中考数学三轮冲刺培优训练专题04一次函数及应用大题押题（2份，原卷版+解析版）

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类型一、一次函数的有关性质大题专练
1．（2023·浙江·模拟预测）已知函数（a为常数）．
(1)若，当时，求y的最大值．
(2)若，当时，y有最大值8，求a．
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）由题意得，然后根据一次函数的性质求解即可；
（2）先求出抛物线对称轴为直线，则当时，y随x增大而增大，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴y随x增大而增大，
∵，
∴当时，y有最大值，最大值为4+1=5；
（2）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∵，
∴，
∴当时，y随x增大而增大，
又∵时，y有最大值8，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的性质，熟知一次函数与二次函数的性质是解题的关键．
2．（2023·湖北省直辖县级单位·校考一模）设一次函数y＝a（x﹣2）+1（a是常数，a≠0）．
(1)若点（4，3）在该一次函数图象上，求a的值．
(2)当2≤x≤3时，该函数的最大值是3，求a的值．
(3)若点A（m，n）和点B（m+1，n+3）都在该一次函数图象上，判断反比例函数y＝的图象所在象限，说明理由？
【答案】(1)a＝1；
(2)a＝2；
(3)反比例函数y＝在一、三象限；理由见解析
【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征把（4,3）代入y＝a（x﹣2）+1中可求出a的值；
（2）分类讨论：a＞0时，y随x的增大而增大，所以当x＝3时，y有最大值3，然后代入函数关系式可计算出对应a的值；a＜0时，y随x的增大而减小，所以当x＝2时，y有最大值3，然后代入函数关系式可计算对应a的值；
（3）先把A、B两点的坐标代入一次函数的解析式可得a＝3，所以可得反比例函数y＝所在的象限．
【详解】（1）把（4,3）代入y＝a（x﹣2）+1得：a（4﹣2）+1＝3，解得a＝1；
（2）①当a＞0时，y随x的增大而增大，
∴当x＝3时，y有最大值3，
把x＝3，y＝3代入函数关系式得：
3＝a（3﹣2）+1，
解得：a＝2；
②当a＜0时，y随x的增大而减小，
∴当x＝2时，y有最大值3，
把x＝2，y＝3代入函数关系式得：
3＝a（2﹣2）+1，
此方程无实数解；
综上分析可知，a＝2；
（3）∵点A（m，n）和点B（m+1，n+3）都在该一次函数图象上，
∴，
解得：a＝3，
∴反比例函数y＝在一、三象限．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降；注意反比例函数y＝ax中，a＞0时，在一、三象限，当a＜0时，在二、四象限．
3．（2023·北京海淀·北京交通大学附属中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与直线平行，且经过点．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当时，对于x的每一个值，反比例函数的值都小于一次函数的值，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据坐标系中两直线平行，那么一次项系数相同得到，再代入进行求解即可；
（2）分和两种情况，分别画出对应的函数图象，利用图象法进行求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与直线平行，
∴．
∵一次函数的图象过点，
∴．
∴．
∴这个一次函数的表达式为．
（2）解：∵在中，，
∴y随x增大而增大，
∴时，一次函数的函数图象在第一象限，
如图1所示，当，时，反比例函数的函数图象在第四象限，符合题意；
如图2所示，当，时，反比例函数的函数图象在第一象限，
要使得当时，对于x的每一个值，反比例函数的值都小于一次函数的值，那么当时反比例的函数值要小于或等于一次函数的函数值，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，求一次函数解析式，一次函数图象的平移，灵活运用所学知识是解题的关键．
4．（2023·北京海淀·校联考模拟预测）已知一次函数的图像经过，两点且与轴交与A点．
(1)求函数解析式及点A的坐标；
(2)当时，对于的每一个值，函数的值都小于函数的值，求的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)；
【分析】（1）将，两点代入解析式求解得到一次函数解析式，再令即可得到答案；
（2）根据时函数的值都小于函数的值列不等式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：将，两点代入解析式可得，
，
解得：，
∴，
当时，，
∴；
（2）解：∵时，函数的值都小于函数的值，
当，
即，
当，即时，
，
即，
解得：，
即当时，时，函数的值都小于函数的值；
当，即时，
，
不符合题意，不存在此类情况；
综上所述当时，在时，函数的值都小于函数的值；
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数解析式与坐标轴交点问题及一次函数与不等式之间关系，解题的关键是分类讨论．
5．（2023·安徽池州·校联考一模）如图，直线与双曲线（）交于点A，并与坐标轴分别交于点B，C．过点A作轴，交x轴于点D，连接，当的面积为4时，求线段的长．
【答案】
【分析】可以用b表示出，，即有，，根据的面积是4，有，可求出直线的解析式为，联立、（），求出点A坐标，问题随之得解．
【详解】解：直线与坐标轴分别交于点B，C，
∴，，且，
∴，.
∵的面积是4，
∴，
解得（负值舍去），
∴直线的解析式为，
由与（）联立，
解得，（舍去），
∴点A的横坐标为．
∵轴，
∴线段的长为．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的知识，求出一次函数解析式是解答本题的关键．
6．（2023·北京·首都师范大学附属中学校考一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由一次函数的图象是由函数的图象平移得到，可得，再把点代入，即可求解；
（2）分两种情况，分别画出图象即可求得．
【详解】（1）解：一次函数的图象是由函数的图象平移得到，
，
，
一次函数的图象经过点，
，
；
（2）解：当时，如图：
当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值；
当时，如图：
当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值，
综上，当或时，当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值．
【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，分两种情况，画出图象，利用函数图象解决问题是解决本题的关键．
7．（2023·山东枣庄·校考一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)求的面积．
(3)根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】(1)
(2)8
(3)或
【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式；
（2）根据一次函数确定，，结合图象得出，代入求解即可
（3）由图象可得当或时，反比例函数图象在一次函数的上方，即可得出结果．
【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
∴，，，
∴，
∴点，点，
反比例函数解析式为：；
（2）∵，
当时，；当时，，
如图所示：，，
∴，，
∴
；
（3）由图象可得当或时，反比例函数图象在一次函数的上方．
即不等式的解集为：或．
【点睛】题目主要考查一次函数与反比例函数综合问题，包括确定函数解析式，求面积及确定不等式的解集，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题关键．
8．（2023·陕西西安·西北大学附中校考模拟预测）我们研究一个新函数时，常常会借助图象研究新函数的性质，在经历“列表、描点、连线”的步骤后，就可以得到函数图象，请运用这样的方法对函数进行探究：
(1)下表列出了部分研究数据，请在平面直角坐标系中面出该函数的图象．
(2)结合所画图象回答下列问题：当时，的取值范围是什么？
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）用描点法可画出函数图象；
（2）根据画出的函数图象，观察图象即可求解．
【详解】（1）画出函数的图象如图：
（2）由图象可得，当时，的取值范围是．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，能够准确画出函数的图象，通过观察图象获取性质是解题的关键．
9．（2023·北京东城·北京市广渠门中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象平行于直线，且经过点．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)当时，对于的每一个值，一次函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意一次函数为代入根据待定系数法即可求得．
（2）根据点，结合图象即可解得．
【详解】（1）∵一次函数的图象平行于直线，
∵函数图象经过点，
∴一次函数的表达式为：
（2）如图所示：
把代入中，
∵当时，对于的每一个值，一次函数的值大于函数的值，
【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求一-次函数的解析式，- -次函数与系数的关系，数形结台是解题的关键．
10．（2023·河北衡水·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，直线与x轴交于点，与直线交于点，动点M在直线上．
(1)求m的值及直线的表达式；
(2)若经过点M作y轴的平行线与直线相交于点N，当时，求此时点M的坐标；
(3)在（2）的条件下，请直接给出以O，C，M，N为顶点的四边形的面积．
