高考数学一轮复习考点探究与题型突破第49讲直线与圆、圆与圆的位置关系(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习考点探究与题型突破第49讲直线与圆、圆与圆的位置关系(原卷版+解析)，共14页。试卷主要包含了直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系的常用结论等内容，欢迎下载使用。


1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
2.圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2eq \r(r2－d2).
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(xM＋xN2－4xMxN).
常用结论
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
(2)两个圆系方程
①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．
考点1 直线与圆的位置关系
[名师点睛]
1.判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
2.弦长的两种求法
(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长．
(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2eq \r(r2－d2).
3.当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法
(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.
(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.
注意验证斜率不存在的情况．
[典例]
1.直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为( )
A．相交、相切或相离
B．相交或相切
C．相交
D．相切
2. (1)(多选)已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中正确的是( )
A.圆M的圆心为(4，－3)
B.圆M被x轴截得的弦长为8
C.过原点的最短弦长为8
D.圆M被y轴截得的弦长为6
(2)(2023·天津卷)已知直线x－eq \r(3)y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r＞0)相交于A，B两点.若|AB|＝6，则r的值为__________.
3.(2023·衡水模拟)已知直线l：x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－1，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于( )
A．1 B．2 C．4 D．8
4.在平面直角坐标系Oxy中，已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，点A是直线x－y＋2＝0上的一个动点，直线AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ的长的取值范围为________．
[举一反三]
1.(多选)(2023·新高考全国Ⅱ)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是( )
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
2.(多选)直线y＝kx－1与圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝36相交于A，B两点，则AB的长度可能为( )
A．6 B．8 C．12 D．16
3.过点P(2，4)引圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为________.
考点2 圆与圆的位置关系
[名师点睛]
1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.
2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.
[典例]
1.(2023·长沙模拟)若圆C1：(x－1)2＋(y－a)2＝4与圆C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝a2相交，则正实数a的取值范围为( )
A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)) D．(3,4)
2.圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程为______________，公共弦长为________．
3.已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切？
(2)当m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
[举一反三]
1.已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2eq \r(2)，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
2.(2023·长沙模拟)已知圆C1：x2＋y2＋4x－2y－4＝0，圆C2：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2)))2＝eq \f(11,2)，则这两圆的公共弦长为( )
A．5 B．2eq \r(2) C．2 D．1
3.已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A，B两点.公共弦|AB|的长为________，经过A，B两点且面积最小的圆的方程为________.
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ<0
Δ＝0
Δ>0
几何观点
d>r
d＝r
d图形
量的关系
外离
d>r1＋r2
外切
d＝r1＋r2
相交
|r1－r2|内切
d＝|r1－r2|
内含
d<|r1－r2|
第49讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
2.圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2eq \r(r2－d2).
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(xM＋xN2－4xMxN).
常用结论
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
(2)两个圆系方程
①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．
考点1 直线与圆的位置关系
[名师点睛]
1.判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
2.弦长的两种求法
(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长．
(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2eq \r(r2－d2).
3.当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法
(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.
(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.
注意验证斜率不存在的情况．
[典例]
1.直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为( )
A．相交、相切或相离
B．相交或相切
C．相交
D．相切
答案 C
解析 方法一 直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，
该直线恒过定点(1,2)．
因为12＋22－2×1－8<0，
所以点(1,2)在圆x2＋y2－2x－8＝0的内部，
所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交．
方法二 圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝32，所以圆的圆心为(1,0)，半径为3.圆心到直线kx－y＋2－k＝0的距离为eq \f(|k＋2－k|,\r(1＋k2))＝eq \f(2,\r(1＋k2))≤2<3，所以直线与圆相交．
2. (1)(多选)已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中正确的是( )
A.圆M的圆心为(4，－3)
B.圆M被x轴截得的弦长为8
C.过原点的最短弦长为8
D.圆M被y轴截得的弦长为6
答案 ABD
解析 圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则(x－4)2＋(y＋3)2＝25.圆的圆心坐标为(4，－3)，半径为5.过原点的最短弦长为6，选项C不正确.ABD均正确.
(2)(2023·天津卷)已知直线x－eq \r(3)y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r＞0)相交于A，B两点.若|AB|＝6，则r的值为__________.
答案 5
解析 由题意知圆心为O(0，0)，圆心到直线的距离d＝eq \f(|0－\r(3)×0＋8|,\r(1＋3))＝4.取AB的中点M，连接OM(图略)，则OM⊥AB.
在Rt△OMA中，r＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|AB|,2)))\s\up12(2)＋d2)＝5.
3.(2023·衡水模拟)已知直线l：x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－1，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于( )
A．1 B．2 C．4 D．8
答案 C
解析 已知直线l：x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0的对称轴，圆心C(3,1)，半径r＝3，
所以直线l过圆心C(3,1)，
故3＋a－1＝0，故a＝－2，
所以点A(－1，－2)，
|AC|＝eq \r(3＋12＋1＋22)＝5，
|AB|＝eq \r(52－32)＝4.
4.在平面直角坐标系Oxy中，已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，点A是直线x－y＋2＝0上的一个动点，直线AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ的长的取值范围为________．
答案 [2eq \r(2)，4)
解析 由圆的方程知，圆心C(2,0)，半径r＝2.连接AC，PC，QC(图略)，
设|AC|＝x，则x≥eq \f(|2－0＋2|,\r(2))＝2eq \r(2).
∵AP，AQ为圆C的切线，
∴CP⊥AP，CQ⊥AQ，
∴|AP|＝|AQ|＝eq \r(|AC|2－r2)＝eq \r(x2－4).
∵AC是PQ的垂直平分线，
∴|PQ|＝2×eq \f(|AP|·|PC|,|AC|)＝eq \f(4\r(x2－4),x)
＝4eq \r(1－\f(4,x2)).
