河北省廊坊市2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试卷（解析版）

这是一份河北省廊坊市2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题设可得.
故选：A.
2. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若且，则
C. 若，则D. 若，，则
【答案】A
【解析】对于A，取，则，若，则，
故若，则，故成立，故A正确；
对于B，取，则成立，但，故B错误；
对于C，取，则成立，但 ，故C错误；
对于D，取，则，，但，故D错误.
故选：A.
3. 已知扇形面积为，半径为1，则此扇形的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设扇形的弧长为，则，故，故此扇形的周长为.
故选：C.
4. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，，，
故.
故选：D.
5. 已知点是角终边上一点，且，则的值为（ ）
A. ±2B. 2C. D.
【答案】C
【解析】因为，故，故（负值舍去）.
故选：C.
6. 函数在上有解的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由在上有解，即在上有解，
又，当且仅当，即时取等号，所以；
因为真包含于，
结合选项可知函数在上有解的一个充分不必要条件是.
故选：B.
7. 已知函数，若方程有两个不同的实数解，则实数k的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为方程有2个实数解，所以与的图象有两个交点，
因为，所以作出与的大致图象，如图，
由图像可得或.
故选：D.
8. 已知函数是定义在上的偶函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，且，都有成立，
故在上为增函数，而为R上的偶函数，
故，故为R上的奇函数，故在R上为单调增函数，
当时，原不等式即为，故，解得；
当时，原不等式即为，故，
解得，
综上原不等式的解为：.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 若幂函数的图象经过点，则
B. 命题“，”的否定是“，”
C. 若不等式的解集为，则
D. 函数的单调递减区间为
【答案】ABC
【解析】对于A，设，若幂函数的图象经过点，则，
可得，所以，则，故A正确；
对于B，命题“，”的否定是“，”，故B正确；
对于C，若不等式的解集为，
则是方程的两个根，且，所以，
解得，所以，故C正确；
对于D，由得，
则函数的定义域为，
因为在单调递增，在2,3上单调递减，
所以单调递减区间为2,3，故D错误.
故选：ABC.
10. 亚马逊大潮是世界潮涌之最，当潮涌出现时，其景、其情、其声，真是“壮观天下无”，在客观现实世界中，潮汐的周期性变化现象，我们通常需要借助于三角函数这一重要数学模型来研究．已知函数的图象关于直线对称，则下列选项正确的是（ ）
A
B. 函数的一个对称中心为
C. 若函数在上的两个零点为，，则
D. 若将函数图象上所有点向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于y轴对称，则m的最小值为
【答案】ABD
【解析】图象关于直线对称，故，，
故，而，故，故A正确；
所以，，
函数的一个对称中心为，故B正确；
令，故，故，
令，故，故，
故两个零点分别为，，故，故C错误；
由题可知平移后函数，
则的最小值为，故D正确．
故选：ABD．
11. 设函数，其中表示x，y，z中的居中者，下列说法正确的有（ ）
A. 有最大值，无最小值B. 的值域为
C. 为偶函数D. 在上单调递增
【答案】BCD
【解析】，故为的偶函数，故C正确；
当时，，故，
当时，，故，
当时，，故，
故的图象如图所示，
对于A，由图可得有最小值，无最大值，故A错误；
对于B，的值域为，故B正确；
对于D，由图可得在上单调递增.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. _____．
【答案】
【解析】原式.
13. 函数（，且）的图象恒过定点，若点在函数（，且）的图象上，则的最小值为_____．
【答案】
【解析】对于函数（，且），令，即，
此时，
即函数（，且）的图象恒过定点，
则（，且），
所以，
当且仅当，即，时取等号.
14. 颐和园的十七孔桥，初建于清乾隆年间；永定河上的卢沟桥，始建于宋代；四川达州的大风高拱桥，修建于清同治七年，这些桥梁屹立百年而不倒，观察它们的桥梁结构，有一个共同的特点，那就是拱形结构，这是悬链线在建筑领域的应用．悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特·胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．设函数，若实数满足不等式，则m的取值范围为______．
【答案】
【解析】由题设有，的定义域为，
而，故为上的奇函数，
又，而在上为增函数且，
故为上的增函数，
又等价于，
故，解得.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设全集为，集合，．
（1）分别求，；
（2）已知，若，求实数a的取值范围．
解：（1）因为，，
则，
可得或，所以.
（2）因为，可知，且，
可得，解得，
所以实数a的取值范围为.
16. 已知．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
解：（1）因为，
所以.
（2）因为，
所以.
17. 已知函数是定义在R上的奇函数，且图象过点和，当时，．
（1）求的值；
（2）求在R上的解析式；
（3）解不等式．
解：（1）因为的图象过点，所以.①
因为是奇函数，且的图象过点，
所以的图象过点，则.②
联立①②，解得.
（2）由（1）知，x>0时，，
当时，，则.
因为是奇函数，所以，则.
而当时，，
故.
（3）当时，，即，解得；
当时，，即，解得.
当x=0时，，符合题意，
综上，不等式的解集是.
18. 已知．
（1）求的最小正周期；
（2）若，试求函数的单调递减区间；
（3）若恒成立，试求实数m的取值范围．
解：（1）∵
，
∴的周期．
（2）由（1），知，
由，，
解得，，
∴函数的单调递减区间，．
（3）∵
，
∴当时，，
∵恒成立，等价于，
∴，即，解得，
∴实数的取值范围为．
19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知定义在上的函数的图象关于点对称．
（1）求的值；
（2）设函数．
①证明函数的图象关于点对称；
②用定义证明在区间上单调递增，并求在上的值域；
③在题干条件下，当时，，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
解：（1）因为的图象关于点对称，
所以，
令，得.
（2）①函数的定义域为，
又，
则，
所以的对称中心为；
②任取，且，
则，
所以且，
所以，即，
所以在上单调递增.
所以在上单调递增，又，
所以在上的值域为.
③由于对任意，总存在，使得成立，
于是问题转化为在上的值域是在上的值域的子集，
记在区间上的值域为，则，
因为图象关于点对称，当时，，
当时，在上单调递增，
由对称性知，在上单调递增，
∴在上单调递增，
只需即可，得，∴满足题意；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
由对称性知，在上单调递增，在上单调递减，
∴在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，
∴或，
当时，，，
∴满足题意；
当时，在上单调递减，
由对称性知，在上单调递减，
∴在上单调递减，
只需即可，得，∴满足题意.
综上所述，的取值范围为.