资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩27页未读，
继续阅读
所属成套资源：新高考数学一轮复习讲与练 （2份打包，原卷版+解析版）
成套系列资料，整套一键下载
新高考数学一轮复习讲与练第23讲 双曲线（练）（2份打包，原卷版+解析版）
展开
这是一份新高考数学一轮复习讲与练第23讲 双曲线（练）（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考数学一轮复习讲与练第23讲双曲线练原卷版doc、新高考数学一轮复习讲与练第23讲双曲线练解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共60页， 欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，实轴长为2，实轴的左端点为 SKIPIF 1 < 0 ，虚轴的上顶点为 SKIPIF 1 < 0 为右支上任意一点，则 SKIPIF 1 < 0 面积的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据题意列式求解 SKIPIF 1 < 0 ，再结合双曲线的渐近线分析可得 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离大于两平行线间距离，运算求解.
【详解】由已知得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与一条渐近线 SKIPIF 1 < 0 平行，两平行线间距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 面积 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 面积的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
2．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左，右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，A是双曲线C的左顶点，以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线C的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据题意易得圆与渐近线的方程，联立即可求得 SKIPIF 1 < 0 的坐标，结合图像易得 SKIPIF 1 < 0 ，利用斜率公式即可求得 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求得双曲线C的离心率.
【详解】依题意，易得以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又由双曲线 SKIPIF 1 < 0 易得双曲线C的渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 轴，
∴由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
.
3． SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，过左焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右两支分别交于 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据长度关系可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用双曲线定义可用 SKIPIF 1 < 0 表示出 SKIPIF 1 < 0 ，利用勾股定理可构造关于 SKIPIF 1 < 0 的齐次方程求得离心率.
【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
由双曲线定义可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
4．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作一倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线交双曲线右支于 SKIPIF 1 < 0 点，且满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为原点）为等腰三角形，则该双曲线离心率 SKIPIF 1 < 0 为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】由题意得出 SKIPIF 1 < 0 ，写出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，与双曲线方程联立，求出 SKIPIF 1 < 0 点坐标，利用 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出结果．
【详解】解：记右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意知， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形，则只能是 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
整理，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
5．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两点的直线与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由双曲线 SKIPIF 1 < 0 可得其渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，再求得直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率，由平行得到斜率相等即可求得 SKIPIF 1 < 0 ，再由焦点坐标 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，从而求得 SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线的方程可求.
【详解】因为双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，所以它的渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线的一条渐近线平行，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为双曲线的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以该双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
6．“ SKIPIF 1 < 0 ”是“方程 SKIPIF 1 < 0 表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】方程 SKIPIF 1 < 0 表示双曲线等价于 SKIPIF 1 < 0 ，求解判断即可
【详解】方程 SKIPIF 1 < 0 表示双曲线等价于 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故“ SKIPIF 1 < 0 ”是“方程 SKIPIF 1 < 0 表示双曲线”的充分不必要条件.
故选：A
7．已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，离心率为2， SKIPIF 1 < 0 是双曲线上一点， SKIPIF 1 < 0 轴，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】由离心率可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可整理双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 可求 SKIPIF 1 < 0 的坐标，即可求得答案
【详解】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
8．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】由题知 SKIPIF 1 < 0 ，再解不等式，结合离心力公式求解即可.
【详解】解：因为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A
二、填空题
9．如图所示,已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ,双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支上一点 SKIPIF 1 < 0 ,它关于原点 SKIPIF 1 < 0 的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ,满足 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率是______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】连接左焦点，得到平行四边形，通过余弦定理列方程即可解出.
【详解】
设双曲线的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ,连接 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,根据双曲线的对称性可知，
四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，由题意以及双曲线定义，
可得 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为: SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
10．在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为C的左､右顶点，C的离心率等于2，P为C左支上一点，若 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据结合直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率关系，角平分线定理以及双曲线的定义，可得 SKIPIF 1 < 0 ，又由离心率得 SKIPIF 1 < 0 ，又在焦点三角形 SKIPIF 1 < 0 中用余弦定理得直线倾斜角的余弦值，从而可得直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】解：由题意得下图：
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
双曲线的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
又直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在第二象限
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，由角平分线定理得： SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 ，
即可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
又在双曲线中有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
则在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0
由题意 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 为锐角，
所以 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
11．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 无交点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是_____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】结合双曲线的几何性质，可知直线 SKIPIF 1 < 0 应在两渐近线上下两部分之间，由此可得不等式 SKIPIF 1 < 0 ，解之即可求得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】依题意，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为双曲线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 无交点，所以直线 SKIPIF 1 < 0 应在两条渐近线上下两部分之间，
故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
.
