新高考数学解答题核心考点分解训练与突破02利用导数求解函数极值及最值问题含解析答案

这是一份新高考数学解答题核心考点分解训练与突破02利用导数求解函数极值及最值问题含解析答案，共33页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

一、解答题
1．已知函数，若是的极值点，求的极值．
2．已知函数．
(1)求函数的最小值；
(2)求函数在上的最小值.
3．已知函数，其中，求函数在区间上的最小值．
4．已知函数，当时，求的极值.
5．已知函数，求在上的最值.（注：）
6．已知函数，求在区间上的最大值.
7．已知函数，讨论的单调性与极值.
8．已知函数，设，求函数的极大值.
9．已知函数，若函数的极小值为，求实数的取值集合．
10．已知当时，恒成立，若是的极大值点，求a的取值范围．
11．已知函数和有相同的最小值．求.
12．已知函数，当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围.
13．已知函数，是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.
14．，若，求a的取值范围.
15．已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)，若当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求a的取值范围.
16．已知函数，若，求a的值.
17．已知函数，为的导数.若时，，求a的取值范围．
18．已知函数，当时，，求的取值范围.
19．已知函数，若，求实数c的取值范围.
20．已知函数．当时，，求a的取值范围；
21．已知函数，若不等式恒成立，求实数的取值范围．
22．已知函数.若有三个零点，求的取值范围.
23．已知函数.若有两个零点，求的取值范围.
24．已知函数在只有一个零点，求的值.
25．已知函数有两个零点.求a的取值范围；
26．已知函数，设函数，若有两个零点，求实数的取值范围．
27．已知函数，若有两个极值点．求实数的取值范围.
28．已知函数图象在点处切线斜率为，且时，有极值.
(1)求的解析式；
(2)求函数极值.
29．设为实数，已知，.
(1)求在区间的值域；
(2)对于，，使得成立，求实数的取值范围.
30．已知函数．若，求的取值范围；
31．已知，．若对任意，恒成立，求实数a的取值范围．
32．已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若函数在上仅有两个零点，求实数的取值范围.
33．已知函数在时取得极值．
(1)求实数的值；
(2)存在，使得成立，求实数的取值范围．
34．已知函数有两个零点，.
(1)求实数的取值范围；
(2)如果，求此时的取值范围.
参考答案：
1．极大值为，极小值为
【分析】首先确定函数的定义域，由是的极值点，所以，解得，再求出函数的单调区间，从而求出函数的极值.
【详解】函数的定义域为，，
由是的极值点，所以，解得，
所以，令，
所以，
所以，，单调递增，，，单调递减，
，，单调递增，所以，.
2．(1)
(2)
【分析】（1）求导后分析单调性求最值即可；
（2）利用（1）的结论，对参数分类讨论，得到参数区间的范围，进而求最值即可.
【详解】（1）因为，所以，
由，得，所以；由，得，所以，
所以函数在上单调递减，在单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值，
所以的最小值为，无最大值．
（2）由（1）知，函数在上单调递减，在单调递增，
当，即时，在单调递减，
；
当时，即在单调递减，单调递增，．
当时，在单调递增，；
综上所述.
3．
【分析】求导之后转化成二次函数根的问题，讨论根与定义域的大小关系，从而判断函数的单调性，得到最值.
【详解】函数的定义域为，
，，
令，得或（舍），
当，即时，当时，，则在上单调递增，
所以函数在区间上的最小值为，
当，即时，当时，，则在上单调递减，当时，，在上单调递增，
所以函数在区间上的最小值为，
当，即时，当时，，则在上单调递减，
所以函数在区间上的最小值为，
综上.
【点睛】方法点睛：含参函数的单调性（极值、最值）讨论方法
导数的解析式通过化简变形后，如果可以转化为一个二次函数的含参问题，有如下处理思路：
首先需要考虑二次项系数是否含有参数，如果二次项系数有参数，就按二次项系数为零、为正、为负进行讨论；
其次考虑二次式能否因式分解，如果二次式能因式分解，这表明存在零点，只需讨论零点是否在定义域内，如果都在定义域内，则讨论个零点的大小关系；如果二次式不能因式分解，这表明不一定存在零点，需讨论判别式和分类讨论.