【答案】(1)，直线的表达式为
(2)点M的坐标为（-1，2）或（3，6）
(3)所得四边形的面积为9或12
【分析】（1）直接利用待定系数法求解析式即可；
（2）设，则，表示出的长，根据列方程，求解即可；
（3）当点坐标为时，根据四边形的面积求解；当点坐标为时，根据四边形的面积求解即可．
【详解】（1）解：将点代入直线，
得，
设直线的表达式为，
将点，代入的表达式，
得，
解得，
直线的表达式为．
（2）解：直线与轴交于点，
，
又，
，
设，
则，
，
解得或，
点的坐标为或．
（3）解：点，点，点，
当点坐标为时，
四边形的面积
；
当点坐标为时，此时点与点重合，
四边形的面积
，
综上，以，，，为顶点的四边形的面积为9或12．
【点睛】本题考查了一次函数的综合，待定系数法求解析式，一次函数与动点的综合，三角形的面积，解题的关键是知道线段长度求点坐标，并且需要注意进行分情况讨论．
类型二、一次函数的应用：行程问题
11．（2023·陕西渭南·统考一模）华山古称“西岳”，为五岳之一，中华的“华”源于华山，因此华山有了“华夏之根”之称，华山南接秦岭山脉，北瞰黄渭，自古以来就有“奇险天下第一山”的说法．甲、乙两人住同一小区，该小区到华山的距离为300千米，两人先后从家出发沿同一路线驾车驶向华山，如图，线段表示甲离开家的距离y（千米）与时间t（小时）之间的函数关系；线段表示乙离开家的距离y（千米）与时间t（小时）之间的函数关系．点C在线段上，请根据图象解答下列问题：
(1)求点B的坐标；
(2)在整个过程中，求t为何值时，甲、乙两人之间的距离恰好为30千米．
【答案】(1)
(2)或3或
【分析】（1）利用待定系数法求出直线的解析式，再求直线与x轴的交点坐标即可；
（2）利用待定系数法求出直线的解析式，再分，两个时段，分别计算即可．
【详解】（1）解：设乙离开家的距离y（千米）与时间t（小时）之间的函数关系为，
，在其图象上，
，
解得，
，
当时，，
解得，
点B的坐标为；
（2）解：设甲离开家的距离y（千米）与时间t（小时）之间的函数关系，
在其图象上，
，
解得，
．
当时，甲离开家的距离，乙还未离开家，两人之间距离为，
当甲、乙两人之间的距离恰好为30千米时，，
解得；
当时，甲离开家的距离，乙离开家的距离，
当甲、乙两人之间的距离恰好为30千米时，
或，
解得或；
综上可得，t为或3或时，甲、乙两人之间的距离恰好为30千米．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，正确求出函数解析式，注意分段讨论是解题的关键．
12．（2023·陕西咸阳·统考一模）周末，赵叔叔开车从西安出发去240千米远的安康游玩，当汽车行驶1.5时到达柞水县时，汽车发生故障，需停车检修，修好后又继续向前行驶，其行驶路程（千米）与时间（时）之间的关系如图所示．
(1)求汽车修好后（段）与之间的函数关系式；
(2)在距离西安180千米的地方有一个服务区，求赵叔叔出发后多长时间到达服务区？
【答案】(1)
(2)小时
【分析】（1）根据图象得到，，BC为直线，故设（段）的函数关系式为，代入点坐标求解即可．
（2）令，代入一次函数解析式求解即可．
【详解】（1）解：设（段）的函数关系式为，
由图可知，，，
将，代入，
得，
解得，
．
（2）解：由图可知，服务区在（段），
令，则，
解得，
赵叔叔出发小时到达服务区．
【点睛】此题考查了一次函数解析式的求解及应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的相关知识点．
13．（2023·吉林长春·校考一模）一辆轿车从地驶往地，到达地后立即返回地，返回速度是原来的1.5倍，往返共用小时．一辆货车同时从地驶往地，速度是60km/h到达地后停止．两车同时出发，匀速行驶，设轿车行驶的时间为，两车离开地的距离为，轿车行驶过程中与之间的函数图象如图所示．
(1)轿车从地驶往地的速度为______ ，______．
(2)在图中画出货车从地行驶到地的函数图象，并求货车从地行驶到地时与之间的函数关系式．（写出自变量取值范围）
(3)当轿车从地返回地的途中与货车相遇时，求相遇处到地的距离．
【答案】(1)80，5
(2)
(3)相遇处到地的距离200千米
【分析】（1）利用行驶的速度变化进而得出时间变化，进而得出t的值；
（2）利用待定系数法求一次函数解析式进而利用图象得出自变量x的取值范围；
（3）利用函数图象交点求法得出其交点纵坐标，进而得出答案．
【详解】（1）由图可知，轿车从地驶往地，3小时行驶240千米，
∴轿车从地驶往地的速度为，
∵一辆轿车从甲地驶往乙地，到达乙地后返回甲地，速度是原来的1.5倍，
∴返回时行驶的时间为：小时
∴小时，
故答案为：80，5；
（2）∵货车同时从地驶往地，速度是60km/h到达地后停止，
∴货车从地行驶到地的函数图象为端点是原点和的线段，如图所示：
货车从地行驶到地时与之间的函数关系式：
∴，
解得：，
∴货车从地行驶到地时与之间的函数关系式：；
（3）设轿车到达地后返回地时y与x之间的函数关系式为：,
∴，
解得：，
∴轿车返回时y与x之间的函数关系式为：；
联立得，
解得
∴相遇处到地的距离200千米
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式等知识，利用数形结合得出函数解析式是解题关键．
14．（2023·天津东丽·校考一模）已知小明家、活动中心、书店在同一条直线上，小明从家出发跑步去活动中心，在活动中心活动一段时间后，匀速步行返回到书店，在书店看书停留了一段时间后，匀速骑自行车回家，如图是小明离开家的距离与离开家的时间之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填表：
(2)填空：
①小明从家到活动中心的速度_________；
②活动中心到书店的距离____________km；
③小明从书店返回家的速度为_____________；
④当小明离家的距离为0.6千米时，他离开家的时间为__________min．
(3)当时，请直接写出关于的函数解析式．
【答案】(1)2， 1.5， 0.9
(2)①②③④3或38
(3)
【分析】（1）小明离开家的距离与离开家的时间之间的对应关系图计算即可；
（2）①根据路程速度时间的数量关系求解即可；②根据图表的信息作差即可；③根据路程与时间求速度即可；④分类讨论，分别计算从家出发以及最后回家时离家距离0.6千米时所对应的时间；
（3）根据路程=速度×时间，分段列出函数关系式即可．
【详解】（1）解：由小明离开家的距离与离开家的时间之间的对应关系图可知：
当离家时间为时，离开家的距离；
当离家时间为时，离开家的距离
小明开始回家，速度为：
当离家时间为时，离开家的距离
故答案为2，1.5，0.9
（2），
解：①小明从家到活动中心的速度为：；
②活动中心到书店的距离为：；
③小明从书店返回家的速度为： ；
④当小明离家的距离为0.6千米时，他离开家的时间为：或者
．
（3）解：当时，
当时，，
当时，设
已知此函数图象经过
分别代入得：
解得：
∴；
综上所述：
【点睛】本题主要考查一次函数图表类问题，能够熟练掌握提取图表中的信息以及待定系数法求一次函数解析式是解决本题的关键．
15．（2023·天津南开·南开翔宇学校校考一模）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知小红的家、公共阅报亭、快递代收点依次在同一直线上，公共阅报亭离家，快递代收点离家，某天，小红从家出发，匀速走了到公共阅报亭，在公共阅报亭看了杂志后，又匀速走了到快递代收点拿了快递，然后立即匀速走了返回家．给出的图象反映了这个过程中小红离家的距离与离开家的时间之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填表
(2)填空①公共阅报亭到快递代收点的距离是 ；
②小红从公共阅报亭到快递代收点的速度是 ；
③当小红在离家的距离是时，她离家的时间是 ；
(3)当时，请直接写出关于的函数解析式．
【答案】(1)，，
(2)①；②③和
(3)
【分析】（1）根据题意以及函数图象，分段分析填表即可求解；
（2）①根据题意即可求解；
②根据函数图象分析即可求解；
③根据函数图象可知有2个时刻小红在离家的距离是，分别求得解析式，令，即可求解；
（3）根据题意，结合（2）②即可求解．
【详解】（1）解：依题意，公共阅报亭离家，小红从家出发，匀速走了到公共阅报亭
速度为，
∴ 时，，
∵在公共阅报亭看了杂志，则，，
∵匀速走了返回家．
速度为
当时，
填表如下
（2）①公共阅报亭到快递代收点的距离是，
故答案为：．
②小红从公共阅报亭到快递代收点的速度是，
故答案为：．
③当小红在离家的距离是时，她离家的时间有段，
当时，设解析式为，
将点，代入得
，
解得：
∴，
令，解得：，
当时，设解析式为，
将点，代入得，
，
解得：
∴，
令，解得：，
故答案为：和．
（3）解：根据图象可得当时，，
∴
【点睛】本题考查了一次函数的应用，从函数图象获取信息是解题的关键．
16．（2023·浙江衢州·衢州巨化中学校考一模）如图，小赵和小李相约去农庄游玩．小李从小区甲骑电动车出发．同时，小赵从小区乙开车出发，途中，他去超市买了一些东西后，按原来的速度继续去农庄，小区甲、乙、超市和农庄之间的路程图所示，设他们离小区甲的路程为s（），出发的时间为t（分）．根据图回答问题：
(1)点A的坐标为___________，小赵的开车速度为___________分；
(2)求线段的函数表达式，并写出自变量t的取值范围；
(3)求小赵离开超市后追上小李时，距离农庄多少km？
【答案】(1)，1
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意和图像可得出结论；
（2）求出B，C坐标，然后用待定系数法求出函数解析式；
（3）先求出两人相遇时所走的路程，再用总路程减去所走路程．
【详解】（1）解：由题意得，A点坐标为，
∵小区乙到超市，用时6分钟，
∴小赵的速度为（），
故答案为：，1；
（2）根据题意，点E坐标为，
则点B坐标为，
∵小赵的速度为，
∴小赵从超市到农庄所用时间为（），
∴点C坐标为，
设线段的函数表达式为，
把，代入解析式得：，
解得，
∴线段的函数表达式为；
（3）线段的函数解析式为，
把点代入解析式得：，
解得，
∴线段的函数解析式为，
当小赵离开超市后追上小李时，距离农庄的距离相同，
∴，
解得，
∴．
∴小赵离开超市后追上小李时，距离农庄．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，从函数图像获取信息，待定系数法求一次函数解析式，两直线的交点问题，读懂题意，运用树形结合的思想解题是关键．