三、解答题
12．求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，两顶点间的距离为6；
(2)以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点为顶点，顶点为焦点.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据已知条件求得 SKIPIF 1 < 0 ，从而求得双曲线的标准方程.
（2）根据椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点和顶点，求得双曲线的 SKIPIF 1 < 0 ，从而求得双曲线的标准方程.
【详解】（1）设双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由题意可知，双曲线的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上.
设双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
一、单选题
1．已知 SKIPIF 1 < 0 分别为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点， SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右顶点.过 SKIPIF 1 < 0 的直线与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支交于 SKIPIF 1 < 0 两点（其中点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限），设 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的内心，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由内心的性质，可知M，N的横坐标都是a，得到MN⊥x轴，设直线AB的倾斜角为θ，有 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 表示为θ的三角函数，结合正切函数的性质可求得范围.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 上的切点分别为H､I､J，
则 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
设内心M的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 轴得点J的横坐标也为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，则E为直线 SKIPIF 1 < 0 与x轴的交点，即J与E重合.
同理可得 SKIPIF 1 < 0 的内心在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的领斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，由题知， SKIPIF 1 < 0 ，
因为A，B两点在双曲线的右支上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
2．设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右两支分别交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】A
【分析】结合向量运算、双曲线的定义建立等量关系式，利用直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率列方程，化简求得双曲线的离心率.
【详解】如图，设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 .
易知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
在Rt SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ；
在Rt SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
3．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线与 SKIPIF 1 < 0 的左右两支分别交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于另一点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于另一点 SKIPIF 1 < 0 ，如图1.若直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，线段AB的中点 SKIPIF 1 < 0 ，代入双曲线的方程中可得 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ①，设 SKIPIF 1 < 0 ，线段CD的中点 SKIPIF 1 < 0 ，同理得 SKIPIF 1 < 0 ②，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 三点共线， 从而求得 SKIPIF 1 < 0 ，由此可求得双曲线的离心率.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，线段AB的中点 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ①，
设 SKIPIF 1 < 0 ，线段CD的中点 SKIPIF 1 < 0 ，同理得 SKIPIF 1 < 0 ②，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 三点共线，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，将①②代入得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
4．长为11的线段AB的两端点都在双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支上，则AB中点M的横坐标的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】用A、B两点的坐标表示出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，(F为双曲线右焦点）解出A、B两点的坐标，利用 SKIPIF 1 < 0 ，求得m的最小值.
【详解】
由双曲线 SKIPIF 1 < 0 可知，a＝3，b＝4，c＝5，设AB中点M的横坐标为m， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当F、A、B共线且 SKIPIF 1 < 0 不垂直 SKIPIF 1 < 0 轴时，m取得最小值，此时 SKIPIF 1 < 0 ．
检验: 如图，当F、A、B共线且 SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 为双曲线的通径，则根据通径公式得 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 轴不满足题意.
综上，当F、A、B共线且 SKIPIF 1 < 0 不垂直 SKIPIF 1 < 0 轴时，m取得最小值，此时 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
5．如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，从 SKIPIF 1 < 0 发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则E的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答.
【详解】依题意，直线 SKIPIF 1 < 0 都过点 SKIPIF 1 < 0 ，如图，有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，显然有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，令双曲线半焦距为c，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以E的离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
6．点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是曲线C： SKIPIF 1 < 0 的左右焦点，过 SKIPIF 1 < 0 作互相垂直的两条直线分别与曲线交于A，B和C，D；线段AB，CD的中点分别为M，N，直线 SKIPIF 1 < 0 与x轴垂直且点G在C上.若以G为圆心的圆与直线MN恒有公共点，则圆面积的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】讨论 SKIPIF 1 < 0 斜率，斜率存在时设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 联立曲线C，应用韦达定理求线段AB，CD的中点坐标，进而确定 SKIPIF 1 < 0 的方程，可得 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，若以G为圆心的圆半径为 SKIPIF 1 < 0 ，只需保证 SKIPIF 1 < 0 可满足圆与直线恒有公共点，即得面积最小值.
