小升初数学专项复习讲练测(通用版)第10讲工程问题(原卷版+解析)

这是一份小升初数学专项复习讲练测(通用版)第10讲工程问题(原卷版+解析)，共24页。试卷主要包含了基本概念，基本关系，工程问题的类型和常用方法，解答问题等内容，欢迎下载使用。
第10讲 工程问题
知识精讲
工程问题是小升初数学应用题中的重点，是分数应用题的引申与补充。工程问题可分为两大类：一类是已知具体工作量，另一类是未给出具体工作量；本讲重点研究没有具体给出工作量的工程问题。
一、基本概念：
定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题
1.工作总量:完成某一项工程所需的所有工作的数量和，常用“1”来表示.
2.工作时间：完成工作总量所需的时间。
3.工作效率：单位时间内完成的工作量，它是衡量一个人工作快慢的量。
二、基本关系：
1．一般公式：
工作总量＝工作效率×工作时间 工作效率＝工作总量÷工作时间
工作时间＝工作总量÷工作效率 甲工效＋乙工效＝甲乙合作工效之和
特别注意：工作量和工作效率都可以直接相加求和，但工作时间不能。
2．巧解工程问题：一般不知道工作总量的时候，我们常常用假设法求解。我们把工作总量假设为单位“1”，这个巧解方法的公式有：
（1）一般给出工作时间，工作效率＝ QUOTE 1工作时间 1工作时间。
（2）一般给出工作效率 QUOTE 1? 1a，就可以知道工作时间为a。
三、工程问题的类型和常用方法：
类型：双人工程问题 多人工程问题 周期工程问题 水管问题 计算工程费用问题
方法：基本关系法，整体转化法、对比分析法、方程法、比例法
提高达标百分练
一、精挑细选(共5题；每题2分，共10分)
1．（2分）（2020六上·舒兰期末）修一条330米的公路，甲单独修要5天完成，乙单独修要6天完成，两队合修要多少天完成？列式是（ ）
A．1÷（ + ）
B．330÷（5+6）
C．330÷（ + ）
2．（2分）（2020六上·和平期中）加工64个零件，由师傅单独做需用4小时，由徒弟单独做需用8小时，师徒合做需用几小时?正确的列式是（ ）.
A．64÷4＋64÷8B．
C．D．
3．（2分）录入一篇书稿，甲单独录完要 小时，乙单独录完要 小时，甲乙合作（ ）小时能完成．
A．B．C．
4．（2分）（2020六上·巩义期末）挖一条长1200米的水渠．王叔叔每天挖整条水渠的 ，李叔叔单独10天可以挖完．两人合作，几天挖完？下面列式正确的是（ ）
A．1÷（ + ）
B．1200÷（12+10）
C．1200÷（ + ）
5．（2分）（2019六上·微山期中）一项工程，甲队单独做4 天完成，乙队单独做6 天完成。两队合做几天可以完成工程的 。正确的列式是（ ）
A．
B．1÷
C．
二、仔细想，认真填(共10题；每空1分，共17分)
6．（1分）（2023六上·红寺堡期末）一项工程，甲队单独做4天可以完成，乙队单独做6天可以完成。两队合作一起做， 天可以完成这项工程。
7．（1分）（2023六上·石景山期末）随着科技的发展，无人智能配送车已经走进了我们的生活。某快递公司正在使用无人智能配送车为客户配送一批快件，甲配送车单独配送，6小时可以送完；乙配送车单独配送，3小时可以送完。如果两车同时配送， 小时送完这批快件。
8．（2分）（2022六上·巴州期中）一项工程10天完成，平均每天完成这项工程 ，完成这项工程的需要 天。
9．（3分）（2022六上·吴兴期末）一条180米的公路，如果甲队单独修需要10天完成，乙队单独修需要15天完成。甲、乙两队合作 天可以修完；甲、乙两队的工作效率之比是 ： 。
10．（2分）（）一项工程甲独做8小时完成，乙独做12小时完成，两人合做，2小时完成这项工程的 ，余下的由甲独做还要 小时完成。
11．（2分）（2020六上·诸暨期末）加工一批零件，第一小组单独做需要12小时，同样的时间第二小组只能完成 ，第二小组单独做需要 小时，两个小组合作需要 小时。
12．（1分）（2020六上·南开期中）有一堆货物，用甲车单独运15次运完，用乙车单独运10次运完。如果两车同时运， 次就可以运完。
13．（1分）加工一批零件，原计划15天完成，现在工作效率提高了20%。现在 天可以完成。
14．（2分）（2019六上·江北期末）一项工程，甲队独做2天完成 ，乙队独做要9天完成。甲、乙两队工作效率的比是 ；如果两队合做， 天就能完成工程。
