中考数学难点突破与经典模型精讲练(全国通用)专题05全等三角形与矩形翻折模型(原卷版+解析)

这是一份中考数学难点突破与经典模型精讲练(全国通用)专题05全等三角形与矩形翻折模型(原卷版+解析)，共45页。
【模型变换】
【题型演练】
一、单选题
1．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（ ）
A．B．C．D．
2．如图，将矩形纸片折叠（），使落在上，为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，点不动，将边折起，使点落在上的点处，连接，若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．4
3．如图，矩形OABC中，OA＝4，AB＝3，点D在边BC上，且CD＝3DB，点E是边OA上一点，连接DE，将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点A'恰好落在边OC上，则OE的长为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在矩形纸片ABCD中，，，将沿BD折叠到位置，DE交AB于点F，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，ABCD是一张矩形纸片，AB＝20，BC＝4，将纸片沿MN折叠，点，分别是B，C的对应点，MB′与DC交于K，若△MNK的面积为10，则DN的最大值是（ ）
A．7.5B．12.5C．15D．17
二、填空题
6．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝9，M是BC上的点，且CM＝3，将矩形纸片ABCD沿过点M的直线折叠，使点D落在AB上的点P处，点C落在点C′处，折痕为MN，则线段AN的长是___．
7．如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，沿AE所在的直线折叠△ADE，落在矩形内部得到△AFE，延长AF交BC边于点G，若＝，则的值为_________．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，将此矩形折叠，使点C与点A重合，点D落在点D'处，折痕为EF，则DD'的长为 _____．
9．如图，矩形中，，，为中点．为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处，则______，______．
三、解答题
10．如图，矩形ABCD中，，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE.
(1)求证：△ADE≌△CED；
(2)求证：△DEF是等腰三角形.
11．如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为E，AE与CD交于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
12．将矩形ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕EF，展开后再一次折叠，使点A落在EF上的点处，并使得折痕经过点B，得到折痕BG，连接，如图1，问题解决：
(1)试判断图1中是什么特殊的三角形？并说明理由；
(2)如图2，在图1的基础上，与BG相交于点N，点P是BN的中点，连接AP并延长交于点Q，求的值．
13．如图，在矩形ABCD中，M，N是对角线AC上的两点，将矩形折叠分别使点B与点M重合，点D与点N重合，折痕分别为AE，CF．连接EF，交AC于点O．
(1)求证：．
(2)求证：四边形ECFA是平行四边形．
14．实践与探究
如图①，在矩形ABCD中，，．将矩形ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在矩形ABCD的内部，点D的对应点为点，折痕为AE，再将矩形ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在边上，折痕为AF，点B的对应点为点．延长交AE于点G，过点G作直线交AD于点M，交BC于点N．
(1)求证：．
(2)求证：四边形ABNM是正方形．
(3)若，求线段BF的长．
(4)如图②，将矩形沿所在直线继续折叠，点C的对应点为点．我们发现，点E的位置不同，点的位置也不同．当点恰好与点重合时，线段DE的长为__________．
15．在矩形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC上的动点，且DE＝BF，连接EF．将矩形ABCD沿EF折叠，点A落在点G处，点B落在点H处．
(1)如图①，当线段EG与线段BC交于点P时，求证：PE＝PF；
(2)如图②，当线段EG的延长线与线段BC的延长线交于点P时．GH交线段CD交于点M，
①求证：△PCM≌△PGM；
②E，F在运动过程中，点M是否在线段EF的垂直平分线上？如果在，请证明；如果不在，请说明理由．
16．如图，四边形ABCD是矩形，把矩形AC沿折叠，点B落在点E处，AE与DC的交点为O，连接DE．
(1)求证：．
(2)求证：．
17．如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将沿BE折叠后得到，且G点在矩形ABCD的内部，延长BG交DC于点F，连接EF．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