17．（2023·天津和平·统考一模）共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向的出行市场，现有，两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费元与骑行时间之间的对应关系，其中品牌收费方式对应，品牌的收费方式对应．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填表：
(2)填空：
①品牌10分钟后，每分钟收___________元
②如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择___________品牌共享电动车更省钱；
③直接写出两种品牌共享电动车收费相差3元时的值是________．
(3)直接写出，关于的函数解析式．
【答案】(1)见解析
(2)①0.2；②B；③7.5或35．
(3)；
【分析】（1）根据函数图象可知，A品牌20分钟后收费的钱数，进而得出A品牌每分钟收费；B品牌10分钟以及20分钟后收费的钱数，进而得出A品牌每分钟收费；
（2）① 由（1）可知品牌10分钟后，每分钟收0.2元；②先求出小明上班时间，计算出使用两品牌车所需费用进行比较即可；③根据题意和图象可知分两种情况，然后列出相应的方程求解即可；
（3）根据函数图象中的数据，利用待定系数法求出A，B品牌的函数关系式；根据（2）的
【详解】（1）对于A品牌每分钟骑行的费用为：（元）
所以，骑行10分钟的费用为：（元）
骑行25分钟的费用为：（元）
对于B品牌，由图象可知，骑行10分钟的费用为：6元；
骑行10分钟后每分钟的费用为：（元）；
所以，骑行25分钟后的费用为：（元）
所以，填表如下：
（2）①B品牌骑行10分钟后每分钟的费用为：（元）；
②小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班所用时间为，（分钟）
A品牌骑行30分钟后的费用为：（元）；
B品牌骑行30分钟后的费用为：（元）；
由于，
因此，小明选择B品牌共享电动车更省钱；
③由题意可得，
或，
解得或，
故答案为：①0.2；②B；③7.5或35．
（3）设的解析式为，
把代入得，，解得，，
所以，；
当时，；
当时，设，
把，代入，得，
解得，
所以，，
即
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答解答．
18．（2023·河北石家庄·统考一模）小明早晨从家里出发匀速步行去上学，小明的妈妈在小明出发后，发现小明的数学课本没带，于是她带上课本立即匀速骑车按小明上学的路线追赶小明，结果与小明同时到达学校，交接课本后立即按原路返回．已知小明距离家的路程与离开家的时间之间的函数关系的图像如图所示．
(1)求与之间的函数关系；
(2)请在图中画出小明的妈妈距离家的路程与小明离开家的时间之间函数关系的图像；（备注：请对画出的图像用数据作适当的标注）
(3)直接写出小明的妈妈在追赶小明及返回家的过程中，距学校时的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)，
【分析】（1）由图像可知，，设，把点的坐标代入关系式求得即可；
（2）由小明出发后小明妈妈才出发，所以图象的起点在处，同时到达学校即到达点，再原路返回即离家距离为0；
（3）根据速度路程除以时间，求得小明妈妈来回学校的速度，再由时间路程除以速度求解即可．
【详解】（1）解： 与之间的函数关系的图像是线段，且，
设，
又 ，
则有：，
解得：，
．
（2）解：如图1中折线段．
（3）解：由（2）可知，家与学校的距离为，小明妈妈来回学校的时间为，
小明妈妈的速度为，
小明的妈妈在追赶小明，距学校时：，
小明的妈妈在返回家，距学校时；．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，从函数图象获取信息，画函数图象，正确理解题意是解题的关键．
19．（2023·陕西西安·高新一中校考三模）甲、乙两人相约周末沿同一条路线登山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题．
(1)乙到达A地后决定提速，提速后乙的速度是甲登山速度的3倍，求乙提速后在登山时距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数解析式；
(2)在（1）的条件下，甲、乙登山过程中，当___________时，甲、乙两人距地面的高度差为85米．
【答案】(1)
(2)或或
【分析】（1）利用待定系数法来求解即可；
（2）求出甲的函数解析式，分时，时，时来讨论即可求解．
【详解】（1）解：米分，
（分钟），
设2到11分钟，乙的函数解析式为，
直线经过，，
，
解得，
∴该函数解析式为：；
（2）解：当时，设直线的解析式为，
把点代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
设甲的函数解析式为：，将代入得：，
，
．
当时，由，
解得矛盾，故此时没有符合题意的解；
当时，由得，
，
或，
当时，由得，
或或．
当为或或时，甲、乙两人距地面的高度差为85米．
故答案为：或或
【点睛】本题考查了一次函数的应用，正确记忆行程问题中路程速度时间的关系变化的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，图象的交点坐标的求法是解题关键．
20．（2023·陕西榆林·校考一模）近年来，随着市场需求的快速提升以及快递行业的高速发展，快递业务量也在高速增长．已知A、两地之间有一条长千米的公路．某物流公司的快递车从A地出发匀速开往地，出发两小时到达目的地，在地卸完物品后按原路原速返回．车辆距A地的路程与行驶的时间之间的函数关系如图所示．
(1)求该车原路返回时与之间的函数关系式；
(2)当该车距地千米时，求该车行驶的时间．
【答案】(1)；
(2)或；
【分析】（1）根据速度得到k，设出函数解析式找点代入即可得到答案；
（2）设出去时的解析式找点解出，根据距离地千米求出相应的y值，再代入两个解析式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为，
该物流公司的快递车的速度：，按原路原速返回，
，
由图可知，函数图像经过，
，解得，，
与之间的函数关系式为；
（2）解：设去时函数解析式为，
将代入可得，
，解得，
∴，
当该车距地千米时，，
分别代入两个解析式得，
，解得，
，解得，
∴故该车行驶的时间为或；
【点睛】本题考查一次函数行程问题，解题的关键是根据相距地千米求出y．
类型三、一次函数的应用：最大利润问题
21．（2023·河南驻马店·统考一模）随着科学技术的日新月异，技术更新更是首当其冲，智能手机的功能越来越强大，价格也逐渐下降，某手机商行经营的A款10英寸智能手机去年销售总额为10万元，今年每台销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少．
(1)今年A款10英寸智能手机每台售价多少元？（用列方程的方法解答）
(2)该电器商行计划新进一批A款10英寸智能手机和新款B款10英寸智能手机共600台，且B款10英寸智能手机的进货数量不超过A款10英寸智能手机数量的两倍，应如何进货才能使这批智能手机获利最多？
A，B两款10英寸智能手机的进货和销售价格如下表：
【答案】(1)今年A款10英寸智能手机每台售价是1600元
(2)A款手机进200台，B款手机进400台获利最多
【分析】（1）设今年每台手机售价x元，则去年售价每台为元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少，列方程解答即可；
（2）设进A款手机a台，B款为台，总获利为W元，由条件表示出W与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出W的最大值．
【详解】（1）设今年每台手机售价x元，由题意得
，
．
检验：当时，是分式方程的解．
答：今年A款10英寸智能手机每台售价是1600元
（2）设进A款手机a台，B款为台，总获利为W元．
由题意，，解得，
，
，
∵，
∴当时获利最大，
此时，
∴A款手机进200台，B款手机进400台获利最多
【点睛】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，一次函数的应用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键．
22．（2023·福建福州·统考模拟预测）为了进一步落实“乡村振兴”工程，某村在政府的扶持下建起了蔬菜大棚基地种植蔬菜，为避免蔬菜品种单一造成滞销，准备种植A，B两种蔬菜，若种植30亩A种蔬菜和50亩B种蔬菜，共需投入42万元；若种植50亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜共需投入38万元．
(1)种植A，B两种蔬菜，每亩各需投入多少万元？
(2)经测算，种植A种蔬菜每亩获利0.5万元，种植B种蔬菜每亩获利0.9万元，村里把120万元扶贫款全部用来种植这两种蔬菜．若要求A种蔬菜的种植面积不少于B种蔬菜种植面积的1.5倍，请你设计出总获利最大的种植方案
【答案】(1)种植A种蔬菜每亩需投入0.4万元，B种蔬菜每亩需投入0.6万元；
(2)总获利最大的种植方案为：种植A种蔬菜150亩，B种蔬菜100亩．
【分析】（1）设种植A种蔬菜每亩需投入x万元，B种蔬菜每亩需投入y万元，根据题目所给等量关系，列出二元一次方程组求解．
（2）先表示出利润为，求出m的的取值范围，再根据一次函数的增减性判断利润的最大值，从而确定合适的种植方案．
【详解】（1）解：设种植A种蔬菜每亩需投入x万元，B种蔬菜每亩需投入y万元，
根据题意得：，
解得：．
答：种植A种蔬菜每亩需投入0.4万元，B种蔬菜每亩需投入0.6万元．
（2）解：设种植A种蔬菜m亩，总获利为w万元，
根据题意得： ，
要求A种蔬菜的种植面积不少于B种蔬菜种植面积的1.5倍，
，
解得：，
又
w随m的增大而减小，
当，w取得最大值，，
B种蔬菜
总获利最大的种植方案为：种植A种蔬菜150亩，B种蔬菜100亩．
【点睛】此题考查了一次函数与实际问题，解题的关键是正确列出二元一次方程组、一次函数关系式，熟练掌握一次函数的性质．
23．（2023·河南安阳·统考一模）京东发布的《2023春节假期消费趋势》显示：消费者春节期间购物品类更加多元，也在节日之外更“日常化”，其中预制菜成交额同比增长超6倍．春节期间，某超市分别用2000元和1600元购进A，B两类同等数量的预制菜礼盒，已知B类预制菜礼盒每盒进价比A类预制菜礼盒每盒便宜20元，A，B两类预制菜礼盒每盒的售价分别是130元和120元．
(1)求A，B两类预制菜礼盒的进价各是多少元；
