考点19 利用导数研究恒(能)成立问题（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）-2025高考数学一轮精讲讲练（新高考版）

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恒(能)成立问题是高考的常考考点，其中不等式的恒(能)成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考查学生分析问题、解决问题的能力，一般作为压轴题出现，试题难度略大．
【核心题型】
题型一 分离参数求参数范围
分离参数法解决恒(能)成立问题的策略
(1)分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；
a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min；
a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；
a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max.
【例题1】（2024·全国·模拟预测）若关于的不等式在内有解，则正实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将由不等式转化为，令，得到，令函数，问题转化为存在，使得，利用导数求得函数的单调性，结合，得到且，即可求解.
【详解】由不等式，即，
令，即有，
又由，所以函数在上单调递增，
因为，所以，
令，问题转化为存在，使得，
因为，令，可得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又因为，所以当时，，
若存在，使得成立，只需且，
解得，因为，所以.
故选：A.
【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围；
2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
结论拓展：与和相关的常见同构模型
①，构造函数或；
②，构造函数或；
③，构造函数或.
【变式1】（2024·四川宜宾·二模）已知不等式有解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分离参数转化为，构造函数，利用导数法求出，即为所求.
【详解】不等式有解，即，，只需要，
令，
，，
令，，
，所以函数在上单调递增，
又，，所以存在，使得，即，
，，即；，，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
，又由，可得，
.
.
故选：A.
【点睛】思路点睛：由题意问题转化为，，构造函数，利用导数求出的最小值，即只要.
【变式2】（2024·上海普陀·二模）已知，若关于的不等式的解集中有且仅有一个负整数，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】原式可化为，然后研究函数的图象，只需当时，在下方时，只有一个负整数即可，构造不等式组求解．
【详解】原不等式可化为：，
令，，显然时，，单调递减；时，，单调递增，
所以，且时，，,
同一坐标系中，作出与（过定点的图象：
据图可知，满足题意的整数解为，此时应满足，
解得．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：本题考查不等式解问题，关键是将不等式适当变形，转化为两个函数交点问题.
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若不等式在区间上有解，求实数a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2)．
【分析】（1）求出，分类讨论确定和的解得单调性；
（2）用分离参数法转化问题为不等式在区间上有解，引入函数，求出的最小值即可得．
【详解】（1）由题意知函数的定义域为，
而，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得，
由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）因为不等式在区间上有解，
所以在区间上有解，此时，
即在区间上有解，
令，则．
令，则，
所以函数在上单调递增，所以．
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
综上可知，实数a的取值范围是
题型二 等价转化求参数范围
根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解．
【例题2】（2023·河南开封·模拟预测）若存在，使得关于的不等式成立，则实数的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】由两边取对数可得，令则不等式可转化为，即，故根据题意可得求的最小值即可，令，通过求导可得的最小值即可
【详解】由两边取对数可得①，
令则，因为，所以，
则①可转化得，
因为，
因为存在，使得关于的不等式成立，
所以存在，成立，故求的最小值即可，
令
，
令
，
令，
，
所以在上单调递减，所以，
，所以在上单调递减，
所以
在上单调递减，，
，所以实数的最小值为
故选：D
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别
【变式1】（2023·贵州·二模）已知函数，，对任意，，都有不等式成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】将问题转化为，利用导数求在上的最小值、在上的最小值，即可得结果.
【详解】对任意，，都有不等式成立，
，，，则在区间上单调递增，
∴，
，，，则在上单调递增，
，，则在上单调递减，
，，故，
综上，.
故选：C
【变式2】（2024·吉林延边·一模）若对任意，存在实数，使得关于x的不等式成立，则实数的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据题意分析可知，构建，利用导数判断其单调性和最值，结合恒成立问题分析求解.
【详解】因为，，
可得，
构建，则，
构建，
因为在内单调递减，
可知在内单调递减，且，
当时，，即；
当时，，即；
可知在上单调递增，在上单调递减，则，
可得，可得，
所以实数的最小值为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：利用导数解决不等式存在性问题的方法技巧
根据条件将问题转化为某函数在该区间上最大(小)值满足的不等式成立问题，进而用导数求该函数在该区间上的最值问题，最后构建不等式求解
【变式3】（2023·海南海口·一模）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)已知，若存在，不等式成立，求实数的最大值..
【详解】（1）函数的定义域为，
所以，∴令，则，
∴函数在上单调递增，在上单调递减.
又∵，∴当时，，∴，
∴函数在，上单调递减.
（2）∵，且，，∴，
∴，∴，∴.
∵，由（1）知，函数在上单调递减，
∴只需在上能成立，
∴两边同时取自然对数，得，即在上能成立.
令，则，
∵当时，，∴函数在上单调递增，
当时，，∴函数在上单调递减，
∴，∴，
又，∴，
∴实数的最大值为.
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键点在于由的单调性将不等式转化为在上能成立，令，对求导，可求出，即可求出实数的最大值
题型三 双变量的恒(能)成立问题
“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价转换有
(1)∀x1，x2∈D，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)max.
(2)∀x1∈D1，∃x2∈D2，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)min.
(3)∃x1∈D1，∀x2∈D2，f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max.
【例题3】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知函数，函数．
(1)若直线与函数交于点A，直线与函数交于点B，且函数在点A处的切线与函数在点B处的切线相互平行，求a的取值范围；
(2)函数在其定义域内有两个不同的极值点，，且，存在实数使得不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)a的取值范围为
(2)的取值范围为.
