新高考数学一轮复习基础巩固8.6 周期性与对称性（精练）（含解析）

8.6 周期性与对称性（精练）（基础版）

1．（2022·吉林·梅河口市第五中学）已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则不等式的解集为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】∵为偶函数，

∴，即函数关于对称，

又函数在上单调递增，

∴函数在上单调递减，

由，可得，

整理得，，

解得或.

故选：B.

2．（2022·云南楚雄 ）已知函数的图象与的图象关于轴对称，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】已知函数的图象与 的图象关于x轴对称，

所以，

又 是上的增函数，

所以，解得.

故选：B.

3．（2022·浙江衢州 ）已知函数，若、，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，，则，，

因为

，

因为，则，

因此，.

故选：B.

4．（2022·云南昆明 ）（多选）已知函数对，都有，，且，则（    ）

A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点（-2，0）中心对称

C． D．

【答案】BC

【解析】因为，所以为奇函数，

又因为，所以关于对称，

所以，令等价于，所以，

再令等价于，所以，所以的周期为4，

由，可得：，

所以的图象关于对称，故A不正确；

又因为的图象关于对称，的周期为4，所以的图象关于点中心对称，故B正确；

令中，可得，所以，故C正确；

，故D不正确.

故选：BC.

5．（2022广西）（多选）若定义在上的奇函数满足，在区间上，有，则下列说法正确的是（    ）

A．函数的图象关于点成中心对称

B．函数的图象关于直线成轴对称

C．在区间上，为减函数

D．

【答案】AC

【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，

又，即关于对称，故B不正确；

所以，即，

所以，

所以是以为周期的周期函数，

因为在区间上，有，

所以在上单调递增，

因为，即，

所以的图象关于点成中心对称，故A正确；

因为关于成轴对称，关于成中心对称，且在上单调递增，

所以在上单调递减，故C正确；

因为，故D错误；

故选：AC

6．（2022·全国·高三）（多选）若函数f(x)满足：∀x∈R，f(x＋2)＝f(2－x)，且则（    ）

A．f(0)＞f(3) B．∀x∈R，f(x)≤f(2)

C． D．若f(m)＞f(3)，则1＜m＜3

【答案】AC

【解析】由，，可得图象关于对称，

由，，可得在上单调递增，在上单调递减，当时，最小，结合函数的单调性和对称性得：距离越近函数值越小，则显然A正确，B不正确；

对C，，C正确；

对D，时，距更远，则，解得或，D不正确．

故选：AC.

7．（2022·江西萍乡·三模（理））已知定义域为的函数的图象关于点成中心对称，且当时，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为定义域为的函数的图象关于点成中心对称，且当时，，

若，则.

故，即.

故选：C.

8．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）函数是R上的奇函数，函数图像与函数关于对称，则（    ）

A．0 B．-1 C．2 D．1

【答案】C

【解析】函数是R上的奇函数，则

设，则，则函数的图像关于点对称

函数图像与函数关于对称，

所以函数的图像关于对称，所以

故选：C

9．（2022·广东惠州·高三阶段练习）定义在上的函数满足.若的图象关于直线对称，则下列选项中一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为函数满足，

所以，所以，

又的图象关于直线对称，

所以，且，

则，

所以，

所以，

无法求出.

故选：A.

10．（2022·江西·模拟预测（文））已知函数，其中a为常数，若存在，且，则（    ）

A．0 B．1 C．2 D．

【答案】C

【解析】因为，

所以关于直线对称，又，

所以.

故选：C．

11．（2022·河北·邢台市第二中学高三阶段练习）已知定义在上的函数满足，且在区间上单调递增，则满足的的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】因为函数满足，所以的图象关于直线对称，

又在区间上单调递增，所以在上单调递减，

因为，，

即，平方后解得.

所以的取值范围为.

故选：B.

12．（2022·全国·单元测试）已知函数的定义域为R，，且在上单调递减，则关于的不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】因为，，所以函数的图象关于直线对称，

又在上单调递减，所以在上单调递增，

结合草图可知：要使，则到的距离小于到的距离，故不等式

等价于，两边同时平方后整理得，解得或.

故选：C．

13．（2022·浙江·高三开学考试）已知函数，若，则___________.

【答案】2

【解析】因为，对称轴为，所以的对称中心为，即，

因为，所以在上单调递增，

所以方程的解均有且只有一个，

因为，所以关于对称中心对称，

所以，

故答案为：2

14．（2022·湖北·高三开学考试）函数的极大值为，极小值为，则______.

【答案】6

【解析】由题意，，故关于对称.故取得极大与极小值的点关于对称，所以.故答案为：6

15．（2022·湖北武汉 ）定义在上的奇函数满足，当时，，则__________．

【答案】

【解析】，，即，

又为奇函数，，

，，.

故答案为：.

16．（2022·江苏盐城·高一期末）对，函数都有，则___________.（答案不唯一，写出一个即可）

【答案】（答案不唯一）

【解析】，图象关于点对称，则.

故答案为：（答案不唯一）.

17．（2022·广西·南宁三中二模（文））若函数的图象关于直线对称，则_______．

【答案】7

【解析】由题意，即，

所以，即，解得，

此时，

，满足题意．

所以，．

故答案为：7．

1．（2022·江苏南通·高三开学考试）定义在上的奇函数满足，当时，，则的值为___________.

【答案】

【解析】由题意，函数满足，

化简可得，所以函数是以4为周期的周期函数，

因为为奇函数，

所以，

因为，即，

所以.