18．折叠矩形ABCD，使点D落在BC边上的点F处，折痕为AE．
(1)求证△ABF∽△FCE；
(2)若CF＝4，EC＝3，求矩形ABCD的面积．
19．如图，在矩形ABCD中，AD＜2AB，点E是AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交DC于点F，连接EF．
(1)求证：△EGF≌△EDF；
(2)若点F是CD的中点，BC＝8，求CD的长．
20．如图，在正方形中，，E为中点，连接，将沿折叠，点B的对应点为G，连接并延长交于点F，连接，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)求的长．
21．如图，长方形ABCD中，AB＞AD，把长方形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．
(1)图中有 个等腰三角形；（请直接填空，不需要证明）
(2)求证：△ADE≌△CED；
(3)请证明点F在线段AC的垂直平分线上．
22．如图，在中，，点D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作，连接AD、EC．
(1)求证：；
(2)若，求证：四边形ADCE是矩形．
23．如图1，为了探究某种类型矩形ABCD的性质，数学项目学习小组在BC边上取一点E，连接DE．经探究发现：当DE平分∠ADC时，将△ABE沿AE折叠至△AFE，点F恰好落在DE上．据此解决下列问题：
(1)求证：△AFD≌△DCE；
(2)如图2，延长CF交AE于点G，交AB于点H．
①求证：AH·AF＝AG·CF ；
②求GH∶DF的值．
24．在矩形ABCD中，，P是边AB上一点，把沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．
(1)如图1，若点E是AD的中点，求证：；
(2)如图2，当，且时，求的值；
(3)如图3，当时，求BP的值．
特点
在矩形ABCD中，将△ABC沿着对角线AC翻折得到△AB’C，B’C交AD于点E。
结论
（1）△AEB’≌△CED；（2）AE=CE。
特点
在矩形ABCD中，E、F分别为边BC、AD上的任意点，连接EF，将四边形CDFE沿着EF翻折得到C’D’FE，。
结论
（1）△CED≌△C’ED’；
（2）四边形EDFD’为菱形；
（3）C、E、D’三点共线，且C’D∥FD’。
专题05 全等三角形与矩形翻折模型
【模型展示】
【模型变换】
【题型演练】
一、单选题
1．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据折叠的性质得到AE=AB，∠E=∠B=90°，易证△AEF≌△CDF，即可得到结论EF=DF；易得FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6-x，在Rt△CDF中利用勾股定理得到关于x的方程x2=42+（6-x）2，解方程求出x．
【详解】解：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置，
∴AE = AB，∠E =∠B ＝∠Ｄ =90°，
又∵四边形ABCD为矩形，
∴AB = CD，
∴AE = DC，
而∠AFE =∠DFC，
∵在△AEF与△CDF中，
∴△AEF≌△CDF（AAS），
∴EF = DF；
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD = BC = 6，CD = AB = 4，
∵△AEF≌△CDF，
∴FC = FA，
设FA = x，则FC = x，FD = 6﹣x，
在Rt△CDF中，CF2 = CD2 + DF2，
即x2=42+（6﹣x）2，解得x =，
则FD = 6﹣x =．
故选：B．
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了矩形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理．
2．如图，将矩形纸片折叠（），使落在上，为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，点不动，将边折起，使点落在上的点处，连接，若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】B
【分析】证明Rt△EBF≌Rt△EB′D（HL），推出BF＝DB′，再证明DB′＝EC＝BF＝1，由直角三角形的性质求出AB′，则可得结论．
【详解】解：由翻折的性质可知，EB＝EB′，∠B＝∠AB′E＝∠EB′D＝90°，
在Rt△EBF和Rt△EB′D中，
，
∴Rt△EBF≌Rt△EB′D（HL），
∴BF＝DB′，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠CDB′＝∠EB′D＝90°，
∴四边形ECDB′是矩形，
∴DB′＝EC＝1，
∴BF＝EC＝1，
由翻折的性质可知，BF＝FG＝1，∠FAG＝45°，∠AGF＝∠B＝∠AGF＝90°，
∴AG＝FG＝1，
∴AF＝．
∴AB＝AB′＝1＋，
∴AD＝AB′＋DB′＝2＋，
故选B．
【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明四边形ECDB′是矩形．