【详解】当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率均存在时，令 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 与曲线C并整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 与曲线C并整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
同理， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 中一条的斜率不存在时，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，要使以G为圆心的圆与直线MN恒有公共点，且圆面积最小，
若圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，只需 SKIPIF 1 < 0 恒成立，故圆最小面积为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
7．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的左，右焦点分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 右支上异于顶点的点，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的角平分线上，由双曲线的定义和切线长定理可得 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的内心，再由内心的向量表示，推得 SKIPIF 1 < 0 ，再由双曲线的定义和离心率公式，即可求解.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的角平分线，
又因为点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，且在双曲线中，点 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 右支上异于顶点的点，
则 SKIPIF 1 < 0 的内切圆圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上，即点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的内心，
如图，作出 SKIPIF 1 < 0 ，并分别延长 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 至点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由重心性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的内心，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
8．已知直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于P，Q两点， SKIPIF 1 < 0 轴于点H，直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线C的另一个交点为T，则下列选项中错误的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 为定值D． SKIPIF 1 < 0 的最小值为2
【答案】D
【分析】由已知，可由双曲线方程推导结论 SKIPIF 1 < 0 ，选项A，根据双曲线方程，可以求得渐近线方程，然后直线与双曲线交于P，Q两点，即可求解出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；选项B，利用坐标表示出 SKIPIF 1 < 0 ，从而找到 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的关系；选项C，由 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 ；选项D，利用 SKIPIF 1 < 0 借助基本不等式可得 SKIPIF 1 < 0 ，故该选项错误.
【详解】参考结论：已知双曲线方程为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是双曲线上关于原点对称的两点，点 SKIPIF 1 < 0 也在双曲线上，则 SKIPIF 1 < 0 ．
推导：由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以
SKIPIF 1 < 0
解析： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
选项A，双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，所以渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线与双曲线交于P，Q两点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，由已知， SKIPIF 1 < 0 ，所以该选项正确；
选项B， SKIPIF 1 < 0 ，所以该选项正确；
选项C， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，所以该选项正确；
选项D，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故该选项错误；
故选：D.
二、填空题
9．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的公共焦点，它们在第一象限内交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若椭圆的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为________________________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由题意，根据椭圆和双曲线的定义，表示出焦半径，整理齐次方程，根据离心率定义以及二次函数的性质，可得答案.
【详解】由椭圆及双曲线定义得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
10．设 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点，双曲线两条渐近线分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 的垂线，分别交 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，且向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同向，则双曲线离心率 SKIPIF 1 < 0 的大小为_____________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由双曲线的性质，等差数列的定义，二倍角的正切公式求解
【详解】不妨设 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为锐角 SKIPIF 1 < 0 向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同向，
SKIPIF 1 < 0 渐近线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 渐近线 SKIPIF 1 < 0 斜率为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在直角 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，由对称性可知： SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 舍去）；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
三、双空题
11．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的上方）两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为______；已知点 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 右支上任意一点，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 分别与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线交于点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【分析】设直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 的值，设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，根据双曲线的定义得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，分别在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 中利用余弦定理可求得双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率的值；设双曲线的两条渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故可设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，利用已知条件可求得 SKIPIF 1 < 0 的值，结合平面向量数量积的坐标运算结合 SKIPIF 1 < 0 可求得 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的值，即可得出双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【详解】设直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ．
设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，根据双曲线的定义得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
分别在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 中利用余弦定理得
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
结合 SKIPIF 1 < 0 化简得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
设双曲线的两条渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故可设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的坐标分别代入直线 SKIPIF 1 < 0 的方程得 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相乘得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为点 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 上的点，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题
12．过双曲线Γ： SKIPIF 1 < 0 的左焦点F1的动直线l与Γ的左支交于A，B两点，设Γ的右焦点为F2.
(1)若 SKIPIF 1 < 0 是边长为4的正三角形，求此时Γ的标准方程；
(2)若存在直线l，使得 SKIPIF 1 < 0 ，求Γ的离心率的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）结合图像，分别求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，从而求得 SKIPIF 1 < 0 ，由此双曲线Γ的标准方程可求；
（2）联立方程，由韦达定理得 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 推得 SKIPIF 1 < 0 ，由此得到关于 SKIPIF 1 < 0 的一个齐次方程，可求得离心率 SKIPIF 1 < 0 的范围，再由y1y2<0，得到关于 SKIPIF 1 < 0 的另一个齐次方程，缩小离心率 SKIPIF 1 < 0 的范围，从而得到Γ的离心率的取值范围.
