新高考数学一轮复习讲与练9.1 切线方程（精讲）（基础版）（2份，原卷版+解析版）

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考点呈现
例题剖析
考点一 导数几何意义
【例1-1】（2022·日照模拟）曲线 在 处的切线的倾斜角为 ，则 的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据已知条件， ，因为曲线 在 处的切线的倾斜角为 ，
所以 ，所以 .因为 ， ，
则解得 ， ，故 .
故答案为：B.
【例1-2】（2022·枣庄模拟）曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【答案】C
【解析】设，则，直线的斜率为，
由题意可得，解得.故答案为：C.
【例1-3】（2022高三下·安徽期中）已知，则曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对，
求导可得，，得到，所以，
，所以，，
故答案为：D
【一隅三反】
1．（2023高三上·江汉开学考）若函数在点（1，f（1））处的切线的斜率为1，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由已知，所以，
，当且仅当时等号成立．故答案为：A．
2．（2022·宜春模拟）已知函数是定义在R上的奇函数，且，则函数的图象在点处的切线的斜率为（ ）
A．-21B．-27C．-24D．-25
【答案】A
【解析】是奇函数，
恒成立，所以，
，，
所以，，即，
．
故答案为：A．
3．（2022·成都模拟）若曲线在点（1，2）处的切线与直线平行，则实数a的值为（ ）
A．－4B．－3C．4D．3
【答案】B
【解析】 ， 所以 。故答案为：B
考点二 在型求切线
【例2-1】（2022·贵州模拟）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以曲线 在点 处的切线的斜率为 ，当x=1时，y=0，切点坐标为（1，0）.故所求切线方程为 . 故答案为：B
【例2-2】（2022海南）曲线：在点处的切线方程为___________
【答案】
【解析】因为，，
，又，
所求的切线方程为，即，
故答案为：.
【例2-3】（2022福州模拟）已知函数 为偶函数，当x＜0时， ，则曲线 在x＝1处的切线方程为（ ）
A．x-y＝0B．x-y-2＝0C．x+y-2＝0D．3x-y-2＝0
【答案】A
【解析】当 时， ， ，又函数 为偶函数，所以 ， ，所以 ， ，故切线方程为 ，即 .故答案为：A．
【一隅三反】
1．（2022高三上·杭州期末）函数在点处的切线方程是 .
【答案】y=1
【解析】因为，所以切线斜率，所以切线方程为y=1. 故答案为：y=1
2．（2022·广东模拟）已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程为 .
【答案】y=2x-e
【解析】由题意时 ，是奇函数，
时 ， ， ，
由点斜式直线方程得 ，整理得y=2x-e ；故答案为：y=2x-e .
3．（2021·海南模拟）已知偶函数 满足 ，且在 处的导数 ，则曲线 在 处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由条件知 ，所以 ，
从而 ，即函数 的周期为4.
在 中，令 得 ，所以 ，
又 ，所以曲线 在 处的切线方程为 ，
即 .故答案为：A.
考点三 过型求切线
【例3-1】.(2022·豫北)已知f(x)＝x2，则过点P(－1，0)，曲线y＝f(x)的切线方程为
【答案】y＝0或4x＋y＋4＝0
【解析】易知点P(－1，0)不在f(x)＝x2上，
设切点坐标为(x0，xeq \\al(2,0))，由f(x)＝x2可得f′(x)＝2x，
∴切线的斜率k＝f′(x0)＝2x0.
∵切线过点P(－1，0)，
∴k＝eq \f(xeq \\al(2,0),x0＋1)＝2x0，解得x0＝0或x0＝－2，
∴k＝0或－4，
故所求切线方程为y＝0或4x＋y＋4＝0.