(2)第一次进的货很快销售一空，该超市决定第二次购进A，B两类预制菜礼盒共30盒，且购进的A类预制菜礼盒数量不少于B类预制菜礼盒数量的2倍，该超市第二次如何进货才能在销售完该次所进预制菜礼盒后，获得最大利润？并求出最大利润（此处指销售第二次所进预制菜礼盒的利润）．
【答案】(1)A，B两类预制菜礼盒的进价各是100元和80元；
(2)购进A类预制菜礼盒20盒，则购进B类预制菜礼盒10盒，所获利润最大，最大利润为1000元．
【分析】（1）设每盒A类预制菜礼盒的进价是x元，则每盒B类预制菜礼盒的进价是元，根据数量=总价÷单价，结合用2000元和1600元购进A，B两类同等数量的预制菜礼盒，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进A类预制菜礼盒m盒，总利润为w元，根据购进的A类预制菜礼盒数量不少于B类预制菜礼盒数量的2倍，求出m的取值范围，再表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的增减性即可确定最大利润时进货方案，进一步求出最大利润即可．
【详解】（1）解：设每盒A类礼盒的进价是x元，则每盒B类礼盒的进价是元，
依题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：A，B两类预制菜礼盒的进价各是100元和80元；
（2）解：设购进A类预制菜礼盒m盒，则购进B类预制菜礼盒盒，总利润为w元，
根据题意得，
解得，
，
∵，
∴w随着m的增大而减少，
当时，w取得最大值，最大值为1000元，
（盒），
答：购进A类预制菜礼盒20盒，则购进B类预制菜礼盒10盒，所获利润最大，最大利润为1000元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题关键是根据题意列出方程或不等式或函数解析式去求解．
24．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）某鞋店销售，两种型号的球鞋，销售一双型球鞋可获利80元，销售一双型球鞋可获利元．该鞋店计划一次购进两种型号的球鞋共双，将其销售完可获总利润为元，设其中型球鞋双．
(1)求与的函数关系式．
(2)若本次购进型球鞋的数量不超过型球鞋的倍，问如何安排购进方案，可获得最大利润．
【答案】(1)
(2)购进型球鞋双，型球鞋双
【分析】（1）根据，两种型号的球鞋获利单价列式整理即可；
（2）由函数关系式可得到随值的增加而减小，故根据，两种型号的球鞋的数量关系，解不等式求得最小值即可．
【详解】（1）解：设其中型球鞋双，则型球鞋双，由题可得，
，
整理得，
故与的函数关系式为 ．
（2）解：由题可得，
解得，
，随值的增加而减小，
当时，最大为，
此时型球鞋双，
故当购进型球鞋双，型球鞋双时获得最大利润．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，理解题意并根据数量关系列出关系式是解题关键．
25．（2023·湖北襄阳·统考一模）我市为了打造美丽乡村，今年计划改造一片绿化地，种植A，B两种景观树．种植3棵A种、4棵B种景观树需要1800元，种植4棵A种、3棵B种景观树需要1700元．
(1)种植每棵A种景观树和每棵B种景观树各需要多少元？
(2)今年计划种植A，B两种景观树共400棵，A种景观树的数量不超过B种景观树数量的3倍，其中种植A种景观树x棵，种植两种景观树的总费用为y元，求y与x的函数关系式及y的最小值；
(3)相关资料表明：A，B两种景观树的成活率分别为70%和90%．今年计划投入10万元种植A，B两种景观树共400棵，要求这两种树的总成活率不低于85%，投入的钱是否够用？请说明．
【答案】(1)种植每棵A种景观树需要200元，每棵B种景观树需要300元
(2)，y的最小值为90000
(3)投入的钱不够用，见解析
【分析】（1）设种植每棵A种景观树需要a元，每棵B种景观树需要b元，根据题意列出二元一次方程组，解方程即可求解；
（2）根据题意有，再根据限制条件得出，再结合一次函数的性质即可作答；
（3）根据成活率要求求出A种景观树的数量限制，再根据资金结合（2）中的一次函数求出种植A种景观树的数量，二者进行对比即可作答．
【详解】（1）设种植每棵A种景观树需要a元，每棵B种景观树需要b元．
根据题意得：，
解得，
答：种植每棵A种景观树需要200元，每棵B种景观树需要300元；
（2）根据题意有：．
∵，
∴．
∵，
∴y随x的增大而减小．
∴当时，y取最小值为90000；
（3）根据题意得：，
解得，即满足成活率的要求下种植的A种景观树不得超过100棵，
由，
解得，即满足资金的情况下种植的A种景观树有200棵，
∵，
∴投入的钱不够用．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用以及一元一次不等式的应用等知识，明确题意，正确列出二元一次方程组、一次函数以及一元一次不等式是解答本题的关键．
26．（2023·河南信阳·统考一模）某文具店准备购甲、乙两种水笔进行销售，每支进价和利润如表：
已知花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等．
(1)求甲，乙两种水笔每支进价分别为多少元．
(2)若该文具店准备拿出2000元全部用来购进这两种水笔，考虑顾客需求，要求购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，问该文具店如何进货能使利润最大，最大利润是多少元．
【答案】(1)甲，乙两种水笔每支进价分别为5元、10元
(2)该文具店购进甲种水笔266支，乙种水笔67支时，能使利润最大，最大利润是733元
【分析】（1）根据花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等，可以列出相应的分式方程即可求出答案．
（2）根据题意，可以列出利润与购进甲种水笔数量的函数关系式，然后根据购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，可以求出购进甲种水笔数量的取值范围，再根据一次函数的性质即可求出结果．
【详解】（1）解：由题意可得：，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
，
答：甲，乙两种水笔每支进价分别为5元、10元．
（2）解：设利润为w元，甲种水笔购进x支，
，
，
∴y随x的增大而增大，
购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，
，
解得，，
∵x为整数，
∴当时，w取得最大值，最大值为733，
此时，，
答：该文具店购进甲种水笔266支，乙种水笔67支时，能使利润最大，最大利润是733元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质是解题的关键．
27．（2023·江苏南通·南通田家炳中学校考模拟预测）为迎接校园歌手大赛的到来，学校向某商家订购了甲、乙两种荧光棒，其中购买甲种荧光棒花费5000元，购买乙种荧光棒花费6000元．已知乙种荧光棒的销售单价比甲种荧光棒贵10元，乙种荧光棒的购买数量比甲种荧光棒的购买数量少20%．
(1)求甲、乙两种荧光棒的销售单价；
(2)由于需求量较大，学校第二次订购这两种荧光棒共110个，且本次订购甲种荧光棒的个数不少于乙种荧光棒个数的2倍．为和学校建立长久合作关系，该商家决定：甲种荧光棒售价不变，乙种荧光棒打8折出售．已知两种荧光棒的进价均为15元，该商家如何进货能使本次荧光棒销售利润最大？利润最大为多少元？
【答案】(1)甲销售单价为20元，乙销售单价为30元；
(2)甲订购74个，乙订购36个，最大利润为694元
【分析】（1）设甲种荧光棒的销售单价为元，乙种荧光棒的单价为元，利用乙比甲的数量少列方程求解即可；
（2）设乙种的购买数量为，甲种数量为个。利用甲不少于乙的2倍列不等式求出的取值范围，再用含有的代数式表示总利润关于数量的解析式，根据一次函数的性质判断最大值．
【详解】（1）解：设甲种荧光棒的销售单价为元，乙种荧光棒的单价为元，
由题意得：
解得：
经检验：是原方程的根，
∴乙种单价为：（元）
答：甲种荧光棒的单价为20元，乙种荧光棒的单价为30元．
（2）解：设乙种荧光棒的购买数量为，甲种数量为个，
由题意得：
解得：，且为正整数，
设总利润为
∵
∴随着的增大而增大，且为正整数，
∴当时，
答：当甲种荧光棒订购74,乙种订购36个，总利润最大为694元
【点睛】本题主要考查分式方程以及一元一次不等式和一次函数，熟练利用题中数量关系列方程以及不等式，利用一次函数的性质判断最大值是解决本题的关键．
28．（2023·广东佛山·佛山市华英学校校考一模）某工厂计划招聘A、B两个工种的工人共120人，已知A、B两个工种的工人的月工资分别为2400元和3000元．
(1)若工厂每月付A、B两个工种的总工资为330000元，那么两个工种的工人各招聘多少人．
(2)若生产需要，要求B工种的人数不少于A工种人数的2倍，那么招聘A工种的人数为多少时，可使每月支付的A、B两个工种的总工资最少．并求出最少总工资．
【答案】(1)A工种的工人招聘了50人，B工种的工人招聘70人；
(2)招聘A工种的人数为40人时，每月支付的A、B两个工种的总工资最少，最小值为336000元．
【分析】（1）设招聘A工种的工人为x人，则招聘B工种的工人为人，根据题意建立方程求出x的值就可以求出结论；
（2）设招聘A工种的工人为a人，则招聘B工种的工人为人，根据题意建立不等式和函数关系式，然后求出其解就可以得出结论．
【详解】（1）解：设招聘A工种的工人为x人，则招聘B工种的工人为人，由题意，得
，
解得：，
．
答：A工种的工人招聘了50人，B工种的工人招聘70人；
（2）解：设招聘A工种的工人为a人，总工资y元，则招聘B工种的工人为人，由题意，得
，
解得：，
，
∵，
∴y随a的增加而减少，
∴当时，y最小，最小值为336000，
∴招聘A工种的人数为40人时，每月支付的A、B两个工种的总工资最少，最小值为336000元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键．
29．（2023·广西南宁·统考一模）某文体店在开学来临之际购进，两类足球销售，已知每个类足球的进价比类足球的进价高元，用元购进的类足球和用元购进的类足球数量相等．
(1)求每个类足球和类足球的进价分别是多少元？
(2)该商店计划用元购进一批类足球和类足球，该文体店类足球每个售价为元，类足球每个售价元，设销售总利润为元，若要求购进的类足球数量不少于类足球数量，问如何进货可使总利润最大．
【答案】(1)每个类足球和类足球的进价分别是元、元
(2)购进类足球个、类足球个可使总利润最大
【分析】（1）设每个类足球的进价是元，则每个类足球的进价是元，根据题意列出分式方程，解方程即可求解；
