中考数学难点突破与经典模型精讲练(全国通用)专题06全等三角形中的截长补短模型(原卷版+解析)

这是一份中考数学难点突破与经典模型精讲练(全国通用)专题06全等三角形中的截长补短模型(原卷版+解析)，共45页。

【模型证明】
【题型演练】
一、解答题
1．阅读下面文字并填空：
数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，AD平分，．求证：．
李老师给出了如下简要分析：“要证就是要证线段的和差问题，所以有两个方法，方法一：‘截长法’如图2，在AC上截取，连接DE，只要证__________即可，这就将证明线段和差问题__________为证明线段相等问题，只要证出____________________，得出及_________，再证出_____________________，进而得出，则结论成立．此种证法的基础是‘已知AD平分，将沿直线AD对折，使点B落在AC边上的点E处’成为可能．
方法二：“补短法”如图3，延长AB至点F，使．只要证即可．此时先证__________，再证出__________________，则结论成立．”
“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．
2．【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．
（1）如图1，是等边三角形，点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系．
解题思路：延长到点，使，连接，根据，可证，易证得≌，得出是等边三角形，所以，从而探寻线段、、之间的数量关系．
根据上述解题思路，请写出、、之间的数量关系是______，并写出证明过程；
【拓展延伸】
（2）如图2，在中，，，若点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系，并说明理由；
【知识应用】
（3）如图3，两块斜边长都为的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离的平方为多少？
3．如图，在等边△ABC中，点P是BC边上一点，∠BAP＝（30°＜＜60°），作点B关于直线AP的对称点D，连接DC并延长交直线AP于点E，连接BE．
（1）依题意补全图形，并直接写出∠AEB的度数；
（2）用等式表示线段AE，BE，CE之间的数量关系，并证明．
分析：①涉及的知识要素：图形轴对称的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质……
②通过截长补短，利用60°角构造等边三角形，进而构造出全等三角形，从而达到转移边的目的．
请根据上述分析过程，完成解答过程．
4．阅读材料：
“截长补短法”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系．截长，即在长线段上截取一条线段等于其中一条短线段，再证明剩下的部分等于另一条短线段；补短，即延长其中一条短线段，使延长部分等于另一条线段，再证明延长后的线段等于长线段．
依据上述材料，解答下列问题：
如图，在等边中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为边作等边，连接CF．
(1)如图，若点D在边BC上，试说明；（提示：在线段CD上截取，连接EG．）
(2)如图，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间的数量关系并说明理由．
5．在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法．
截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；
补短法：延长较短线段和较长线段相等．
这两种方法统称截长补短法．
请用这两种方法分别解决下列问题：
已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1 = ∠2，P为AD上任一点，求证：AB－AC＞PB－PC
6．例：截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．
（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC=120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．
解题思路：将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，可得AE=AD， CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，根据∠BAC+∠BDC=180°，可知∠ABD+∠ACD=180°，则 ∠ACE+∠ACD=180°，易知△ADE是等边三角形，所以AD=DE，从而解决问题．
根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是___________；
（2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点D是边BC下方一点，∠BDC=90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．
7．阅读材料并完成习题：
在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=2cm，求四边形ABCD的面积．
解：延长线段CB到E，使得BE=CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE=AC=2， ∠EAB=∠CAD，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ABC+S△ABE=S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积．
（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 cm2．
（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．

如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN的面积．
8．【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．
（1）如图①，△是等边三角形，点是边下方一点，连结，且，探索线段之间的数量关系．
解题思路：延长到点，使，连接，根据，则，因为可证，易证得△≌△，得出△是等边三角形，所以，从而探寻线段之间的数量关系．根据上述解题思路，请直接写出之间的数量关系是 ；
【拓展延伸】
（2）如图②，在Rt△中，，．若点是边下方一点，，探索线段之间的数量关系，并说明理由；
【知识应用】
（3）如图③，两块斜边长都为2cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，已知所对直角边等于斜边一半，则的长为_____________cm．（结果无需化简）
9．【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．
(1)如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．