【详解】（1）依题意，结合双曲线的对称性得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以2a＝|AF2|－|AF1|＝2，a＝1， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，b2＝c2－a2＝2，
此时Γ的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）依题意知直线l的斜率不为0，设l的方程为x＝my－c，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由AF2⊥BF2得 SKIPIF 1 < 0 ，故(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0，即(my1－2c)(my2－2c)＋y1y2＝0，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，即(m2＋1)b4－4m2c2b2＋4c2(b2m2－a2)＝0，
则(m2＋1)b4＝4a2c2，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故4a2c2≥(c2－a2)2，
所以c4＋a4－6a2c2≤0，两边除以 SKIPIF 1 < 0 ，得e4－6e2＋1≤0，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为e>1，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
又A，B在左支且l过F1，所以y1y2<0，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即4a25，即 SKIPIF 1 < 0 ，
综上： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
一、单选题
1．若双曲线 SKIPIF 1 < 0 离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】分析可得 SKIPIF 1 < 0 ，再将点 SKIPIF 1 < 0 代入双曲线的方程，求出 SKIPIF 1 < 0 的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入双曲线的方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
2．点 SKIPIF 1 < 0 到双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线的距离为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.
【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
结合对称性，不妨考虑点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离： SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
3．已知 SKIPIF 1 < 0 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则C的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出 SKIPIF 1 < 0 ，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，由双曲线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
因为 SKIPIF 1 < 0 ,由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
4．设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点和点 SKIPIF 1 < 0 的直线为 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线与 SKIPIF 1 < 0 平行，另一条渐近线与 SKIPIF 1 < 0 垂直，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】由抛物线的焦点 SKIPIF 1 < 0 可求得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即得直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，再根据双曲线的渐近线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 即可求出 SKIPIF 1 < 0 ，得到双曲线的方程．
【详解】由题可知，抛物线的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
又双曲线的渐近线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
5．已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y= SKIPIF 1 < 0 图像上的点，则|OP|=（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据题意可知，点 SKIPIF 1 < 0 既在双曲线的一支上，又在函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，即可求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，得到 SKIPIF 1 < 0 的值．
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为焦点，实轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，焦距为 SKIPIF 1 < 0 的双曲线的右支上，由 SKIPIF 1 < 0 可得， SKIPIF 1 < 0 ，即双曲线的右支方程为 SKIPIF 1 < 0 ，而点 SKIPIF 1 < 0 还在函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，所以，
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D.
6．设双曲线C： SKIPIF 1 < 0 （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据双曲线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
7．设 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线分别交于 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 的面积为8，则 SKIPIF 1 < 0 的焦距的最小值为（ ）
A．4B．8C．16D．32
【答案】B
【分析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得双曲线的渐近线方程是 SKIPIF 1 < 0 ，与直线 SKIPIF 1 < 0 联立方程求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点坐标，即可求得 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 值，根据 SKIPIF 1 < 0 ，结合均值不等式，即可求得答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 双曲线的渐近线方程是 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线分别交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点
不妨设 SKIPIF 1 < 0 为在第一象限， SKIPIF 1 < 0 在第四象限
联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0
联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 面积为： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 双曲线 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 其焦距为 SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 取等号
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的焦距的最小值： SKIPIF 1 < 0
故选：B.
8．已知 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一个焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 再结合双曲线方程可解出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用三角形面积公式可求出结果.
【详解】设点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ①．
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ②．
由①②得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故选B．
二、填空题
9．若双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 _________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨取 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
依题意圆心 SKIPIF 1 < 0 到渐近线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
10．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为F，过F且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线交双曲线于点 SKIPIF 1 < 0 ，交双曲线的渐近线于点 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的离心率是_________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】联立直线 SKIPIF 1 < 0 和渐近线 SKIPIF 1 < 0 方程，可求出点 SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 可求得点 SKIPIF 1 < 0 ，最后根据点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线上，即可解出离心率．
【详解】过 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 ，渐近线 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
而点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线上，于是 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，所以离心率 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
11．记双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为e，写出满足条件“直线 SKIPIF 1 < 0 与C无公共点”的e的一个值______________．
【答案】2（满足 SKIPIF 1 < 0 皆可）
【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 即可求得满足要求的e值.
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ，所以C的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
结合渐近线的特点，只需 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
可满足条件“直线 SKIPIF 1 < 0 与C无公共点”
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：2（满足 SKIPIF 1 < 0 皆可）
12．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】首先可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到双曲线的标准方程，从而得到 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，再跟渐近线方程得到方程，解得即可；
【详解】解：对于双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即双曲线的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
故答案为： SKIPIF 1 < 0
一、单选题
1．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，实轴长为2，实轴的左端点为 SKIPIF 1 < 0 ，虚轴的上顶点为 SKIPIF 1 < 0 为右支上任意一点，则 SKIPIF 1 < 0 面积的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据题意列式求解 SKIPIF 1 < 0 ，再结合双曲线的渐近线分析可得 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离大于两平行线间距离，运算求解.
