新高考数学重点专题二轮复习真题演练专题一9 基本不等式小题（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学重点专题二轮复习真题演练专题一9 基本不等式小题（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考数学重点专题二轮复习真题演练专题19基本不等式小题原卷版doc、新高考数学重点专题二轮复习真题演练专题19基本不等式小题解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
其中叫做正数，的算术平均数，
叫做正数，的几何平均数
通常表达为：（积定和最小）
应用条件：“一正，二定，三相等”
基本不等式的推论1
（和定积最大）
当且仅当时取等号
基本不等式的推论2
当且仅当时取等号
其他结论
①eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(ab＞0)．
②eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤ eq \r(\f(a2＋b2,2))(a＞0，b＞0)．
③已知a，b，x，y为正实数，
若ax＋by＝1，则有eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝＝a＋b＋eq \f(by,x)＋eq \f(ax,y)≥a＋b＋2eq \r(ab)＝(eq \r(a)＋eq \r(b))2.
若eq \f(a,x)＋eq \f(b,y)＝1，则有x＋y＝＝a＋b＋eq \f(ay,x)＋eq \f(bx,y)≥a＋b＋2eq \r(ab)＝(eq \r(a)＋eq \r(b))2.
注意1．使用基本不等式求最值时，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．
注意2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．
注意3．连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致．
模拟训练
一、单选题
1．（22·23下·湖北·二模）若正数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式及不等式的性质即可求解.
【详解】因为正数满足，
所以.
所以,
当且仅当，即时，取等号，
当时，取得的最小值为.
故选：A.
2．（22·23·邯郸·一模）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．2B．4C．D．9
【答案】C
【分析】根据“乘1法”，运用基本不等式即可求解.
【详解】依题意，
因为，所以，则
，
当且仅当，时，等号成立．
故选：C.
3．（22·23下·湖北·二模）已知，，且，那么的最小值为（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】C
【分析】由题意可得，再由基本不等式求解即可求出答案.
【详解】因为，，，
则
.
当且仅当即时取等.
故选：C.
4．（22·23上·重庆·一模）已知a，b为非负实数，且，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】首先根据题意求出，，然后将原式变形得，最后利用1的妙用即可求出其最值.
【详解】，且,为非负实数，，
则
则，解得，，解得，
，
当且仅当即，时,即时等号成立，
故，
故选：B.
5．（22·23下·长沙·一模）已知，则m，n不可能满足的关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据对数的运算判断A，根据不等式的性质判断BCD.
【详解】，即，即.
对于 A， 成立.
对于 B， ，成立.
对于 C， ，即.故C错误；
对于 D， 成立.
故选：C.
6．（22·23下·安康·二模）若，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由基本不等式可判断A、B、C；因为，再由二次函数的性质可判断D.
【详解】对于A：，
故A正确；
对于B：∵，∴，故B错误；
对于C：，
当且仅当时取等号，故C错误；
对于D：，故D错误．
故选：A．
7．（22·23·滁州·二模）若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（ ）
A．6B．C．D．
【答案】C
【分析】利用因式分解法，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】，
因为a，b，c均为正数，
所以有，
当且仅当时取等号，即时取等号，
故选：C
8．（22·23·湛江·二模）当，时，恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将左侧分式的分子因式分解成的形式，再利用均值不等式的结论进行计算即可以得到结果.
【详解】当，时，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为．
所以，即．
故选：A.
9．（22·23下·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由为等腰直角三角形，得到，，然后在中，得到CD判断.
【详解】解：由图知：，
在中，，
所以，即，
故选：C
10．（22·23下·菏泽·一模）设实数满足，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分为与，去掉绝对值后，根据“1”的代换，化简后分别根据基本不等式，即可求解得出答案.
【详解】当时，，
当且仅当，即，时等号成立，此时有最小值；
当时，.
当且仅当，即，时等号成立，此时有最小值.
所以，的最小值为.
故选：A.
11．（22·23·江西·二模）实数，，满足：，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】用立方和公式和完全平方公式将用与表示，再分离出，使用基本不等式求解即可.
【详解】∵，∴，
∴，∴，
∴，
∵，，令，则
易知与均不为且符号相同，∴，解得或.
（此时，可通过验证时，满足题意，，结合选项确定选项D正确.）
又∵，，，，
∴由基本不等式，，当且仅当时，等号成立，
∴，
又∵，
∴，（当时，），
∴解得，即，当且仅当时，等号成立.
∴综上所述，的取值范围是.
故选：D.
【点睛】易错点睛：本题若忽视中的与同号，直接使用基本不等式求解，就容易错解，而优先考虑与同号，并结合选项进行特值验证，则可以很轻松的选出正确选项.
二、多选题
12．（22·23·汕头·三模）若，则下列不等式对一切满足条件恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】对于A，B，D，利用基本不等式即可求得答案；对于C，利用，求出，结合的范围，利用二次函数的性质即可求得.