解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE易证得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而探寻线段DA、DB、DC之间的数量关系．根据上述解题思路，请直接写出DA、DB、DC之间的数量关系是______；
【拓展延伸】
(2)如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由；
【知识应用】
(3)如图3，两块斜边长都为4cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离PQ的长为______cm．
10．现阅读下面的材料，然后解答问题：
截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法．在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等．补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段．
请用截长法解决问题（1）
（1）已知：如图1等腰直角三角形中，，是角平分线，交边于点．求证：．
请用补短法解决问题（2）
（2）如图2，已知，如图2，在中，，是的角平分线．求证：．
11．数学课上，小白遇到这样一个问题：
如图1，在等腰中，，，，求证；
在此问题的基础上，老师补充：
过点作于点交于点，过作交于点，交于点，试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
小白通过研究发现，与有某种数量关系；
小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即“截长补短”，再通过进一步推理，可以得出结论．
阅读上面材料，请回答下面问题：

（1）求证；
（2）猜想与的数量关系，并证明；
（3）探究线段，，之间的数量关系，并证明．
12．【初步探索】
截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．
（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系；
【灵活运用】
（2）如图2，△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为BC边上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE＝60°．求证：CD＋CE＝CA；
【延伸拓展】
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD．若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足EF＝BE＋FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．
13．截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．
（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．
解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE，易证△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而解决问题．
根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是；（直接写出结果）
（2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．
14．【阅读】在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系．截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等．
【应用】把两个全等的直角三角形的斜边重合，，组成一个四边形，以D为顶点作，交边于M、N．
(1)若，，证明：；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补短法，延长到点E，使，连接，先证明，再证明，即可求得结论．按照小红的思路，请写出完整的证明过程；
(2)当时，三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不用证明）
(3)如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在的延长线上，完成图③，其余条件不变，则之间有何数量关系？证明你的结论．
特点
如图，在△ABC中，若AB=12，AC=8，求BC边上的中线AD的取值范围。
解决此问题可以用如下方法：
延长AD到点E使DE=AD，再连接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值
【证明】
延长AD至E，使DE=AD，连接BE,如图所示，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD
在△BDE和△CDA中，
BD=CD
∠BDE=∠ADC
DE=AE
∴△BDE≌△CDA(SAS)
∴BE=AC=8
在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB-BE＜AE＜AB+BE
∴12-8＜AE＜12+8
∴2＜AD＜10
结论
截长法和补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用.具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题.
解决方案
如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF，求证：BE+CF＞EF.
【证明】
延长FD至点M,使DM=DF,连接BM,EM,如图所示，
同上例得△BMD≌△CFD(SAS)
∴BM=CF
∵DE⊥DF,DM=DF
∴EM=EF
在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM
如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD,∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB,AD于E,F两点连接EF,探索线段BE,DF,EF之间的数量关系，并加以证明.
【证明】
延长AB至点N,使BN=DF,连接CN,如图所示
∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°
∴∠NBC=∠D
在△NBC和△FDC中
BN=DF
∠NBC=∠D
BC=DC
∴△NBC≌△FDC（SAS）
∴CN=CF,∠NCB=∠FCD
∵∠BCD=140°，∠ECF=70°
∴∠BCE+∠FCD=70°
∴∠ECN=70°=∠ECF
在△NCE和△FCE中
CN=CF
∠ECN=∠ECF
CE=CE
∴△NCE≌△FCE(SAS)
∴EN=EF
∴BE+DF=EF.
专题06 全等三角形中的截长补短模型
【模型展示】
【模型证明】
【题型演练】
一、解答题
1．阅读下面文字并填空：