3．如图，矩形OABC中，OA＝4，AB＝3，点D在边BC上，且CD＝3DB，点E是边OA上一点，连接DE，将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点A'恰好落在边OC上，则OE的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接、AD，根据矩形的性质得到BC=OA=4，OC=AB=3，∠C=∠B=∠O=90°，即可求得CD、BD，根据折叠的性质得到=AD，根据全等三角形的性质可到=BD=1，再根据勾股定理即可求解．
【详解】连接、AD，如图，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC=OA=4，OC=AB=3，∠C=∠B=∠O=90°，
∵CD=3BD，
∴CD=3，BD=1，
∴CD=AB，
根据翻折的性质有：=AD，，
∴在Rt△和Rt△DBA中，CD=AB，=AD，
∴Rt△≌Rt△DBA（HL），
∴=BD=1，
∴=2，
∵在Rt△中，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、全等三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解答本题的关键．
4．如图，在矩形纸片ABCD中，，，将沿BD折叠到位置，DE交AB于点F，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质，利用“AAS”证明，得出，，设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得出x的值，最后根据余弦函数的定义求出结果即可．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=5，AB=BC=3，，
根据折叠可知，，，，
∴在△AFD和△EFB中，
∴（AAS），
∴，，
设，则，
在中，，
即，
解得：，则，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，根据题意证明，是解题的关键．
5．如图，ABCD是一张矩形纸片，AB＝20，BC＝4，将纸片沿MN折叠，点，分别是B，C的对应点，MB′与DC交于K，若△MNK的面积为10，则DN的最大值是（ ）
A．7.5B．12.5C．15D．17
【答案】D
【分析】作NE⊥于E，NF⊥BM于F，由折叠得∠1＝∠2，根据角平分线的性质得NE＝NF，可得四边形BCNF是矩形，则NF＝BC＝4，根据△MNK的面积为10得NK＝MK＝5，根据勾股定理得KE＝3，则MF＝ME＝MK﹣KE＝5﹣3＝2，设DN＝x，则CN＝20﹣x，BM＝BF+MF＝20﹣x+2＝22﹣x，由折叠可得BM≥KM，即22﹣x≥5．可得x≤17，即可得DN≤17，则DN的最大值是17．
【详解】解：如图所示，过点N作NE⊥于E，NF⊥BM于F，
由折叠得∠1＝∠2，
∴NE＝NF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠BFN＝90°，，
∴四边形BCNF是矩形，∠DNM=∠2，
∴NE＝NF＝BC＝4，∠1=∠DNM，
∴NK=MK，
∵△MNK的面积为10，
∴KM•NE＝KN•NF＝10，
∴NK＝MK＝5，
∴KE＝＝3，
在△MEN和△MFN中，
，
∴△MEN≌△MFN（AAS），
∴MF＝ME＝MK﹣KE＝5﹣3＝2，
设DN＝x，则CN＝BF＝20﹣x，
∴BM＝BF+MF＝20﹣x+2＝22﹣x，
由折叠得BM≥KM，即22﹣x≥5．
∴x≤17，即DN≤17，
∴DN的最大值是17．
故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质与判定，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键．
二、填空题
6．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝9，M是BC上的点，且CM＝3，将矩形纸片ABCD沿过点M的直线折叠，使点D落在AB上的点P处，点C落在点C′处，折痕为MN，则线段AN的长是___．
【答案】4
【分析】连接PM，推出BM＝BC﹣CM＝9﹣3＝6，由折叠性质得，CD＝PC′＝6，∠C＝∠PC′M＝∠PBM＝90°，C′M＝CM＝3，由Rt△PBM≌Rt△MC′P（HL），得出PB＝C′M＝3，所以PA＝AB﹣PB＝6﹣3＝3．设AN＝x，则ND＝9﹣x＝PN，在Rt△APN中，AN2+AP2＝PN2，即x2+32＝（9﹣x）2，求出x的值即可得出答案．
【详解】解：连接PM，如图：
∵AB＝6，BC＝9，CM＝3，
∴BM＝BC﹣CM＝9﹣3＝6，
由折叠性质得，CD＝PC′＝6，∠C＝∠PC′M＝∠PBM＝90°，C′M＝CM＝3，
在Rt△PBM和Rt△MC′P中，
，
∴Rt△PBM≌Rt△MC′P（HL），
∴PB＝C′M＝3，
∴PA＝AB﹣PB＝6﹣3＝3．
设AN＝x，则ND＝9﹣x＝PN，
在Rt△APN中，AN2+AP2＝PN2，
即x2+32＝（9﹣x）2，
解得x＝4，
∴AN的长是4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了翻折变化、矩形的性质及勾股定理，熟练应用翻折变化的性质及矩形的性质进行计算是解决本题的关键．
7．如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，沿AE所在的直线折叠△ADE，落在矩形内部得到△AFE，延长AF交BC边于点G，若＝，则的值为_________．
【答案】
【分析】连接GE，证明，得，设，表示出，，，，的长度，再由勾股定理得的长度，即可得出比值．