故答案为：

2．（2022·重庆八中高三开学考试）已知为上的奇函数，且，当时，，则_____.

【答案】

【解析】因为函数是奇函数，所以，

所以，即，

所以函数是周期的函数，

因为，所以，

所以.

故答案为：

3．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知定义在上的函数满足，则___________.

【答案】

【解析】因为在R上的函数满足，且，

令，有，

又，

所以函数是以4为周期的周期函数，

所以.

故答案为：．

4．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（文））已知函数是定义在上的奇函数，满足，且当时，，则的值为_________.

【答案】1

【解析】因为函数是定义在上的奇函数，所以，

因为，所以的周期为4，

因为当时，，

所以，故答案为：1

5．（2022·河南·南阳市第六完全学校高级中学高三阶段练习（文））已知函数是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】图象关于点对称，，

又为上的偶函数，，，

，

是周期为的周期函数，

，又，，

.

故选：C.

6（2022·安徽·合肥市第十中学模拟预测）设的定义域为，且满足，若，则（    ）

A．2023 B．2024 C．3033 D．3034

【答案】A

【解析】因为，，所以，

由得，

所以，，

即，

所以，

所以.

故选：A

7．（2022·陕西·渭南市华州区咸林中学高三开学考试（文））已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（    ）

A．3 B．0 C． D．

【答案】D

【解析】因为，所以，所以的周期为4，

所以，

又是定义在上的奇函数，所以，

所以，

又因为在中，令，得，

所以，又当时，，所以令，，

所以.故A，B，C错误.

故选：D.

1．（2022·内蒙古赤峰）已知是定义在R上的可导函数，且满足，，，若，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】不等式可化为，令，由，

得，所以是减函数，

因为，所以的图象关于点对称，即，

又，

分别令，，，，，得，，，，，

结合对称性有，

，，

所以，从而，

因此不等式为，所以．

故选：C．

2．（2022·山东·枣庄市第三中学高三开学考试）（多选）已知是定义在上的偶函数，其图象关于点对称.以下关于的结论正确的有（    ）

A．是周期函数

B．满足

C．在上单调递减

D．是满足条件的一个函数

【答案】ABD

【解析】对于A：，其图象关于点对称即

所以，

函数是周期函数且其周期为4，故A正确；

对于B：由A知，对于任意的，都有满足，

又函数是偶函数，即，故B正确；

对于C：反例：如图所示的函数，关于轴对称，

图象关于点对称，函数的周期为4，但是在上不是单调函数，故C不正确；

对于D：是定义域为在，

且，

，

所以是定义域为在上的偶函数，其图象关于点对称的一个函数，

故D正确．

故选：ABD．

3．（2022·福建省龙岩第一中学高三阶段练习）（多选）已知函数为上的奇函数，为偶函数，下列说法正确的有（    ）

A．图象关于对称 B．

C．的最小正周期为4 D．对任意都有

【答案】BCD

【解析】为上的奇函数，则，. 为偶函数，即关于轴对称，则.

所以，则，故，则最小正周期为4；

对A，，故图象不关于对称，A错；

对B，，B对；

对C，最小正周期为4，，的最小正周期为4，C对；

对D，，D对；

故选：BCD

4．（2022·江苏省高邮中学高三开学考试）（多选）已知函数及其导数的定义域均为R，记．若为偶函数，为奇函数，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【解析】为偶函数，可得，所以

关于直线对称，

设，，所以选项A错误；

为奇函数，，所以函数关于点对称.

令得.故选项B正确；

关于直线对称，所以

所以，即

所以，所以，故选项C正确；

所以，所以，故选项D正确.

故选：BCD

5．（2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试）（多选）已知函数的图像关于直线对称，函数关于点对称，则下列说法正确的是（    ）

A． B．的周期为4

C． D．

【答案】AB

【解析】的图像关于直线对称，的图像关于对称，

又关于点中心对称，所以周期为4，所以正确而D错误；

又，其中换得，

再将换得，但无法得到 所以正确C错误.

故选：AB.

6．（2022·全国·课时练习）（多选）定义在R上的偶函数满足，且在上是增函数，则（    ）

A．的图象关于直线对称 B．在上是增函数

C．在上是减函数 D．

【答案】AD

【解析】因为，是偶函数，

所以，即，

所以函数的图象关于直线对称，故A正确；

由偶函数在对称区间上的单调性相反，得在上是减函数，故B错误；

因为函数的图象关于直线对称，且在上是减函数，

所以在上是增函数，故C错误；

由，可得，故D正确.

故选：AD.

7．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高三开学考试（理））定义在R上的奇函数满足，且在上是增函数，给出下列几个命题：

①是周期函数；

②的图象关于直线对称；

③在上是减函数；

④．

其中正确命题的序号是_____．(写出所有正确命题的序号)

【答案】①②③④

【解析】因为，所以，所以，所以的周期为，即为周期函数，故①正确；

因为，所以，又因为为奇函数，所以，所以函数的图象关于直线对称，故②正确；

因为是定义在R上的奇函数，所以,因为在上为增函数，且为奇函数，所以在上为增函数，

因为关于直线对称，所以在上为减函数，故③正确；

由，令得，故④正确，

故答案为：①②③④

8．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））设的定义域为，且满足，若，则___________.

【答案】2024

【解析】因为，所以，

由，得，有，

可得，有，

又由，可得，可知函数的周期为4，

可得，

有，

因为，所以

由得，

所以，

即，

所以

所以.

故.

故答案为：2024