数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，AD平分，．求证：．
李老师给出了如下简要分析：“要证就是要证线段的和差问题，所以有两个方法，方法一：‘截长法’如图2，在AC上截取，连接DE，只要证__________即可，这就将证明线段和差问题__________为证明线段相等问题，只要证出____________________，得出及_________，再证出_____________________，进而得出，则结论成立．此种证法的基础是‘已知AD平分，将沿直线AD对折，使点B落在AC边上的点E处’成为可能．
方法二：“补短法”如图3，延长AB至点F，使．只要证即可．此时先证__________，再证出__________________，则结论成立．”
“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．
【答案】方法一：；转化；；；；；；方法二：；；
【分析】方法一：在AC上截取，由SAS可证可得，BD=DE，根据等角对等边得到CE=DE，即可求证；
方法二：延长AB至点F，使，由AAS可证，可得AC=AF，即可证明．
【详解】方法一：在AC上截取，连接DE，如图2
∵AD平分，
∴，
在和中
，
∴，
∴，BD=DE，
∵，
∴
而，
∴，
∴DE=CE，
∴AB+BD=AE+CE=AC，
故答案为：；转化；；；；；；
方法二：如图3，延长AB至点F，使，
∴
∴
∴
∴
在和中
，
∴，
∴AC=AF，
∴AC=AB+BF=AB+BD，
故答案为：；；．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于截长补短类辅助线，核心思想为数学中的转化思想，此类题的关键是要找到最长边和最短边，然后确定截取辅助线的方式．
2．【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．
（1）如图1，是等边三角形，点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系．
解题思路：延长到点，使，连接，根据，可证，易证得≌，得出是等边三角形，所以，从而探寻线段、、之间的数量关系．
根据上述解题思路，请写出、、之间的数量关系是______，并写出证明过程；
【拓展延伸】
（2）如图2，在中，，，若点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系，并说明理由；
【知识应用】
（3）如图3，两块斜边长都为的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离的平方为多少？
【答案】（1）DA=DC+BD，见解析；（2）；见解析；（3）
【分析】（1）由等边三角形知AB=AC，∠BAC=60°，结合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°，由∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE，证△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再证△ADE是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB．
（2）延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，先证△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，据此可得∠DAE=∠BAC=90°，由勾股定理知DA2+AE2=DE2，继而可得2AD2=（DC+BD）2；
（3）由直角三角形的性质知QN=MN=1，MQ=，利用（2）中的结论知，据此可得答案．
【详解】解：（1）DA=DC+BD，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠BDC=120°，
∴∠ABD+∠ACD=360°-∠BAC-∠BDC=180°，
又∵∠ACE+∠ACD=180°，
∴∠ABD=∠ACE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∵∠ABC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°，
∴∠DAC+∠CAE=60°，即∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，即DA=DC+DB，
故答案为：DA=DC+BD；
（2），如图2，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，
∵∠BAC=90°，∠BDC=90°，
∴∠ABD+∠ACD=360°-∠BAC-∠BDC=180°，
∵∠ACE+∠ACD=180°，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，CE=BD，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∴∠DAE=∠BAC=90°，
∴DA2+AE2=DE2，
∴；
（3）如图3，连接PQ，
∵MN=2，∠QMN=30°，∠MQN=90°，
∴QN=MN=1，
∴，
由（2）知．
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
3．如图，在等边△ABC中，点P是BC边上一点，∠BAP＝（30°＜＜60°），作点B关于直线AP的对称点D，连接DC并延长交直线AP于点E，连接BE．
（1）依题意补全图形，并直接写出∠AEB的度数；
（2）用等式表示线段AE，BE，CE之间的数量关系，并证明．
分析：①涉及的知识要素：图形轴对称的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质……
②通过截长补短，利用60°角构造等边三角形，进而构造出全等三角形，从而达到转移边的目的．
请根据上述分析过程，完成解答过程．
【答案】（1）图见解析，∠AEB＝60°；（2）AE＝BE＋CE，证明见解析
【分析】（1）依题意补全图形，如图所示：然后连接AD，先求出，然后根据轴对称的性质得到，AD=AB=AC，∠AEC=∠AEB，求出，即可求出，再由进行求解即可；
（2）如图，在AE上截取EG＝BE，连接BG．先证明△BGE是等边三角形，得到BG＝BE＝EG，∠GBE＝60°． 再证明∠ABG＝∠CBE，即可证明△ABG≌△CBE得到AG＝CE，则AE＝EG＋AG＝BE＋CE．
【详解】解：（1）依题意补全图形，如图所示：连接AD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∵，
∴，
∵B、D关于AP对称，
∴，AD=AB=AC，∠AEC=∠AEB，
∴，
∴，
∴，
∴
∴∠AEB＝60°．
（2）AE＝BE＋CE．
证明：如图，在AE上截取EG＝BE，连接BG．
∵∠AEB＝60°，
∴△BGE是等边三角形，
∴BG＝BE＝EG，∠GBE＝60°．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴∠ABG＋∠GBC＝∠GBC＋∠CBE＝60°，
∴∠ABG＝∠CBE．
在△ABG和△CBE中，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴AG＝CE，
∴AE＝EG＋AG＝BE＋CE．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等等，熟知相关知识是解题的关键
4．阅读材料：
“截长补短法”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系．截长，即在长线段上截取一条线段等于其中一条短线段，再证明剩下的部分等于另一条短线段；补短，即延长其中一条短线段，使延长部分等于另一条线段，再证明延长后的线段等于长线段．
依据上述材料，解答下列问题：
如图，在等边中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为边作等边，连接CF．
(1)如图，若点D在边BC上，试说明；（提示：在线段CD上截取，连接EG．）
(2)如图，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间的数量关系并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)FC＝CD+CE
【分析】（1）在CD上截取CG＝CE，易证△CEG是等边三角形，得出EG＝EC＝CG，证明△DEG≌△FEC（SAS），得出DG＝CF，即可得出结论；
（2）过D作DGAB，交AC的延长线于点G，由平行线的性质易证∠GDC＝∠DGC＝60°，得出△GCD为等边三角形，则DG＝CD＝CG，证明△EGD≌△FCD（SAS），得出EG＝FC，即可得出FC＝CD+CE．
（1）
证明：在CD上截取CG＝CE，如图1所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ECG＝60°，
∴△CEG是等边三角形，
∴EG＝EC＝CG，∠CEG＝60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝FE，∠DEF＝60°，
∴∠DEG+∠GEF＝∠FEC+∠GEF＝60°，
∴∠DEG＝∠FEC，
在△DEG和△FEC中，
，
∴△DEG≌△FEC（SAS），
∴DG＝CF，
∴CD＝CG+DG＝CE+CF，
∴CE+CF＝CD；
（2）
解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
过D作DGAB，交AC的延长线于点G，如图2所示：
∵GDAB，
∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，
∴∠GDC＝∠DGC＝60°，
∴△GCD为等边三角形，
∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，
∵△EDF为等边三角形，
∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，
∴∠EDG＝∠FDC，
在△EGD和△FCD中，
，
∴△EGD≌△FCD（SAS），
∴EG＝FC，
∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．
【点睛】此题考查了平行线的性质，三角形全等及其性质，三角形全等的判定，等边三角形的性质等知识，作辅助线构建等边三角形是解题的关键．
5．在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法．
截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；
补短法：延长较短线段和较长线段相等．
这两种方法统称截长补短法．
请用这两种方法分别解决下列问题：
已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1 = ∠2，P为AD上任一点，求证：AB－AC＞PB－PC
【答案】见解析
【分析】截长法：在AB上截取AN=AC，连结PN，可证得△APN≌△APC，可得到PC=PN，△BPN中，利用三角形的三边关系，即可求证；补短法：延长AC至M，使AM=AB，连结PM，证明△ABP≌△AMP，可得PB=PM，在△PCM中，利用三角形的三边关系，即可求证．
【详解】解：截长法：在AB上截取AN=AC，连结PN，
在△APN和△APC中
∵AN=AC，∠1=∠2，AP=AP，
∴△APN≌△APC，
∴PC=PN，
∵△BPN中有PB－PN＜BN，
即PB－PC＜AB－AC；
补短法：延长AC至M，使AM=AB，连结PM，
在△ABP和△AMP中，
∵AB=AM，∠1=∠2，AP=AP，
∴△ABP≌△AMP，
∴PB=PM，
又∵在△PCM中有CM＞PM－PC，
即AB－AC＞PB－PC．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，理解截长补短法是解题的关键．
6．例：截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．
（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC=120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．
解题思路：将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，可得AE=AD， CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，根据∠BAC+∠BDC=180°，可知∠ABD+∠ACD=180°，则 ∠ACE+∠ACD=180°，易知△ADE是等边三角形，所以AD=DE，从而解决问题．
根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是___________；
（2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点D是边BC下方一点，∠BDC=90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)DA=DB+DC;(2) DA=DB+DC,证明见解析.
【分析】(1)由旋转60°可得AE=AD， CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，根据∠BAC+∠BDC=180°，可知∠ABD+∠ACD=180°，则 ∠ACE+∠ACD=180°，易知△ADE是等边三角形，所以AD=DE，从而解决问题．
(2) 延长DC到点E,使CE=BD，连接AE,由已知可得,根据,可得=,可证,进而可得AD=AE, ,可得,由勾股定理可得：,进行等量代换可得结论.
【详解】(1)结论：DA=DB+DC.
理由：∵△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，
∴AE=AD， CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，
∵∠BAC+∠BDC=180°，
∴∠ABD+∠ACD=180°，
∴∠ACE+∠ACD=180°，
∴D,C,E三点共线，
∵AE=AD，∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=DE，
∴AD=DC+CE=DB+DC;
(2)结论：DA=DB+DC,
证明如下：
如图所示，延长DC到点E,使CE=BD，连接AE,
∵,,
∴,
∵,
∴=,
∵AB=AC,CE=BD,
∴(SAS),
∴AD=AE, ,
∴,
∴,
∴,
∴DA=DB+DC.
