新高考数学重点专题二轮复习真题演练专题一6 三角函数与恒等变换小题（2份，原卷版+解析版）

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同角三角函数的基本关系
平方关系：
商数关系：
正弦的和差公式
，
余弦的和差公式
，
正切的和差公式
，
正弦的倍角公式
余弦的倍角公式
升幂公式：，
降幂公式：，
正切的倍角公式
推导公式
辅助角公式
，，其中，
模拟训练
一、单选题
1．（22·23下·威海·二模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式计算可得.
【详解】因为，
所以
.
故选：C
2．（22·23·沧州·三模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用已知条件求出，即可求出的值
【详解】由题意，
，
∴，
故选：D.
3．（22·23·成都·二模）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角恒等变换可得，然后利用同角关系式结合条件即得.
【详解】因为，将，代入化简，
可得，解得（舍去）或，
又因为，
所以，．
故选：B.
4．（23·24上·南京·一模）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知及诱导公式、商数关系可得，再应用差角正切公式求目标式函数值.
【详解】由，
所以，则.
故选：D
5．（23·24上·湖北·一模）已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据诱导公式及二倍角余弦公式求解.
【详解】因为，
所以，
故选：C
6．（23·24上·浙江·一模）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角的正余弦公式求解即得.
【详解】由，得，
而，则，，因此，
即有，所以.
故选：C
7．（22·23·福州·三模）已知，若，则cs2α的值为（ ）
A．B．C．0D．或0
【答案】B
【分析】根据二倍角公式以及弦切互化即可求解.
【详解】得，进而可得，
由于，所以 ，故，
又，
故选：B
8．（22·23上·绵阳·二模）将的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到的图象，若在上单调递增，则正数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角函数图象的变换规律求得的解析式，进而得的解析式，再利用三角函数的单调性求得的范围．
【详解】将的图象横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，
再向右平移个单位长度，得到的图象．
，
由，，
得，
∴的增区间为，
若在上单调递增，则，
∴且，∴且，
又，∴当时，，
故答案为：B．
9．（23·24·雅安·一模）已知函数（且），设T为函数的最小正周期，，若在区间有且只有三个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可确定为函数的最小正周期，结合求出，再根据在区间有且只有三个零点，结合余弦函数性质列出不等式，求得答案.
【详解】由题意知为函数的最小正周期，故，
由得，即，
由于，故，
在区间有且只有三个零点，故，
且由于在上使得的x的值依次为，
故，解得，即，
故选：D
10．（23·24上·吉林·一模）已知函数在区间上有且仅有4个极大值点，则正实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题设，令，结合正弦函数性质及极值点定义确定的范围，即可得答案.
【详解】由，结合题设，令，
故在有且仅有4个极大值点，
根据正弦函数图象及极值点定义知：，则.
故选：C
11．（22·23下·湖北·三模）已知函数在上单调递增，在上单调递减，若函数在上单调，则a的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简，然后根据题意得到，再根据函数在上单调和正弦函数的图像得到，解之即可.
【详解】因为，
由已知条件时取得最大值，有，即．
又由已知得，于是，
由于，故在．所以函数，
因为，所以，
因为在上单调，所以，
解得，故．
故选：D．
12．（22·23·张家口·三模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用正弦函数图象的对称性得，再根据诱导公式和二倍角的余弦公式可求出结果.
【详解】因为，
所以，即，，
所以.
故选：B
13．（23·24上·浙江·一模）设函数，且函数在恰好有5个零点，则正实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先化简为，当时，得到.若函数在恰好有5个零点，只需函数在区间上恰有5条对称轴．结合正弦函数的图象可建立，求解即可.
【详解】，
令，得，
因为函数在恰好有5个零点，
所以函数在上恰有5条对称轴．
当时，，
令，
则在上恰有5条对称轴，如图：
所以，解得．
故选：B．
14．（22·23·四川·一模）将函数的图象先向左平移个单位长度，再把所得函数图象的横、纵坐标都变为原来的倍，得到函数的图象，若函数在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据图象变换求出的解析式，利用周期缩小的范围，再从反面求解可得结果.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到，
再把所得函数图象的横、纵坐标都变为原来的倍，得到函数的图象，
即，因为函数在上没有零点，则，即，
即，则，由，得，得，
若函数在上有零点，则，，
即，又，则.当时，解得.
当时，解得.当时，解得，与矛盾.