15．（2分）（2019六上·海曙期末）挖一条沟渠，甲队单独挖要10天完成，乙队单独挖要15天完成。甲队和乙队的工作效率比是 。现在甲乙两队一起挖， 天可以完成。
三、综合提升(共2题；共8分)
16．（3分）（2020六上·鼓楼期末）只列式不计算．
（1）（1分）某工厂去年生产化肥250万吨，今年比去年增产25万吨，增产百分之几？
列示： ．
（2）（1分）六年（1）班今天出勤48人，缺勤2人，今天的出勤率是多少？
列示：
（3）（1分）单独修一段长30km的路，甲队3天完成，乙队5天完成．两队合修几天修完？
列示： ．
17．（5分）（2019六上·襄阳期末）只列式不计算．
（1）（1分）每年的3月22日是“世界水日”．我国的水资源人均占有量只有2300立方米，约为世界人均水平的 ．世界水资源人均占有量是多少立方米？
（2）（1分）美国人均淡水资源量约为1.38万立方米，我国人均淡水资源量仅为美国的 ．我国我均淡水资源量是多少万立方米？
（3）（1分）2100千克油菜籽可榨油882千克，油菜籽的出油率是多少？
（4）（1分）一只挂钟的分针长20cm，经过45分钟后，分针的尖端所走的路是多少厘米？
（5）（1分）一条高速峰山遂洞，如果甲队单独修6个月才能打通，如果乙队单独修7个月才能打通．如果两队合修，几个月就能打通？
四、解答问题(共12题；共65分)
18．（5分）（2023六上·增城期末）修一条公路，如果甲队单独修，需要20天，如果乙队单独修，需要30天。现在两队合修，需要多少天完成？
19．（5分）（2022六上·龙湖期中）一项工程，甲队单独完成需要20天，乙队单独完成需要30天。如果甲、乙两队一起做这项工程，几天能完成？
20．（5分）（2022六上·淮滨期中）修一条长180m的隧道，甲工程队单独修需要30天，乙工程队单独修需要20天，甲、乙两队合修需要多少天修完？
21．（5分）（2022六上·赣州期中）师徒二人加工一批零件，如果单独加工，师傅8天可以完成，徒弟12天可以完成。现在师徒二人合作加工，5天可以完成吗？
22．（7分）（2022六上·奉化期末）请根据本学期所学数学知识解释说明下列现象。
（1）（3分）为什么体育比赛中，100米比赛各道起跑线一样，400米各道起跑线却不一样？
（2）（4分）在解决“修一条路，一队单独修12天完成，二队单独修18天完成，两队合修几天完成？”问题时，为什么假设这条路为36千米和1千米，算出来的答案都是相同的？
23．（5分）（2021六上·临沂期中）加工一批零件，王师傅单独做需要12小时完成，李师傅单独加工需要8个小时，两人合作几小时可以加工这批零件的一半？
24．（5分）小明站着不动乘电动扶梯上楼需30秒，如果在乘电动扶梯的同时小明继续向上走需12秒，那么电动扶梯不动时，小明徒步沿扶梯上楼需多少秒？
25．（5分）（2021六上·磐石期末）某农场有一千亩小麦地，采用无人机喷洒农药，一台无人机6小时可以完成，另一台无人机10小时可以完成。两台无人机同时工作，几小时可以喷洒完 ？
26．（5分）甲、乙两队要挖一条水渠，甲队独挖要15天完成，乙队独挖要12天完成，现在甲队两队合挖4天，还剩下这条水渠的几分之几？
27．（5分）（2023六上·渝中期末）甲、乙两人合作完成一项工作，由于配合默契，甲的功效比单独做时提高了，乙的功效比单独做时提高了，甲、乙合作6小时完成此项工作。已知甲单独做需要12小时，那么乙单独做需要多少小时？
28．（5分）（2022六上·达川期中）甲乙合作完成一件工作，合作8天后，乙又独做5天，这时还剩下这件工作的。已知乙单独做这件工作需要30天，那么甲单独完成这件工作需要多少天？
29．（8分）（2022六上·玉环期末）修一段公路，甲工程队单独修30天完成，乙工程队单独修20天完成。
（1）（4分）两队合修几天可以完成这段路的？
（2）（4分）如果先由甲队单独做若干天后，再由乙队接着单独做完，前后共用了22天完成。甲队做了几天？
基础版（通用）
2022-2023学年小升初数学精讲精练专题汇编讲义
第10讲 工程问题
知识精讲
工程问题是小升初数学应用题中的重点，是分数应用题的引申与补充。工程问题可分为两大类：一类是已知具体工作量，另一类是未给出具体工作量；本讲重点研究没有具体给出工作量的工程问题。
一、基本概念：
定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题
1.工作总量:完成某一项工程所需的所有工作的数量和，常用“1”来表示.