【分析】（1）根据导数的几何意义可将问题转化为在上有解；利用导数判断函数单调性，求其值域，列不等式求的范围；
（2）根据极值点的定义可求得；将恒成立的不等式转化为，令，化简可得；令，求导后可知当时，不等式恒成立，由此可得结果.
【详解】（1）因为，，
所以，，
所以，；
因为在处的切线与在处的切线相互平行，
所以，即在上有解，
所以在上有解，
设，则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以函数的值域为，
所以，
所以，
所以a的取值范围为；
（2）因为，，
所以，
所以；
因为是的两个极值点，
所以，，所以；
因为，，
则由得：，
所以，即，
所以；
令，则；
令，
则；
①当时，恒成立，在上单调递增，
所以，即恒成立，满足题意；
②当时，若，则，所以在上单调递减，
此时，即，不合题意；
所以由不等式恒成立，可得，又，
所以，
所以的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义、利用导数求解恒成立问题；本题求解恒成立问题的关键是能够根据极值点定义和恒成立的不等式将变量消除，从而得到新的恒成立的不等式，通过构造函数的方式得到结果
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)证明：．
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）方法一：构造函数，利用导数可求得单调性和最值，从而得到结论；
方法二：构造函数，利用导数可证得，左右同时取对数可得，由此可得到结论；
（2）方法一：利用特殊值可求得，进而通过放缩法和分析法知只需证得即可；分别在和的情况下，通过构造函数的方式证得不等式恒成立，从而得到的范围；
方法二：分离变量后，构造函数，利用导数可求得的单调性，从而得到，进而得到的范围.
【详解】（1）方法一：设，
则定义域为，；
与均为增函数，
在上单调递增，又，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，即；
方法二：设，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，即，
左右同时取对数得：，即，
，即．
（2）方法一：取得：，即，，
，，，下面证明恒成立，
即证明恒成立；
①当时，由（1）知：，只需证，
即证，即证，只需证，
即证；
令，则，
令，则，
在上单调递增，，，
即当时，，
当时，恒成立；
②当时，由（1）知：，只需证；
设，则，
在上单调递增，，即，
即当时，恒成立；
综上所述：当时，恒成立，
实数的取值范围为；
方法二：由已知得：恒成立；
设，
则，
令
当时，，，在上单调递减；
当时，由（1）知：，
令，则，
在上单调递减，，
，
，，
在上单调递增，
，，即实数的取值范围为．
【点睛】思路点睛：本题重点考查导数中的恒成立问题，第二问方法一的基本思路为：利用特殊化思想求出参数的取值范围（必要条件），然后再证明这个必要条件就是充要条件．证明中用到分类讨论思想和转化与化归思想（三次转化为加强不等式，第一次利用放缩转化为加强不等式，第二次利用放缩转化为加强不等式，第三次利用放缩转化为加强不等式）．
【变式2】（2024·山西晋中·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数.
(1)若对任意的恒成立，求实数的取值范围；
(2)设的导数为，若，求证：关于的方程在区间上有实数解.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，转化为对于任意上恒成立，令，利用导数求得函数的单调性，再由，令，求得单调性与最大值，即可求解.
（2）由题意，令，得到，求得在上的单调递增，再由，令，求得递减，得到，再由，令，得到在递增，得到，结合零点存在定理知，即可得证.
【详解】（1）解：因为，
则可化为对于任意上恒成立，
即对于任意上恒成立，
令，可得，所以在上单调递增，
则，即，令，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，当时，取得最大值，最大值为，
所以，即实数的取值范围为.
（2）解：因为，可得，
令，其中，
可得，所以在上的单调递增，
因为且，
令，可得，所以在递减，
所以，所以，所以，
又由且，
令，可得，
所以在递增，所以，即，所以，
所以，
由零点存在定理知，方程在区间上有实数解.
【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
结论拓展：与和相关的常见同构模型
①，构造函数或；
②，构造函数或；
③，构造函数或
【变式3】（2024·辽宁·一模）已知函数，（其中a，b为实数，且）
(1)当时，恒成立，求b；
(2)当时，函数有两个不同的零点，求a的最大整数值．（参考数据：）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，利用导数分类讨论的最大值；
（2）分离常数转化为关于的方程有两个不同的解，设，利用导数求函数的极大值，则，
当时，设，验证有两解即可.
【详解】（1）设，则其定义域为，
当时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，对于恒成立，
即恒成立，所以合理．
当时，令，即，
解得（舍），
当时，，单调递增；
又有，所以当时，，不合题意．
当时，令，即，
解得（舍），
当时，，单调递减；
又有，所以当时，，不合题意．
综上所述，．
（2）由题意，方程有两个不同的解，
即关于的方程有两个不同的解，
设，则，
设，由可知，
所以在上单调递减，
又，，
所以存在使得，即，所以，
所以当时，，即，进而函数单调递增；
当时，，即，进而函数单调递减，
所以函数的极大值为
要使得关于的方程有两个不同的解，则，
当时，设，
则，可知在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
所以有两个不同的零点，符合题意，
所以的最大整数值为．
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数．若存在，使得成立，则实数a的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将问题转化为“直线与函数的图象有交点”，然后利用导数分析的单调性以及取值，由此求解出的最大值.