综上，若函数在上有零点，则或，
则若没有零点，则或.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：利用三角函数平移法则求出函数的解析式，利用间接法求解的范围是解决本题的关键.
15．（23·24·雅安·一模）已知函数，设，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据诱导公式得到最大值，即得到关于的关系式，代入利用诱导公式即可.
【详解】，
，
，
，
，
，
.
故选：B.
二、多选题
16．（23·24上·郴州·一模）已知函数向左平移个单位长度，得到函数的图像，若是偶函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．点是图像的一个对称中心
C．在的值域为
D．函数在上单调递增
【答案】BC
【分析】A选项，根据为偶函数及，得到，进而得到A错误；B选项，计算出，B正确；C选项，由得到，从而结合图象求出值域；D选项，由得到，结合图象得到答案.
【详解】由题意得，，
解得，
因为，所以只有当，满足题意，
A选项，，故最小正周期，A错误；
B选项，，故，
故点是图像的一个对称中心，B正确；
C选项，，则，故，C正确；
D选项，，则，由于在上不单调，
故在上不单调递增，D错误.
故选：BC
17．（22·23·三明·三模）已知函数的图象与直线的相邻两个交点的距离为，且对于任意，不等式恒成立，则（ ）
A．
B．的取值范围为
C．在区间上单调递增
D．若实数使得方程在恰有，，三个实数根，则的最小值为
【答案】AC
【分析】首先利用二倍角公式以及两角和的正弦公式对函数进行化简，根据图象与直线的相邻两个交点的距离为判断；然后依据正弦型函数的图象和性质，用整体代换思想，依次对B、C进行判断，D选项结合图象，找到三个根之间的关系，再利用的范围可得最小值．
【详解】由题意，
，，
图象与直线相邻两个交点的距离为，
最小正周期，，A正确．
此时，，
当时，，又，
，，
对，不等式 恒成立，
，解得，故B错误．
对于，当时，，
，，．
所以，在此区间上单调递增，故C正确．
对于，令，则当时，，作出在上的图象，如图所示，
设与图象的交点横坐标从左至右依次为，，，
由图可知：，关于对称，，关于对称，
故，，．
又，，，
所以，
由可得，，
即的最小值为，D错误．
故选：AC．
18．（22·23·唐山·二模）将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的（），纵坐标不变，得到函数的图象，若在上有且仅有两个不同实数满足，则的取值可以是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】ABC
【分析】由图象变换得到解析式，再根据三角函数的有界性，将条件转化为在上最值的取值情况，将看作整体角，根据函数图象得到不等关系求解即可.
【详解】由题意得，
,
由，得或，
由已知在上有且仅有两个不同实数满足，
则在上只取得一次最大值和一次最小值，
，令，则，
由图象可知，，解得，
即的取值范围是，
故选：ABC．

19．（22·23·吕梁·二模）若函数（）的最小正周期为，则（ ）
A．B．在上单调递减
C．在内有5个零点D．在上的值域为
【答案】BC
【分析】先利用三角恒等变换公式化简函数解析式，根据其最小正周期求出ω的值，从而确定函数解析式，代值计算即可判断A；根据正弦型函数的单调性可判断B；根据正弦函数图象即可判断CD.
【详解】
．
因为函数的最小正周期为，所以，故.
对于A，，故A错误；
对于B，当时，，此时单调递减，故B正确；
对于C，，
∴，，
当时，满足要求的有，，，，，共有5个零点，故C正确；
对于D，当时，，则，故，∴D错误．
故选：BC
20．（23·24·鞍山·二模）已知，则（ ）
A．，使得
B．若，则
C．若，则
D．若，，则的最大值为
【答案】BD
【分析】根据方程无解，可判定A错误；根据题意求得，结合两角差的正弦公式，可判定B正确；结合两角和的正弦公式，求得，利用余弦的倍角公式，可判定C错误；化简，结合基本不等式，可判定D正确.
【详解】对于A中，若，可得
因为，可得，解得，
又因为时，，所以方程无解，所以A错误；
对于B中，因为，可得，所以，
又因为，所以，
则，所以B正确；
对于C中，由，
则，所以C错误；
对于D中，因为，可得，且，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最大值为，所以D正确.
故选：BD.