4．极小值为，无极大值
【分析】利用导数分析函数的单调性，得到极值即可.
【详解】易知的定义域为，
由可得，
当时，，
令可得；
因此当时，，此时在上单调递减，
当时，，此时在上单调递增，
因此在处取得极小值；
所以的极小值为，无极大值.
5．最小值为1，最大值为
【分析】求出函数的导数，利用导数探讨单调性求出最值即得.
【详解】函数，，求导得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
而，，又，，
所以的最小值为，最大值．
6．
【分析】二次求导，得到函数的单调性，进而得到的最大值．
【详解】由题意，，
令，则，
因为，所以，
即在区间上单调递增，
所以，即，所以在区间上单调递增，
即的最大值为．
7．答案见解析
【分析】求定义域，求导，分和两种情况，求解函数的单调性和极值.
【详解】由题得，的定义域为.
.
①当时，恒成立.
在上为减函数，此时无极值；
②当时，由，得，由，得，
在上单调递减，在上单调递增，
故的极小值为，无极大值.
综上可得，当时，在上单调递减，无极值；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
的极小值为，无极大值.
8．答案见解析
【分析】求导数，根据题意分类讨论函数的单调性，进而讨论函数的极值.
【详解】由题意，则，
则，
当时，，此时函数无极值；
当时，令，则或，令，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为；
当时，令，则或，令，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
而函数的定义域为，所以此时函数无极值.
综上所述，当时，函数无极大值；
当时，的极大值为；
9．
【分析】求导后利用导数为零的根对参数进行分类讨论，分析单调性，得到极值点，再代入极小值求出结果即可.
【详解】由题意，
①当时，恒成立，在上单调递增，无极值；
②当时，在和上，，单调递减，
在上，，单调递增；
所以的极小值为，
故，
化简得，，
解得或（舍去）；
③当时，在和上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以的极小值为，
故，
解得，符合题意；
④当时，在和上，，单调递增；
在上，，单调递减，
所以得极小值为，
故，
解得或（舍去）．
故实数．
10．
【分析】先由复合函数的单调性得到时不符合题意，当时，由函数的奇偶性得到函数为偶函数，然后求导分析单调性，当时结合已知放缩得到最小值，当时，再次构造函数，结合零点存在定理分析最值可得参数范围.
【详解】令，解得，即函数的定义域为，
若，则，
因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
则在上单调递减，在上单调递增，
故是的极小值点，不合题意，所以.
当时，令,
因为，
且，
所以函数在定义域内为偶函数，
由题意可得：，
（i）当时，取，，则，
由（1）可得，
且，所以，
即当时，，则在上单调递增，
结合偶函数的对称性可知：在上单调递减，所以是的极小值点，不合题意；
（ⅱ）当时，取，则，
由（1）可得，
构建，
则，
且，则对恒成立，
可知在上单调递增，且，
所以在内存在唯一的零点，
当时，则，且，
则，
即当时，，则在上单调递减，
结合偶函数的对称性可知：在上单调递增，所以是的极大值点，符合题意；
综上所述：，即，解得或，
故a的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于当时，二次构造函数，结合零点存在定理分析单调性，求出极值.
11．
【分析】先求出与的最小值，并确定的取值范围；再根据最小值相等得出含的等式，构造函数，求出的唯一零点，进而求得的值.
【详解】由题意的定义域为，而，
若，则，此时无最小值，故；
当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数，
故；
的定义域为，而，
当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数，
故.
因为和有相同的最小值，
故，整理得到，其中，
设，则，
故为上的减函数，而，
故的唯一解为，故的解为.
综上，.
12．
【分析】讨论的范围，利用导数求出函数单调性进行最大值和最小值的判断，求出，再构造函数求出的取值范围.
【详解】由求导得，
若，在区间单调递减，在区间单调递增，
所以区间上最小值为，
而，故所以区间上最大值为，
所以，
设函数，，
当时，从而单调递减，
而，所以，即的取值范围是，
若，在区间单调递减，在区间单调递增，
所以区间上最小值为，
而，故所以区间上最大值为，
所以，
而，所以，即的取值范围是.