【详解】存在，使得成立，
即在上有解，即在上有解，
所以直线与函数的图象有交点，
又，令，则，
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以在上单调递增，
所以，
所以要使直线与函数的图象有交点，只需，
所以的最大值是，
故选：A．
2．（2023·全国·模拟预测）定义在上的函数的导函数为，对任意，，都有恒成立，则下列结论成立的是（ ）
A．当为偶数时，在上为增函数
B．当为偶数时，存在使得
C．当为奇数时，在上为增函数
D．当为奇数时，存在使得
【答案】C
【分析】令，分为奇数或偶数判断的符号得出的单调性，然后分，判断的符号，即可得解．
【详解】因为对任意，，都有，
所以，所以，
令，
当为奇数时，则，
在上为增函数，
∵，∴当时，，则；
当时，，则，∴恒大于0；
当为偶数时，当时，，
则在上单调递增，且，则；
当时，，则在上单调递减，
且，，∴恒大于0，
故选：C．
3．（2024·河南·模拟预测）已知函数的图象经过两点，且的图象在处的切线互相垂直，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】构建，利用导数判断原函数单调性和值域，结合题意分析可知，运算求解即可.
【详解】因为，则，
构建，则，
当时，；当时，；
可知在上单调递增，在上单调递减，
且，当趋近于时，趋近于，
可知的值域为，
由题意可知：存在，使得，
则，即，解得，
所以的取值范围是.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：求的值域为，根据导数的几何意义分析可知存在，使得，结合值域分析求解即可.
二、多选题
4．（2023·广东广州·一模）已知函数，点分别在函数的的图像上，为坐标原点，则下列命题正确的是（ ）
A．若关于的方程在上无解，则
B．存在关于直线对称
C．若存在关于轴对称，则
D．若存在满足，则
【答案】BCD
【分析】根据给定条件，求出方程在上有解的a范围判断A；设出点的坐标，由方程有解判断B；设出点的坐标，建立函数关系，求出函数的值域判断CD作答.
【详解】函数，
对于A，方程在上有解，
显然函数在上单调递增，则有，解得，
因此关于的方程在上无解，则或，A错误；
对于B，设点，依题意，点Q关于直线对称点在函数的图象上，
即关于t的方程有解，即有解，此时，令函数，
，即函数在上单调递增，，
而函数在上都单调递增，它们的取值集合分别为，
因此函数的值域为，又，于是在有解，
所以存在关于直线对称，B正确；
对于C，设点，则点P关于y轴对称点在函数的图象上，
即，令，，
即函数在上单调递减，，又，恒有，因此，C正确；
对于D，令，由得，
显然，且，，令，，
当时，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
因此，即有，，
而，当且仅当时取等号，所以，即，D正确.
故选：BCD
5．（2023·山东泰安·模拟预测）已知函数，，则下列选项中正确的有（ ）
A．当时，函数和在处的切线互相垂直
B．若函数在内存在单调递减区间，则
C．函数在内仅有一个零点
D．若存在，使得成立，则
【答案】ACD
【分析】对函数与求导，根据导数的几何意义分别计算与，再根据直线垂直的斜率公式计算并判断选项A，将条件转化为在内有解，参变分离后，求解的最小值即可得的取值范围，判断选项B，求解导函数，通过构造新函数，求导判断单调性，再结合零点存在定理判断选项C，参变分离将成立转化为，通过构造两次新函数，求解导函数并判断单调性从而判断得，进而得的取值范围，判断选项D.
【详解】对于选项A，当时，，
所以，由，得到．
因为，
所以函数和在处的切线互相垂直，故A正确；
对于选项B，因为，
若函数在内存在单调递减区间，
可知在内有解，
则在时能成立，
所以，当时，
，即，故B不正确；
对于选项C，当时，，
，此时函数无零点；
当时，，
令，其中，
则，所以函数在上单调递减，
可得，因为对任意的，，
可得，所以函数在上为减函数，
由于，，
所以函数在上只有一个零点．
综上函数在上只有一个零点，故C正确；
对于选项D，由，得，
令，，
则，
令，则，
当时，，所以函数在上单调递增，
当时，，
此时，则函数在上单调递增．
当时，，则函数在上单调递减，
因为，，
所以存在，使得，
变形可得，
当时，，当时，．
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
，其中，
令函数，，因为，
所以在上单调递减，
则，故，
所以成立，故D正确．
故选：ACD．
【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
三、填空题
6．（2023·云南·三模）设函数，若存在唯一整数，使得，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题意转化为存在唯一的整数使得在直线的下方，求得，利用导数求得函数的单调区间和最小值，以及和，根据直线恒经过原点，结合图象，列出方程组，即可求解.
【详解】由函数，设和
因为存在唯一整数，使得，
所以存在唯一的整数使得在直线的下方，如图所示，
因为，当时，；当时，，
所以在上单调递减，在单调递增，
当时，取得极小值，也为最小值，
且当时，，当时，，
又由直线恒经过原点，斜率为（其中），
所以且，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：

7．（2023·辽宁锦州·模拟预测）若关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将不等式变形为，构造函数，求导得其单调性，进而结合函数的图象，即可得不等式求解.
【详解】，不等式可化为，
令，，由解得，由解得，在为增函数，在为减函数，
令，则的图象恒过，若解集恰有个整数，
当时，有无数个整数解，不满足题意；
当时， 如图，则两个整数为1和2，故2满足不等式且3不满足不等式，即且，解得，
故答案为：

8．（2024·浙江·模拟预测）已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是 .
【答案】/
【分析】参变分离可得有解，令，，利用导数求出，即可求出参数的取值范围，从而得解.
