初中数学苏科版（2024）七年级下册（2024）8.4 乘法公式当堂达标检测题

这是一份初中数学苏科版（2024）七年级下册（2024）8.4 乘法公式当堂达标检测题，共8页。试卷主要包含了基础夯实，巩固提高，拓展提升等内容，欢迎下载使用。
1．下列计算中，能用平方差公式计算的是( )
A．(x＋3)(x－2)B．(－1－3x)(1＋3x)
C．(a2＋b)(a2－b)D．(3x＋2)(2x－3)
2．下列运算正确的是（ ）
A．2x2=2x2B．x+2x+3=x2−6
C．x+22=x2+2x+4D．x−2x+2=x2−4
3．如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（ ）
A．a2−b2=a−b2B．a2−b2=a+ba−b
C．(a−b)2=a2−2ab+b2D．(a+b)2=a2+2ab+b2
4．如图1，将边长为a的正方形纸片，剪去一个边长为b的小正方形纸片.再沿着图1中的虚线剪开，把剪成的两部分(1)和(2)拼成如图2的平行四边形，这两个图能解释的数学公式是( )
A．(a−b)2=a2−2ab+b2B．a2−b2=(a+b)(a−b)
C．(a+b)2=a2+2ab+b2D．ab=14[(a+b)2−(a−b)2]
5．计算：a+2b2= ．
6．已知a2−b2=15，a−b=3，则a+b的值是 ．
7．计算：
（1）99×101；
（2）20012−1．
8．定义：任意两个数a，b，按规则c=a2+b2−ab运算得到一个新数c，称c为a，b的“和方差数”．
（1）求2，−3的“和方差数”；
（2）若两个非零数a，b的积是a，b的“和方差数”，求2a−2b的值；
（3）若a+b=3,ab=4，求a，b的“和方差数”．
9．已知a+b=4，ab=−5，求：
（1）a2+b2的值；
（2）a−b的值．
10．先化简，再求值：a+b2−a+ba−b+ab，其中a=1，b=−2．
二、巩固提高
11．计算：(2+1)(22+1）(24+1)(28+1)= ．（结果中保留幂的形式）
12．如果多项式p=a2+4b2+2a+4b+2024，则p的最小值是 ．
13．已知x+1x=4，则代数式x2+1x2的值为 ．
14．已知a2+14b2=2a−b−2，则3a−12b的值为 ．
15．如图，在边长为a的正方形上截去边长为b的正方形．
（1）图1阴影面积是 ；
（2）图2是将图1中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，根据图形可以得到乘法公式 ；
（3）运用得到的公式，计算：(1−122)(1−132)(1−142)⋯(1−11002)= ．
16．基础体验：（1）若实数a，b满足a+b=4，ab=3，求a2+b2的值
进阶实践：（2）若实数x满足x10−x=48，求x2+10−x2的值．
高阶探索：（3）如图，已知正方形AEGF与正方形ABCD的面积之和为65，BE=3，求长方形ABHF的面积．
17．[知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
（1）观察图②，请你写出(a+b)2、(a−b)2、ab之间的等量关系是______；
（2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若x+y=6，xy=112，求(x−y)2的值；
[知识迁移]类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．
（3）根据图③，写出一个代数恒等式：______；
（4）已知a+b=3，ab=1，利用上面的规律求a3+b32的值．
三、拓展提升
18．阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆用，即a2±2ab+b2=(a±b)2．例如：x2−2x+4=(x−1)2+3．请根据阅读材料解决下列问题：
（1）已知x2+y2+4x−6y+13=0，求(−y)x的值；
（2）当x，y为何值时，代数式5x2−4xy+y2+6x+25取得最小值，最小值为多少？
19．【探究】
若x满足(9−x)(x−4)=4，求(9−x)2+(x−4)2的值．
设9−x=a,x−4=b，则(9−x)(x−4)=ab=4,a+b=(9−x)+(x−4)=5，
∴(9−x)2+(x−4)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=52−2×4=17；
【应用】
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足(5−x)(x−2)=2，则(5−x)2+(x−2)2的值为 ；
【拓展】
（2）已知正方形ABCD的边长为x，E、F分别是AD、DC上的点，且AE=1,CF=3，长方形EMFD的面积是8，分别以MF、DF为边作正方形．
①MF= ，DF= ；（用含x的式子表示）
②求阴影部分的面积．
20．【观察】如图①是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图②所示，请直接写出a+b2，a−b2，ab之间的等量关系____________________________；