【详解】对于A，，即，当且仅当时等号成立，所以A正确；
对于B， ，，
又，则，当且仅当时等号成立，所以B错误；
对于C，，，所以，
则，并且时等号成立.，所以C正确；
对于D，，所以，
则，
当且仅当，即时等号成立， 所以D正确.
故选：ACD.
13．（22·23·白山·一模）若正数a，b满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】由不等式的性质和基本不等式，验证各选项是否正确.
【详解】因为，，所以，所以，则，当且仅当时，等号成立，故A错误；
因为，所以，则，同理可得，因为，所以，当且仅当时，等号成立，则B正确；
因为，所以，所以，所以，则C错误；
因为，当且仅当时，等号成立，所以D正确．
故选：BD
14．（22·23·惠州·一模）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】利用条件进行指对数转换，得到，从而有，再对各个选项逐一分析判断即可得出结果.
【详解】因为，所以，则，
选项A，，故正确；
选项B，因为，且，所以，故B正确；
选项C，因为，故C错误；
选项D，因为，故D正确，
故选：ABD．
15．（22·23下·烟台·三模）已知且，则（ ）
A．的最大值为B．的最大值为2
C．的最小值为6D．的最小值为4
【答案】BC
【分析】利用基本不等式可判断AB；先将化为，再妙用“1”可判断C；取特值可判断D.
【详解】对于A，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故错误；
对于B，因为，所以，
即，，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C，由得，所以，
因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D，令，则，所以的最小值不是4，D错误.
故选：BC.
16．（22·23下·江苏·二模）已知，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】对于A利用基本不等式可判断；对于B利用不等式的基本性质以及指数函数的单调性即可判断；对于C可用特殊值法判断；对于D直接根据不等式的基本性质判断即可．
【详解】，，且，，
，
当且仅当取等号，故A正确；
，，且，
，故B正确；
则，故D正确；
取，则，故C错误.
故选：ABD．
17．（22·23·济宁·二模）已知，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】利用基本不等式可得，可判断A，C选项,特殊值法判断B，D选项错误.
【详解】因为，，，
，所以，当且仅当等号成立，故A正确，
当,,则,故B错误；
因为，所以，故C正确;
当时,则，故D错误；
故选：AC.
18．（22·23上·宁波·一模）已知正实数、满足，则（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最小值为D．的最大值为
【答案】AC
【分析】利用基本不等式可得出关于的不等式，解出的取值范围，可判断AB选项；由已知可得出，利用二次函数的基本性质结合的取值范围，可得出的取值范围，可判断CD选项.
【详解】因为正实数、满足，
则，
因为，解得，当且仅当时，取最大值，则A对B错；
因为，
所以，，
令，因为函数在上单调递减，
所以，，C对D错.
故选：AC.
19．（23·24上·长春·一模）设，为正实数，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用基本不等式以及其变形以及不等式性质一一判断各选项，即可得答案.
【详解】对于A，，为正实数，则，故，
即，故，A错误；
对于B，由于，当且仅当即时取等号，
，当且仅当即时取等号，
故，B正确；
对于C，因为，为正实数，，故，
故，即，C正确；
对于D，因为，为正实数，则，
当且仅当时，等号成立，
故，即，D错误，
故选：BC
20．（22·23·福建·一模）已知正实数x，y满足，则（ ）
A．的最小值为B．的最小值为8
C．的最大值为D．没有最大值
【答案】AC
【分析】将代入，根据二次函数的性质即可判断A；根据及基本不等式可判断B；，根据基本不等式可判断C；，，根据基本不等式可判断D.
【详解】因为x，y为正实数，且，所以.
所以，
当时，的最小值为，故A正确；
，
当且仅当时等号成立，故B错误；
，
当且仅当时等号成立，
故，即的最大值为，故C正确；
，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以.
所以有最大值，故D错误.
故选:AC.
21．（22·23上·山西·一模）设，，，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最小值为9D．的最小值为
【答案】ABC
【分析】对于AD，利用基本不等式判断即可；对于B，利用不等式判断即可，对于C，利用基本不等式“1”的妙用判断即可.
【详解】对于A，因为，，，
则，当且仅当时取等号，故A正确；
对于B，因为，
故，当且仅当时取等号，即的最小值，故B正确；
对于C，，
当且仅当且，即，时取等号，
所以的最小值为9，故C正确；
对于D，，
故，当且仅当时取等号，即的最大值，故D错误．
故选：ABC.
22．（22·23下·江苏·一模）已知正数a，b满足，则（ ）
A．的最小值为B．的最小值为
C．的最小值为D．的最小值为
【答案】AC
【分析】利用基本不等式结合条件逐项分析即得.