【详解】由得，显然，
所以有解，
令，则，
令，则，所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
所以，则，即的最小值是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是参变分离得到有解，再构造函数，利用导数求出.
四、解答题
9．（2023·四川成都·一模）已知函数，.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)当时，设函数，求证：有解.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）当时，求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）化简得出函数的解析式，利用可证得结论成立.
【详解】（1）解：当时，，则，
，则，
故当时，在处的切线方程为，即.
（2）证明：当时，，，
，
因为，故不等式有解.
10．（2024·湖南娄底·一模）已知函数，其中为自然对数的底数.
(1)求函数的单调区间；
(2)证明：；
(3)设，若存在实数使得，求的最大值.
【答案】(1)增区间为，减区间为；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）求出，判断导数正负得到函数的单调区间；
（2）利用分析法转化要证结论，要证，即证，令，即证，利用导数判断单调性，求出最大值即可得证；
（3），分别讨论当时和时是否存在使得，即可求解.
【详解】（1）的定义域为，
所以当时，；当时，.
所以的增区间为，减区间为.
（2）要证，即证，令，即证，
，令，则，所以在上单调递减，又，
当时，；当时，.
在上单调递增，在上单调递减，
，所以，即得证.
（3）当时，，即存在满足题意；
当时，由（2）知，
，
此时恒成立，不满足题意；
综上，所以的最大值为.
11．（2024·福建泉州·模拟预测）（1）已知，求的最大值与最小值；
（2）若关于x的不等式存在唯一的整数解，求实数a的取值范围.
【答案】（1）最大值，最小值1；（2）
【分析】（1）求导，利用导数研究函数的单调性，结合区间端点函数值比较大小即可求解最值；
（2）解法一：把不等式化为，由的单调性结合端点函数值分析求解即可；
解法二：令，求导，对a进行分类讨论，判断函数单调性及最大值，从而求得a的范围，结合有唯一整数解，进一步求出a的取值范围.
【详解】（1）因为，，所以，
令，解得，，的变化情况如下表所示．
所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减.
当时，有极大值，也是的最大值.
又因为，，而，
所以，所以为的最小值.
（2）解法一：因为，所以不等式可化为，
由（1）可知在区间上单调递增，在区间上单调递减.
因为的最大值，，，，，
所以，时，最大，所以不等式，
即存在唯一的整数解只能为1，所以，所以a的取值范围为.
解法二：令，由题意可知有唯一整数解，
，当时，，所以在单调递增，
而，所以，与题意矛盾；
当时，由可得或（舍去），
当时，，时，，
所以在单调递增，在单调递减，
所以时，取最大值为，
由题意可知，解得，
因为，所以当即时，
由有唯一整数解知，解得，
若，由在单调递增知，矛盾
所以，由在单调递减可知，
所以符合题意；
当时，，，
由在单调递减可知，，不符合题意；
综上所述，a的取值范围为.
综合提升练
一、单选题
1．（22-23高三下·江西赣州·阶段练习）设函数的导函数为，若在其定义域内存在，使得，则称为“有源”函数.已知是“有源”函数，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据“有源”函数概念，转化为函数有解问题，利用导函数求出函数值域即可得到参数a的范围
【详解】∵，∴，
由是“有源”函数定义知，存在，使得，即有解，
记，所以a的取值范围是就是函数的值域，
则，
当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
所以，所以，
即a的取值范围是.
故选：A
2．（2023·四川南充·三模）已知函数，，，使（为常数）成立，则常数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】存在性问题转化为在上能成立，利用导数求的最大值即可得解.
【详解】在上为增函数，
由知，，
令，则，
当时，，
即在上单调递增，
所以，即，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
不妨设，则，，
可化为，
即，
令，
则，
， 使能成立，
在上能成立，
即在上能成立，
，，
令，，
则，令，
则，当时，，
故在上单调递增，所以，
故，在上单调递增，
，
.
故选：D
【点睛】关键点点睛：根据题意转化为存在，使能成立是其一，其二需要构造函数后分离参数转化为在上能成立，再次构造函数，多次利用导数求其最大值.
3．（2023·河北石家庄·模拟预测）已知，函数.若存在，使得，则当取最大值时的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出，由结合参变量分离法可得出，可求得的最大值，将的最大值代入函数的解析式，利用二次函数的基本性质可求得的最小值.
【详解】因为，所以，
依题意，
因为存在，使得，
所以，即有解，
因为，则，
所以有解，所以，
因为，所以，所以，
所以的最大值为.
此时，当且仅当时，取等号，
所以的最小值为，
故选：C.
4．（2023·四川成都·模拟预测）若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】题设中的不等式等价于，令，结合导数可得该函数的单调性，结合可得的解，从而可求实数的取值范围.
【详解】由有意义可知，.
由，得.
令，即有.
因为，所以，令，
问题转化为存在，使得.
因为，令，即，解得；
令，即，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
又，所以当时，.
因为存在，使得成立，所以只需且，解得.
故选：.
5．（2023·贵州毕节·模拟预测）已知函数与的图象有交点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】转化为在时有解，令，利用导数判断单调性可得答案.
【详解】因为函数与的图象有交点，
所以在时有解，，
令，，
令，
，
因为，所以，可得，
故在上单调递增，又，
所以当时，即，在单调递减，
当时，即，在单调递增，
所以.
故选：B.
6．（2023·新疆·一模）已知函数在定义域内单调递增，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先对函数求导得，然后分离构造函数在定义域上恒成立，即可求解.