21．（23·24上·宁波·一模）函数在区间上为单调函数，且图象关于直线对称，则（ ）
A．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于y轴对称
B．函数在上单调递减
C．若函数在区间上没有最小值，则实数的取值范围是
D．若函数在区间上有且仅有2个零点，则实数a的取值范围是
【答案】AB
【分析】根据函数单调性及对称轴求出函数解析式，由函数的平移判断A，根据单调性判断B，由函数的图象与性质可判断CD.
【详解】由题意且，
可得，，
故当时，，.
对A，函数的图象向右平移个单位长度可得，故函数图象关于y轴对称，故A正确；
对B，当时，，所以函数单调递减，故B正确；
对C，当时，，函数在区间上没有最小值，则需，即，故C错误；
对D，由C，函数在区间上有且仅有2个零点，则，即
，故D错误.
故选：AB
22．（22·23·汕头·三模）已知函数，且所有的正零点构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向左平移个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数的图象，则下列关于函数的结论正确的是（ ）
A．函数是偶函数
B．的图象关于点对称
C．在上是增函数
D．当时，函数的值域是
【答案】BD
【分析】化简可得，进而根据已知求出，.根据图象变换可得.求出即可判断A项；代入检验，结合正弦函数的性质，即可判断B、C、D.
【详解】因为.
由可得，.
由已知可得，，所以，.
将函数的图象沿轴向左平移个单位，
可得的图象，
横坐标伸长到原来的2倍得到函数的的图象，所以.
对于A项，因为，所以函数不是偶函数，故A项错误；
对于B项，因为，所以的图象关于点对称，故B项正确；
对于C项，因为，所以.
因为函数在上单调递增，在上单调递减，故C项错误；
对于D项，因为，所以.
因为函数在上单调递增，
所以，
所以，，故D项正确.
故选：BD.
23．（22·23下·长沙·三模）已知函数（，），若函数的部分图象如图所示，则关于函数下列结论正确的是（ ）

A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点对称
C．函数在区间上单调递增
D．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到
【答案】BC
【分析】根据函数图象，求解参数，代入的表达式中，利用正弦型函数的图象及性质，依次判断各项正误.
【详解】由题意结合函数图象可得，解得，
故，
由，所以，
又，且函数在处单调递增，所以，
所以，，
对于A，因为，
所以函数的图象不关于直线对称，故A错误；
对于B，因为，
所以点是函数的图象的对称中心，故B正确；
对于C，由，得，
所以函数在区间上单调递增，故C正确；
对于D，将函数的图象向左平移个单位长度，
得，故D错误.
故选：BC.
24．（22·23·菏泽·三模）已知函数，把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若时，方程有实根，则实数的取值可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式，利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，由可得出，求出函数在上的值域，即可得出实数的不等式，解之即可.
【详解】因为
，
将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
则，
当时，，则，
由得，可得，所以，，解得，
故选：CD.
25．（22·23·张家口·三模）关于函数，下列选项正确的有（ ）
A．为偶函数
B．在区间上单调递增
C．的最小值为2
D．在区间上有两个零点
【答案】ABD
【分析】根据偶函数的定义判断可得A正确；利用导数判断可得B正确；根据可得C不正确；分段解方程可得D正确.
【详解】由，得，，得，，
所以的定义域为，关于原点对称，
因为，
所以为偶函数，故A正确；
当时，，，
因为，所以，，，所以，
所以在区间上单调递增，故B正确；
因为，故C不正确；
当时，，，
令，得，无解；
当时，函数无意义，
当时，，，
令，得，得，无解，
当时，函数无意义，
当时，，，
令，得，得，得，
当时，函数无意义，
当，，，
令，得得，无解，
当时，函数无意义，
当时，，，
令，得，得，得，
综上所述：在区间上有两个零点和.故D正确.
故选：ABD
26．（22·23·曲靖·三模）已知函数，以下说法中，正确的是（ ）
A．函数关于点对称
B．函数在上单调递增
C．当时，的取值范围为
D．将函数的图像向左平移个单位长度，所得图像的解析式为
【答案】BCD
【分析】利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可.
【详解】因为，
对于A，由，即，所以对称中心为，
令，得到一个对称中心为，所以A错误；
对于B，当时，，由的图像与性质知，在上单调递增，所以B正确；
对于C，当时，，所以，
所以，所以C正确；
对于D，将函数的图像向右平移个单位长度，得到图像对应的解析式为，所以D正确.
故选：BCD.