【详解】对于A，，
当且仅当时成立，A正确；
对于B，，即，可得，
所以，当且仅当时成立，B错误；
对于C，，当且仅当时成立，C正确；
对于D，由，
当且仅当，即，等号成立，
所以，此时，不能同时取等号，所以D错误.
故选：AC.
三、填空题
23．（22·23·南开·一模）已知实数，则的最小值为 .
【答案】
【分析】运用基本不等式求和的最小值即可.
【详解】∵，，，
∴，当且仅当即时取等号.
故答案为：.
24．（22·23下·崇明·二模）已知正实数a、b满足，则的最小值等于 ．
【答案】4
【分析】直接利用基本不等式计算得到答案.
【详解】，当，即，时等号成立，
则的最小值为4．
故答案为：4．
25．（22·23·金山·二模）已知正实数满足,则的最小值为 .
【答案】
【分析】因为，展开利用基本不等式求解即可.
【详解】因为正实数满足,
所以,
当且仅当即时等号成立,
所以的最小值为.
故答案为:.
26．（22·23·沈阳·二模）已知，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】变形条件等式得，然后展开，利用基本不等式求最小值.
【详解】，
，
，
当且仅当，即时等号成立，
的最小值是.
故答案为：.
27．（22·23·安庆·三模）已知非负数满足，则的最小值是 .
【答案】4
【分析】根据题意，再构造等式利用基本不等式求解即可.
【详解】由，可得，当且仅当，即时取等号.
故答案为：4
28．（22·23下·邵阳·二模）若，，，则的最小值为 ．
【答案】8
【分析】由已知条件变形，然后利用基本不等式求解.
【详解】若，，，
则，当且仅当时取等号，
则的最小值为8.
故答案为：8.
29．（22·23·延边·二模）设，，若，则取最小值时a的值为 ．
【答案】/0.75
【分析】根据题意可得、，结合基本不等式中“1”的用法计算即可求解.
【详解】由，，得，
由，得，
∴，
当且仅当即，时等号成立.
故当，时取得最小值16.
故答案为：.
30．（22·23下·贵阳·一模）正实数a，b满足，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】由结合基本不等式求解即可.
【详解】解：由题得.
当且仅当时，取等号，所以的最小值为.
故答案为：
31．（22·23·太原·一模）已知，，，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由已知条件可得，求出，可得出，利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】由可得，则，由可得，
所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
32．（22·23·四川·一模）已知正数x，y满足，则的最小值是 .
【答案】
【分析】将转化为，然后利用基本不等式求解.
【详解】因为，所以，即，
因为正实数，所以，，
所以，
当且仅当等号成立.
故答案为：.
33．（22·23下·渭南·二模）设，若，则的最小值是 .
【答案】/
【分析】利用基本不等式中“1”的代换法求最小值．
【详解】∵，若，∴，
∴，
当且仅当，又，即，时等号成立，
故答案为：．
34．（22·23下·浙江·二模）已知正数x，y满足，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】由题设将目标式化为，应用基本不等式求最大值，注意取值条件.
【详解】，仅当时等号成立．
所以目标式最大值为.
故答案为：
35．（2023·辽阳·二模）若，则的值可以是 ．
【答案】5（答案不唯一，只要不小于即可）
【分析】由基本不等式“1”的代换求解即可.
【详解】因为，
所以．
因为，所以，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
则.
故答案为：5（答案不唯一，只要不小于即可）
36．（22·23上·重庆·一模）已知，则的最小值是 .
【答案】4
【分析】把化为，再利用“1”的妙用，结合基本不等式即可得到答案.
【详解】，
当且仅当即时，取等号，
故的最小值是4，
故答案为：.
37．（22·23·哈尔滨·一模）已知，且，则的最小值为 ．
【答案】2
【分析】根据基本不等式凑项法和“1”的巧用即可求得最值.
【详解】因为，所以，又，所以
则，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
38．（23·24上·长春·一模）已知，，，则的最小值为 ．
【答案】/4.5
【分析】根据条件消去，再利用“1”的变形技巧，结合均值不等式求解即可.
【详解】由可得，解得，
又，所以，
则
，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：
39．（23·24·鞍山·二模）设且，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】结合已知条件并由乘“1”法将变形为，再由基本不等式即可求解.
【详解】因为，所以，，
所以，
因为，
所以由基本不等式得，
当且仅当即时，等号成立，
综上所述：的最小值是.
故答案为：.
40．（22·23上·江西·一模）已知，，是正实数，且，则最小值为 .
【答案】
【分析】由于，，是正实数，且，所以先结合基本不等式“1”的代换求的最小值，得，则，再根据基本不等式凑项法求的最小值，即可求得的最小值.
【详解】解：，由于，，是正实数，且，
所以
，当且仅当，即，所以时等号成立，
则的最小值为，所以，
当且仅当，即时等号成立，
则最小值为.
故答案为：.