【详解】由题意定义域为且单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
令，所以只需，所以，
当，，在单调递增，
当，，在单调递减，
当时，有极大值且为最大值，所以，故B正确.
故选：B.
7．（2023·四川乐山·二模）若存在，使不等式成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】等价变形给定的不等式，并令，构造函数，将问题转化为存在，使得成立，再借助导数求解即得.
【详解】依题意，
，
令，即，由，得，
令，则原问题等价于存在，使得成立，
求导得，由，得，由，得，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
而，又，
则当时，，若存在，使得成立，
只需且，解得且，即，
所以的取值范围为.
故选：D
【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.
8．（2024·四川成都·二模）已知函数存在极小值点，且，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用导数结合零点存在性定理探讨极小值点，并求出极小值，利用导数求出的解集，再利用导数求出的范围.
【详解】函数的定义域为，求导得，
当时，函数在上单调递减，，
，则存在，使得，
当时，，递增，当时，，递减，
函数在取得极大值，无极小值，不符合题意；
当时，令，求导得，显然在上单调递增，
当时，，函数递减，当时，，函数递增，
于是，
当，即时，，函数在上单调递增，函数无极值，
当时，，而，
存在，使得，当时，，函数递增，
当时，，函数递减，函数在取得极大值，
又，令，求导得，
函数在上单调递减，，则，
存在，使得，当时，，函数递减，
当时，，函数递增，函数在取得极小值，因此，
由，得，，
即有，令，求导得，
函数在上单调递减，而，即有，于是，
显然，令，求导得，即函数在上单调递减，
因此，即，又，则，
所以实数的取值范围为.
故选：A
【点睛】结论点睛：可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同．
二、多选题
9．（2023·重庆·模拟预测）已知，当时，存在b，，使得成立，则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】对A，构造函数，求导，再设，利用其单调性得到，然后对分类讨论即可；对B，计算出在时的切线方程即可得到，即可得到的范围，对于C,D，代入得，则可确定和的范围，
【详解】对A，由,令,
所以,
令,其对称轴为,故函数在上单调递增,
所以,
当时,即时,,
则函数单调递增,所以.
当时,即时,存在,使得,即,
当时,,则函数单调递减,
所以0,与矛盾,综上,，A正确;
对B，由可得与在上存在分隔直线,
，，，，，，
则在处的切线方程分别为:,
所以,可得,故B正确;
对C，取得,所以,得,故C正确,
对D，由C知，故D错误.
故选：ABC.

【点睛】关键点睛：本题A选项的关键是构造函数，然后求导，对进行分类讨论，对B关键是得到在处的切线方程的斜率，从而得到不等式，对C和D通过代入得到，即可进行判断.
10．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知函数，其中为自然对数的底数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的极值点为1
B．
C．若分别是曲线和上的动点.则的最小值为
D．若对任意的恒成立，则的最小值为
【答案】ACD
【分析】对于A，求导，利用导数研究函数的单调性，即可求出极值点；对于B，设，求导，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可求解；对于C，利用曲线与曲线互为反函数，可先求点到的最小距离，然后再求的最小值；对于D，利用同构把恒成立问题转化为，分离参数，构造函数，利用导数求解最值即可.
【详解】．所以，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的极值点为1，故A正确；
设，则，
由单调性的性质知在上单调递增．
又，则存在．使得，
即，，所以当时．，当时．．
所以在上单调递减．在上单调递增.
所以，又，则，
所以，故B错误；
因为函数与函数互为反函数，其图象关于对称，
设点到的最小距离为，设函数上斜率为的切线为，
，由得，所以切点坐标为，即，所以，
所以的最小值为，故C正确；
若对任意的恒成立，
则对任意的恒成立，
令，则．所以在上单调递增，则，
即，令，所以，
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以，所以，即的最小值为，故D正确.
故选：ACD
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.
11．（2024·全国·模拟预测）已知函数．若曲线上存在点，使得，则实数的值可以是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】BC
【分析】根据已知条件先证明，然后将问题转化为“在上有解”，通过分离参数并构造函数，利用导数分析出的单调性并求解出其值域，则的范围可求.
【详解】由题意可知：，
因为曲线上存在点，使得，
所以存在，使得成立，
且在定义域内单调递增，
下面证明：成立，
假设，则，所以不满足，假设不成立，
假设，则，所以不满足，假设不成立，
由上可知，；
则原问题等价于“在上有解”，即 “在上有解”，
设，所以，令,
则，
令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
所以在上单调递增，
所以的值域为，即为，所以，
故选：BC.
【点睛】关键点点睛：（1）根据所给条件能证明；（2）将问题转化为方程有解问题，从而通过导数进行分析求解.
三、填空题
12．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知等比数列满足且，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用等比数列，将各项均用表示，然后构造函数，分类讨论和两种情况下的单调性，进而确定为使方程有解，的取值范围.
【详解】因为为等比数列，所以.
令，
则.
因为，所以.
当时，，此时恒成立，在上单调递增，
，所以一定有解，即，使得成立.
当时，，则，此时单调递增；，则，此时单调递减.
为使有解，则，
整理得，解得.
又，所以.
综上，的取值范围是.
故答案为：
13．（2024·全国·模拟预测）若存在正数，使得不等式有解，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由转化为，然后构造函数，再利用导数求函数的单调性，从而求解.