【详解】如图，连接GE，
∵在矩形ABCD中，
∴，，，
∴由折叠的性质可知：，，，
∵点E是边CD的中点，
∴，
∴，
又∵（公共边），
∴，
∴，
∵，
∴设，
则，，，
∴，
∵在中，由勾股定理得：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查折叠的性质，全等三角形的判定与性质及勾股定理，折叠前后的图形对应边、对应角分别相等是解题的关键．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，将此矩形折叠，使点C与点A重合，点D落在点D'处，折痕为EF，则DD'的长为 _____．
【答案】
【分析】根据折叠的性质即可求得AD′=CD=6；连接AC，根据勾股定理求得AC=10，证得（AAS），根据全等的性质得：D′F=BE，根据勾股定理列出关于线段BE的方程，解方程求得BE的长，即可求得，然后通过证，利用相似三角形的性质即可求得DD′．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB= CD=6，
∵AD′=CD，
∴AD′=6；
连接AC，
∵AB=6，BC=AD=8，∠ABC=90°，
∴由勾股定理得：，
∵∠BAF=∠D′AE=90°，
∴∠BAE=∠D′AF，
在△BAE和△D′AF中
，
∴（ASA），
∴D′F=BE，∠AEB=∠AFD′，
∴∠AEC=∠D′FD，
由题意知：AE=EC；
设BE=x，则AE=EC=8-x，
在Rt△ABE中，∠B=90°，由勾股定理得：
（8-x）2=62+x2，
解得：，
∴BE=，AE=8-=，
∴，则：，
∵∠AD′F=∠D′AE=90°，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了矩形的翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用全等三角形的性质、相似三角形的性质，勾股定理等几何知识点来解题．
9．如图，矩形中，，，为中点．为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处，则______，______．
【答案】 6
【分析】根据折叠的性质，即可求EG；连接EC，证，由勾股定理即可求EF；
【详解】解：连接CE，
∵为中点
∴
在和中
∵
∴
∴
设，则
即
解得：
故答案为：6；．
【点睛】本题主要考查矩形得性质，三角形的全等，勾股定理，正确做出辅助线是解题的关键．
三、解答题
10．如图，矩形ABCD中，，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE.
(1)求证：△ADE≌△CED；
(2)求证：△DEF是等腰三角形.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析
【分析】（1）根据矩形的性质可知AD＝BC、AB＝CD，再由折叠的性质，可得BC＝CE，AB＝AE，进而可推导AD＝CE，AE＝CD，然后由“SSS”证明△ADE≌△CED即可；
（2）由（1）可知△ADE≌△CED，根据全等三角形的性质可知∠DEA＝∠EDC，即∠DEF＝∠EDF，即可证明△DEF是等腰三角形．
（1）
证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD，
由折叠的性质，可得BC＝CE，AB＝AE，
∴AD＝CE，AE＝CD，
在△ADE和△CED中，
，
∴△ADE≌△CED（SSS）；
（2）
由（1）得△ADE≌△CED，
∴∠DEA＝∠EDC，即∠DEF＝∠EDF，
∴EF＝DF，
∴△DEF是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
11．如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为E，AE与CD交于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由矩形与折叠的性质可得，，从而可得结论；
（2）先证明，再求解， 结合对折的性质可得答案．
（1）
证明：将矩形ABCD沿对角线AC折叠，
则，．
在△DAF和△ECF中，

∴．
（2）
解：∵，
∴．
∵四边形ABCD是矩形，
∴．
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，矩形的性质，熟练的运用轴对称的性质证明边与角的相等是解本题的关键．
12．将矩形ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕EF，展开后再一次折叠，使点A落在EF上的点处，并使得折痕经过点B，得到折痕BG，连接，如图1，问题解决：
(1)试判断图1中是什么特殊的三角形？并说明理由；
(2)如图2，在图1的基础上，与BG相交于点N，点P是BN的中点，连接AP并延长交于点Q，求的值．
【答案】(1)是等边三角形，理由见解析
(2)
【分析】（1）等边三角形，解法一利用垂直平分线性质得出AA′=BA′，利用折叠得出即可，解法二：根据折叠得出，，然后利用锐角三角函数定义得出 ，求出即可；
（2）解法一：过点N作交AP于H，先证（AAS），再证，得出 即可 解法二：由折叠可知，由点P是BN的中点 ，得出，利用平行线等分性质得出，，证出即可．
(1)
解：是等边三角形．
解法一：理由是：由折叠可知EF垂直平分AB；
∴AA′=BA′，
∵△ABG折叠得△A′BG，
∴，
∴；
∴是等边三角形；
解法二：理由是：由折叠可知，，，