【例3-2】(2022·江西)过点P(1,1)且与曲线y＝x3相切的直线的条数为
【答案】2
【解析】 当点P为切点时，∵y′＝3x2，∴y′|x＝1＝3，则曲线y＝x3在点P处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.当点P不是切点时，设直线与曲线切于点(x0，y0)(x0≠1)，则k＝eq \f(y0－1,x0－1)＝eq \f(x\\al(3,0)－1,x0－1)＝xeq \\al(2,0)＋x0＋1.∵y′＝3x2，∴y′|x＝x0＝3xeq \\al(2,0)，∴2xeq \\al(2,0)－x0－1＝0，∴x0＝1(舍)或x0＝－eq \f(1,2)，∴过点P(1,1)与曲线y＝x3相切的直线方程为3x－4y＋1＝0.综上，过点P的切线有2条
【一隅三反】
1．（2021·永州模拟）曲线 在 处的切线 过原点，则 的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】曲线 切点为 ，
所以切线 的斜率 ，又直线 过原点，所以 ，
得 ， ．所以 ，故切线 的方程为 即 ．
故答案为：A．
2．（2021·浙江高三专题练习）过曲线上一点的切线的斜率为，则点的坐标为______．
【答案】或.
【解析】由可得，
设切点，由题意可得，
解得：，即，
当时，，此时点的坐标为
当时，，此时点的坐标为，
故答案为：或.
3．（2022·广东佛山市）已知函数的图象是经过原点的曲线（非直线），且在原点处的切线方程为，请写出一个符合条件函数的解析式____________．
【答案】（或，，等）.
【解析】由题意可知：，
取，此时，故符合，
故答案为：（或，，等）.
考点四 根据切线求参数
【例4-1】（2022·岳阳模拟）已知a，为正实数，直线与曲线相切，则的最小值是（ ）
A．6B．C．8D．
【答案】C
【解析】设切点为（m，n）， y＝ln（x+b）的导数为，由题意可得=1，
又n＝m﹣2a，n＝ln（m+b），解得n＝0，m＝2a，即有2a+b＝1，因为a、b为正实数，
所以，
当且仅当时取等号，故的最小值为8。故答案为：C．
【例4-2】（2022·柳州模拟）已知直线 是曲线 的一条切线，则b＝ ．
【答案】2
【解析】函数的定义域为（0，+∞） ， 则，令 ，则x=1 ，
所以切点为（1，3） ，代入y=x+b ，得1+b=3 ，所以b=2 .故答案为：2
3．（2022·新高考Ⅰ卷）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 .
【答案】a＞0或a＜-4
【解析】易得曲线不过原点，设切点为(x0，(x0+a)ex0)，则切线斜率为f(x0)=(x0+a+1)ex0 ，
可得切线方程为y-(x0+a)ex0=(x0+a+1)ex0(x-x0)，又切线过原点，
可得-(x0+a)ex0=-x0(x0+a+1)ex0，化简得 (※)，
又切线有两条， 即方程※有两不等实根，由判别式△=a2+4a>0，得a0.
故答案为：a0.
【一隅三反】
1．（2022·重庆模拟）已知 为非零实数，直线 与曲线 相切，则 .
【答案】e
【解析】设切点坐标为 ，对函数 求导得 ，
所以切线方程为 ，
所以 ，可得 ， .故答案为：e.
2．（2022·晋中模拟）若直线y=2x+a是函数的图象在某点处的切线，则实数 .
【答案】-1
【解析】【解答】设切点坐标为，则所以.
故答案为：-1.
3．（2021高三上·德州期中）函数 在 处的切线与直线 平行，则实数 的值为 .
【答案】1
【解析】因为 ，所以 ， 所以 ，
所以函数 在 处的切线的斜率为 ，
又因为函数 在 处的切线与直线 平行，
所以 ，解得 故答案为：1
4．（2021高三上·安庆月考）已知函数 的图象在点 处的切线的斜率为 ，则 的值为 .
【答案】-1
【解析】由题意，函数 ，可得 ，所以 ，
因为函数 的图象在点 处的切线的斜率为 ，
可得 ，即 ，所以 ，解得 .
故答案为：-1.
5．（2020高三上·内蒙古期中）若函数 （ 为常数）存在两条均过原点的切线，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意得 的定义域为 ，且 ，设切点坐标为 ，则过原点的切线斜率 ，整理得 存在两条过原点的切线， 存在两个不同的解.设 ，则问题等价于 于 存在两个不同的交点，又 当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减， .又当 时， ；当 时， ，若 于 存在两个不同的交点，则 .解得 .
故答案为：