【详解】因为，，所以，不等式可以化为，
令，则，所以．
当时，，故函数在上单调递增．
当时，，不合题意，舍去．
当时，，因为在上单调递增，，
所以，即．令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
当时，，所以在上单调递增，故，
所以，即，矛盾，故舍去．
当时，，所以当时，，
所以，即．
综上可得，实数的取值范围是．
【点睛】根据不等式构造函数，利用导数研究求解函数单调性，从而求解不等式.
14．（2024·陕西安康·模拟预测）1557年，英国数学家列科尔德首先使用符号“”表示相等关系，在莱布尼茨和其他数学家的共同努力下，这一符号才逐渐被世人所公认．1631年，英国数学家哈里奥特开始采用符号“”与“”，分别表示“大于”与“小于”，这就是我们使用的不等号．以上内容是某校数学课外兴趣小组在研究数学符号发展史时查阅到的资料，并组织小组成员研究了如下函数与不等式的综合问题：已知函数，，若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分离参数得，设，利用导数求最值.
【详解】由题意，知，即．
因为，所以在上有解，只需．
设，对函数求导，
得，
所以函数在上单调递增，所以，所以．
故答案为：．
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
四、解答题
15．（23-24高三上·江苏常州·期中）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)对于，使得，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）对函数求导，讨论、研究导数符号确定区间单调性；
（2）问题化为对恒成立，讨论、求参数范围.
【详解】（1）由题设且，
当时在上递减；
当时，令，
当时在区间上递减；
当时在上递增．
所以当时，的减区间为，无增区间；
当时，的增区间为，减区间为.
（2）由题设知对恒成立．
当时，此时，不合题设，舍去．
当时，在上递增，只需符合．
综上：．
16．（2023·青海西宁·二模）设函数．
(1)若函数在其定义域上为增函数，求实数a的取值范围；
(2)当时，设函数，若在[上存在，使成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意在上恒成立，进一步化为在上恒成立，利用基本不等式求右侧最值，即可得范围；
（2）由题意时，求最小值，利用导数并讨论参数a研究区间单调性确定最大值，即可求范围.
【详解】（1）因为函数在其定义域上为增函数，即在上恒成立，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
又（仅当x＝1时取等号），故a的取值范围为；
（2）在上存在，，使成立，即当时，
又，所以当时，，
即函数在区间上单调递增，故，
由（1）知，
因为，又的判别式，
①当时，则恒成立，即在区间上单调递增，
故，故，即，得，
又，所以；
②当时，的两根为，，
此时，，故函数在区间上是单调递增．由①知，所以
综上，a的取值范围为．
17．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知．
(1)讨论的单调性和极值；
(2)若时，有解，求的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）首先求函数的导数，，讨论和两种情况讨论函数的单调性和极值；
（2）首先不等式参变分离为，在时有解，再构造函数，，转化为利用导数求函数的最大值.
【详解】（1），
当时，恒成立，函数在区间上单调递减，无极值；
当时，令 ，得，
，得，函数在区间上单调递减，
，得，函数在区间上单调递增，
当，函数取得极小值，
综上可知，时，函数的单调递减区间是，无增区间，无极值；
时，函数的单调递增区间是，单调递减区间，极小值，无极大值.
（2）由题意可知，，时有解，
则，在时有解，即，
设，，
，
令，得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以的最大值为，即，
所以实数的取值范围是.
18．（2023·陕西宝鸡·一模）已知函数，是自然对数的底数.
(1)当时，求整数的值，使得函数在区间上存在零点；
(2)若存在使得，试求的取值范围.
【答案】(1)1或
(2)
【分析】（1）首先求函数的导数，判断函数的单调性，并结合零点存在性定理，求整数的值；（2）将不等式存在性问题，转化为，利用导数判断函数的单调性，并求函数的最值，代入不等式后，即可求解的取值范围.
【详解】（1），，
当时，，，故是上的增函数，
同理是上的减函数，
，且时，，
故当时，函数的零点在内，满足条件．
同理，当时，函数的零点在内，满足条件，
综上．
（2）问题当时，，
，
①当时，由，可知；
②当时，由，可知；
③当时，，在上递减，上递增，
时，，
而，设
（仅当时取等号），
在上单调递增，而，
当时，即时，，
即，
构造，易知，在递增，
，即的取值范围是．
19．（2024·河北·二模）已知函数．
(1)求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的周长；
(2)若函数的图象上任意一点关于直线的对称点都在函数的图象上，且存在，使成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据导数的几何意义求切线方程,进而求得与轴的交点与轴的交点，计算可得结果；
（2）根据对称性求函数的解析式，将问题转化为存在，使成立，构造函数，转化为函数的最值问题并求解.
【详解】（1）由，得，
所以切线的斜率.
所以切线的方程为，即.
令，得，令，得，所以切线与轴交于点，与轴交于点，
所以切线与坐标轴围成的三角形的周长为.
（2）设，则，
由题意知在的图象上，
所以，所以.
由，
得，即，
因为存在，使成立，所以存在，使成立，
设，则，又，当且仅当时等号成立，
所以单调递增，
所以当时，，
可得，即实数的取值范围是
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2023·山西·模拟预测）设函数，，若存在直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分别设出直线与两曲线的切点坐标，，利用导数的几何意义求出切线方程，根据题意得到，记且，利用导数与函数的单调性即可求解.
【详解】设直线为曲线在点处的切线，，
所以，即；
设直线为曲线在点处的切线，，
所以，即，
由题意知，因为，
由可得，
将其代入可得：，
显然，整理得.
记且，则，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，则，即，
化简得，解得.
故选：D.