∴ ，
∴，
∴是等边三角形；
(2)
解法一：
过点N作交AP于H，
∴，，
又∵点P是BN的中点 ，
∴，
在△PHN和△PQB中，
，
∴（AAS），
∴，
又∵，
∴，，
∴，
由折叠可知，
∴ ，
∴，
∴；
解法二：由折叠可知，
又∵点P是BN的中点 ，
∴，
过点N作交于M，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查一题多解，等边三角形的判定，折叠性质，线段垂直平分线性质，平行线等分线段定理，三角形相似判定与性质，锐角三角函数值求角，掌握一题多解，等边三角形的判定，折叠性质，线段垂直平分线性质，平行线等分线段定理，三角形相似判定与性质是解题关键．
13．如图，在矩形ABCD中，M，N是对角线AC上的两点，将矩形折叠分别使点B与点M重合，点D与点N重合，折痕分别为AE，CF．连接EF，交AC于点O．
(1)求证：．
(2)求证：四边形ECFA是平行四边形．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析
【分析】（1）根据矩形的性质结合折叠证明即可；
（2）由（1）中全等可得AE＝CF，再证明即可．
(1)
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，，，
∴．
∵将矩形折叠分别使点B与点M重合，点D与点N重合，折痕分别为AE，CF，
∴，，
∴，
∴．
(2)
∵，
∴AE＝CF．
∵，，，
∴，
∴，
∴四边形ECFA是平行四边形
【点睛】本题考查矩形与折叠、平行四边形的判定，熟记矩形的性质是解题的关键．
14．实践与探究
如图①，在矩形ABCD中，，．将矩形ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在矩形ABCD的内部，点D的对应点为点，折痕为AE，再将矩形ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在边上，折痕为AF，点B的对应点为点．延长交AE于点G，过点G作直线交AD于点M，交BC于点N．
(1)求证：．
(2)求证：四边形ABNM是正方形．
(3)若，求线段BF的长．
(4)如图②，将矩形沿所在直线继续折叠，点C的对应点为点．我们发现，点E的位置不同，点的位置也不同．当点恰好与点重合时，线段DE的长为__________．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)7.2；
(4)
【分析】（1）利用折叠性质和全等三角形的判定证明即可；
（2）利用全等三角形的性质和正方形的判定证明即可；
（3）利用正方形的性质得出MN=AB=BN=AM=12，再根据相似三角形的判定与性质证明△AMG∽△ADE求得MG=3，设BF==x，可求得GN=9，FG=3+x，FN=12-x，在△GNF中利用勾股定理求得x即可求解；
（4）设DE =y，则CE=12-y，根据折叠性质得E=y，E=12-y，再由勾股定理求得y值即可求解．
（1）
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=12，AD=BC=16，∠B=∠D=∠BAD=∠C=90°，
由折叠性质得：∠MAG=∠AG，∠AF=∠AG=∠B=90°，AB=A，
∵MN⊥AD，
∴∠AMN=90°，则∠AMG=∠AG=90°
在△AMG和△AG中，
∴（AAS）；
（2）
证明：∵∠B=∠BAD=∠AMN=90°，
∴四边形ABNM是矩形，
∵，
∴AM=A， 则AM=AB，
∴四边形ABNM是正方形；
（3）
解：∵四边形是ABNM正方形，
∴MN=AM=BN=AB=12，
∵∠AMN=∠D=90°，∠DAE=∠DAE，
∴△AMG∽△ADE，
∴，
∵AM=12，DE=4，AD=16，
∴，
∴MG=3，
∵，
∴MG=G=3，
设BF==x，则GN=12-3=9，FG=x+3，FN=12-x，
在△GNF中，∠GNF=90°，
∴由勾股定理得：GN2+FN2=FG2，
∴92+（12-x）2=（x+3）2，
解得：x=7.2，
∴BF=7.2；
（4）
解：由折叠性质得：A=AD=16，AB=A=12，E=CE，DE=E，∠D==90°，
∴=16-12=4，
设DE =y，则CE=12-y，
在中，=90°，=y，=12-y，
∴由勾股定理得：2+2=2，
则42+y2=（12-y）2，解得：y= ，
∴DE= ．
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
15．在矩形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC上的动点，且DE＝BF，连接EF．将矩形ABCD沿EF折叠，点A落在点G处，点B落在点H处．
(1)如图①，当线段EG与线段BC交于点P时，求证：PE＝PF；
(2)如图②，当线段EG的延长线与线段BC的延长线交于点P时．GH交线段CD交于点M，
①求证：△PCM≌△PGM；
②E，F在运动过程中，点M是否在线段EF的垂直平分线上？如果在，请证明；如果不在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②当点E，F在运动过程中，点M一直在线段EF的垂直平分线上．证明见解析
【分析】（1）由折叠的性质可知：∠AEF＝∠GEF，根据矩形的性质可得∠AEF＝∠EFP，即可得到∠GEF＝∠EFP，根据等角对等边即可得证；
（2）①根据HL证明Rt△PCM≌Rt△PGM，即可得证；
②当点E，F在运动过程中，点M一直在线段EF的垂直平分线上．