2.工作时间：完成工作总量所需的时间。
3.工作效率：单位时间内完成的工作量，它是衡量一个人工作快慢的量。
二、基本关系：
1．一般公式：
工作总量＝工作效率×工作时间 工作效率＝工作总量÷工作时间
工作时间＝工作总量÷工作效率 甲工效＋乙工效＝甲乙合作工效之和
特别注意：工作量和工作效率都可以直接相加求和，但工作时间不能。
2．巧解工程问题：一般不知道工作总量的时候，我们常常用假设法求解。我们把工作总量假设为单位“1”，这个巧解方法的公式有：
（1）一般给出工作时间，工作效率＝ QUOTE 1工作时间 1工作时间。
（2）一般给出工作效率 QUOTE 1? 1a，就可以知道工作时间为a。
三、工程问题的类型和常用方法：
类型：双人工程问题 多人工程问题 周期工程问题 水管问题 计算工程费用问题
方法：基本关系法，整体转化法、对比分析法、方程法、比例法
提高达标百分练
一、精挑细选(共5题；每题2分，共10分)
1．（2分）（2020六上·舒兰期末）修一条330米的公路，甲单独修要5天完成，乙单独修要6天完成，两队合修要多少天完成？列式是（ ）
A．1÷（ + ）
B．330÷（5+6）
C．330÷（ + ）
【答案】A
【规范解答】解：1÷（＋）。
故答案为：A。
【思路点拨】两队合修完成需要的时间=工作总量÷（甲的工效＋乙的工效）。
2．（2分）（2020六上·和平期中）加工64个零件，由师傅单独做需用4小时，由徒弟单独做需用8小时，师徒合做需用几小时?正确的列式是（ ）.