【点睛】求曲线的切线问题主要分两大类：
一类是切点已知，那么只需将切点横坐标代入到原函数与导函数中求出切点和斜率即可；
另一类是切点未知，那么先要设出切点坐标，利用导数表示切线的斜率以及切线方程，根据所过的点求切点，得出切线方程.
2．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知不等式有实数解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造两个函数，先利用导数求出单调区间，从而得到在处取到最小值，再利用二次函数的性质知在处取到最大值，从而可求出结果.
【详解】，所以不等式有实数解，即不等式成立，
设， ，
当时，，当时，，
所以在区间上是减函数，在区间上是增函数，，
又因为，当时，，
因为不等式有实数解，则
故选：C.
【点睛】关键点睛：处理本题的关键在于，通过构造两个函数，利用导数和二次函数的性质，分别求出两个函数的最值，两个函数均在处取到最值，从而得解.
3．（2022·青海西宁·模拟预测）函数，且存在，使得，若对任意，恒成立，则的最大值为（ ）
A．1B．C．2D．3
【答案】B
【分析】由题意先得出有解，即可求出，又对任意，恒成立，则，
由此可以求出，由此即可得解.
【详解】解：∵函数，且存在，使得，
∴有解，即为有解，
令，则，则函数为单调递增函数，则．
∵函数对任意，恒成立，∴，即，
令，则，当时，，函数为单调递增函数，
当时，，函数为单调递减函数，∴当时，取最大值3，
∴的最大值为．
故选：B．
4．（2023·四川达州·一模）已知，，若不等式的解集中只含有个正整数，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由已知，二次求导，可得当时，，由有且只有个正整数解，即有且只有个正整数解，求导可知至多有一个解，则需满足，，，再根据导数可得在上单调递减，即可证当时，，即可得参数范围.
【详解】由，
可得，
设，则，
所以在上单调递增，
又，所以当时，，
即当时，，单调递增，
所以当时，，
所以若不等式的解集中只含有个正整数，
即不等式的解集中只含有个正整数，
又的定义域为，且，
则，
设，则，
当时，，
所以在上单调递减，且至多有一个解，
所以若有且只有个正整数解
则需满足，解得，
现证当时，在上恒成立，
由时，，
即当时，，单调递减，
所以当时，，
综上所述，
故选：C.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
二、多选题
5．（23-24高二上·重庆·期末）已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数存在两个极值，则实数的取值范围为
B．当时，函数在上单调递增
C．当时，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为
D．当时，若，则的最小值为
【答案】BC
【分析】对A选项：由极值点的性质结合导数讨论单调性即可得；对B选项：结合导数讨论单调性即可得；对C选项：结合单调性，可转化为当时，有成立，求出最小值即可得；对D选项：采用同构法可确定，再将多变量化为单变量后结合导数讨论单调性即可得.
【详解】对A选项：，
若函数存在两个极值，则函数必有两个变号零点，
令，则，
令，则，
则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故，
又当时，恒成立，
当时，，
故当，函数有两个变号零点，
即若函数存在两个极值，则实数的取值范围为，
故A错误；
对B选项：当时，，
，
令，则，
则当时，，当时，；
故在上单调递减，在上单调递增，
故，故函数在上单调递增；
故B正确；
对C选项：当时，，
，
令，则，
则当时，；当时，；
故在上单调递减，在上单调递增，
故，故在上单调递增，
则存在，使不等式成立，
等价于存在，使不等式成立，
则当时，有成立，
由当时，，且在上单调递增，
故，即实数的最小值为，故C正确；
对D选项：当时，由B、C可知，、均为定义域上的增函数，
由，，故有，，
由，则，
即，故，
又，故，
令，则，令，
则，
则当时，，当时，；
故在上单调递减，在上单调递增，
即，故在上单调递增，
故无最小值，即无最小值，
故D错误.
故选：BC.
【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的综合应用问题，其中D选项中涉及到多变量问题的求解，求解此类问题的基本思路是根据已知中的等量关系，将多变量转化为单变量的问题，从而将其转化为函数最值问题的求解.
6．（2023·山东泰安·二模）已知函数，.（ ）
A．若曲线在点处的切线方程为，且过点，则，
B．当且时，函数在上单调递增
C．当时，若函数有三个零点，则
D．当时，若存在唯一的整数，使得，则
【答案】BCD
【分析】A选项，由导数几何意义结合题意可知，即可判断选项正误；B选项，利用导数知识结合可得的单调区间，即可判断选项正误；C选项，有三个零点等价于直线与函数图象有3个交点，利用函数研究单调性，极值情况，即可判断选项正误；D选项，由题可得，存在唯一整数，使 图象在直线下方.，利用导数研究单调性，极值情况，可得其大致图象，后利用切线知识结合图象可确定及相关不等式，即可判断选项正误.
【详解】A选项，，由题，，则，，故A错误；
B选项，当时，，.因，则.
或在上单调递增，则在上单调递增，故B正确；
C选项，当时，令，
注意到当时，，则，则函数有三个零点，相当于直线与函数图象有三个交点.
令，其中.
.
令或在上单调递增；
或或或
在，
上单调递减，又，
则可得大致图象如下，则由图可得，当，
直线与函数图象有三个交点，即此时函数有三个零点，故C正确；
D选项，由题可得，，
即存在唯一整数，使 图象在直线下方.
则，，
得在上单调递减，在上单调递增，
又，过定点，
可在同一坐标系下做出与图象.又设过点切线方程的切点为，
则切线方程为：，因其过，
则或，又注意到
结合两函数图象，可知或2.