综上得的取值范围是.
13．存在，或
【分析】求导后对进行分类讨论，利用单调性和最值结合题意求出结果即可.
【详解】由题意求导得.
要使在区间有最大值1和最小值-1，则：
若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；
此时在区间上单调递增，所以，，
代入解得，，与矛盾，
所以不成立.
若，区间上单调递增；在区间单调递增，
所以，代入解得 .
若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
即在区间单调递减，在区间单调递增，
所以区间上最小值为，
而，故所以区间上最大值为.
即相减得，即，
又因为，所以无解.
若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
即在区间单调递减，在区间单调递增，
所以区间上最小值为，
而，所以区间上最大值为.
即相减得，解得，又因为，所以无解.
若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
所以有区间上单调递减，
所以区间上最大值为，最小值为，
即解得.
综上得或.
14．
【分析】方法一：构造，，对不等式进行变形为，结合函数的单调性求出参数的取值范围；方法二：构造，对不等式变形为，结合函数单调性解出不等式，求出参数取值范围.
【详解】方法一：定义域为，
同构构造，
，当时，恒成立，
则在上单调递增，
即，
结合函数单调递增，可知：，即，
故恒成立，
令，，则，
当时，，当时，
故在上单调递增，在单调递减，且，
所以，
则，解得：
方法二：构造．
则恒成立，故单调递增，
因为
即，
所以，
故
令，，则，
当时，，当时，
故在上单调递增，在单调递减，且，
所以，
则，解得：
【点睛】同构适用于方程或不等式中同时出现指数函数与对数函数，常见的同构变形有，，，等.
15．.
【分析】求出f′(x)，分a≤1、12讨论 f(x)的单调性，可得答案.
【详解】由f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)，得f′(x)＝ln x＋＋1－a.
（1）当1－a≥0，即a≤1时，f′(x)>0，
所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)>f(1)＝0.
（2）当a>1时，令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝>0，所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增，于是f′(x)>f′(1)＝2－a.
①若2－a≥0，即10，于是f(x)在(1，＋∞)上单调递增，于是f(x)>f(1)＝0.
②若2－a<0，即a>2时，存在x0∈(1，＋∞)，使得当1综上所述，a的取值范围是.
16．1
【分析】求定义域，举出反例得到不合要求，时，求导，得到函数单调性和极值最值情况，在的唯一最小值点且，从而得到答案.
【详解】的定义域为,
①若，因为，所以不满足题意；
②若，由，
当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
故是的极小值点，也是在的唯一最小值点.
由于，所以当且仅当时，.
故.
17．
【分析】求导后令，再次求导，分析其在上的单调性，然后构造函数，求导分析单调性求出最值，再对参数分类讨论，结合单调性和零点存在定理分析即可.
【详解】因为
令，则
当时，令，解得，
当时，；当时，，
在上单调递增；在上单调递减，
若时，，即恒成立，
令，
则，设的导数为，，则
在上单调递增；在上单调递减,且，，，
，，
①当时，，即在上恒成立，
在上单调递增，
，即，此时恒成立，
②当时，，，,，使得，
在上单调递增，在上单调递减，
又，，
在上恒成立，即恒成立，
③当时，，，
，使得,在上单调递减，在上单调递增，
时，，可知不恒成立，
④当时，，
在上单调递减，
,可知不恒成立，
综上所述：.
【点睛】关键点点睛：本题③的关键在于利用零点存在定理研究导数的单调性，进而得到当时，.
18．
【分析】分离参数，分两种情况分析，当时，利用导数求出函数的最大值，即可得解.
【详解】由，得，其中.
①当时，不等式为，显然成立，符合题意．
②当时，得.
记，则，
令，
则，令，则，
故单调递增，，
故函数单调递增，.
由得恒成立，
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
因此，.
综上可得，实数的取值范围为.
19．
【分析】利用分离参数法构造函数，结合导数求解参数范围即可.