A．64÷4＋64÷8B．
C．D．
【答案】C
【规范解答】解：正确的列式是：1÷（＋）
故答案为：C。
【思路点拨】把工作总量看作单位“1”， 师徒合做需用的时间=工作总量÷工效和。
3．（2分）录入一篇书稿，甲单独录完要 小时，乙单独录完要 小时，甲乙合作（ ）小时能完成．
A．B．C．
【答案】C
【规范解答】1÷（1÷ +1÷ ）
＝1÷（3+4）
＝1÷7
＝
故答案为：C。
【思路点拨】此题主要考查了工程应用题，把录入这篇书稿的工作总量看作单位“1”，工作总量÷工作时间=工作效率，分别求出甲、乙的工作效率，然后用工作总量÷（甲的工作效率+乙的工作效率）=甲乙合作的时间，据此列式解答。
4．（2分）（2020六上·巩义期末）挖一条长1200米的水渠．王叔叔每天挖整条水渠的 ，李叔叔单独10天可以挖完．两人合作，几天挖完？下面列式正确的是（ ）
A．1÷（ + ）
B．1200÷（12+10）
C．1200÷（ + ）
【答案】A
【规范解答】1÷（ + ）
＝1÷
＝
＝ （天）
故答案为：A。
【思路点拨】此题主要考查了工程问题，根据题意，把修这条水渠的工作总量看作单位“1”，用工作总量÷工作时间=工作效率，先求出李叔叔的工作效率，然后用工作总量÷（王叔叔的工作效率+李叔叔的工作效率）=两人合作的时间，据此列式解答。
5．（2分）（2019六上·微山期中）一项工程，甲队单独做4 天完成，乙队单独做6 天完成。两队合做几天可以完成工程的 。正确的列式是（ ）
A．
B．1÷
C．
【答案】A
【规范解答】甲队的工作效率：1÷4=
乙队的工作效率：1÷6=
合作时间：÷（+）
故答案为：A。
【思路点拨】把一项工程看作单位“1”，应用工作总量÷工作时间=工作效率，先分别求出甲乙两队的工作效率，最后用合作工作量÷工作效率和=合作时间，据此代入数据即可。
二、仔细想，认真填(共10题；每空1分，共17分)
6．（1分）（2023六上·红寺堡期末）一项工程，甲队单独做4天可以完成，乙队单独做6天可以完成。两队合作一起做， 天可以完成这项工程。
【答案】
【规范解答】解：1÷（＋）
=1÷
=（天）。
故答案为：。
【思路点拨】两队合作完成这项工程需要的天数=工作总量÷工作效率和。
7．（1分）（2023六上·石景山期末）随着科技的发展，无人智能配送车已经走进了我们的生活。某快递公司正在使用无人智能配送车为客户配送一批快件，甲配送车单独配送，6小时可以送完；乙配送车单独配送，3小时可以送完。如果两车同时配送， 小时送完这批快件。
【答案】2
【规范解答】1÷（+）
=1÷
=2（小时）
故答案为：2。
【思路点拨】此题主要考查了工程应用题，把工作总量看作单位“1”，工作总量÷工作时间=工作效率，分别求出甲、乙的工作效率，然后用工作总量÷合作的工作效率=合作需要的时间，据此列式解答。
8．（2分）（2022六上·巴州期中）一项工程10天完成，平均每天完成这项工程 ，完成这项工程的需要 天。
【答案】；6
【规范解答】解：1÷10=
÷=6（天）。
故答案为：；6。
【思路点拨】平均每天完成这项工程的分率=单位“1”÷完成需要的天数；完成这项工程的需要的天数=÷平均每天完成这项工程的分率。
9．（3分）（2022六上·吴兴期末）一条180米的公路，如果甲队单独修需要10天完成，乙队单独修需要15天完成。甲、乙两队合作 天可以修完；甲、乙两队的工作效率之比是 ： 。
【答案】6；3；2
【规范解答】解：1÷（+）=6天，所以甲、乙两队合作6天可以修完；甲、乙两队的工作效率之比是：=3：2。
故答案为：6；3；2。
【思路点拨】把修这条公路看成单位“1”，那么两队合作完成需要的天数=1÷两队每天一共修这条路的几分之几；甲队的工作效率：乙队的工作效率=（1÷甲队单独修需要的天数）：（1÷乙队单独修需要的天数）。
10．（2分）（）一项工程甲独做8小时完成，乙独做12小时完成，两人合做，2小时完成这项工程的 ，余下的由甲独做还要 小时完成。