【详解】由已知得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与一条渐近线 SKIPIF 1 < 0 平行，两平行线间距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 面积 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 面积的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
2．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左，右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，A是双曲线C的左顶点，以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线C的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据题意易得圆与渐近线的方程，联立即可求得 SKIPIF 1 < 0 的坐标，结合图像易得 SKIPIF 1 < 0 ，利用斜率公式即可求得 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求得双曲线C的离心率.
【详解】依题意，易得以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又由双曲线 SKIPIF 1 < 0 易得双曲线C的渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 轴，
∴由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
.
3． SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，过左焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右两支分别交于 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据长度关系可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用双曲线定义可用 SKIPIF 1 < 0 表示出 SKIPIF 1 < 0 ，利用勾股定理可构造关于 SKIPIF 1 < 0 的齐次方程求得离心率.
【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
由双曲线定义可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
4．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作一倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线交双曲线右支于 SKIPIF 1 < 0 点，且满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为原点）为等腰三角形，则该双曲线离心率 SKIPIF 1 < 0 为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】由题意得出 SKIPIF 1 < 0 ，写出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，与双曲线方程联立，求出 SKIPIF 1 < 0 点坐标，利用 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出结果．
【详解】解：记右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意知， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形，则只能是 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
整理，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
5．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两点的直线与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由双曲线 SKIPIF 1 < 0 可得其渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，再求得直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率，由平行得到斜率相等即可求得 SKIPIF 1 < 0 ，再由焦点坐标 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，从而求得 SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线的方程可求.
【详解】因为双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，所以它的渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线的一条渐近线平行，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为双曲线的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以该双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
6．“ SKIPIF 1 < 0 ”是“方程 SKIPIF 1 < 0 表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】方程 SKIPIF 1 < 0 表示双曲线等价于 SKIPIF 1 < 0 ，求解判断即可
【详解】方程 SKIPIF 1 < 0 表示双曲线等价于 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故“ SKIPIF 1 < 0 ”是“方程 SKIPIF 1 < 0 表示双曲线”的充分不必要条件.
故选：A
7．已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，离心率为2， SKIPIF 1 < 0 是双曲线上一点， SKIPIF 1 < 0 轴，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】由离心率可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可整理双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 可求 SKIPIF 1 < 0 的坐标，即可求得答案
【详解】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
8．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】由题知 SKIPIF 1 < 0 ，再解不等式，结合离心力公式求解即可.
【详解】解：因为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A
二、填空题
9．如图所示,已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ,双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支上一点 SKIPIF 1 < 0 ,它关于原点 SKIPIF 1 < 0 的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ,满足 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率是______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】连接左焦点，得到平行四边形，通过余弦定理列方程即可解出.
【详解】
设双曲线的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ,连接 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,根据双曲线的对称性可知，
四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，由题意以及双曲线定义，
可得 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为: SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
10．在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为C的左､右顶点，C的离心率等于2，P为C左支上一点，若 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据结合直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率关系，角平分线定理以及双曲线的定义，可得 SKIPIF 1 < 0 ，又由离心率得 SKIPIF 1 < 0 ，又在焦点三角形 SKIPIF 1 < 0 中用余弦定理得直线倾斜角的余弦值，从而可得直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】解：由题意得下图：
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
双曲线的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
又直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在第二象限
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，由角平分线定理得： SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 ，
即可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
又在双曲线中有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
则在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0
由题意 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 为锐角，
所以 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
11．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 无交点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是_____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】结合双曲线的几何性质，可知直线 SKIPIF 1 < 0 应在两渐近线上下两部分之间，由此可得不等式 SKIPIF 1 < 0 ，解之即可求得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】依题意，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为双曲线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 无交点，所以直线 SKIPIF 1 < 0 应在两条渐近线上下两部分之间，
故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
.
三、解答题
12．求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，两顶点间的距离为6；
(2)以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点为顶点，顶点为焦点.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据已知条件求得 SKIPIF 1 < 0 ，从而求得双曲线的标准方程.
（2）根据椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点和顶点，求得双曲线的 SKIPIF 1 < 0 ，从而求得双曲线的标准方程.
【详解】（1）设双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由题意可知，双曲线的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上.