如图：连接BD交EF于点O，连接OP，证明△DOE≌△BOF（ASA），由①可得PE＝PF，OP是线段EF的垂直平分线，OP也是∠EPF的角平分线（三线合一）．
由①△PCM≌△PGM，得∠CPM＝∠GPM，即：MP是∠CPG的角平分线，可得当点E、F在移动过程中，点M一直在线段EF的垂直平分线上．
（1）
由折叠的性质可知：∠AEF＝∠GEF，
∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEF＝∠EFP，
∴∠GEF＝∠EFP，
∴PE＝PF；
（2）
①由折叠的性质可知：AE＝EG，
∵矩形ABCD中，AD＝BC，DE＝BF，
∴AD－DE＝BC－BF，即：
AE＝FC，
∴EG＝FC，
又∵∠PEF＝∠AEF＝∠PFE，
∴PE＝PF，
∴PE－EG＝PF－CF，即：PG＝PC；
又∵DC⊥BC，HG⊥EG，
∴∠MCP＝∠MGP＝90°；
又∵PM＝PM，
∴Rt△PCM≌Rt△PGM（HL）；
即：△PCM≌△PGM；
②当点E，F在运动过程中，点M一直在线段EF的垂直平分线上．
如图：连接BD交EF于点O，连接OP，
∵AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，∠DEO＝∠BFO，
又∵DE＝BF，
∴△DOE≌△BOF（ASA），
∴OE＝OF；
由①可得PE＝PF，∴OP是线段EF的垂直平分线，
∴OP也是∠EPF的角平分线（三线合一）．
由①△PCM≌△PGM得：∠CPM＝∠GPM，即：MP是∠CPG的角平分线，
∵∠EPF与∠CPG是同一个角，
∴MP与OP重合，
即：当点E、F在移动过程中，点M一直在线段EF的垂直平分线上．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
16．如图，四边形ABCD是矩形，把矩形AC沿折叠，点B落在点E处，AE与DC的交点为O，连接DE．
(1)求证：．
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质可得BC=CE=AD，AB=AE=CD，根据SSS可证△ADE≌△CED (SSS)；
（2）根据全等三角形的性质可得∠EDC=∠DEA，由于△ACE与△ACB关于AC所在直线对称，可得∠OAC=∠CAB，根据等量代换可得∠OAC=∠DEA，再根据平行线的判定即可求解．
（1）
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，
∵AC是折痕，
∴BC=CE=AD，AB=AE=CD，
在△ADE与△CED中，
∴△ADE≌△CED (SSS)，
（2）
证明：∵△ADE≌△CED，
∴∠EDC=∠DEA，
又∵△ACE与△ACB关于AC所在直线对称，
∴∠OAC=∠CAB，
∵∠OCA=∠CAB，
∴∠OAC=∠OCA，
在△DOE和△AOC中，∠DOE=∠AOC，
∵2∠OAC=180°－∠AOC，2∠DEA=180°－∠DOE，
∴2∠OAC=2∠DEA，
∴∠OAC=∠DEA，
∴．
【点睛】本题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是解题的关键．
17．如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将沿BE折叠后得到，且G点在矩形ABCD的内部，延长BG交DC于点F，连接EF．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由折叠的性质可得AE=EG=DE，由“HL”可证Rt△DEF≌Rt△GEF；
（2）设DC=3x，DF=2x，由线段的和差关系可求AB=3x，BF=5x，由勾股定理可求解．
(1)
∵四边形ABCD是矩形，
∴，，，
∵E是AD的中点，
∴，
∵将沿BE折叠后得到，
∴，，，
∴，，
∴在和中，，
∴；
(2)
∵，
∴，
∵，
∴设，，
∴，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
18．折叠矩形ABCD，使点D落在BC边上的点F处，折痕为AE．
(1)求证△ABF∽△FCE；
(2)若CF＝4，EC＝3，求矩形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)矩形ABCD的面积为80
【分析】（1）根据矩形的性质和翻折的性质即可证明△ABF∽△FCE．
（2）由（1）得△ABF∽△FCE，所以，进而可以解决问题．
(1)
证明：由矩形ABCD可得，∠B＝∠C＝∠D＝90°．
∴∠BAF+∠AFB＝90°．
由折叠得∠AFE＝∠D＝90°．
∴∠AFB+∠EFC＝90°．
∴∠BAF＝∠EFC．
∴△ABF∽△FCE；
(2)
解：∵CF＝4，EC＝3，∠C＝90°
∴EF＝DE＝5，
∴AB＝CD＝8．
由（1）得△ABF∽△FCE，
∴
∴BF＝6．
∴BC＝10．
∴S＝AB•CB＝10×8＝80．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折变换，解决本题的关键是得到△ABF∽△FCE．
19．如图，在矩形ABCD中，AD＜2AB，点E是AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交DC于点F，连接EF．
(1)求证：△EGF≌△EDF；
(2)若点F是CD的中点，BC＝8，求CD的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）由翻折和矩形的性质可知∠EGF＝∠D＝90°，EG＝ED，可通过HL证明Rt△EGF≌Rt△EDF；