（2）该商店计划用元购进一批类足球和类足球，设购进类足球个，则类足球个，()，由题意得出关于的一次函数，根据题意求得的取值范围，进而根据一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设每个类足球的进价是元，则每个类足球的进价是元，
根据题意，得
解得：，
经检验，是分式方程的解，
，
答：每个A类足球和B类足球的进价分别是元、元；
（2）解：该商店计划用元购进一批类足球和类足球，设购进类足球个，则类足球个，()，由题意得∶
，
∵
解得∶
，
随的增大而减小，
∵，且为整数，
当时，取得最大值，
此时，，即购进类足球个、类足球个可使总利润最大
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程和函数关系式是解题的关键．
30．（2023·河南周口·一模）商家发现最近很多社区开展“弘扬传统文化”的活动，为了适应市场需求，服务商场周围群众，商场现要从厂家购进两种不同型号和价格的“中国象棋”，已知用600元购进“A型象棋”与用400元购进“B型象棋”的数量相同，且每副“B型象棋”比每副”A型象棋”的价格便宜10元．
(1)求这两种“中国象棋”每副的价格；
(2)该商场计划购进“B型象棋”的数量比“A型象棋”数量的2倍还多60副，且两种“中国象棋”的总数量不超过360副，售价见店内海报（如图所示）．该商场应如何安排进货才能使利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)每副“A型象棋”30元，每副“B型象棋”20元
(2)商场购进“A型象棋”100副，“B型象棋”260副，所获利润最大，最大利润为2300元
【分析】（1）设每副“A型象棋”x元，则每副“B型象棋”元，根据题意，列出关于x的分式方程求解即可；
（2）设商场购进“A型象棋”m副，获得的总利润为w元，根据购进“中国象棋”的总数量不超过360副，列一元一次不等式，求出m的取值范围，再表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的增减性即可确定最大利润时的进货方案，进一步求出最大利润即可．
【详解】（1）设每副“A型象棋”x元，则每副“B型象棋”元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的根，且符合题意，
（元），
答：每副“A型象棋”30元，每副“B型象棋”20元．
（2）解：设商场购进“A型象棋”m副，获得的总利润为w元，
根据题意得：，
解得，
，
，
∴w随着m的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，最大值为2300元，
（副），
答：商场购进“A型象棋”100副，“B型象棋”260副，所获利润最大，最大利润为2300元．
【点睛】本题考查一次函数和分式方程的应用及一元一次不等式的应用，理解题意列出方程和不等式是解题的关键．
类型四、一次函数的应用：方案设计问题
31．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）广西平陆运河北起横州市西津水电站库区平塘江口，南止于钦江出海口沙井港航道，在一航道建设中，某渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方．已知5辆大型渣土运输车与2辆小型渣土运输车一次共运输土方60吨，6辆大型渣土运输车与4辆小型渣土运输车一次共运输土方80吨．
(1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？
(2)该渣土运输公司决定派出大、小两种型号渣土运输车共20辆参与把156吨土方全部运走，若一辆大型渣土运输车耗费600元，一辆小型渣土运输车耗费400元，请你设计出最省钱的运输方案．
【答案】(1)一辆大型渣土运输车一次运输吨，一辆小型渣土运输车一次运输吨
(2)最佳派车方案：大型运输车辆，小型运输车辆
【分析】（1）设一辆大型渣土运输车一次运输吨，一辆小型渣土运输车一次运输吨，根据题意累出二元一次方程组，解方程组即可作答；
（2）设该渣土运输公司决定派出辆大型号的渣土运输车，则小型号的渣土运输车为辆，根据题意列不等式组求解，设总共费用为w，根据题意表示出费用，根据一次函数的性质分析，随着a的增大而增大，问题随之得解．
【详解】（1）设一辆大型渣土运输车一次运输吨，一辆小型渣土运输车一次运输吨，
，
解得．
即一辆大型渣土运输车一次运输吨，一辆小型渣土运输车一次运输吨；
（2）设该渣土运输公司决定派出辆大型号的渣土运输车，则小型号的渣土运输车为辆，
根据题意有：，且为正整数，
解得，且为正整数，
设总共费用为w，
根据题意有：，
∵，
∴总共费用w，随着a的增大而增大，
∴当时，最小，且最小为：（元），
此时最佳派车方案：大型运输车辆，小型运输车辆．
【点睛】本题考查一元一次不等式组，二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
32．（2023·云南昭通·校考一模）某水果超市每月付给销售人员的工资有两种方案．
方案一：没有底薪，只付销售提成；
方案二：底薪加销售提成．
如图中的射线，射线分别表示该水果超市每月按方案一，方案二付给销售人员的工资（单位：元）和（单位：元）与其当月水果销售量：x（单位：千克）（）的函数关系．
(1)分别求、与x的函数表达式；
(2)若该超市某销售人员今年5月份的水果销售量没有超过100千克，但其5月份的工资超过2500元．请问该超市采用了哪种方案给这名销售人员付5月份的工资？
【答案】(1)；
(2)这个公司采用了方案一给这名销售人员付5月份的工资．
【分析】（1）设，，结合图象，待定系数法求出解析式即可；
（2）求出时，两个函数的函数值，进行比较即可得出结论．
【详解】（1）解：设，
∵图象过点，
∴，
解得，
∴；
设，
∵图象过点，
∴，
解得：，
∴；
（2）当时，
；
；
∴这个公司采用了方案一给这名销售人员付5月份的工资．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用．正确的求出函数解析式，是解题的关键．
33．（2023·安徽合肥·校考一模）某校八年级（1）班共有学生50人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元．经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其它费用780元，其中，纯净水的销售价x（元/桶）与年购买总量y（桶）之间满足如图所示关系．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)若该班每年需要纯净水380桶，且a为120时，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料，哪一种花钱更少？
(3)求该班每年购买纯净水费用的最大值，并指出当a至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水更合算．
【答案】(1)
(2)饮用桶装纯净水花钱少
(3)该班每年购买纯净水费用的最大值为1620元；当a至少为48时，该班学生集体改饮桶装纯净水更合算．
【分析】（1）设y与x的函数关系式为，根据题意得出k，b的值即可求出y与x的函数关系式．
（2）分别计算出买饮料每年总费用以及饮用桶装纯净水的总费用比较可得；
（3）设该班每年购买纯净水的费用为W元，解出二次函数求出W的最大值可求解．
【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为，
根据题意得：当时，；当时，．
∴，
解之，得，
∴y与x的函数关系式为；
（2）解：该班学生买饮料每年总费用为（元），
当时，，
解得．
该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为（元）．
显然，从经济上看饮用桶装纯净水花钱少．
（3）解：设该班每年购买纯净水费用为W元，根据题意得：
，
∴当时，W的值最大，最大值为1620，
即该班每年购买纯净水费用的最大值为1620元，
∵该班学生集体改饮桶装纯净水更合算，
∴，
即，
解得：，
所以当a至少为48时，该班学生集体改饮桶装纯净水更合算．
【点睛】本题要注意利用一次函数的特点，列出方程组，求出未知数的值从而求得其解析式以及运用二次函数解决实际问题的能力．
34．（2023·山东东营·校考一模）某商业集团新进了50台空调机，70台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中80台给甲连锁店，40台给乙连锁店．两个连锁店销售这两种电器每台的利润（元）如下表：
设集团调配给甲连锁店x台空调机，集团卖出这120台电器的总利润为y（元）．
(1)求y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；
(2)为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利销售，其他的销售利润不变．并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润．问该集团该如何设计调配方案，使总利润达到最大？
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据总利润＝甲店（空调＋冰箱）的利润＋乙店（空调＋冰箱）的利润列得函数关系式；
（2）由（1）可得几种不同的分配方案，依题意得到y与a的关系式，解出不等式方程后可得出使利润达到最大的分配方案．
【详解】（1）由题意可知，调配给甲连锁店电冰箱台，
调配给乙连锁店空调机台，电冰箱为台，
则，
即．
∵，
∴．
∴；
（2）设集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利a元销售，
由题意得：，
即．
∵，
∴．
当时，，函数y随x的增大而增大，
故当时，总利润最大，即调配给甲连锁店空调机50台，电冰箱30台，乙连锁店空调0台，电冰箱40台；
当时，x的取值在内的所有方案利润相同；
当时，，函数y随x的增大而减小，
故当时，总利润最大，即调配给甲连锁店空调机10台，电冰箱70台，乙连锁店空调40台，电冰箱0台．
【点睛】此题考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意列得函数关系式及不等式组是解题的关键．
35．（2023·山东聊城·统考一模）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．
(1)求甲乙两种类型笔记本的单价．
(2)该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少?