设双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
一、单选题
1．已知 SKIPIF 1 < 0 分别为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点， SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右顶点.过 SKIPIF 1 < 0 的直线与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支交于 SKIPIF 1 < 0 两点（其中点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限），设 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的内心，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由内心的性质，可知M，N的横坐标都是a，得到MN⊥x轴，设直线AB的倾斜角为θ，有 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 表示为θ的三角函数，结合正切函数的性质可求得范围.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 上的切点分别为H､I､J，
则 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
设内心M的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 轴得点J的横坐标也为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，则E为直线 SKIPIF 1 < 0 与x轴的交点，即J与E重合.
同理可得 SKIPIF 1 < 0 的内心在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的领斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，由题知， SKIPIF 1 < 0 ，
因为A，B两点在双曲线的右支上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
2．设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右两支分别交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】A
【分析】结合向量运算、双曲线的定义建立等量关系式，利用直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率列方程，化简求得双曲线的离心率.
【详解】如图，设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 .
易知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
在Rt SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ；
在Rt SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
3．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线与 SKIPIF 1 < 0 的左右两支分别交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于另一点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于另一点 SKIPIF 1 < 0 ，如图1.若直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，线段AB的中点 SKIPIF 1 < 0 ，代入双曲线的方程中可得 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ①，设 SKIPIF 1 < 0 ，线段CD的中点 SKIPIF 1 < 0 ，同理得 SKIPIF 1 < 0 ②，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 三点共线， 从而求得 SKIPIF 1 < 0 ，由此可求得双曲线的离心率.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，线段AB的中点 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ①，
设 SKIPIF 1 < 0 ，线段CD的中点 SKIPIF 1 < 0 ，同理得 SKIPIF 1 < 0 ②，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 三点共线，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，将①②代入得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
4．长为11的线段AB的两端点都在双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支上，则AB中点M的横坐标的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】用A、B两点的坐标表示出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，(F为双曲线右焦点）解出A、B两点的坐标，利用 SKIPIF 1 < 0 ，求得m的最小值.
【详解】
由双曲线 SKIPIF 1 < 0 可知，a＝3，b＝4，c＝5，设AB中点M的横坐标为m， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当F、A、B共线且 SKIPIF 1 < 0 不垂直 SKIPIF 1 < 0 轴时，m取得最小值，此时 SKIPIF 1 < 0 ．
检验: 如图，当F、A、B共线且 SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 为双曲线的通径，则根据通径公式得 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 轴不满足题意.
综上，当F、A、B共线且 SKIPIF 1 < 0 不垂直 SKIPIF 1 < 0 轴时，m取得最小值，此时 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
5．如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，从 SKIPIF 1 < 0 发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则E的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答.
【详解】依题意，直线 SKIPIF 1 < 0 都过点 SKIPIF 1 < 0 ，如图，有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，显然有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，令双曲线半焦距为c，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以E的离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
6．点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是曲线C： SKIPIF 1 < 0 的左右焦点，过 SKIPIF 1 < 0 作互相垂直的两条直线分别与曲线交于A，B和C，D；线段AB，CD的中点分别为M，N，直线 SKIPIF 1 < 0 与x轴垂直且点G在C上.若以G为圆心的圆与直线MN恒有公共点，则圆面积的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】讨论 SKIPIF 1 < 0 斜率，斜率存在时设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 联立曲线C，应用韦达定理求线段AB，CD的中点坐标，进而确定 SKIPIF 1 < 0 的方程，可得 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，若以G为圆心的圆半径为 SKIPIF 1 < 0 ，只需保证 SKIPIF 1 < 0 可满足圆与直线恒有公共点，即得面积最小值.
【详解】当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率均存在时，令 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 与曲线C并整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 与曲线C并整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
同理， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 中一条的斜率不存在时，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，要使以G为圆心的圆与直线MN恒有公共点，且圆面积最小，
若圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，只需 SKIPIF 1 < 0 恒成立，故圆最小面积为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
7．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的左，右焦点分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 右支上异于顶点的点，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的角平分线上，由双曲线的定义和切线长定理可得 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的内心，再由内心的向量表示，推得 SKIPIF 1 < 0 ，再由双曲线的定义和离心率公式，即可求解.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的角平分线，
又因为点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，且在双曲线中，点 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 右支上异于顶点的点，
则 SKIPIF 1 < 0 的内切圆圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上，即点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的内心，
如图，作出 SKIPIF 1 < 0 ，并分别延长 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 至点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由重心性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的内心，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
8．已知直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于P，Q两点， SKIPIF 1 < 0 轴于点H，直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线C的另一个交点为T，则下列选项中错误的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 为定值D． SKIPIF 1 < 0 的最小值为2
【答案】D
【分析】由已知，可由双曲线方程推导结论 SKIPIF 1 < 0 ，选项A，根据双曲线方程，可以求得渐近线方程，然后直线与双曲线交于P，Q两点，即可求解出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；选项B，利用坐标表示出 SKIPIF 1 < 0 ，从而找到 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的关系；选项C，由 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 ；选项D，利用 SKIPIF 1 < 0 借助基本不等式可得 SKIPIF 1 < 0 ，故该选项错误.