【应用】若m+n=6，mn=5，则m−n=_______________；
【拓展】如图③，正方形ABCD的边长为x，AE=5，CG=15，长方形EFGD的面积是200，四边形NGDH和四边形MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积．
21．【知识回顾】
如图1，长方形的长与宽分别为a、b，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）若用四个完全相同的这样的长方形拼成如图2的正方形，请写出下列三个代数式(a+b)2，(a−b)2，ab之间的一个等量关系式： ；
（2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题：若x−y=7，xy=6，求x2+y2的值；
（3）【深入探究】
若a满足(2023−a)(a−2024)=−5，求(2023−a)2+(a−2024)2的值；
（4）【应用迁移】
如图3，长方形ABCD中，AB=2BC，E、F是边AB上的点(E在F左侧)，以EF为边向下作正方形EFGH，延长GH交AD于点M，再以MH为边向上作正方形MHQP，若BF=2k，DM=k+1，(k为常数，且k>0)，正方形MHQP与长方形ABCD重叠部分的长方形面积为214，求长方形AMGF的周长．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】B
4．【答案】B
5．【答案】a2+4ab+4b2
6．【答案】5
7．【答案】（1）9999
（2）4004000
8．【答案】（1）19
（2）0
（3）−3
9．【答案】（1）26
（2）±6
10．【答案】5ab+2b2，2．
11．【答案】216-1
12．【答案】2022
13．【答案】14
14．【答案】4
15．【答案】（1）a2−b2
（2）(a+b)(a−b)=a2−b2
（3）101200
16．【答案】（1）解：∵a+b=4，ab=3 ，
∴a2+b2+2ab=16，
∴a2+b2+6=16，
∴a2+b2=10．
（2）解：设x=a,10−x=b，
∴a+b=x+10−x=10，
∵x10−x=48，
∴ab=48，
∴x2+10−x2
=a2+b2
=a+b2−2ab
=102−2×48
=4；
（3）解：设正方形ABCD的边长为a，正方形AEGF是边长为b，
∵正方形AEGF与正方形ABCD的面积之和为65，
∴a2+b2=65，
∵BE=3，
∴AB−AE=3，
∴a−b=3，
∴2ab=a2+b2−a−b2
=65−32
=56，
∴ab=28，
∴AF⋅AB=28，
∴长方形ABHF的面积为28．
17．【答案】[知识生成]（1）a+b2−a−b2=4ab；[知识迁移]（2）14（3）a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3（4）9
18．【答案】（1）19
（2）x=−3，y=−6，16
19．【答案】解：（1）设5−x=a,x−2=b，
则(5−x)(x−2)=ab=2,a+b=(5−x)+(x−2)=3，
∴(5−x)2+(x−2)2=a2+b2
=(a+b)2−2ab
=32−2×2
=9−4
=5；
（2）①x−1,x−3
②∵长方形EMFD的面积是 8 ，
∴MF⋅DF=(x−1)(x−3)=8，
阴影部分面积=MF2−DF2=(x−1)2−(x−3)2，
设x−1=a,x−3=b，
则(x−1)(x−3)=ab=8,a−b=(x−1)−(x−3)=2，
∴(a+b)2=(a−b)2+4ab=22+4×8=36，
∴a+b=±6，
又∵a+b>0，
∴a+b=6，
∴(x−1)2−(x−3)2=a2−b2=(a+b)(a−b)=6×2=12．
即阴影部分的面积是 12 ．
20．【答案】观察：(a+b)2−(a−b)2=4ab；应用：±4；拓展：900
21．【答案】（1）(a+b)2=(a−b)2+4ab
（2）解：把x−y=7两边平方得：(x−y)2=49，
展开得：x2+y2−2xy=49，
将xy=6代入得：x2+y2−12=49，
整理得：x2+y2=61；
（3）解：设2023−a=m，a−2024=n，则有mn=−5，m+n=1，
把m+n=1两边平方得：(m+n)2=1，即m2+n2+2mn=1，
把mn=−5代入得：m2+n2−10=1，即m2+n2=11，则(2023−a)2+(a−2024)2=m2+n2=11；
（4）解：设BC=AD=x，则AB=2x，
∵正方形EFGH，矩形AMGF，
∴AM=FG=EF=AD−MC=x−(k+1)=x−k−1，
AE=AB−EF−FB=2x−[x−(k+1)]−2k=x−k+1，
∵正方形MHQP与长方形ABCD重叠部分的长方形面积为214，即矩形AEHM面积为214，
∴AM⋅AE=(x−k−1)(x−k+1)=214，即(x−k)2−1=214，
整理得：(x−k)2=254，
开方得：x−k=52(负值舍去)，
∴AM=52−1=32，AE=52+1=72，AF=AE+EF=AE+AM=5，
则长方形AMGF周长为2(AF+AM)=2×(5+32)=13．