【答案】；
【规范解答】解：1÷8=
1÷12=
（＋）×2
=×2
=
（1-）÷
=÷
=（小时）
故答案为：；。
【思路点拨】两人合做，2小时完成这项工程的分率=（甲的工效＋乙的工效）×工作时间； 余下的由甲独做还需要的时间=（单位“1”-两人合做，2小时完成的工作总量）÷甲的工效。
11．（2分）（2020六上·诸暨期末）加工一批零件，第一小组单独做需要12小时，同样的时间第二小组只能完成 ，第二小组单独做需要 小时，两个小组合作需要 小时。
【答案】16；
【规范解答】解：12÷=16（小时）
1÷（＋）
=1÷
=（小时）
故答案为：16；。
【思路点拨】第二小组单独做需要的时间=第一小组单独做需要的时间÷；两个小组合作需要的时间=工作总量÷工效和。
12．（1分）（2020六上·南开期中）有一堆货物，用甲车单独运15次运完，用乙车单独运10次运完。如果两车同时运， 次就可以运完。
【答案】6
【规范解答】解：1÷（＋）
=1÷
=6（次）
故答案为：6。
【思路点拨】运完需要的次数=工作总量÷工效和。
13．（1分）加工一批零件，原计划15天完成，现在工作效率提高了20%。现在 天可以完成。
【答案】12.5
【规范解答】计划的工效：1÷15=，
实际的工效：
×（1+20%）
=×120%
=0.08
1÷0.08=12.5（天）
故答案为：12.5 。
【思路点拨】此题主要考查了工程应用题，把工作总量看作单位“1”，工作总量÷工作时间=工作效率，先求出原来的工作效率，然后用原来的工作效率×（1+20%）=现在的工作效率，最后用工作总量÷现在的工作效率=现在的工作时间，据此列式解答。
14．（2分）（2019六上·江北期末）一项工程，甲队独做2天完成 ，乙队独做要9天完成。甲、乙两队工作效率的比是 ；如果两队合做， 天就能完成工程。
【答案】3：2；
【规范解答】解：÷2=；
1÷9=；
：=（×18）：（×18）=3：2；
1÷（＋）
=1÷
=（天）。
故答案为：3：2；。
【思路点拨】甲的工效=甲完成的工作总量÷时间，乙的工效=单位“1”÷工作时间，然后把甲和乙的工效写成比，并且化简比；两队合作需要的时间=单位“1”÷工效和。
15．（2分）（2019六上·海曙期末）挖一条沟渠，甲队单独挖要10天完成，乙队单独挖要15天完成。甲队和乙队的工作效率比是 。现在甲乙两队一起挖， 天可以完成。
【答案】3：2；6
【规范解答】解：1÷10=；
1÷15=；
：=3：2；
1÷（＋）
=1÷
=6（天）。
故答案为：3：2；6。
【思路点拨】把这条沟渠看作单位“1”，工效=工作总量÷工作时间；甲乙两队一起挖，完成需要的时间=工作总量÷（甲的工效＋乙的工效）。
三、综合提升(共2题；共8分)
16．（3分）（2020六上·鼓楼期末）只列式不计算．
（1）（1分）某工厂去年生产化肥250万吨，今年比去年增产25万吨，增产百分之几？
列示： ．
（2）（1分）六年（1）班今天出勤48人，缺勤2人，今天的出勤率是多少？
列示：
（3）（1分）单独修一段长30km的路，甲队3天完成，乙队5天完成．两队合修几天修完？
列示： ．
【答案】（1）25÷250
（2）48÷（48+2）×100%
（3）30÷（30÷3+30÷5）
【思路点拨】）（1）根据原题可知，要求增产百分之几，依据今年比去年增产部分÷去年的产量=增产百分之几，据此列式；
（2）根据出勤率=出勤人数÷（出勤人数+缺勤人数）×100%，据此列式；
（3）根据工作总量÷（工作总量÷甲队单独修需要的时间+工作总量÷乙队单独修需要的时间）=合修需要的时间，据此列式。
17．（5分）（2019六上·襄阳期末）只列式不计算．
（1）（1分）每年的3月22日是“世界水日”．我国的水资源人均占有量只有2300立方米，约为世界人均水平的 ．世界水资源人均占有量是多少立方米？
（2）（1分）美国人均淡水资源量约为1.38万立方米，我国人均淡水资源量仅为美国的 ．我国我均淡水资源量是多少万立方米？