（2）根据点F是CD的中点知：CF＝CD，BF＝，在Rt△BCF中，利用勾股定理即可列出方程．
(1)
证明：∵将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，
∴∠BGE＝∠A，AE＝GE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠EGF＝∠D＝90°，
∵点E是AD的中点，
∴EA＝ED，
∴EG＝ED，
在Rt△EGF与Rt△EDF中，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL）．
(2)
由（1）知Rt△EGF≌Rt△EDF，
∴GF＝DF，
∵点F是CD的中点，
∴GF＝DF＝CF＝，
在矩形ABCD中，∠C＝90°，AB＝CD，又由折叠可知AB＝GB，
∴GB＝CD，
∴BF＝GB+GF＝，
在Rt△BCF中，由勾股定理得：
∴，
∵CD＞0，
∴CD＝．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确翻折前后对应边相等是解题的关键．
20．如图，在正方形中，，E为中点，连接，将沿折叠，点B的对应点为G，连接并延长交于点F，连接，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)求的长．
【答案】(1)平行，理由见解析
(2)2
【分析】（1）由折叠知，可得，根据E为的中点，可得，进而可得，根据，即可得证；
（2）证明，得，设，则，．勾股定理列出方程，解方程求解即可．
（1）
解： ．
理由如下：
由折叠知，
∴，．
又E为的中点，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）
∵四边形是正方形，
∴．
又，，,
∴．
∴．
设，
则，．
∴．
即．
解得．
即．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质，HL证明三角形全等，全等三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
21．如图，长方形ABCD中，AB＞AD，把长方形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．
(1)图中有 个等腰三角形；（请直接填空，不需要证明）
(2)求证：△ADE≌△CED；
(3)请证明点F在线段AC的垂直平分线上．
【答案】(1)2
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由题意知CE=BC=AD，∠EAC=∠BAC=∠DCA，有△ACF为等腰三角形；在和中，，知，有∠DEA=∠EDC，有△DEF为等腰三角形；
（2）在和中，，可得；
（3）由于，，，有，，故，进而可得出结果．
(1)
解：有△ACF和△DEF共2个等腰三角形
证明如下：由折叠的性质可知CE=BC=AD，∠EAC=∠BAC
∵
∴∠EAC=∠DCA
∴△ACF为等腰三角形；
在和中
∵
∴
∴∠DEA=∠EDC
∴△DEF为等腰三角形；
故答案为：2．
(2)
证明：∵四边形ABCD是长方形
∴，
由折叠的性质可得：，
∴，
在和中，
∴．
(3)
证明：由（1）得
∴，即
∴
又∵
∴
∴
∴点F在线段AC的垂直平分线上．
【点睛】本题考查了几何图形折叠的性质，矩形，等腰三角形的判定与性质，三角形全等，垂直平分线等知识．解题的关键在于灵活运用知识．
22．如图，在中，，点D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作，连接AD、EC．
(1)求证：；
(2)若，求证：四边形ADCE是矩形．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质、等腰三角形的性质，利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△ADC≌△ECD；
（2）利用等腰三角形的“三合一”性质推知AD⊥BC，即∠ADC=90°；由平行四边形的判定定理（对边平行且相等是四边形是平行四边形）证得四边形ADCE是平行四边形，所以有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（1）
证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴ABDE，AB=DE；
∴∠B=∠EDC；
又∵AB=AC，
∴AC=DE，∠B=∠ACB，
∴∠EDC=∠ACD；
∵在△ADC和△ECD中，
，
∴△ADC≌△ECD（SAS）；
（2）
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BDAE，BD=AE，
∴AECD；
又∵BD=CD，
∴AE=CD，
∴四边形ADCE是平行四边形；
在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形．
【点睛】本题综合考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定以及矩形的判定．注意：矩形的判定定理是“有一个角是直角的‘平行四边形’是矩形”，而不是“有一个角是直角的‘四边形’是矩形”．
23．如图1，为了探究某种类型矩形ABCD的性质，数学项目学习小组在BC边上取一点E，连接DE．经探究发现：当DE平分∠ADC时，将△ABE沿AE折叠至△AFE，点F恰好落在DE上．据此解决下列问题：