【答案】(1)甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元
(2)最低费用为1101元
【分析】（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本为元．列出方程即可解答；
（2）设甲类型笔记本购买了a件，最低费用为w，列出w关于a的函数，利用一次函数的增减性进行解答即可．
【详解】（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本为元．
由题意得：
解得：
经检验是原方程的解，且符合题意．
∴乙类型的笔记本单价为：（元）．
答：甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元．
（2）设甲类型笔记本购买了a件，最低费用为w，则乙类型笔记本购买了件．
由题意得：．
∴．
．
∵，
∴当a越大时w越小．
∴当时，w最小，最小值为（元）．
答：最低费用为1101元．
【点睛】此题考查了分式方程的应用，以及一次函数的应用，掌握分式方程的应用，以及一次函数的应用是解题的关键．
36．（2023·云南昆明·校考一模）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．
(1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
(2)每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．
请根据以上要求，完成如下问题：
①设购买A型机器人台，购买总金额为万元，请写出与的函数关系式；
②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？
【答案】(1)每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨．
(2)①；②当购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元．
【分析】（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物为（x+10）吨，然后根据题意可列分式方程进行求解；
（2）①由题意可得购买B型机器人的台数为台，然后由根据题意可列出函数关系式；②由题意易得，然后可得，进而根据一次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物为（x+10）吨，由题意得：
，
解得：；
经检验：是原方程的解；
答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨．
（2）解：①由题意可得：购买B型机器人的台数为台，
∴；
②由题意得：，
解得：，
∵-0.8＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=17时，w有最小值，即为，
答：当购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用，熟练掌握分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用是解题的关键．
37．（2023·山东济南·统考模拟预测）为响应传统文化进校园的号召，某校决定从网店购买《论语》和《弟子规》两种图书以供学生课外阅读．已知两种图书的购买信息如下表：
(1)《论语》和《弟子规》每本的价格分别是多少元？
(2)若学校计划购买《论语》和《弟子规》两种图书共100本，《弟子规》的数量不超过《论语》数量的2倍．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用．
【答案】(1)《论语》每本的价格为20元，《弟子规》每本的价格为15元
(2)最省钱的购买方案是购买《论语》图书的数量为34本，购买《弟子规》图书的数量为66本，此方案的总费用为1670元
【分析】（1）设《论语》每本的价格为元，《弟子规》每本的价格为元，再根据购买信息表建立方程组，解方程组即可得；
（2）设购买《论语》图书的数量为本，则购买《弟子规》图书的数量为本，先根据“《弟子规》的数量不超过《论语》数量的2倍”求出的取值范围，再设购买方案的总费用为元，求出关于的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：设《论语》每本的价格为元，《弟子规》每本的价格为元，
由题意得：，
解得，符合题意，
答：《论语》每本的价格为20元，《弟子规》每本的价格为15元．
（2）解：设购买《论语》图书的数量为本，则购买《弟子规》图书的数量为本，
由题意得：，
解得，
设购买方案的总费用为元，
则，
由一次函数的性质可知，当时，随的增大而增大，
因为是正整数，
所以当时，取得最小值，最小值为，
答：最省钱的购买方案是购买《论语》图书的数量为34本，购买《弟子规》图书的数量为66本，此方案的总费用为1670元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，正确建立方程组和一次函数是解题关键．
38．（2023·河南郑州·统考一模）学校需购买测温枪与消毒液，若购买5个测温枪与1瓶消毒液需440元，若购买1个测温枪与3瓶消毒液需200元．
(1)求测温枪和消毒液的单价；
(2)学校计划购买两种物资共60件，并要求测温枪的数量不少于消毒液数量的，设计最省钱的购买方案，并说明理由．
【答案】(1)测温枪的单价为80元，消毒液的单价为40元
(2)购买12个测温枪，48瓶消毒液，最节省钱．
【分析】（1）设测温枪的单价为x元，消毒液的单价为y元，根据题意列出方程组，即可求解；
（2）设购买a测温枪，b瓶消毒液，总计花费m元，根据题意列出含有不等式的方程组，采用代入消元法后，以含b的代数式来表达m，并得出b的取值范围．要求最节省即转化为求m的最小值，再根据b的取值范围，即可求出m的最小值，最后得到最佳方案．
【详解】（1）设测温枪的单价为x元，消毒液的单价为y元，
根据题意有：
，
解方程组得：
，
则有测温枪的单价为80元，消毒液的单价为40元．
（2）最佳方案：购买12个测温枪，48瓶消毒液，最节省钱，
理由如下：设购买a测温枪，b瓶消毒液，总计花费m元，且a、b、m都是自然数，
根据题意，
有：，
简化得：，且a、b、m都是自然数，
要想最省钱，即m取最小值，
则当且仅当时，m值最小，且为，此时，
即购买12个测温枪，48瓶消毒液，最节省钱．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的实际应用、一次函数的应用以及最值问题．正确理解题意，列出方程组和不等式是解答本题的关键．
39．（2022·江西萍乡·校考模拟预测）由于连日大雨，某城市局部面临内涝，当地相关部门迅速组织防涝抗涝工作，抽调一批抽水泵紧急抽水排险．经在抽水现场测得A型和B型两款抽水泵抽水量情况如下：4台A型抽水泵和5台B型抽水泵同时工作，可抽水的水；2台A型抽水泵和10台B型抽水泵同时工作，可抽水的水．
(1)求A、B两款抽水泵每分钟分别能抽水多少立方米？
(2)该地防洪相关部门，为了以后抗涝需要，计划进购一批A型和B型两款抽水泵，要求这批抽水泵全部同时工作1分钟，能抽水150立方米的水．设购买A型抽水泵m台，B型抽水泵台，请用含n的代数式表示m．
(3)A型抽水泵每台标价2万元，若一次性购买不少于30台，可打九折，若少于30台则按标价销售；B型抽水泵每台标价3万元，若一次性购买不少于30台，可打八折，若少于30台则也按标价销售；在（2）的条件下，问如何购买使得总费用最小？请通过分析计算给予说明．
【答案】(1)，；
(2)
(3)选购B型抽水泵30台，A型抽水泵64台时，购买总费用最少，此时需要万元，说明见解析．
【分析】（1）设1台A型抽水泵和1台B型抽水泵每分钟各抽水和，根据题意列方程组求解即可得到答案；
（2）根据题意可知，变形即可得到答案；
（3）根据n的取值范围可知，这项购买计划中A型抽水泵价格始终是标价的九折，分情况讨论：当时，购买总费用；当时，购买总费用：，分别求出最小值进行比较即可得到答案．
【详解】（1）解：设1台A型抽水泵和1台B型抽水泵每分钟各抽水和，
由题意可知：，
解得：，
答：1台A型抽水泵和1台B型抽水泵每分钟各抽水和；
（2）解：由题意可知：，
；
（3）解：，当n取最大值50时，，则A型抽水泵至少要买40台，
这项购买计划中A型抽水泵价格始终是标价的九折，
当时，购买总费用：，
即时，购买总费用最小，费用为（万元），
当时，购买总费用：，
即时，购买总费用最小，费用为（万元），
答：选购B型抽水泵30台，A型抽水泵64台时，购买总费用最少，此时需要万元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，利用分类讨论的思想，根据题意准确找出数量关系是解题关键．
40．（2022·吉林长春·校考模拟预测）昆明剧院举行专场音乐会，成人票每张元，学生票每张元，暑假期间，为了吸引广大师生来听音乐会，剧院制定了两种优惠方案：
方案一：购买一张成人票赠送一张学生票；
方案二：成人票和学生票都打九折．
某校有名老师和若干名不少于人学生去听音乐会．
(1)如果该校有名学生和老师去听音乐会，按两种优惠方案，各应付多少门票费？
(2)请你结合参加听音乐会的学生人数，计算说明怎样购票花费少？
【答案】(1)，元
(2)见解析
【分析】（1）首先根据优惠方案一：付款总金额=购买成人票金额+除去4人后的学生票金额；优惠方案二：付款总金额=（购买成人票金额购买学生票金额）打折率，求出即可；
（2）根据题意列出函数关系式，求出当两种方案付款总金额相等时，购买的票数，再就是那种情况讨论．
【详解】（1）解：由题意可得：
元，
元；
（2）按优惠方案一可得：
，
按优惠方案二可得：
，
∵，
①当时，得，解得，
当购买张票时，两种优惠方案付款一样多．
②当时，得，解得，
时，，优惠方案一付款较少．
③当时，得，解得，
当时，，优惠方案二付款较少．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用和一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意正确列出两种方案的解析式，进而计算出临界点 的取值，再进一步讨论