（3）（1分）2100千克油菜籽可榨油882千克，油菜籽的出油率是多少？
（4）（1分）一只挂钟的分针长20cm，经过45分钟后，分针的尖端所走的路是多少厘米？
（5）（1分）一条高速峰山遂洞，如果甲队单独修6个月才能打通，如果乙队单独修7个月才能打通．如果两队合修，几个月就能打通？
【答案】（1）2300÷
（2）1.38×
（3） ×100%
（4）3.14×2×20×（45÷60）
（5）1÷（ + ）
【思路点拨】（1）根据条件“ 我国的水资源人均占有量只有2300立方米，约为世界人均水平的 ”可知，把世界水资源人均占有量看作单位“1”，要求单位“1”，用除法计算，据此列式解答；
（2）根据条件“ 美国人均淡水资源量约为1.38万立方米，我国人均淡水资源量仅为美国的 ”可知，把美国人均淡水资源量看作单位“1”，求单位“1”的几分之几是多少，用乘法计算，据此列式解答；
（3）此题主要考查了百分率的计算，油菜籽的出油率=榨油的质量÷油菜籽的质量×100%，据此列式解答；
（4）此题主要考查了工程应用题，把这条路的工作总量看作单位“1”，用工作总量÷合作的工作效率之和=合作的时间，据此列式解答。
四、解答问题(共12题；共65分)
18．（5分）（2023六上·增城期末）修一条公路，如果甲队单独修，需要20天，如果乙队单独修，需要30天。现在两队合修，需要多少天完成？
【答案】解：1÷（＋）
=1÷
=12（天）
答：需要12天完成。
【思路点拨】现在两队合修完成需要的天数=工作总量÷工作效率的和。
19．（5分）（2022六上·龙湖期中）一项工程，甲队单独完成需要20天，乙队单独完成需要30天。如果甲、乙两队一起做这项工程，几天能完成？
【答案】解：1÷（ + ）
=1÷
=12（天）
答：12天能完成。
【思路点拨】乙两队一起做这项工程完成需要的天数=工作总量÷工作效率的和。
20．（5分）（2022六上·淮滨期中）修一条长180m的隧道，甲工程队单独修需要30天，乙工程队单独修需要20天，甲、乙两队合修需要多少天修完？
【答案】解：180÷30=6（米）
180÷20=9（米）
180÷（6+9）
=180÷15
=12（天）
答：甲、乙两队合修需要12天修完。
【思路点拨】隧道长度÷修的天数=每天修的长度，隧道总长÷甲、乙工程队每天和修的长度=修完需要的天数。
21．（5分）（2022六上·赣州期中）师徒二人加工一批零件，如果单独加工，师傅8天可以完成，徒弟12天可以完成。现在师徒二人合作加工，5天可以完成吗？
【答案】解：1÷（ + ）
＝1÷
＝4.8（天）
4.8＜5
答：5天可以完成。
【思路点拨】把这批零件的总数看作单位“1”，用分子是1的分数分别表示处两人的工作效率，然后用1除以两人的工作效率和求出合作完成需要的天数，再与5天比较后判断能否完成。
22．（7分）（2022六上·奉化期末）请根据本学期所学数学知识解释说明下列现象。
（1）（3分）为什么体育比赛中，100米比赛各道起跑线一样，400米各道起跑线却不一样？
（2）（4分）在解决“修一条路，一队单独修12天完成，二队单独修18天完成，两队合修几天完成？”问题时，为什么假设这条路为36千米和1千米，算出来的答案都是相同的？
【答案】（1）解：100米比赛都是直道，各跑道起跑线和终点线一样；而400米要跑弯道，弯道各跑道长度是不同的。
（2）解：36÷（＋）
=36÷5
=7.2（天）
1÷（＋）
=1÷
=7.2（天）
答：两队合修7.2天完成。
【思路点拨】（1）400米弯道各跑道长度是不同的，越往外，半径越大，周长也就越大，因此，400米各道起跑线不一样；
（2）工作时间=工作总量÷工作效率的和。
23．（5分）（2021六上·临沂期中）加工一批零件，王师傅单独做需要12小时完成，李师傅单独加工需要8个小时，两人合作几小时可以加工这批零件的一半？
【答案】解：1÷12=
1÷8=
（1÷2）÷（＋）
=÷
=2.4（小时）