27．（22·23·梅州·三模）函数的部分图象如图所示，若，，，，恒成立，则实数的值可以为（ ）

A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】首先根据图象确定，根据周期的范围确定的范围，再结合图象上的两个特殊的值，根据三角函数的性质确定函数的单调递增区间，最后根据子集关系，列式求的取值.
【详解】
由题图知，所以，
，①，②
两式相减得，即.
因为，所以，所以.
因为，所以，所以.
由，得，
当时，函数的单调递增区间是，
因为，，，，恒成立，
所以，所以.
故选：AB
28．（22·23下·大庆·二模）（多选）函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

A．函数的周期是
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在上单调递减
D．该函数的图象可由的图象向左平行移动个单位长度得到
【答案】AC
【分析】观察图象可得函数的最小值，周期，且，由此可求函数解析式，根据三角函数对称性、单调递减区间和左右平移知识即可一一判断．
【详解】观察图象可得函数，，的最小值为，故
设函数的最小正周期为，由图象知，
则，故，故A正确；
由可得，又，
所以，
所以，
因为，故B错误；
由，可得，，
所以的单调递减区间为，
取知，函数在上单调递减，
，故C正确；
的图像向左平移个单位后得到，故D错误．
故选：AC．
29．（23·24上·汕头·一模）已知函数的最小正周期是，把它图象向右平移个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数，下列正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称B．函数的图象关于点对称
C．函数在区间上单调递减D．函数在上有3个零点
【答案】AC
【分析】根据周期及奇函数的性质求出，再利用正弦函数性质逐项判断即可.
【详解】因为函数的最小正周期是，所以，
则，
把它图象向右平移个单位后得到的图象所对应的函数为，
因为为奇函数，所以，，即，，
因为，所以，，所以，
对于A，，所以函数的图象关于直线对称，故A正确；
对于B，，
所以函数的图象不关于点对称，故B错误；
对于C，当时，，
函数在上单调递减，
所以函数在区间上单调递减，故C正确；
对于D，由，得，即，
令，解得，又，所以或，
所以函数在上有2个零点，分别为，，故D错误.
故选：AC.
30．（22·23·秦皇岛·二模）已知函数是在区间上的单调减函数，其图象关于直线对称，且，则的值可以是（ ）
A．4B．12C．2D．8
【答案】AB
【分析】根据函数图象关于直线对称，函数在取得最值，可得；求出的范围，根据函数在区间上是单调减函数，列出不等式关系，继而可求出的取值范围，再结合条件，即可确定的值.
【详解】因为函数的图象关于直线对称，
所以，所以，
根据，则，
因为是在区间上的单调减函数，
所以
，
因为，所以或，
当时，，
当时，；
由于是在区间上的单调减函数，
且，
所以，
所以，，
，
根据或，
可得，或.
故选:
31．（22·23上·广州·一模）已知是的导函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．将图象上所有的点向右平移个单位长度可得的图象
B．与的图象关于直线对称
C．与有相同的最大值
D．当时，与都在区间上单调递增
【答案】AC
【分析】首先求得的导函数，然后根据三角函数图像平移验证A选项的正误，根据函数的对称性验证B选项的正误，根据求三角函数的值域验证C选项的正误，根据求解三角函数的单调性验证D选项的正误.
【详解】，.
将的图像向右平移个单位得的图像，故A选项正确；
已知的图像与的图像关于直线对称，
，故B选项错误；
，其中，最大值为，
，其中，最大值为，故C选项正确；
当时，，，
当时，在上单调递增，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递减，
综上可知和在上单调性相同，但可能递增也可能递减，故D选项错误.
故选：AC
32．（22·23下·绍兴·二模）声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.我们听到的声音函数是，记，则下列结论中正确的为（ ）
A．在上是增函数B．的最大值为
C．的最小正周期为D．
【答案】CD
【分析】对AB可利用导函数求函数的单调区间和最值；
对C可用周期函数的定义去得到；
对D，可利用不等式，放缩得到.
【详解】对于AB选项：
设，则，
由得，得，,
由得，得，
故在上不是单调递增，A错误，
函数在，时，取得最大值为，故B错误；
对于C选项：
因的最小正周期为，故的最小正周期，
所以，故的最小正周期为，C正确；
对于D选项：
设，则，
所以在上单调递增，
所以当时，，当时，，
即当时，， 当时，，故，
，故D正确；
故选：CD.
33．（22·23·云南·二模）若，则（ ）
A．是偶函数B．在区间上单调递增
C．的最小正周期为D．在区间上的最小值为1
【答案】AD
【分析】选项A：根据定义判断；选项B：，化简求解；选项C：根据判断；选项D：分区间讨论；根据三角函数性质求解得最小值.