【点睛】本题主要考查了截长补短的方法，通过全等三角形得到线段间的等量关系，正确作出辅助线找到全等三角形是解题的关键.
7．阅读材料并完成习题：
在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=2cm，求四边形ABCD的面积．
解：延长线段CB到E，使得BE=CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE=AC=2， ∠EAB=∠CAD，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ABC+S△ABE=S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积．
（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 cm2．
（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．

如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN的面积．
【答案】（1）2；（2）4
【分析】（1）根据题意可直接求等腰直角三角形EAC的面积即可；
（2）延长MN到K，使NK=GH，连接FK、FH、FM，由（1）易证，则有FK=FH，因为HM=GH+MN易证，故可求解．
【详解】（1）由题意知，
故答案为2；
（2）延长MN到K，使NK=GH，连接FK、FH、FM，如图所示：
FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，
∠FNK=∠FGH=90°，，
FH=FK，
又FM=FM，HM=KM=MN+GH=MN+NK，
，
MK=FN=2cm，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，关键是根据截长补短法及割补法求面积的运用．
8．【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．
（1）如图①，△是等边三角形，点是边下方一点，连结，且，探索线段之间的数量关系．
解题思路：延长到点，使，连接，根据，则，因为可证，易证得△≌△，得出△是等边三角形，所以，从而探寻线段之间的数量关系．根据上述解题思路，请直接写出之间的数量关系是 ；
【拓展延伸】
（2）如图②，在Rt△中，，．若点是边下方一点，，探索线段之间的数量关系，并说明理由；
【知识应用】
（3）如图③，两块斜边长都为2cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，已知所对直角边等于斜边一半，则的长为_____________cm．（结果无需化简）
【答案】（1）；（2）猜想： 证明见解析；（3）．
【分析】（1）由等边三角形知AB=AC，∠BAC=60°，结合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°，由∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE，证△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再证△ADE是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB．
（2）延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，先证△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，据此可得∠DAE=∠BAC=90°，由勾股定理知DA2+AE2=DE2，继而可得2DA2=（DB+DC）2；
（3）由直角三角形的性质知QN=MN=1，MQ=，利用（2）中的结论知PQ=QN+QM=1+，据此可得答案．
【详解】解：（1）DA=DC+DB，理由：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠BDC=120°，
∴∠ABD+∠ACD=180°，
又∵∠ACE+∠ACD=180°，
∴∠ABD=∠ACE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∵∠ABC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°，
∴∠DAC+∠CAE=60°，即∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，即DA=DC+DB，
故答案为：DA=DC+DB；
（2）DA=DB+DC如图2，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，
∵∠BAC=90°，∠BDC=90°∴∠ABD+∠ACD=180°，
∵∠ACE+∠ACD=180°，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，CE=BD，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∴∠DAE=∠BAC=90°，
∴DA2+AE2=DE2，
∴2DA2=（DB+DC）2，
∴DA=DB+DC；
（3）如图3，连接PQ，
∵MN=2，∠QMN=30°，
∴QN=MN=1，
∴MQ=，
由（2）知PQ=QN+QM=1+，
∴PQ=，
故答案为：．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
9．【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．
(1)如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．
解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE易证得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而探寻线段DA、DB、DC之间的数量关系．根据上述解题思路，请直接写出DA、DB、DC之间的数量关系是______；
【拓展延伸】
(2)如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由；
【知识应用】
(3)如图3，两块斜边长都为4cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离PQ的长为______cm．
【答案】(1)DA=DB+DC
(2)DA=DB+DC；理由见解析
(3)
【分析】（1）延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，由等边三角形知AB=AC，∠BAC=60°，结合∠BDC=120°，知∠ABD+∠ACD=180°，则∠ABD=∠ACE，证得△ABD≅△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再证明△ADE是等边三角形，等量代换可得结论；
（2） 同理可证△ABD≅△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，由勾股定理得，等量代换即得结论；
（3）由直角三角形的性质可得QN的长，由勾股定理可得MQ的长，由（2）知，由此可求得PQ长．
（1）
（1）延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠BDC=120°，
∴∠BAC+∠BDC=180°，
∴∠ABD+∠ACD=180°，
又∵∠ACE+∠ACD=180°，
∴∠ABD=∠ACE，
∴△ABD≅△ACE(SAS)，
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAD+∠DAC=60°，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，