当时，如图1，需满足；
当时，如图2，需满足；
综上：，故D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点睛：对于选填题，为便于快速找到答案，常使用数形结合思想，用直观的图象解决函数零点与函数不等式成立问题，而做出图象的关键就是利用导数知识研究函数的单调性，极值.
三、填空题
7．（2023·四川攀枝花·二模）已知函数，若存在非零实数，使得成立，则实数k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】不妨设，化简可得，令，求出的值域即可求k的取值范围.
【详解】因为，且
不妨设，则，即，
从而可得，由已知方程有正数解，
令，则函数的图象与函数的图象有交点，
因为，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以，则上值域为，上值域为，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
8．（2023·江苏连云港·模拟预测）已知定义在R上的函数 ，若 有解，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分析 的奇偶性和单调性，根据奇偶性和单调性求解.
【详解】 ，所以 是奇函数，
又 ， 在R的范围内是增函数，
有解等价于 ， 有解，
令 ，
当 时， 是增函数，当x趋于 时， 趋于 ，满足题意；
当 时，当 时， ， 是增函数，当 时， 是减函数，
；
令 ，则 ，当 时， ，
是增函数，当 时， 是减函数，
并且当 时， ， ，
当 时 ，即当 时， 满足题意，
所以a的取值范围是 ；
故答案为：.
9．（2023·上海金山·二模）已知函数和的表达式分别为，，若对任意，若存在，使得，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】将问题转化为，由二次函数性质可求得在上的最大值为，分别在、和的情况下，结合导数讨论的单调性，从而得到，由可构造不等式求得的范围.
【详解】对任意，若存在，使得，；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，；
当时，，
①当时，，，
则在上恒成立，在上单调递增，
，，解得：，
；
②当时，，，
令，解得：，
（i）当，即时，在上恒成立，
在上单调递减，，
，解得：，；
（ii）当，即时，在上恒成立，
在上单调递增，，
，解得：（舍）；
（iii）当，即时，
若，则；若，则；
在上单调递增，在上单调递减，
，，解得：（舍）；
③当时，，，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，
，，
当，即时，，
，解得：，；
当，即时，，
，解得：，；
综上所述：实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题
10．（2023·山东青岛·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若存在，使成立，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)先求导，把切点的横坐标代入导数方程得切线的斜率，再求切点坐标，从而求出切线方程，由方程求出切线与轴的交点即可求出三角形的面积.
(2) 令，则只要函数在区间的最小值小于即可.通过求导讨论函数的单调性，从而可求函数的最小值，最后求出a的取值范围.
【详解】（1）当时，，
，所以曲线在处的切线的斜率，又，
切线方程为.
与轴的交点分别是，
切线与坐标轴围成的三角形的面积·
（2）存在，使即，即.
即存在，使成立.
令，因此，只要函数在区间的最小值小于即可·
下面求函数在区间的最小值.
，
令，因为，
所以为上的增函数，且.
在恒成立·
在递调递增，
函数在区间的最小值为，
，得.
【点睛】易错点点睛：第二问的关键点在于把不等式能成立问题转化为求函数的最小值问题，在这类问题中，最容易错的地方是分不清恒成立和能成立的区别，若在给定区间内恒成立，则要大于的最大值；若在给定区间内能成立，则只需要大于的最小值.
11．（2023·广西南宁·三模）已知函数．
(1)若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值．
(2)，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为，即可得到所求的值；
（2）由题意可得，使得成立，运用参数分离和构造函数运用导数，判断单调性即可得到最小值，进而得到的范围．
【详解】（1）函数的导数为，
即有曲线在处的切线斜率为，
由切线与直线垂直，可得，解得；
（2）因为，使得成立，
即，使得成立，
由，则，
当，即时，
此时显然不满足，
当，即有，，
令，，则，
由于，所以，
所以函数在上单调递增，所以，
所以，解得，
则实数的取值范围是．
12．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若存在正数，使成立，求的取值范围；
(3)若，证明：对任意，存在唯一的实数，使得成立.
【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）计算，然后分类讨论即可得到单调性；
（2）对和两种情况分别讨论，即可得到取值范围是；
（3）首先证明单调递减，即得唯一性；然后求导证明对任意的，都有；而对任意的，都有. 再利用该结论证明，从而得到存在性. 最后综合两方面即证得结论.
【详解】（1）对求导得.
当时，对有，故在上单调递增；
当时，有，而当时，，故当时，当时，从而在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）若，由于，故存在正数使得，条件满足；
若，则由（1）的结论，知在上单调递增，在上单调递减，从而此时对任意的都有，条件不满足.
综上，的取值范围是.
（3）设，，我们分唯一性和存在性两方面来证明.
唯一性：由，知的导数等于，而，故显然恒为负，从而在上单调递减.
特别地，在上单调递减.
这表明，使得的至多有一个，从而唯一性得证.
存在性：我们先考虑函数，这里. 由于，故当时，当时，从而在上单调递减，在上单调递增，从而对于任意的，都有，即.
这就得到，对任意，有.
从而，对任意的，都有；而对任意的，都有.
然后回到原题，首先我们有
.
同时我们又有
，，
故.
由零点存在定理，知一定存在，使得.
综合上述的存在性和唯一性两个方面，知存在唯一的，使得.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于，对于存在唯一性的证明，将唯一性和存在性分开论证，则证明的逻辑会更加清晰，不易出现错误.
x
1
+
0
单调递增
单调递减
1