，则下列结论正确的有（ ）
A．B．数列单调递减
C．当时，取得最小值D．时，n的最小值为7
三、填空题
12．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知数列的前项和为，若，则 ．
13．（2023·广西南宁·武鸣县武鸣中学校考三模）已知数列的前项和，则 ．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n和，则数列的通项公式为 ．
15．（2023·高三课时练习）数列的前n项积为，那么当时，＝ ．
16．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）数列满足，则数列的通项公式为 .
17．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）若数列满足且，其中为数列的前n项和．请写出一个满足上述条件的数列通项 ．
18．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）数列的前n项和为，且，则“”是“”的 条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中的一种）
19．（2023·全国·高三专题练习）根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量（万件）近似地满足关系式，按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是 .
20．（2023·全国·高三专题练习）数列的前项和为，满足，且，则的通项公式是 ．
①数列的概念与通项公式
②数列的性质
③与的关系
分类原则
类型
满足条件
按项数分类
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
按项与项间的大小关系分类
递增数列
其中n∈N＋
递减数列
常数列
按其他标准分类
有界数列
存在正数，使
摆动数列
的符号正负相间，如1，－1,1，－1，…