【详解】参考结论：已知双曲线方程为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是双曲线上关于原点对称的两点，点 SKIPIF 1 < 0 也在双曲线上，则 SKIPIF 1 < 0 ．
推导：由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以
SKIPIF 1 < 0
解析： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
选项A，双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，所以渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线与双曲线交于P，Q两点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，由已知， SKIPIF 1 < 0 ，所以该选项正确；
选项B， SKIPIF 1 < 0 ，所以该选项正确；
选项C， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，所以该选项正确；
选项D，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故该选项错误；
故选：D.
二、填空题
9．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的公共焦点，它们在第一象限内交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若椭圆的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为________________________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由题意，根据椭圆和双曲线的定义，表示出焦半径，整理齐次方程，根据离心率定义以及二次函数的性质，可得答案.
【详解】由椭圆及双曲线定义得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
10．设 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点，双曲线两条渐近线分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 的垂线，分别交 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，且向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同向，则双曲线离心率 SKIPIF 1 < 0 的大小为_____________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由双曲线的性质，等差数列的定义，二倍角的正切公式求解
【详解】不妨设 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为锐角 SKIPIF 1 < 0 向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同向，
SKIPIF 1 < 0 渐近线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 渐近线 SKIPIF 1 < 0 斜率为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在直角 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，由对称性可知： SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 舍去）；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
三、双空题
11．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的上方）两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为______；已知点 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 右支上任意一点，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 分别与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线交于点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【分析】设直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 的值，设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，根据双曲线的定义得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，分别在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 中利用余弦定理可求得双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率的值；设双曲线的两条渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故可设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，利用已知条件可求得 SKIPIF 1 < 0 的值，结合平面向量数量积的坐标运算结合 SKIPIF 1 < 0 可求得 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的值，即可得出双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【详解】设直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ．
设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，根据双曲线的定义得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
分别在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 中利用余弦定理得
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
结合 SKIPIF 1 < 0 化简得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
设双曲线的两条渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故可设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的坐标分别代入直线 SKIPIF 1 < 0 的方程得 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相乘得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为点 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 上的点，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题
12．过双曲线Γ： SKIPIF 1 < 0 的左焦点F1的动直线l与Γ的左支交于A，B两点，设Γ的右焦点为F2.
(1)若 SKIPIF 1 < 0 是边长为4的正三角形，求此时Γ的标准方程；
(2)若存在直线l，使得 SKIPIF 1 < 0 ，求Γ的离心率的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）结合图像，分别求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，从而求得 SKIPIF 1 < 0 ，由此双曲线Γ的标准方程可求；
（2）联立方程，由韦达定理得 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 推得 SKIPIF 1 < 0 ，由此得到关于 SKIPIF 1 < 0 的一个齐次方程，可求得离心率 SKIPIF 1 < 0 的范围，再由y1y2<0，得到关于 SKIPIF 1 < 0 的另一个齐次方程，缩小离心率 SKIPIF 1 < 0 的范围，从而得到Γ的离心率的取值范围.
【详解】（1）依题意，结合双曲线的对称性得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以2a＝|AF2|－|AF1|＝2，a＝1， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，b2＝c2－a2＝2，
此时Γ的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）依题意知直线l的斜率不为0，设l的方程为x＝my－c，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由AF2⊥BF2得 SKIPIF 1 < 0 ，故(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0，即(my1－2c)(my2－2c)＋y1y2＝0，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，即(m2＋1)b4－4m2c2b2＋4c2(b2m2－a2)＝0，
则(m2＋1)b4＝4a2c2，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故4a2c2≥(c2－a2)2，
所以c4＋a4－6a2c2≤0，两边除以 SKIPIF 1 < 0 ，得e4－6e2＋1≤0，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为e>1，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
又A，B在左支且l过F1，所以y1y2<0，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即4a2
综上： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
一、单选题
1．若双曲线 SKIPIF 1 < 0 离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】分析可得 SKIPIF 1 < 0 ，再将点 SKIPIF 1 < 0 代入双曲线的方程，求出 SKIPIF 1 < 0 的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入双曲线的方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
2．点 SKIPIF 1 < 0 到双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线的距离为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.