∵x≥2eq \r(2)，
∴eq \f(1,2)≤1－eq \f(4,x2)<1，
∴2eq \r(2)≤|PQ|<4，
即线段PQ的长的取值范围为[2eq \r(2)，4)．
[举一反三]
1.(多选)(2023·新高考全国Ⅱ)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是( )
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
答案 ABD
解析 圆心C(0,0)到直线l的距离
d＝eq \f(r2,\r(a2＋b2))，
若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，
所以d＝eq \f(r2,\r(a2＋b2))＝|r|，则直线l与圆C相切，故A正确；
若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2所以d＝eq \f(r2,\r(a2＋b2))>|r|，则直线l与圆C相离，故B正确；
若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，
所以d＝eq \f(r2,\r(a2＋b2))<|r|，则直线l与圆C相交，故C错误；
若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0，
即a2＋b2＝r2，
所以d＝eq \f(r2,\r(a2＋b2))＝|r|，则直线l与圆C相切，故D正确．
2.(多选)直线y＝kx－1与圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝36相交于A，B两点，则AB的长度可能为( )
A．6 B．8 C．12 D．16
答案 BC
解析 因为直线y＝kx－1过定点(0，－1)，故圆C的圆心C(－3,3)到直线y＝kx－1的距离的最大值为eq \r(－3－02＋3＋12)＝5.
又圆C的半径为6，故弦长AB的最小值为
2eq \r(62－52)＝2eq \r(11).
又当直线y＝kx－1过圆心时弦长AB取最大值，为直径12，
故|AB|∈[2eq \r(11)，12]．
3.过点P(2，4)引圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为________.
答案 x＝2或4x－3y＋4＝0
解析 当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d＝eq \f(|k－1＋4－2k|,\r(k2＋（－1）2))＝eq \f(|3－k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq \f(4,3)，
∴所求切线方程为eq \f(4,3)x－y＋4－2×eq \f(4,3)＝0，
即4x－3y＋4＝0.
综上，切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.
考点2 圆与圆的位置关系
[名师点睛]
1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.
2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.
[典例]
1.(2023·长沙模拟)若圆C1：(x－1)2＋(y－a)2＝4与圆C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝a2相交，则正实数a的取值范围为( )
A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)) D．(3,4)
答案 A
解析 |C1C2|＝eq \r(9＋a＋12)，
因为圆C1：(x－1)2＋(y－a)2＝4与圆C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝a2相交，
所以|a－2|解得a>3.
2.圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程为______________，公共弦长为________．
答案 x－2y＋4＝0 2eq \r(5)
解析 联立两圆的方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－2x＋10y－24＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，))
两式相减并化简，得x－2y＋4＝0，此即两圆公共弦所在直线的方程．
由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，
得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，
圆C1的圆心坐标为(1，－5)，半径r＝5eq \r(2)，
圆心到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝eq \f(|1－2×－5＋4|,\r(1＋－22))＝3eq \r(5).
设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，
即50＝(3eq \r(5))2＋l2，解得l＝eq \r(5)，
故公共弦长为2eq \r(5).
3.已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切？
(2)当m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
解 两圆的标准方程分别为
(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，
半径分别为eq \r(11)和eq \r(61－m).
(1)当两圆外切时，
eq \r(5－12＋6－32)＝eq \r(11)＋eq \r(61－m).
解得m＝25＋10eq \r(11).
(2)两圆的公共弦所在直线的方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.
由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，求得公共弦的长为2×eq \r(\r(11)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|4＋3×3－23|,\r(42＋32))))2)＝2eq \r(7).
[举一反三]
1.已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2eq \r(2)，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
答案 B
解析 由题意得圆M的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝eq \f(a,\r(2))，
所以2eq \r(a2－\f(a2,2))＝2eq \r(2)，解得a＝2，圆M，圆N的圆心距|MN|＝eq \r(2)小于两圆半径之和3，大于两圆半径之差1，故两圆相交．
2.(2023·长沙模拟)已知圆C1：x2＋y2＋4x－2y－4＝0，圆C2：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2)))2＝eq \f(11,2)，则这两圆的公共弦长为( )
A．5 B．2eq \r(2) C．2 D．1
答案 C
解析 由题意知圆C1：x2＋y2＋4x－2y－4＝0，
圆C2：x2＋y2＋3x－3y－1＝0，将两圆的方程相减，得x＋y－3＝0，
所以两圆的公共弦所在直线的方程为x＋y－3＝0.
又因为圆C1的圆心为(－2,1)，半径r＝3，
所以圆C1的圆心到直线x＋y－3＝0的距离
d＝eq \f(|－2＋1－3|,\r(2))＝2eq \r(2).所以这两圆的公共弦的弦长为2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(32－2\r(2)2)＝2.
3.已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A，B两点.公共弦|AB|的长为________，经过A，B两点且面积最小的圆的方程为________.
答案 2eq \r(5) (x＋2)2＋(y－1)2＝5
解析 两圆的方程作差可得x－2y＋4＝0.
∴圆C1与圆C2的公共弦AB所在的直线方程为x－2y＋4＝0，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2y＋4＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－4，,y＝0，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝2，))
不妨设A(－4，0)，B(0，2)，
∴|AB|＝eq \r(（－4－0）2＋（0－2）2)＝2eq \r(5)，
以AB为直径的圆即为面积最小的圆.
∴(x＋2)2＋(y－1)2＝5.相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ<0
Δ＝0
Δ>0
几何观点
d>r
d＝r
d图形
量的关系
外离
d>r1＋r2
外切
d＝r1＋r2
相交
|r1－r2|内切
d＝|r1－r2|
内含
d<|r1－r2|