类型五、一次函数与几何综合问题
41．（2023·河北石家庄·统考一模）在平面直角坐标系中，已知直线：与y轴交于点P，矩形的顶点坐标分别为，，．
(1)若点在直线上，求k的值；
(2)若直线将矩形面积分成相等的两部分，求直线的函数表达式；
(3)若直线与矩形有交点（含边界），直接写出k的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）求出点D的坐标，代入函数解析式即可求出k的值；
（2）求出矩形对称中心的坐标，然后用待定系数法求解即可；
（3）求出过点A和点D时k的值即可求解．
【详解】（1）∵，，
∴点，
将点代入直线中，
，
解得：．
（2）∵矩形是中心对称图形，直线将矩形分成面积相等的两部分．
∴直线一定经过矩形的对称中心；
∵矩形顶点，，
∴其对称中心的坐标为，代入直线：中，
，
解得，
∴直线的函数表达式为．
（3）∵直线过定点，
∴当直线l与线段相交时，直线与矩形有交点（含边界）．
把代入，得
，
解得．
由（1）知当直线过点D时，，
∴当直线与矩形有交点（含边界）时，的取值范围是或．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象与性质，矩形的性质，坐标与图形的性质等知识，数形结合是解答本题的关键．
42．（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图，矩形位于平面直角坐标系第一象限，点O与原点重合，边和边分别与x轴、y轴重合，，B为中点，直线的函数关系式是，点P由A点出发，沿折线﹣运动，运动路程为m，连接，所在直线l的关系式为．
(1)b＝ ；点C坐标为 ．
(2)在点P运动过程中，若l：中的y2随x的增大而增大，则m的取值范围 ．
(3)若l：平行于，求直线l的关系式．
(4)若直线l将线段分成两部分，请直接写出此时m的值．
【答案】(1)4，
(2)
(3)
(4)或18
【分析】（1）根据矩形和边的长，可求出b的值和C点的纵坐标 ，再把C点纵坐标代入中即可求出C点坐标．
（2）设中点为Q，当点P从A运动到Q点时，，即可求出答案．
（3）根据两直线平行，可知k值相等，再代入B点坐标，即可求出答案．
（4）分两种情况：当时或时，用三角形相似即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，点B是A的中点，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，，
∴，
∴，
∴，
∴点，
故答案为：4，；
（2）解：设的中点为Q，如图所示，
当点P在折线上时（不包括点Q）时，，y随x的增大而增大，
∴，
故答案为：；
（3）解：∵，
∴，
∴直线l的解析式为：；
（4）解：如图所示，
设与的交点为E，当时，
∵四边是矩形，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
如图2，
当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述：或18．
【点睛】本题考查了矩形和一次函数的综合问题，涉及到了动点、相似三角形、一次函数的性质，灵活运用所学知识是解题关键．
43．（2023·广东佛山·校联考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，双曲线与直线在第一象限内交于点，与轴交于点．
(1)求，的值；
(2)在轴上取一点，当的面积为3时，求点的坐标．
(3)点在双曲线上，且是以为腰的等腰三角形，则满足条件的点共有______个，任意写出一个满足条件的点的坐标，可以为______．
【答案】(1)
(2)或
(3)，
【分析】（1）将点，代入直线，得出，继而得出，待定系数法求解析式即可得；
（2）设，根据的面积为3，得出，解方程即可求解；
（3）根据等腰三角形的性质，画出图形，根据等腰三角形以及反比例函数的对称性求得点，，即可求解．
【详解】（1）解：∵双曲线与直线在第一象限内交于点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵直线与轴交于点．
令，得，
∴，
设，
∵的面积为3
∴
∴,
∵，，
∴，
解得：或，
∴或，
（3）如图，以为圆心，为半径画弧交反比例函数的图象于，，，，可得，，是等腰三角形，其中在直线上不能构成三角形，
根据对称性可知，，
故满足条件的点有个，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数结合，等腰三角形的性质，反比例函数图象的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，数形结合是解题的关键．
44．（2023·广东东莞·东莞市东华初级中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．
(1)若此抛物线过点，求抛物线的解析式；
(2)在（1）的条件下，若抛物线与轴交于点，连接，为抛物线上一点，且位于线段的上方，过点作垂直于轴于点，交于点；若，求点的坐标；
(3)无论取何值，抛物线都经过定点，当直线与轴的交角为45°时，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出，再求出直线的解析式为，设，则，即可得到，，再由，得到，解方程即可得到答案；
（3）先求出抛物线过定点，即点H的坐标为；设直线与y轴交于点Q，然后分当点Q在H点上方时，如图3-1所示，当点Q在H点下方时，如图3-2所示， 两种情况分别求出直线的解析式，再根据点在直线上，建立方程求解即可．
【详解】（1）解：把代入抛物线中得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：在中，令，则，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴；
（3）解：∵抛物线解析式为，
∴当时，，
∴抛物线过定点，即点H的坐标为；
设直线与y轴交于点Q，
当点Q在H点上方时，如图3-1所示，过点H作轴于M，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可求得直线的解析式为，
∵抛物线解析式为，
∴，
∵点N在直线上，
∴，
∴，
解得或（舍去，此时点N与点H重合）；
当点Q在H点下方时，如图3-2所示，过点H作轴于M，
同理得，
∴同理可得直线的解析式为，
∵点在直线上，
∴，
∴，
解得或（舍去）；
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
45．（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，正比例函数图象与反比例函数图象交于点，将直线向下平移个单位交轴于点，轴于点，交双曲线于点，连接，．
(1)求正比例函数，反比例函数的解析式；
(2)求三角形的面积．
【答案】(1)正比例函数的解析式为，反比例函数的解析式为
(2)18
【分析】（1）将点分别代入正比例函数与反比例函数解析式即可求解；
（2）根据一次函数的平移得出点坐标则直线：，联立反比例数解析式，求得点的坐标，连接，作轴于点，根据三角形面积各数据即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，将点代入得：，
解得：，
∴正比例函数的解析式为：，
将点代入，得：，∴，
∴反比例函数的解析式为：．
∴正比例函数的解析式为，反比例函数的解析式为
（2）∵直线向下平移个单位交轴于点，轴于点，
∴点坐标．
直线：
连接，作轴于点．
由
解得：或
点坐标．
∵，
∴．
【点睛】本题考查了一次函数的平移，一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数的平移，掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键．
46．（2023·陕西西安·校考一模）如图1，矩形的一边落在矩形的一边上，并且矩形矩形，其相似比为，矩形的边，．
(1)矩形的面积是 ；
(2)将图1中的矩形绕点逆时针旋转90°，若旋转过程中与夹角（图2中的）的正切的值为，两个矩形重叠部分的面积为，求与的函数关系式；
(3)将图1中的矩形绕点逆时针旋转一周，连接、，的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，最大值为，最小值为
【分析】（1）根据相似多边形面积的比等于相似比的平方求解即可得出答案；
（2）先求出矩形的边长为、，再分①当时，重叠部分是直角三角形和②当时，重叠部分是四边形，矩形剩余部分是直角三角形两种情况求解；
（3）旋转一周，点E的轨迹是以点O为圆心以2为半径的圆，所以的边上的高就是点到的距离，也就是到圆上的点的距离，最大值为点O到的距离与圆的半径的和，最小值为点O到的距离与圆的半径的差，再利用三角形的面积公式求解即可得出答案．
【详解】（1）矩形矩形，其相似比为，
（2）矩形矩形，其相似比为，矩形的边，
，
①当时，重叠部分是直角三角形，如图
；
②当时，重叠部分是四边形，如图
，
（3）存在
，
点E的轨迹是以点O为圆心以2为半径的圆，
设点O到AC的距离为h，
解得
当点E到的距离为时，的面积有最大值，
当点E到的距离为时，的面积有最小值，
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，分情况讨论的思想，勾股定理，圆上的点到直线的距离的取值范围，熟练掌握性质是解题的关键．
47．（2023·上海杨浦·统考一模）已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线上方抛物线上一点，过点P作轴，垂足为点G，与直线交于点H．如果，求点P的坐标；
(3)在第（2）小题的条件下，连接，试问点B关于直线对称的点E是否恰好落在直线上？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)点B关于直线对称的点E恰好落在直线上，理由见解析
【分析】（1）直接利用待定系数法即可求解；