答：两人合作2.4小时可以加工这批零件的一半。
【思路点拨】两人合作加工这批零件的一半需要的时间=工作总量÷2÷工效和；其中，工效=工作总量÷工作时间。
24．（5分）小明站着不动乘电动扶梯上楼需30秒，如果在乘电动扶梯的同时小明继续向上走需12秒，那么电动扶梯不动时，小明徒步沿扶梯上楼需多少秒？
【答案】解：电梯每秒完成 ，电梯加小明徒步上楼每秒完成 ，小明徒步上楼每秒完成 ，所以小明徒步上楼需 （秒）。
答：小明徒步沿扶梯上楼需20秒。
【规范解答】上楼总路程设为1，电梯速度为1÷30=，小明徒步上楼+电梯的速度为1÷12=，小明徒步上楼速度为：-=，小明徒步上楼的时间：1÷=20（秒）
【思路点拨】此题很类似于”工程问题“，设总的为单位1，速度就=1÷时间，再利用速度和-一个速度=另一个速度，最后利用时间=路程÷速度，由此得解。
25．（5分）（2021六上·磐石期末）某农场有一千亩小麦地，采用无人机喷洒农药，一台无人机6小时可以完成，另一台无人机10小时可以完成。两台无人机同时工作，几小时可以喷洒完 ？
【答案】解： ÷（ + ）
＝ ÷
＝ （小时）
答： 小时可以喷洒完 。
【思路点拨】喷洒完需要的时间=工作总量÷工作效率和。
26．（5分）甲、乙两队要挖一条水渠，甲队独挖要15天完成，乙队独挖要12天完成，现在甲队两队合挖4天，还剩下这条水渠的几分之几？
【答案】解：1-（ + )×4=
答：还剩水渠的 .
【思路点拨】把总工作量看作单位“1”，用分数分别表示出两队的工作效率，用工作效率和乘4求出完成的工作量，用1减去完成的工作量即可求出还剩下的工作量.
27．（5分）（2023六上·渝中期末）甲、乙两人合作完成一项工作，由于配合默契，甲的功效比单独做时提高了，乙的功效比单独做时提高了，甲、乙合作6小时完成此项工作。已知甲单独做需要12小时，那么乙单独做需要多少小时？
【答案】解：合作时甲的工作效率：
×（1+）
=×
=
合作时乙的工作效率：-=
乙单独做时的工作效率：
÷（1+）
=÷
=
乙单独做需要的时间：1÷=17.5（小时）
答：乙单独做需要17.5小时。
【思路点拨】合作时甲的工作效率是原来的（1+），根据分数乘法的意义先求出合作时甲的工作效率。用两人合作的工作效率和减去合作时甲的工作效率求出合作时乙的工作效率。合作时乙的工作效率是原来工作效率的（1+），根据分数除法的意义求出乙原来的工作效率，用1除以乙原来的工作效率即可求出乙单独做需要的时间。
28．（5分）（2022六上·达川期中）甲乙合作完成一件工作，合作8天后，乙又独做5天，这时还剩下这件工作的。已知乙单独做这件工作需要30天，那么甲单独完成这件工作需要多少天？
【答案】解：1-=
-×13
=-
=
÷8=
1÷=20（天）
答：甲单独完成这件工作需要20天。
【思路点拨】乙单独做这件工作需要30天，则乙单独完成每天的，13天完成×13；甲乙共同完成的工作量=1-=，而甲共干了8天，其工作量=-×13，工作时间=工作总量÷工效。
29．（8分）（2022六上·玉环期末）修一段公路，甲工程队单独修30天完成，乙工程队单独修20天完成。
（1）（4分）两队合修几天可以完成这段路的？
（2）（4分）如果先由甲队单独做若干天后，再由乙队接着单独做完，前后共用了22天完成。甲队做了几天？
【答案】（1）解：÷（ + ）
= ÷
=10（天）
答：两队合修10天可以完成这段路的 。
（2）解：。
x+（22-x）=1
x+-x=1
（-）x=-1
x=
x=6
答：甲队做了6天。
【思路点拨】（1）把修这条路的工作量看作单位“1”，根据工作效率=工作量÷工作时间，分别求出甲乙的工作效率，从而计算出甲乙的工作效率和，再用除以甲乙的工作效率和，就是甲乙合作完成这段路的的时间，即工作时间=工作总量÷工作效率和；
（2）根据题意，设甲队做了x天，则甲队的工作总量就是x，乙队的工作总量是 （22-x），这道题的等量关系是：甲队完成的量+乙队完成的量＝1，根据这个等量关系，列方程解答。