（2）
DA=DB+DC，
理由如下：延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，
∵∠BAC=90°，∠BDC=90°，
∴∠ABD+∠ACD=180°
又∵∠ACE+∠ACD=180°，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，CE=BD，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∴∠DAE=∠BAC=90°，
∴，
∴，
∴，
（3）
如图所示：连接PQ，
∵，∠QMN=30°，
∴，
根据勾股定理得，
由（2）知，
∴，
【点睛】此题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形和等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
10．现阅读下面的材料，然后解答问题：
截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法．在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等．补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段．
请用截长法解决问题（1）
（1）已知：如图1等腰直角三角形中，，是角平分线，交边于点．求证：．
请用补短法解决问题（2）
（2）如图2，已知，如图2，在中，，是的角平分线．求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据截长法，在上截取，连接，通过题目条件可证，进而证得是等腰直角三角形，等量代换即可得；
（2）根据补短法，延长到，使，连接，根据已知条件可证，进而可证，等量代换即可得证．
【详解】（1）证明：如图1，在上截取，连接，
∵是角平分线，
∴
在和中
∴
∴，
又∵是等腰直角三角形，
∴，∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
（2）如图2，延长到，使，连接，
∵是的角平分线，
∴
在和中
∴，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了截长法和补短法两种方法证明线段和的问题，三角形全等的判定和性质的应用，角平分线的性质应用，等量代换的应用，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
11．数学课上，小白遇到这样一个问题：
如图1，在等腰中，，，，求证；
在此问题的基础上，老师补充：
过点作于点交于点，过作交于点，交于点，试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
小白通过研究发现，与有某种数量关系；
小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即“截长补短”，再通过进一步推理，可以得出结论．
阅读上面材料，请回答下面问题：

（1）求证；
（2）猜想与的数量关系，并证明；
（3）探究线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3），证明见解析
【分析】（1）利用SAS证明可得结论；
（2）设，推出，，即可证明；
（3）过点作交延长线于点，延长交于点，证明△ABE≌△CAM，得出和，从而证明△NFC≌△MFC，得到和，可得PN=PE，从而得出BP=AF+PF.
【详解】解：（1）∵在△ABE和△ACD中，
，
（SAS），
；
（2）设，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）过点作交延长线于点，延长交于点，
，，
，
在△ABE和△CAM中，
，
（ASA），
，，
，，，
（ASA），
，，
，
，
∴.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及等角对等边等知识点，解题的关键是根据截长补短法添加适当的辅助线，构造全等三角形证明结论，有一定难度.
12．【初步探索】
截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．
（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系；
【灵活运用】
（2）如图2，△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为BC边上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE＝60°．求证：CD＋CE＝CA；
【延伸拓展】
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD．若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足EF＝BE＋FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．
【答案】（1）DA=DC+DB，证明见详解；（2）见详解；（3）∠EAF=，证明见详解.
【分析】（1）由等边三角形知AB=AC，∠BAC=60°，结合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°，由∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE，证△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再证△ADE是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB；
（2）首先在AC上截取CM=CD，由△ABC为等边三角形，易得△CDM是等边三角形，继而可证得△ADM≌△EDC，即可得AM=EC，则可证得CD+CE=CA；
（3）在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，先判定△ADG≌△ABE，再判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE=∠FAG，最后根据∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，进而推导得到2∠FAE+∠DAB=360°，即可得出结论．
【详解】（1）如图1，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠BDC=120°，
∴∠ABD+∠ACD=180°，
又∵∠ACE+∠ACD=180°，
∴∠ABD=∠ACE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∵∠BAC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°，
∴∠DAC+∠CAE═60°，即∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，
即DA=DC+DB；
（2）证明：在AC上截取CM=CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴△CDM是等边三角形，
∴MD=CD=CM，∠CMD=∠CDM=60°，
∴∠AMD=120°，
∵∠ADE=60°，
∴∠ADE=∠MDC，
∴∠ADM=∠EDC，
∵直线a∥AB，
∴∠ACE=∠BAC=60°，
∴∠DCE=120°=∠AMD，
在△ADM和△EDC中，
∴△ADM≌△EDC(ASA)，
∴AM=EC，
∴CA=CM+AM=CD+CE；
即CD+CE=CA.