（2）根据题意可求出直线的解析式为．设点P的坐标为，则，进而可求出，．最后由，可列出关于t的等式，解出t的值，再舍去不合题意的值，即可求出P点坐标；
（3）连接，与直线交于点F．根据题意可得出D点和B点坐标，进而可求出直线直线的解析式为，直线的解析式为．设点E的坐标为，由轴对称的性质可得出．再根据点F在直线上，即可求出，即得出，最后即可确定点E是否恰好落在直线上．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）如图，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为．
∵点P是直线上方抛物线上一点，
∴设点P的坐标为，则，
∴，
．
∵，
∴，
解得： ．
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：点E恰好落在直线上，理由如下：
如图，连接，与直线交于点F．
根据抛物线解析式可知其对称轴为直线，
∴，．
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为．
设点E的坐标为，
∵点B关于直线对称的点为点E，
∴．
∵点F在直线上，
∴，
∴，
∴．
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为．
∵对于，当时，，
∴点B关于直线对称的点E恰好落在直线上．
【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，两点的距离公式等知识，为中考压轴题．正确求出二次函数解析式是解题关键．
48．（2023·河北唐山·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，点，，其中，直线与y轴相交于C点．
(1)已知，
①求的值；
②若直线将线段AB分成1：2两部分，求k的值；
③若反比例函数过点A、B的中点，直接写出n的值；
(2)当时，若直线与线段AB交于点D（点D不与A、B重合），且，直接写出a的取值范围．
【答案】(1)①3；②k的值为或 ；③；
(2)a的取值范围是0＜a＜1．
【分析】（1）①先分别求解的坐标，再求解的长度及C的坐标，从而可得答案；②先确定线段AB的两个三等分点的坐标为（3 ，1）或（4 ，1），再利用待定系数法求解k即可；③先求解AB的中点坐标，再利用待定系数法求解n即可；
（2）由时，则，再求解D的坐标， 且D在A的右侧，再列不等式组即可．
（1）
解：①当a=1时，则A（2，1），B（5，1），
∴AB=5-2=3，
∵直线y=kx-1与y轴相交于C点，
∴C（0，-1），
∴；
②∵直线y=kx-1将线段AB分成1：2两部分，A（2，1），B（5，1），
∴直线y=kx-1与线段AB的交点为（3 ，1）或（4 ，1），
当交点为（ 3 ，1）时，代入y=kx-1得，1= 3 k-1，解得；
当交点为（ 4 ，1）时，代入y=kx-1得，1= 4k-1，解得；
∴直线y=kx-1将线段AB分成1：2两部分，k的值为或 ；
③ A（2，1），B（5，1），
的中点坐标为：
所以
（2）
当时，，
当y=a时，则，解得，
∴且D在A的右侧，
∵AD＜2，点，，
∴ 且 ， 解得0＜a＜1．
故a的取值范围是0＜a＜1．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形，一次函数的图象与系数的关系，表示出点D的坐标是解题的关键．
49．（2023·江苏扬州·校考一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点A点和B点，过O点作OD⊥AB于D点，以OD为边构造等边△EDF（F点在x轴的正半轴上）．
(1)求A、B点的坐标，以及OD的长；
(2)将等边△EDF，从图1的位置沿x轴的正方向以每秒1个单位的长度平移，移动的时间为t（s），同时点P从E出发，以每秒2个单位的速度沿着折线ED-DF运动（如图2所示），当P点到F点停止，△DEF也随之停止．
①t= （s）时，直线恰好经过等边△EDF其中一条边的中点；
②当点P在线段DE上运动，若DM=2PM，求t的值；
③当点P在线段DF上运动时，若△PMN的面积为，求出t的值．
【答案】(1)A（12，0）；B（0，）； OD=6
(2)①3或6；②t=或；③t=4s
【分析】（1）把，分别代入，即可求出点A、B的坐标，求出，根据直角三角形的性质，即可得出；
（2）①当直线l分别过DE、DF、EF的中点，分三种情况进行讨论，得出t的值，并注意点P运动的最长时间；
②分点P在直线l的下方和直线l上方两种情况进行讨论，求出t的值即可；
③分点P在DN之间和点P在NF之间两种情况进行讨论，求出t的值即可．
【详解】（1）解：把代入得：，
∴点B的坐标为，
把代入得：，解得：，
∴点的坐标为，
，
∴，
，
，
∴为直角三角形，
∴．
（2）①当直线l过DF的中点G时，如图所示：
∵△DEF为等边三角形，
，
，
，
∴，
∴，
，
，
；
当l过DE的中点时，如图所示：
，，
∴直线l为DE的垂直平分线，
∵△DEF为等边三角形，
此时点F与点A重合，
∴；
当直线l过EF的中点时，运动时间为，
∵点P从运动到停止用的时间为：，
∴此时不符合题意；
综上分析可知，当t=3s或6s时，直线l恰好经过等边△EDF其中一条边的中点；
②∵OE=t，AE=12-t，∠BAO=30°，
∴ME=6-，
∴DM=DE-EM=，
∵EP=2t，
∴PD=6-2t，
当P在直线l的下方时，
∵，
∴，
解得：s；
当P在直线l的上方时，∵DM=2DP，
∴，解得：t=s；
综上分析可知，t的值为s或s．
③当P在DN之间时，如图所示：
∵，，DM=，
∴，
∴，，
∵DP=6-t，
，
∵，
∴边MN的高，
∵△PMN的面积为，
∴，
解得：或（舍去）；
当点P在NF之间时，如图所示：
∵，，DM=，
∴，
∴，，
∵DP=6-t，
，
∵，
∴，
∴边MN的高，
∵△PMN的面积为，
∴，
整理得：，
∵，
∴此方程无实数解，
∴P在NF间不成立；
综上分析可知，的值为4s．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、利用三角函数解直角三角形，熟练掌握含30°的直角三角形的性质并注意进行分类讨论是解题的关键．
50．（2023·北京西城·北京市第三十五中学校考一模）在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，对于直线l和线段AB，给出如下定义：若将线段AB关于直线l对称，可以得到⊙O的弦A´B´（A´，B´分别为A，B的对应点），则称线段AB是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”．
（1）如图2，的横、纵坐标都是整数．
①在线段中，⊙O的关于直线y＝x＋2对称的“关联线段”是_______；
②若线段中，存在⊙O的关于直线y＝－x＋m对称的“关联线段”，则 ＝ ；
（2）已知直线交x轴于点C，在△ABC中，AC=3，AB=1，若线段AB是⊙O的关于直线对称的“关联线段”，直接写出b的最大值和最小值，以及相应的BC长．
【答案】（1）① A1B1；②2或3；（2）b的最大值为，此时BC＝；b的最小值为，此时BC＝
【分析】（1）①根据题意作出图象即可解答；②根据“关联线段”的定义，可确定线段A2B2存在“关联线段”，再分情况解答即可；
（2）设与AB对应的“关联线段”是A’B’，由题意可知：当点A’（1，0）时，b最大，当点A’（-1，0）时，b最小；然后分别画出图形求解即可；
【详解】解：（1）①作出各点关于直线y=x+2的对称点，如图所示，只有A1B1符合题意；
故答案为：A1B1；
②由于直线A1B1与直线y=-x+m垂直，故A1B1不是⊙O的关于直线y＝-x＋m对称的“关联线段”；
由于线段A3B3=，而圆O的最大弦长直径=2，故A3B3也不是⊙O的关于直线y＝-x＋m对称的“关联线段”；
直线A2B2的解析式是y=-x+5，且，故A2B2是⊙O的关于直线y＝x＋2对称的“关联线段”；
当A2B2是⊙O的关于直线y＝-x＋m对称的“关联线段”，且对应两个端点分别是（0，1）与（1,0）时，m=3，
当A2B2是⊙O的关于直线y＝-x＋m对称的“关联线段”，且对应两个端点分别是（0，-1）与（-1,0）时，m=2，
故答案为：2或3．
（2）设与AB对应的“关联线段”是A’B’，由题意可知：当点A’（1，0）时，b最大，当点A’（-1，0）时，b最小；
当点A’（1，0）时，如图，连接OB’，CB’，作B’M⊥x轴于点M，
∴CA’=CA=3，
∴点C坐标为（4，0），
代入直线，得b=；
∵A’B’=OA’=OB’=1，
∴△OA’B’是等边三角形，
∴OM=，，
在直角三角形CB’M中，CB'=，即；
当点A’（-1，0）时，如图，连接OB’，CB’，作B’M⊥x轴于点M，
∴CA’=CA=3，
∴点C坐标为（2，0），
代入直线，得b=；
∵A’B’=OA’=OB’=1，
∴△OA’B’是等边三角形，
∴OM=，，
在直角三角形CB’M中，CB'=；即
综上，b的最大值为，此时BC＝； b的最小值为，此时BC＝．
【点睛】本题是新定义综合题，主要考查了一次函数图象上点的坐标特点、圆的有关知识、等边三角形的判定和性质、勾股定理、轴对称的性质等知识，正确理解新定义的含义、灵活应用数形结合思想是解题的关键．
…
0
1
2
3
4
…
…
1
0
0
1
…
离开家的时间/min
4
10
25
30
37
离家的距离/km
0.8
_____
_____
1.5
_____
离开家的时间
离家的距离
离开家的时间
离家的距离
300
骑行时间/min
10
20
25
品牌收费/元
8
品牌收费/元
8
骑行时间/min
10
20
25
品牌收费/元
4
8
10
品牌收费/元
6
8
9
A款10英寸智能手机
B款10英寸智能手机
进货价格（元）
1400
1500
销售价格（元）
今年的销售价格
1800
甲水笔
乙水笔
每支进价（元）
a
每支利润（元）
2
3
空调机
电冰箱
甲连锁店
200
170
乙连锁店
160
150
《论语》数量/本
《弟子规》数量/本
总费用（元）
40
30
1250
50
20
1300