【详解】若，，则，
令，故，定义域为，
而，令，，令，，
故在上单调递增，在上单调递减，
可得，即.
20．
【分析】对求导，构造函数，利用得到即，再证明对恒成立，令，再次构造新函数，求导后求出即可求出a的取值范围.
【详解】由题知
设
，
因为，所以，解得，
下面证明对且恒成立.
只需证明对恒成立对恒成立，
（令，则） ①对恒成立，
设，则，
所以，故①式成立，则的取值范围为.
21．
【分析】将不等式恒成立问题转化为恒成立，令，求导数得到函数单调性，结合隐零点，得到，并且，由同构和函数单调性得到，从而得到即可.
【详解】由题意，函数，
不等式可化为
恒成立，且，
即恒成立，
令，
则，
令，
则，
所以在上单调递减，
又，
所以在上存在唯一的使，
当时单调递增，
当时单调递减．
故的最大值为，
又，
故，
两边取对数得，
又在定义域内单调递增，
所以，
故，
所以，
所以．
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，
（1）一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；
（2）二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；
（3）三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图象确定条件.
22．
【分析】先得到的单调性和极值情况，函数有三个零点，则，得到不等式，求出的取值范围，检验后得到答案.
【详解】定义域为R，
，当时，恒成立，
故在R上单调递增，不会有三个零点，
当时，令得或，
令得，
故在处取得极小值，在处取得极大值，
又趋向于时，趋向于，趋向于时，趋向于，
有三个零点，则，且，
即，解得，
当时，，且，
所以在上有唯一一个零点，
同理，，
所以在上有唯一一个零点，
又在上有唯一一个零点，所以有三个零点，
综上可知的取值范围为.
23．
【分析】函数有两个零点，转化为函数单调性问题，要有一增一减两个单调区间，并且最值不能为零.
【详解】解：因为，所以.
若，则在R上恒成立，所以在R上单调递增，则最多只有一个零点，不符合题意．
若，令，得；
当时，；当时，,
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以．
要使有两个零点，则，
即，所以，即的取值范围是.
又，而，
故在有一个零点，
下证：当时，，
设，则，
故即当时，.
故当时，，
故当时，，
故在上有一个零点，
综上，的取值范围是.
24．
【分析】转化成的零点个数问题，分和两种情况讨论. 时，，没有零点；时分析最小值和之间的关系进而分析零点个数，从而得到的值.
【详解】设函数．在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．
（i）当时，，没有零点；
（ii）当时，．
当时，；当时，．
所以在单调递减，在单调递增．
故是在的最小值．
①若，即，在没有零点；
②若，即，在只有一个零点；
③若，即，由于，所以在有一个零点，
又当时，设，则，，令得，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，所以，即，
所以．
故在有一个零点，因此在有两个零点．
综上，在只有一个零点时，．
25．
【详解】．
（i）设,则,只有一个零点．
（ii）设,则当时,；当时,．所以在上单调递减,在上单调递增．
又,,取满足且,则
,
故存在两个零点．
（iii）设,由得或．
若,则,故当时,,因此在上单调递增．又当时,,所以不存在两个零点．
若,则,故当时,；当时,．因此在单调递减,在单调递增．又当时,,所以不存在两个零点．
综上,的取值范围为．
26．
【分析】根据有两个零点，分离参数可得有两个不相等的实数根，构造函数，利用导数求出函数的单调区间及极值，进而可得出答案.
【详解】函数，
因为有两个零点，
所以，即有两个不相等的实数根，
设函数，则，
因为，所以恒成立，
所以当时，单调递增，且；
当时，单调递减，且，
因为函数的图象与直线有两个不同的交点，
所以，即，
所以实数的取值范围为．
27．
【分析】求出函数的导函数，令，可得，设，，利用导数说明函数的单调性，得到函数图象，依题意直线与函数的图象有两个不同的交点，数形结合即可求出的取值范围.