【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
结合对称性，不妨考虑点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离： SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
3．已知 SKIPIF 1 < 0 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则C的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出 SKIPIF 1 < 0 ，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，由双曲线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
因为 SKIPIF 1 < 0 ,由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
4．设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点和点 SKIPIF 1 < 0 的直线为 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线与 SKIPIF 1 < 0 平行，另一条渐近线与 SKIPIF 1 < 0 垂直，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】由抛物线的焦点 SKIPIF 1 < 0 可求得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即得直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，再根据双曲线的渐近线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 即可求出 SKIPIF 1 < 0 ，得到双曲线的方程．
【详解】由题可知，抛物线的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
又双曲线的渐近线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
5．已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y= SKIPIF 1 < 0 图像上的点，则|OP|=（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据题意可知，点 SKIPIF 1 < 0 既在双曲线的一支上，又在函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，即可求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，得到 SKIPIF 1 < 0 的值．
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为焦点，实轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，焦距为 SKIPIF 1 < 0 的双曲线的右支上，由 SKIPIF 1 < 0 可得， SKIPIF 1 < 0 ，即双曲线的右支方程为 SKIPIF 1 < 0 ，而点 SKIPIF 1 < 0 还在函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，所以，
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D.
6．设双曲线C： SKIPIF 1 < 0 （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据双曲线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
7．设 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线分别交于 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 的面积为8，则 SKIPIF 1 < 0 的焦距的最小值为（ ）
A．4B．8C．16D．32
【答案】B
【分析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得双曲线的渐近线方程是 SKIPIF 1 < 0 ，与直线 SKIPIF 1 < 0 联立方程求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点坐标，即可求得 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 值，根据 SKIPIF 1 < 0 ，结合均值不等式，即可求得答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 双曲线的渐近线方程是 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线分别交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点
不妨设 SKIPIF 1 < 0 为在第一象限， SKIPIF 1 < 0 在第四象限
联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0
联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 面积为： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 双曲线 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 其焦距为 SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 取等号
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的焦距的最小值： SKIPIF 1 < 0
故选：B.
8．已知 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一个焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 再结合双曲线方程可解出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用三角形面积公式可求出结果.
【详解】设点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ①．
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ②．
由①②得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故选B．
二、填空题
9．若双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 _________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨取 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
依题意圆心 SKIPIF 1 < 0 到渐近线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
10．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为F，过F且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线交双曲线于点 SKIPIF 1 < 0 ，交双曲线的渐近线于点 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的离心率是_________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】联立直线 SKIPIF 1 < 0 和渐近线 SKIPIF 1 < 0 方程，可求出点 SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 可求得点 SKIPIF 1 < 0 ，最后根据点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线上，即可解出离心率．
【详解】过 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 ，渐近线 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
而点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线上，于是 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，所以离心率 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
11．记双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为e，写出满足条件“直线 SKIPIF 1 < 0 与C无公共点”的e的一个值______________．
【答案】2（满足 SKIPIF 1 < 0 皆可）
【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 即可求得满足要求的e值.
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ，所以C的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
结合渐近线的特点，只需 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
可满足条件“直线 SKIPIF 1 < 0 与C无公共点”
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：2（满足 SKIPIF 1 < 0 皆可）
12．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】首先可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到双曲线的标准方程，从而得到 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，再跟渐近线方程得到方程，解得即可；
【详解】解：对于双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即双曲线的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
故答案为： SKIPIF 1 < 0
相关试卷
新高考数学一轮复习讲与练第10讲 复数（讲）（2份打包，原卷版+解析版）： 这是一份新高考数学一轮复习讲与练第10讲 复数（讲）（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考数学一轮复习讲与练第10讲复数讲原卷版doc、新高考数学一轮复习讲与练第10讲复数讲解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共12页， 欢迎下载使用。
新高考数学一轮复习讲与练第10讲 复数（练）（2份打包，原卷版+解析版）： 这是一份新高考数学一轮复习讲与练第10讲 复数（练）（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考数学一轮复习讲与练第10讲复数练原卷版doc、新高考数学一轮复习讲与练第10讲复数练解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共15页， 欢迎下载使用。
新高考数学一轮复习核心考点讲与练考点21 双曲线（2份打包，原卷版+解析版）： 这是一份新高考数学一轮复习核心考点讲与练考点21 双曲线（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考一轮复习核心考点讲与练考点21双曲线原卷版doc、新高考一轮复习核心考点讲与练考点21双曲线解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共55页， 欢迎下载使用。