【详解】选项A：因为,，所以是偶函数，A正确；
选项B：，
又，所以在区间上单调递减，故B错误；
选项C：根据，故C错误；
选项D：分区间讨论
，
又，根据三角函数图像性质，当时，函数单调递增，
当时，函数单调递减，故
同理
根据三角函数图像性质得：当时，；故选项D正确；
故选：AD.
34．（22·23·临汾·二模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．在区间上单调递增
B．的最小正周期为
C．的值域为
D．的图象可以由函数的图象，先向左平移个单位，再向上平移个单位得到
【答案】ABD
【分析】对于A：整理可得，结合正弦函数单调性分析判断；对于B、D：整理可得，进而可求周期判断选项B，根据图形变换分析运算，可判断选项D；对于C：，换元，可得，
构建，，利用导数求其最值.
【详解】对于A：由题意可得：，
∵，则，且在上单调递增，
∴在区间上单调递增，故A正确；
对于B、D：由题意可得：
，
故的最小正周期为，故B正确；
函数的图象，先向左平移个单位，得到，
再向上平移个单位，得到，故D正确；
对于C：由题意可得：
，
令，则，
可得，
构建，，则，
由于，
令，解得；令，解得或；
故在上单调递增，在上单调递减，
且，
显然，
故在上的值域为，
所以的值域为，故C错误；
故选：ABD.
35．（22·23·保定·二模）已知函数，则（ ）
A．是的周期
B．的图象有对称中心，没有对称轴
C．当时，
D．对任意，在上单调
【答案】ACD
【分析】对于A选项：根据函数周期的定义令，即可判断；对于B选项：根据函数对称性的定义分别令和，即可判断；对于C选项：根据正、余弦函数的图象和性质得到，再结合正切函数的单调性得到，最后利用三角恒等变换化简式子，即可判断；对于D选项：根据A选项函数的周期得到只需考虑，即可，再结合复合函数单调性，即可判断.
【详解】对于A选项：因为，
则是的周期，所以A选项正确；
对于B选项：因为，
且，
所以，，
则的图象关于点成中心对称，关于直线成轴对称，所以B选项错误；
对于C选项：当时，易知，，
且，即，
则，
所以，
则，所以C选项正确；
对于D选项：由A选项知：是的周期，所以只需考虑，即可，
当时，，所以和均单调递增，所以单调递增；
当时，，所以和均单调递减，所以单调递减，所以D选项正确.
故选：ACD．
【点睛】方法点睛：（1）函数奇偶性、周期性和对称性的判断常用定义去验证；
（2）要证明周期函数的单调性往往只需证明函数的一个周期的单调性，复杂函数的单调性判断优先尝试利用复合函数的“同增异减”.
三、填空题
36．（22·23·济宁·三模）已知，则 .
【答案】/
【分析】由辅助角公式和二倍角的余弦公式化简即可得出答案.
【详解】因为，
则.
故答案为：.
37．（22·23下·温州·二模）已知，则 .
【答案】
【分析】利用同角三角函数的关系化简为齐次式，再代入，可得答案.
【详解】因为，
所以、.
故答案为：
38．（23·24上·汕头·一模）已知，则 .
【答案】
【分析】利用弦切互化和两角和的正切公式求解即可.
【详解】因为，所以，所以，
所以，即，所以.
故答案为：.
39．（22·23·黄浦·三模）已知函数的图像在处的切线与在处的切线相互垂直，那么的最小值是 .
【答案】
【分析】求出，根据导数的几何意义得到，根据余弦函数的最值可得且，或且，分两种情况求出，然后求出其最小值即可.
【详解】因为，
所以，
依题意可得，
所以,
所以且，
或且，
当且时，
，，，，
所以，，，
所以，，，
所以当或时，取得最小值.
当且时，
，，，，
所以，，，
所以，，，
所以当或时，取得最小值.
综上所述：的最小值是.
故答案为：.
40．（22·23下·镇江·三模）写出一个同时具有下列性质①②③，且定义域为实数集的函数 .
①最小正周期为2；②；③无零点.
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据周期,对称性,零点等性质判断写出符合条件的一个函数即可.
【详解】的定义域为，
最小正周期为，
因为，所以，
所以无零点，
综上，符合题意
故答案为：.