【详解】因为函数定义域为，可得，
令，解得，设，，可得，
因为有两个极值点，则直线与函数的图象有两个不同的交点，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以．
又当时，，且当时，
当时，，
故可作出的大致图象，如图所示：
结合图象可得，即实数的取值范围为．
28．(1)
(2)极大值为8，极小值为．
【分析】（1）利用题给条件列出关于的方程组，解之即可求得的值，进而得到的解析式；
（2）利用导数先求得函数的单调性，进而得到函数极值.
【详解】（1）由题意可得，．
由，解之得
经检验得时，有极大值．
所以．
（2）由（1）知，．
令，得，
的值随的变化情况如下表：
由表可知的极大值为8，极小值为．
29．(1)
(2)．
【分析】（1）利用导数即可求得在区间的值域；
（2）先将题给条件转化为，进而得到关于实数的不等式，解之即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）由，得，
当时，，
则时，；时，，
在区间上单调递减，在区间上单调递增，
函数在区间上的最小值为．
又
所以函数值域为
（2），，使得成立，
又在上单调递增，
函数在区间上的最小值为，
又函数在区间上的最小值为，
，解之得.
故实数的取值范围是．
30．
【分析】令，利用导数求得，然后利用导数求得函数在上的最小值，可得出关于实数的不等式，即可求得实数的取值范围.
【详解】解：函数的定义域为，
且，由题意可得，
令，其中，则.
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，所以，，
令，其中，则，
所以，函数在上单调递增，
所以，，.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
31．
【分析】先对函数求导，利用参变分离将不等式进行等价转化为在上恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最大值即可求解.
【详解】由题意可知，因为，
所以恒成立．
∵，∴在上恒成立．
设，则．
令，得 (舍去)．
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
∴当时，取得极大值，也是最大值，且，
∴若在上恒成立，则，
故实数的取值范围是．
32．(1)极小值为，无极大值
(2)
【分析】（1）求出导函数，然后列表求出函数的单调区间，根据极值定义即可求解；
（2）把原函数有两个零点转化为在上仅有两个零点，分类讨论，利用导数研究函数的单调性，列不等式求解即可.
【详解】（1）当时，R），所以，
令，则，
所以，
所以的极小值为，无极大值.
（2）函数在上仅有两个零点，
令，则问题等价于在上仅有两个零点，
易知，因为，所以.
①当时，在上恒成立，所以在上单调递增，
所以，所以在上没有零点，不符合题意；
②当时，令，得，
所以在上，，在上，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为.
因为在上有两个零点，所以，所以.
因为，
令，则，
所以在上，，在上，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
所以当时，在和内各有一个零点，
即当时，在上仅有两个零点.
综上，实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：求解函数单调区间的步骤：
（1）确定的定义域.
（2）计算导数.
（3）求出的根.
（4）用的根将的定义域分成若干个区间，判断这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间.，则在对应区间上单调递增，对应区间为增区间；，则在对应区间上单调递减，对应区间为减区间.
如果导函数含有参数，那么需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.
33．(1)
(2)
【分析】（1）先利用极值的性质求出，再代入检验即可.
（2）利用单调性得到，再按照能成立问题求解即可.
【详解】（1）易知，
依题意，解得，
此时，
当或时，；当时，，
即函数在，上单调递增，在上单调递减，
因此函数在时取得极值，
所以．
（2）由（1）得函数在上单调递减，在上单调递增；
因为，所以
由题意可得，解得，
所以的取值范围为．
34．(1)
(2)
【分析】（1）令，可得，令，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最大值，即可求出参数的取值范围；
（2）依题意可得，利用换元法表示，通过构造函数法，利用导数证得，结合（1）求得的取值范围.
【详解】（1）令，即，
令，则，
当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，且时，当时，
又与有两个交点，所以.
（2）由（1）可得，，
又，
所以，即，
令，，则，
所以，，
记，，则，
令，，则，
所以在上，即单调递减，
由于，
所以当时，，所以，
所以函数在区间上单调递减，
故，即，
而，在区间上单调递增，
故且，
即．
【点睛】方法点睛：利用导数研究函数零点或方程的根，通常有三种思路：
（1）用最值或极值研究；（2）用数形结合思想研究；（3）构造辅助函数研究．
0
0
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
函数值
8
-
0
+
单调递减
极小值
单调递增