（3）∠EAF=；
证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，
∴∠ADC=∠ABE，
又∵AB=AD，
∴△ADG≌△ABE（SAS），
∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，
∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠FAE=∠FAG，
∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，
∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）=360°，
∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）=360°，
即2∠FAE+∠DAB=360°，
∴∠EAF=.
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．
13．截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．
（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．
解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE，易证△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而解决问题．
根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是；（直接写出结果）
（2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）DA＝DB＋DC；（2）DA＝DB＋DC（或写成2DA2＝(DB＋DC)2），证明详见解析.
【分析】（1）由等边三角形知AB=AC，∠BAC=60°，结合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°，由∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE，证△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再证△ADE是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB．
（2）延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，先证△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，据此可得∠DAE=∠BAC=90°，由勾股定理知DA2+AE2=DE2，继而可得2DA2=（DB+DC）2.
【详解】解：（1）如图1，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠BDC=120°，
∴∠ABD+∠ACD=180°，
又∵∠ACE+∠ACD=180°，
∴∠ABD=∠ACE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∵∠ABC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°，
∴∠DAC+∠CAE═60°，即∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，即DA=DC+DB，
故答案为DA=DC+DB；
（2） DA＝DB＋DC（或写成2DA2＝(DB＋DC)2）．
延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE．
∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，
∴∠ABD＋∠ACD＝180°．
∵∠ACE＋∠ACD＝180°，
∴∠ABD＝∠ACE．
又∵AB＝AC，CE＝BD，
∴△ABD≌△ACE．
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．
∴∠DAE＝∠BAC＝90°．
∴DA2＋AE2＝DE2．
∴2DA2＝(DB＋DC)2．
∴DA＝DB＋DC．
【点睛】此题是三角形的综合题，主要考查了考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
14．【阅读】在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系．截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等．
【应用】把两个全等的直角三角形的斜边重合，，组成一个四边形，以D为顶点作，交边于M、N．
(1)若，，证明：；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补短法，延长到点E，使，连接，先证明，再证明，即可求得结论．按照小红的思路，请写出完整的证明过程；
(2)当时，三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不用证明）
(3)如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在的延长线上，完成图③，其余条件不变，则之间有何数量关系？证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)，证明见解析
【分析】（1）根据题意得AD=BD，延长到E，使，连接，利用全等三角形的判定得出，，再根据全等三角形的性质结合图形即可证明；
（2）证明方法与（1）一致，证明即可；
（3）在截取，连接，利用全等三角形的判定得出，再根据全等三角形的性质结合图形即可得出结果．
（1）
证明：根据题意得：AD=BD，
延长到E，使，连接
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
在和中
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）
由（1）中条件得∠ACD+∠MDN=90°，
证明方法同（1）类似，
∴；
（3）
，
证明：在截取，连接，
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
∵
∴
即
∴
即，
在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线，找出各角之间的关系是解题关键．
特点
如图，在△ABC中，若AB=12，AC=8，求BC边上的中线AD的取值范围。
解决此问题可以用如下方法：
延长AD到点E使DE=AD，再连接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值
【证明】
延长AD至E，使DE=AD，连接BE,如图所示，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD
在△BDE和△CDA中，
BD=CD
∠BDE=∠ADC
DE=AE
∴△BDE≌△CDA(SAS)
∴BE=AC=8
在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB-BE＜AE＜AB+BE
∴12-8＜AE＜12+8
∴2＜AD＜10
结论
截长法和补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用.具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题.
解决方案
如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF，求证：BE+CF＞EF.
【证明】
延长FD至点M,使DM=DF,连接BM,EM,如图所示，
同上例得△BMD≌△CFD(SAS)
∴BM=CF
∵DE⊥DF,DM=DF
∴EM=EF
在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM
如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD,∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB,AD于E,F两点连接EF,探索线段BE,DF,EF之间的数量关系，并加以证明.
【证明】
延长AB至点N,使BN=DF,连接CN,如图所示
∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°
∴∠NBC=∠D
在△NBC和△FDC中
BN=DF
∠NBC=∠D
BC=DC
∴△NBC≌△FDC（SAS）
∴CN=CF,∠NCB=∠FCD
∵∠BCD=140°，∠ECF=70°
∴∠BCE+∠FCD=70°
∴∠ECN=70°=∠ECF
在△NCE和△FCE中
CN=CF
∠ECN=∠ECF
CE=CE
∴△NCE≌△FCE(SAS)
∴EN=EF
∴BE+DF=EF.