(1)求证：△AFD≌△DCE；
(2)如图2，延长CF交AE于点G，交AB于点H．
①求证：AH·AF＝AG·CF ；
②求GH∶DF的值．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②3－4
【分析】（1）根据ED平分∠ADC，有∠ADE=∠EDC=45°，即∠DEC=45°，根据翻折的性质，有，即AB=AF，∠AFD=∠B=90°，则有AF=AB=DC，∠FAD=∠ADE=45°，即可得；
（2）①根据△AFD≌△DCE，得出AD＝DE，AF＝DF＝DC＝CE，证明，∠EFC＝∠AHG，即可证明△AHG∽△CFE，即可证明结论；
②过点F作FM⊥BC于点M，设EC=CD=AF=DF=AB=a，根据条件求出，，利用△AHG∽△CFE，求出，即可求出答案．
（1）
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴，，，
∵ED平分∠ADC，
∴∠ADE=∠EDC=45°，
∴∠DEC=90°-∠EDC=45°，
根据翻折的性质，有，
∴AB=AF，∠AFD=∠B=90°，
∴AF=AB=DC，∠FAD=∠ADE=45°，
∴．
（2）
证明：①∵△AFD≌△DCE，
∴AD＝DE，AF＝DF＝DC＝CE，
∴∠DCF＝∠DFC＝67.5°，
∴∠ECF＝22.5°，
∵AD=DE，
，
∴∠HAG=22.5°，
∴，
∵∠EFC＝180°－67.5°＝112.5°，∠AHG＝90°＋22.5°＝112.5°，
∴∠EFC＝∠AHG，
∴△AHG∽△CFE，
，
，
∵EC=CD=AF=DF=AB，
∴AH·AF＝AG·CF；
②过点F作FM⊥BC于点M，如图所示：
设EC=CD=AF=DF=AB=a，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在Rt△BCH中，
，
∵△AHG∽△CFE，
，
∴，
，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，三角形相似的判定和性质，证明△AHG∽△CFE，是解答本题的关键．
24．在矩形ABCD中，，P是边AB上一点，把沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．
(1)如图1，若点E是AD的中点，求证：；
(2)如图2，当，且时，求的值；
(3)如图3，当时，求BP的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)7
【分析】（1）先判断出∠A=∠D=90°，AB=DC，再判断出AE=DE，进而根据“SAS”即可得出结论；
（2）利用折叠的性质，得出∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，进而由平行线的性质得出∠GPF＝∠PFB，等量代换可得：∠BPF＝∠BFP，继而得出BP＝BF，证明△ABE∽△DEC，得出比例式建立方程求解即可得出AE＝9，DE＝16，再判断出△ECF∽△GCP，进而求出PB，即可得出结论；
（3）连接FG，易证四边形BPGF是菱形，继而判断出△GEF∽△EAB，得出，即可得出结论．
（1）
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，
∵E是AD中点，
∴AE＝DE，
在△AEB和△DEC中，
∴△AEB≌△DEC（SAS）；
（2）
在矩形ABCD，∠ABC＝90°，，
∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，
∴∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，
∵BE⊥CG，
∴BE∥PG，
∴∠GPF＝∠PFB，
∴∠BPF＝∠BFP，
∴BP＝BF，
∵∠BEC＝90°，
∴∠AEB+∠CED＝90°，
∵∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠CED＝∠ABE，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABE∽△DEC，
∴，
设AE＝x，
∴，
∴，
∴x＝9或x＝16，
∵AE＜DE，
∴AE＝9，DE＝16，
在Rt△ABE中，由勾股定理可得：
，
同理可得：CE＝20，
由折叠得，BP＝PG，
∴BP＝BF＝PG，
∵BE∥PG，
∴△ECF∽△GCP，
∴，
设BP＝BF＝PG＝y，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
（3）
如图，连接FG，
∵∠GEF＝∠PGC＝90°，
∴BF∥PG
由（2）知，BF＝PG＝BF，
∴四边形BPGF是菱形，
∴BP∥GF，
∴∠GFE＝∠ABE，
∴△GEF∽△EAB，
∴，
∴，
∵BE•EF＝84，AB＝12，
∴GF＝7，
∴BP＝GF＝7．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，折叠的性质，利用方程思想解决问题是本题的关键．
特点
在矩形ABCD中，将△ABC沿着对角线AC翻折得到△AB’C，B’C交AD于点E。
结论
（1）△AEB’≌△CED；（2）AE=CE。
特点
在矩形ABCD中，E、F分别为边BC、AD上的任意点，连接EF，将四边形CDFE沿着EF翻折得到C’D’FE，。
结论
（1）△CED≌△C’ED’；
（2）四边形EDFD’为菱形；
（3）C、E、D’三点共线，且C’D∥FD’。